MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0r 10154
Description: The constant 0R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0r 0RR

Proof of Theorem 0r
StepHypRef Expression
1 1pr 10090 . . . 4 1PP
2 opelxpi 5314 . . . 4 ((1PP ∧ 1PP) → ⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P))
31, 1, 2mp2an 683 . . 3 ⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P)
4 enrex 10141 . . . 4 ~R ∈ V
54ecelqsi 8006 . . 3 (⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨1P, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
63, 5ax-mp 5 . 2 [⟨1P, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
7 df-0r 10135 . 2 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
8 df-nr 10131 . 2 R = ((P × P) / ~R )
96, 7, 83eltr4i 2857 1 0RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2155  cop 4340   × cxp 5275  [cec 7945   / cqs 7946  Pcnp 9934  1Pc1p 9935   ~R cer 9939  Rcnr 9940  0Rc0r 9941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-ec 7949  df-qs 7953  df-ni 9947  df-pli 9948  df-mi 9949  df-lti 9950  df-plpq 9983  df-mpq 9984  df-ltpq 9985  df-enq 9986  df-nq 9987  df-erq 9988  df-plq 9989  df-mq 9990  df-1nq 9991  df-rq 9992  df-ltnq 9993  df-np 10056  df-1p 10057  df-enr 10130  df-nr 10131  df-0r 10135
This theorem is referenced by:  sqgt0sr  10180  opelreal  10204  elreal  10205  elreal2  10206  eqresr  10211  addresr  10212  mulresr  10213  axresscn  10222  axicn  10224  axi2m1  10233  axcnre  10238
  Copyright terms: Public domain W3C validator