Theorem frgpeccl 18879

Description: Closure of the quotient map in a free group. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgp0.m	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgp0.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpeccl.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpeccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgpeccl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

Proof of Theorem frgpeccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgp0.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
2	1	fvexi 6659	. . 3 ⊢ ∼ ∈ V
3	2	ecelqsi 8336	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → [𝑋] ∼ ∈ (𝑊 / ∼ ))
4		frgpeccl.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
5	4	efgrcl 18833	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
6	5	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → 𝐼 ∈ V)
7		frgp0.m	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
9	7, 8, 1	frgpval 18876	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
10	6, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
11	5	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
12		2on 8094	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
13		xpexg 7453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
14	6, 12, 13	sylancl 589	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
15		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
16	8, 15	frmdbas 18009	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
18	11, 17	eqtr4d 2836	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
19	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ∼ ∈ V)
20		fvexd 6660	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
21	10, 18, 19, 20	qusbas 16810	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝑊 / ∼ ) = (Base‘𝐺))
22		frgpeccl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
23	21, 22	eqtr4di 2851	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝑊 / ∼ ) = 𝐵)
24	3, 23	eleqtrd 2892	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   I cid 5424   × cxp 5517  Oncon0 6159  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  2_oc2o 8079  [cec 8270   / cqs 8271  Word cword 13857  Basecbs 16475   /_s cqus 16770  freeMndcfrmd 18004   ~_FG cefg 18824  freeGrpcfrgp 18825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-ec 8274  df-qs 8278  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-imas 16773  df-qus 16774  df-frmd 18006  df-frgp 18828

This theorem is referenced by:  frgpinv  18882  frgpmhm  18883  vrgpf  18886  frgpup3lem  18895