Theorem 1sr 11086

Description: The constant 1_R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1sr	⊢ 1R ∈ R

Proof of Theorem 1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 11020	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 11023	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		opelxpi 5700	. . . 4 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P))
5	3, 1, 4	mp2an 705	. . 3 ⊢ ⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P)
6		enrex 11072	. . . 4 ⊢ ~R ∈ V
7	6	ecelqsi 8774	. . 3 ⊢ (⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
9		df-1r 11066	. 2 ⊢ 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
10		df-nr 11061	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
11	8, 9, 10	3eltr4i 2878	1 ⊢ 1R ∈ R

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597   × cxp 5661  (class class class)co 7420  [cec 8699   / cqs 8700  Pcnp 10864  1_Pc1p 10865   +_P cpp 10866   ~_R cer 10869  Rcnr 10870  1_Rc1r 10872

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-inf2 9618

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8701  df-ec 8703  df-qs 8707  df-ni 10877  df-pli 10878  df-mi 10879  df-lti 10880  df-plpq 10913  df-mpq 10914  df-ltpq 10915  df-enq 10916  df-nq 10917  df-erq 10918  df-plq 10919  df-mq 10920  df-1nq 10921  df-rq 10922  df-ltnq 10923  df-np 10986  df-1p 10987  df-plp 10988  df-enr 11060  df-nr 11061  df-1r 11066

This theorem is used by:  1ne0sr  11101  supsr  11117  ax1cn  11154  axicn  11155  axi2m1  11164  ax1ne0  11165  ax1rid  11166  axcnre  11169