Theorem frgpeccl 19640

Description: Closure of the quotient map in a free group. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgp0.m	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgp0.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpeccl.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpeccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgpeccl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

Proof of Theorem frgpeccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgp0.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
2	1	fvexi 6836	. . 3 ⊢ ∼ ∈ V
3	2	ecelqsi 8697	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → [𝑋] ∼ ∈ (𝑊 / ∼ ))
4		frgpeccl.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
5	4	efgrcl 19594	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
6	5	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → 𝐼 ∈ V)
7		frgp0.m	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
9	7, 8, 1	frgpval 19637	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
10	6, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
11	5	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
12		2on 8401	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
13		xpexg 7686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
14	6, 12, 13	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
16	8, 15	frmdbas 18726	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
18	11, 17	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
19	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ∼ ∈ V)
20		fvexd 6837	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
21	10, 18, 19, 20	qusbas 17449	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝑊 / ∼ ) = (Base‘𝐺))
22		frgpeccl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
23	21, 22	eqtr4di 2782	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝑊 / ∼ ) = 𝐵)
24	3, 23	eleqtrd 2830	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   I cid 5513   × cxp 5617  Oncon0 6307  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  2_oc2o 8382  [cec 8623   / cqs 8624  Word cword 14420  Basecbs 17120   /_s cqus 17409  freeMndcfrmd 18721   ~_FG cefg 19585  freeGrpcfrgp 19586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-ec 8627  df-qs 8631  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-imas 17412  df-qus 17413  df-frmd 18723  df-frgp 19589

This theorem is referenced by:  frgpinv  19643  frgpmhm  19644  vrgpf  19647  frgpup3lem  19656