Theorem 0r 11146

Description: The constant 0_R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0r	⊢ 0R ∈ R

Proof of Theorem 0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 11081	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
2		opelxpi 5688	. . . 4 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P))
3	1, 1, 2	mp2an 705	. . 3 ⊢ ⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P)
4		enrex 11133	. . . 4 ⊢ ~R ∈ V
5	4	ecelqsi 8774	. . 3 ⊢ (⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨1P, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1P, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
7		df-0r 11126	. 2 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
8		df-nr 11122	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2874	1 ⊢ 0R ∈ R

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   × cxp 5649  [cec 8699   / cqs 8700  Pcnp 10925  1_Pc1p 10926   ~_R cer 10930  Rcnr 10931  0_Rc0r 10932

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8701  df-ec 8703  df-qs 8707  df-ni 10938  df-pli 10939  df-mi 10940  df-lti 10941  df-plpq 10974  df-mpq 10975  df-ltpq 10976  df-enq 10977  df-nq 10978  df-erq 10979  df-plq 10980  df-mq 10981  df-1nq 10982  df-rq 10983  df-ltnq 10984  df-np 11047  df-1p 11048  df-enr 11121  df-nr 11122  df-0r 11126

This theorem is used by:  sqgt0sr  11172  opelreal  11196  elreal  11197  elreal2  11198  eqresr  11203  addresr  11204  mulresr  11205  axresscn  11214  axicn  11216  axi2m1  11225  axcnre  11230