Theorem 1sr 11190

Description: The constant 1_R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1sr	⊢ 1R ∈ R

Proof of Theorem 1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 11124	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 11127	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		opelxpi 5692	. . . 4 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P))
5	3, 1, 4	mp2an 705	. . 3 ⊢ ⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P)
6		enrex 11176	. . . 4 ⊢ ~R ∈ V
7	6	ecelqsi 8815	. . 3 ⊢ (⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
9		df-1r 11170	. 2 ⊢ 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
10		df-nr 11165	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
11	8, 9, 10	3eltr4i 2877	1 ⊢ 1R ∈ R

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4838   × cxp 5653  (class class class)co 7440  [cec 8740   / cqs 8741  Pcnp 10968  1_Pc1p 10969   +_P cpp 10970   ~_R cer 10973  Rcnr 10974  1_Rc1r 10976

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-oadd 8505  df-omul 8506  df-er 8742  df-ec 8744  df-qs 8748  df-ni 10981  df-pli 10982  df-mi 10983  df-lti 10984  df-plpq 11017  df-mpq 11018  df-ltpq 11019  df-enq 11020  df-nq 11021  df-erq 11022  df-plq 11023  df-mq 11024  df-1nq 11025  df-rq 11026  df-ltnq 11027  df-np 11090  df-1p 11091  df-plp 11092  df-enr 11164  df-nr 11165  df-1r 11170

This theorem is used by:  1ne0sr  11205  supsr  11221  ax1cn  11258  axicn  11259  axi2m1  11268  ax1ne0  11269  ax1rid  11270  axcnre  11273