Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpeccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpeccl 18527
 Description: Closure of the quotient map in a free group. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgp0.m 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgp0.r = ( ~FG𝐼)
frgpeccl.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpeccl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgpeccl (𝑋𝑊 → [𝑋] 𝐵)

Proof of Theorem frgpeccl
StepHypRef Expression
1 frgp0.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
21fvexi 6447 . . 3 ∈ V
32ecelqsi 8068 . 2 (𝑋𝑊 → [𝑋] ∈ (𝑊 / ))
4 frgpeccl.w . . . . . . 7 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
54efgrcl 18479 . . . . . 6 (𝑋𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
65simpld 490 . . . . 5 (𝑋𝑊𝐼 ∈ V)
7 frgp0.m . . . . . 6 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8 eqid 2825 . . . . . 6 (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
97, 8, 1frgpval 18524 . . . . 5 (𝐼 ∈ V → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
106, 9syl 17 . . . 4 (𝑋𝑊𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
115simprd 491 . . . . 5 (𝑋𝑊𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
12 2on 7835 . . . . . . 7 2o ∈ On
13 xpexg 7220 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
146, 12, 13sylancl 582 . . . . . 6 (𝑋𝑊 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
15 eqid 2825 . . . . . . 7 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
168, 15frmdbas 17743 . . . . . 6 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
1714, 16syl 17 . . . . 5 (𝑋𝑊 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
1811, 17eqtr4d 2864 . . . 4 (𝑋𝑊𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
192a1i 11 . . . 4 (𝑋𝑊 ∈ V)
20 fvexd 6448 . . . 4 (𝑋𝑊 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
2110, 18, 19, 20qusbas 16558 . . 3 (𝑋𝑊 → (𝑊 / ) = (Base‘𝐺))
22 frgpeccl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2321, 22syl6eqr 2879 . 2 (𝑋𝑊 → (𝑊 / ) = 𝐵)
243, 23eleqtrd 2908 1 (𝑋𝑊 → [𝑋] 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3414   I cid 5249   × cxp 5340  Oncon0 5963  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  2oc2o 7820  [cec 8007   / cqs 8008  Word cword 13574  Basecbs 16222   /s cqus 16518  freeMndcfrmd 17738   ~FG cefg 18470  freeGrpcfrgp 18471 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-ec 8011  df-qs 8015  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-hash 13411  df-word 13575  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-imas 16521  df-qus 16522  df-frmd 17740  df-frgp 18474 This theorem is referenced by:  frgpinv  18530  frgpmhm  18531  vrgpf  18534  frgpup3lem  18543
 Copyright terms: Public domain W3C validator