Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1sr 10495
 Description: The constant 1R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
1sr 1RR

Proof of Theorem 1sr
StepHypRef Expression
1 1pr 10429 . . . . 5 1PP
2 addclpr 10432 . . . . 5 ((1PP ∧ 1PP) → (1P +P 1P) ∈ P)
31, 1, 2mp2an 691 . . . 4 (1P +P 1P) ∈ P
4 opelxpi 5579 . . . 4 (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1PP) → ⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P))
53, 1, 4mp2an 691 . . 3 ⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P)
6 enrex 10481 . . . 4 ~R ∈ V
76ecelqsi 8343 . . 3 (⟨(1P +P 1P), 1P⟩ ∈ (P × P) → [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
85, 7ax-mp 5 . 2 [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
9 df-1r 10475 . 2 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
10 df-nr 10470 . 2 R = ((P × P) / ~R )
118, 9, 103eltr4i 2929 1 1RR
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 2115  ⟨cop 4555   × cxp 5540  (class class class)co 7145  [cec 8277   / cqs 8278  Pcnp 10273  1Pc1p 10274   +P cpp 10275   ~R cer 10278  Rcnr 10279  1Rc1r 10281 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-inf2 9095 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-omul 8097  df-er 8279  df-ec 8281  df-qs 8285  df-ni 10286  df-pli 10287  df-mi 10288  df-lti 10289  df-plpq 10322  df-mpq 10323  df-ltpq 10324  df-enq 10325  df-nq 10326  df-erq 10327  df-plq 10328  df-mq 10329  df-1nq 10330  df-rq 10331  df-ltnq 10332  df-np 10395  df-1p 10396  df-plp 10397  df-enr 10469  df-nr 10470  df-1r 10475 This theorem is referenced by:  1ne0sr  10510  supsr  10526  ax1cn  10563  axicn  10564  axi2m1  10573  ax1ne0  10574  ax1rid  10575  axcnre  10578
 Copyright terms: Public domain W3C validator