Theorem 1sr 10835

Description: The constant 1_R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1sr	⊢ 1R ∈ R

Proof of Theorem 1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 10769	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 10772	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		opelxpi 5628	. . . 4 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P))
5	3, 1, 4	mp2an 689	. . 3 ⊢ ⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P)
6		enrex 10821	. . . 4 ⊢ ~R ∈ V
7	6	ecelqsi 8560	. . 3 ⊢ (⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
9		df-1r 10815	. 2 ⊢ 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
10		df-nr 10810	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
11	8, 9, 10	3eltr4i 2852	1 ⊢ 1R ∈ R

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4569   × cxp 5589  (class class class)co 7277  [cec 8494   / cqs 8495  Pcnp 10613  1_Pc1p 10614   +_P cpp 10615   ~_R cer 10618  Rcnr 10619  1_Rc1r 10621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-inf2 9397

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-oadd 8299  df-omul 8300  df-er 8496  df-ec 8498  df-qs 8502  df-ni 10626  df-pli 10627  df-mi 10628  df-lti 10629  df-plpq 10662  df-mpq 10663  df-ltpq 10664  df-enq 10665  df-nq 10666  df-erq 10667  df-plq 10668  df-mq 10669  df-1nq 10670  df-rq 10671  df-ltnq 10672  df-np 10735  df-1p 10736  df-plp 10737  df-enr 10809  df-nr 10810  df-1r 10815

This theorem is referenced by:  1ne0sr  10850  supsr  10866  ax1cn  10903  axicn  10904  axi2m1  10913  ax1ne0  10914  ax1rid  10915  axcnre  10918