Theorem 1sr 11115

Description: The constant 1_R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1sr	⊢ 1R ∈ R

Proof of Theorem 1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 11049	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 11052	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		opelxpi 5692	. . . 4 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P))
5	3, 1, 4	mp2an 705	. . 3 ⊢ ⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P)
6		enrex 11101	. . . 4 ⊢ ~R ∈ V
7	6	ecelqsi 8776	. . 3 ⊢ (⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
9		df-1r 11095	. 2 ⊢ 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
10		df-nr 11090	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
11	8, 9, 10	3eltr4i 2873	1 ⊢ 1R ∈ R

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   × cxp 5653  (class class class)co 7416  [cec 8701   / cqs 8702  Pcnp 10893  1_Pc1p 10894   +_P cpp 10895   ~_R cer 10898  Rcnr 10899  1_Rc1r 10901

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-inf2 9627

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-ni 10906  df-pli 10907  df-mi 10908  df-lti 10909  df-plpq 10942  df-mpq 10943  df-ltpq 10944  df-enq 10945  df-nq 10946  df-erq 10947  df-plq 10948  df-mq 10949  df-1nq 10950  df-rq 10951  df-ltnq 10952  df-np 11015  df-1p 11016  df-plp 11017  df-enr 11089  df-nr 11090  df-1r 11095

This theorem is used by:  1ne0sr  11130  supsr  11146  ax1cn  11183  axicn  11184  axi2m1  11193  ax1ne0  11194  ax1rid  11195  axcnre  11198