Theorem 0r 11111

Description: The constant 0_R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0r	⊢ 0R ∈ R

Proof of Theorem 0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 11046	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
2		opelxpi 5709	. . . 4 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P))
3	1, 1, 2	mp2an 690	. . 3 ⊢ ⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P)
4		enrex 11098	. . . 4 ⊢ ~R ∈ V
5	4	ecelqsi 8791	. . 3 ⊢ (⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨1P, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1P, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
7		df-0r 11091	. 2 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
8		df-nr 11087	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2839	1 ⊢ 0R ∈ R

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  ⟨cop 4629   × cxp 5670  [cec 8721   / cqs 8722  Pcnp 10890  1_Pc1p 10891   ~_R cer 10895  Rcnr 10896  0_Rc0r 10897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-inf2 9674

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-ec 8725  df-qs 8729  df-ni 10903  df-pli 10904  df-mi 10905  df-lti 10906  df-plpq 10939  df-mpq 10940  df-ltpq 10941  df-enq 10942  df-nq 10943  df-erq 10944  df-plq 10945  df-mq 10946  df-1nq 10947  df-rq 10948  df-ltnq 10949  df-np 11012  df-1p 11013  df-enr 11086  df-nr 11087  df-0r 11091

This theorem is referenced by:  sqgt0sr  11137  opelreal  11161  elreal  11162  elreal2  11163  eqresr  11168  addresr  11169  mulresr  11170  axresscn  11179  axicn  11181  axi2m1  11190  axcnre  11195