Theorem frgpeccl 19830

Description: Closure of the quotient map in a free group. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgp0.m	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgp0.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpeccl.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpeccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgpeccl	⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

Proof of Theorem frgpeccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgp0.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
2	1	fvexi 6896	. . 3 ⊢ ∼ ∈ V
3	2	ecelqsi 8766	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → [𝑋] ∼ ∈ (𝑊 / ∼ ))
4		frgpeccl.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
5	4	efgrcl 19784	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
6	5	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → 𝐼 ∈ V)
7		frgp0.m	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
9	7, 8, 1	frgpval 19827	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
10	6, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
11	5	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
12		2on 8466	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
13		xpexg 7748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
14	6, 12, 13	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
15		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
16	8, 15	frmdbas 18910	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
17	14, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
18	11, 17	eqtr4d 2807	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
19	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ∼ ∈ V)
20		fvexd 6897	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
21	10, 18, 19, 20	qusbas 17598	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝑊 / ∼ ) = (Base‘𝐺))
22		frgpeccl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
23	21, 22	eqtr4di 2822	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (𝑊 / ∼ ) = 𝐵)
24	3, 23	eleqtrd 2871	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   I cid 5556   × cxp 5660  Oncon0 6361  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  2_oc2o 8446  [cec 8691   / cqs 8692  Word cword 14549  Basecbs 17268   /_s cqus 17558  freeMndcfrmd 18905   ~_FG cefg 19775  freeGrpcfrgp 19776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-ec 8695  df-qs 8699  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-imas 17561  df-qus 17562  df-frmd 18907  df-frgp 19779

This theorem is referenced by:  frgpinv  19833  frgpmhm  19834  vrgpf  19837  frgpup3lem  19846