Theorem 1sr 11034

Description: The constant 1_R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1sr	⊢ 1R ∈ R

Proof of Theorem 1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 10968	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 10971	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		opelxpi 5675	. . . 4 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P))
5	3, 1, 4	mp2an 692	. . 3 ⊢ ⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P)
6		enrex 11020	. . . 4 ⊢ ~R ∈ V
7	6	ecelqsi 8743	. . 3 ⊢ (⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
9		df-1r 11014	. 2 ⊢ 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
10		df-nr 11009	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
11	8, 9, 10	3eltr4i 2841	1 ⊢ 1R ∈ R

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4595   × cxp 5636  (class class class)co 7387  [cec 8669   / cqs 8670  Pcnp 10812  1_Pc1p 10813   +_P cpp 10814   ~_R cer 10817  Rcnr 10818  1_Rc1r 10820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-ec 8673  df-qs 8677  df-ni 10825  df-pli 10826  df-mi 10827  df-lti 10828  df-plpq 10861  df-mpq 10862  df-ltpq 10863  df-enq 10864  df-nq 10865  df-erq 10866  df-plq 10867  df-mq 10868  df-1nq 10869  df-rq 10870  df-ltnq 10871  df-np 10934  df-1p 10935  df-plp 10936  df-enr 11008  df-nr 11009  df-1r 11014

This theorem is referenced by:  1ne0sr  11049  supsr  11065  ax1cn  11102  axicn  11103  axi2m1  11112  ax1ne0  11113  ax1rid  11114  axcnre  11117