Theorem 0r 10963

Description: The constant 0_R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0r	⊢ 0R ∈ R

Proof of Theorem 0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 10898	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
2		opelxpi 5651	. . . 4 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P))
3	1, 1, 2	mp2an 692	. . 3 ⊢ ⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P)
4		enrex 10950	. . . 4 ⊢ ~R ∈ V
5	4	ecelqsi 8689	. . 3 ⊢ (⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨1P, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1P, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
7		df-0r 10943	. 2 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
8		df-nr 10939	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2842	1 ⊢ 0R ∈ R

Syntax hints:   ∈ wcel 2110  ⟨cop 4580   × cxp 5612  [cec 8615   / cqs 8616  Pcnp 10742  1_Pc1p 10743   ~_R cer 10747  Rcnr 10748  0_Rc0r 10749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8617  df-ec 8619  df-qs 8623  df-ni 10755  df-pli 10756  df-mi 10757  df-lti 10758  df-plpq 10791  df-mpq 10792  df-ltpq 10793  df-enq 10794  df-nq 10795  df-erq 10796  df-plq 10797  df-mq 10798  df-1nq 10799  df-rq 10800  df-ltnq 10801  df-np 10864  df-1p 10865  df-enr 10938  df-nr 10939  df-0r 10943

This theorem is referenced by:  sqgt0sr  10989  opelreal  11013  elreal  11014  elreal2  11015  eqresr  11020  addresr  11021  mulresr  11022  axresscn  11031  axicn  11033  axi2m1  11042  axcnre  11047