Theorem 0r 10992

Description: The constant 0_R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0r	⊢ 0R ∈ R

Proof of Theorem 0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 10927	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
2		opelxpi 5659	. . . 4 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P))
3	1, 1, 2	mp2an 693	. . 3 ⊢ ⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P)
4		enrex 10979	. . . 4 ⊢ ~R ∈ V
5	4	ecelqsi 8707	. . 3 ⊢ (⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨1P, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1P, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
7		df-0r 10972	. 2 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
8		df-nr 10968	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2850	1 ⊢ 0R ∈ R

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4574   × cxp 5620  [cec 8632   / cqs 8633  Pcnp 10771  1_Pc1p 10772   ~_R cer 10776  Rcnr 10777  0_Rc0r 10778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-omul 8401  df-er 8634  df-ec 8636  df-qs 8640  df-ni 10784  df-pli 10785  df-mi 10786  df-lti 10787  df-plpq 10820  df-mpq 10821  df-ltpq 10822  df-enq 10823  df-nq 10824  df-erq 10825  df-plq 10826  df-mq 10827  df-1nq 10828  df-rq 10829  df-ltnq 10830  df-np 10893  df-1p 10894  df-enr 10967  df-nr 10968  df-0r 10972

This theorem is referenced by:  sqgt0sr  11018  opelreal  11042  elreal  11043  elreal2  11044  eqresr  11049  addresr  11050  mulresr  11051  axresscn  11060  axicn  11062  axi2m1  11071  axcnre  11076