Theorem frgpeccl 19984

Description: Closure of the quotient map in a free group. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgp0.m	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgp0.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpeccl.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpeccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgpeccl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

Proof of Theorem frgpeccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgp0.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
2	1	fvexi 6904	. . 3 ⊢ ∼ ∈ V
3	2	ecelqsi 8797	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → [𝑋] ∼ ∈ (𝑊 / ∼ ))
4		frgpeccl.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
5	4	efgrcl 19938	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
6	5	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → 𝐼 ∈ V)
7		frgp0.m	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
9	7, 8, 1	frgpval 19981	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
10	6, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
11	5	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
12		2on 8497	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
13		xpexg 7768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
14	6, 12, 13	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
15		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
16	8, 15	frmdbas 19057	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
17	14, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
18	11, 17	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
19	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ∼ ∈ V)
20		fvexd 6905	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
21	10, 18, 19, 20	qusbas 17726	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝑊 / ∼ ) = (Base‘𝐺))
22		frgpeccl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
23	21, 22	eqtr4di 2813	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝑊 / ∼ ) = 𝐵)
24	3, 23	eleqtrd 2862	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   I cid 5545   × cxp 5649  Oncon0 6365  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  2_oc2o 8477  [cec 8722   / cqs 8723  Word cword 14665  Basecbs 17396   /_s cqus 17686  freeMndcfrmd 19052   ~_FG cefg 19929  freeGrpcfrgp 19930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-inf 9442  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-hash 14482  df-word 14666  df-struct 17334  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-imas 17689  df-qus 17690  df-frmd 19054  df-frgp 19933

This theorem is used by:  frgpinv  19987  frgpmhm  19988  vrgpf  19991  frgpup3lem  20000