MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpeccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpeccl 19623
Description: Closure of the quotient map in a free group. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgp0.m 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
frgp0.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
frgpeccl.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
frgpeccl.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frgpeccl (𝑋 ∈ π‘Š β†’ [𝑋] ∼ ∈ 𝐡)

Proof of Theorem frgpeccl
StepHypRef Expression
1 frgp0.r . . . 4 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
21fvexi 6902 . . 3 ∼ ∈ V
32ecelqsi 8763 . 2 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ [𝑋] ∼ ∈ (π‘Š / ∼ ))
4 frgpeccl.w . . . . . . 7 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
54efgrcl 19577 . . . . . 6 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
65simpld 495 . . . . 5 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ 𝐼 ∈ V)
7 frgp0.m . . . . . 6 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
8 eqid 2732 . . . . . 6 (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) = (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))
97, 8, 1frgpval 19620 . . . . 5 (𝐼 ∈ V β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
106, 9syl 17 . . . 4 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
115simprd 496 . . . . 5 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
12 2on 8476 . . . . . . 7 2o ∈ On
13 xpexg 7733 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
146, 12, 13sylancl 586 . . . . . 6 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
15 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))
168, 15frmdbas 18729 . . . . . 6 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1714, 16syl 17 . . . . 5 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1811, 17eqtr4d 2775 . . . 4 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ π‘Š = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
192a1i 11 . . . 4 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ ∼ ∈ V)
20 fvexd 6903 . . . 4 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ V)
2110, 18, 19, 20qusbas 17487 . . 3 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ (π‘Š / ∼ ) = (Baseβ€˜πΊ))
22 frgpeccl.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2321, 22eqtr4di 2790 . 2 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ (π‘Š / ∼ ) = 𝐡)
243, 23eleqtrd 2835 1 (𝑋 ∈ π‘Š β†’ [𝑋] ∼ ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   I cid 5572   Γ— cxp 5673  Oncon0 6361  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  2oc2o 8456  [cec 8697   / cqs 8698  Word cword 14460  Basecbs 17140   /s cqus 17447  freeMndcfrmd 18724   ~FG cefg 19568  freeGrpcfrgp 19569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-imas 17450  df-qus 17451  df-frmd 18726  df-frgp 19572
This theorem is referenced by:  frgpinv  19626  frgpmhm  19627  vrgpf  19630  frgpup3lem  19639
  Copyright terms: Public domain W3C validator