MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpeccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpeccl 19794
Description: Closure of the quotient map in a free group. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgp0.m 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgp0.r = ( ~FG𝐼)
frgpeccl.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpeccl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgpeccl (𝑋𝑊 → [𝑋] 𝐵)

Proof of Theorem frgpeccl
StepHypRef Expression
1 frgp0.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
21fvexi 6921 . . 3 ∈ V
32ecelqsi 8812 . 2 (𝑋𝑊 → [𝑋] ∈ (𝑊 / ))
4 frgpeccl.w . . . . . . 7 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
54efgrcl 19748 . . . . . 6 (𝑋𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
65simpld 494 . . . . 5 (𝑋𝑊𝐼 ∈ V)
7 frgp0.m . . . . . 6 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8 eqid 2735 . . . . . 6 (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
97, 8, 1frgpval 19791 . . . . 5 (𝐼 ∈ V → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
106, 9syl 17 . . . 4 (𝑋𝑊𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
115simprd 495 . . . . 5 (𝑋𝑊𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
12 2on 8519 . . . . . . 7 2o ∈ On
13 xpexg 7769 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
146, 12, 13sylancl 586 . . . . . 6 (𝑋𝑊 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
15 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
168, 15frmdbas 18878 . . . . . 6 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
1714, 16syl 17 . . . . 5 (𝑋𝑊 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
1811, 17eqtr4d 2778 . . . 4 (𝑋𝑊𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
192a1i 11 . . . 4 (𝑋𝑊 ∈ V)
20 fvexd 6922 . . . 4 (𝑋𝑊 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
2110, 18, 19, 20qusbas 17592 . . 3 (𝑋𝑊 → (𝑊 / ) = (Base‘𝐺))
22 frgpeccl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2321, 22eqtr4di 2793 . 2 (𝑋𝑊 → (𝑊 / ) = 𝐵)
243, 23eleqtrd 2841 1 (𝑋𝑊 → [𝑋] 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478   I cid 5582   × cxp 5687  Oncon0 6386  cfv 6563  (class class class)co 7431  2oc2o 8499  [cec 8742   / cqs 8743  Word cword 14549  Basecbs 17245   /s cqus 17552  freeMndcfrmd 18873   ~FG cefg 19739  freeGrpcfrgp 19740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-imas 17555  df-qus 17556  df-frmd 18875  df-frgp 19743
This theorem is referenced by:  frgpinv  19797  frgpmhm  19798  vrgpf  19801  frgpup3lem  19810
  Copyright terms: Public domain W3C validator