Theorem 1sr 11006

Description: The constant 1_R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1sr	⊢ 1R ∈ R

Proof of Theorem 1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 10940	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 10943	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		opelxpi 5671	. . . 4 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P))
5	3, 1, 4	mp2an 693	. . 3 ⊢ ⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P)
6		enrex 10992	. . . 4 ⊢ ~R ∈ V
7	6	ecelqsi 8720	. . 3 ⊢ (⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
9		df-1r 10986	. 2 ⊢ 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
10		df-nr 10981	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
11	8, 9, 10	3eltr4i 2850	1 ⊢ 1R ∈ R

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4588   × cxp 5632  (class class class)co 7370  [cec 8645   / cqs 8646  Pcnp 10784  1_Pc1p 10785   +_P cpp 10786   ~_R cer 10789  Rcnr 10790  1_Rc1r 10792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-oadd 8413  df-omul 8414  df-er 8647  df-ec 8649  df-qs 8653  df-ni 10797  df-pli 10798  df-mi 10799  df-lti 10800  df-plpq 10833  df-mpq 10834  df-ltpq 10835  df-enq 10836  df-nq 10837  df-erq 10838  df-plq 10839  df-mq 10840  df-1nq 10841  df-rq 10842  df-ltnq 10843  df-np 10906  df-1p 10907  df-plp 10908  df-enr 10980  df-nr 10981  df-1r 10986

This theorem is referenced by:  1ne0sr  11021  supsr  11037  ax1cn  11074  axicn  11075  axi2m1  11084  ax1ne0  11085  ax1rid  11086  axcnre  11089