MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1sr 10835
Description: The constant 1R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1sr 1RR

Proof of Theorem 1sr
StepHypRef Expression
1 1pr 10769 . . . . 5 1PP
2 addclpr 10772 . . . . 5 ((1PP ∧ 1PP) → (1P +P 1P) ∈ P)
31, 1, 2mp2an 689 . . . 4 (1P +P 1P) ∈ P
4 opelxpi 5628 . . . 4 (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1PP) → ⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P))
53, 1, 4mp2an 689 . . 3 ⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P)
6 enrex 10821 . . . 4 ~R ∈ V
76ecelqsi 8560 . . 3 (⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
85, 7ax-mp 5 . 2 [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
9 df-1r 10815 . 2 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
10 df-nr 10810 . 2 R = ((P × P) / ~R )
118, 9, 103eltr4i 2852 1 1RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2106  cop 4569   × cxp 5589  (class class class)co 7277  [cec 8494   / cqs 8495  Pcnp 10613  1Pc1p 10614   +P cpp 10615   ~R cer 10618  Rcnr 10619  1Rc1r 10621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-inf2 9397
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-oadd 8299  df-omul 8300  df-er 8496  df-ec 8498  df-qs 8502  df-ni 10626  df-pli 10627  df-mi 10628  df-lti 10629  df-plpq 10662  df-mpq 10663  df-ltpq 10664  df-enq 10665  df-nq 10666  df-erq 10667  df-plq 10668  df-mq 10669  df-1nq 10670  df-rq 10671  df-ltnq 10672  df-np 10735  df-1p 10736  df-plp 10737  df-enr 10809  df-nr 10810  df-1r 10815
This theorem is referenced by:  1ne0sr  10850  supsr  10866  ax1cn  10903  axicn  10904  axi2m1  10913  ax1ne0  10914  ax1rid  10915  axcnre  10918
  Copyright terms: Public domain W3C validator