MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0r 10494
Description: The constant 0R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0r 0RR

Proof of Theorem 0r
StepHypRef Expression
1 1pr 10429 . . . 4 1PP
2 opelxpi 5585 . . . 4 ((1PP ∧ 1PP) → ⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P))
31, 1, 2mp2an 690 . . 3 ⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P)
4 enrex 10481 . . . 4 ~R ∈ V
54ecelqsi 8345 . . 3 (⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨1P, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
63, 5ax-mp 5 . 2 [⟨1P, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
7 df-0r 10474 . 2 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
8 df-nr 10470 . 2 R = ((P × P) / ~R )
96, 7, 83eltr4i 2924 1 0RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  cop 4565   × cxp 5546  [cec 8279   / cqs 8280  Pcnp 10273  1Pc1p 10274   ~R cer 10278  Rcnr 10279  0Rc0r 10280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-omul 8099  df-er 8281  df-ec 8283  df-qs 8287  df-ni 10286  df-pli 10287  df-mi 10288  df-lti 10289  df-plpq 10322  df-mpq 10323  df-ltpq 10324  df-enq 10325  df-nq 10326  df-erq 10327  df-plq 10328  df-mq 10329  df-1nq 10330  df-rq 10331  df-ltnq 10332  df-np 10395  df-1p 10396  df-enr 10469  df-nr 10470  df-0r 10474
This theorem is referenced by:  sqgt0sr  10520  opelreal  10544  elreal  10545  elreal2  10546  eqresr  10551  addresr  10552  mulresr  10553  axresscn  10562  axicn  10564  axi2m1  10573  axcnre  10578
  Copyright terms: Public domain W3C validator