Theorem 0r 10981

Description: The constant 0_R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0r	⊢ 0R ∈ R

Proof of Theorem 0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 10916	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
2		opelxpi 5658	. . . 4 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P))
3	1, 1, 2	mp2an 692	. . 3 ⊢ ⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P)
4		enrex 10968	. . . 4 ⊢ ~R ∈ V
5	4	ecelqsi 8703	. . 3 ⊢ (⟨1P, 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨1P, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1P, 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
7		df-0r 10961	. 2 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
8		df-nr 10957	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
9	6, 7, 8	3eltr4i 2846	1 ⊢ 0R ∈ R

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4583   × cxp 5619  [cec 8629   / cqs 8630  Pcnp 10760  1_Pc1p 10761   ~_R cer 10765  Rcnr 10766  0_Rc0r 10767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9541

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-er 8631  df-ec 8633  df-qs 8637  df-ni 10773  df-pli 10774  df-mi 10775  df-lti 10776  df-plpq 10809  df-mpq 10810  df-ltpq 10811  df-enq 10812  df-nq 10813  df-erq 10814  df-plq 10815  df-mq 10816  df-1nq 10817  df-rq 10818  df-ltnq 10819  df-np 10882  df-1p 10883  df-enr 10956  df-nr 10957  df-0r 10961

This theorem is referenced by:  sqgt0sr  11007  opelreal  11031  elreal  11032  elreal2  11033  eqresr  11038  addresr  11039  mulresr  11040  axresscn  11049  axicn  11051  axi2m1  11060  axcnre  11065