MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpeccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpeccl 19007
Description: Closure of the quotient map in a free group. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgp0.m 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgp0.r = ( ~FG𝐼)
frgpeccl.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpeccl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgpeccl (𝑋𝑊 → [𝑋] 𝐵)

Proof of Theorem frgpeccl
StepHypRef Expression
1 frgp0.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
21fvexi 6690 . . 3 ∈ V
32ecelqsi 8386 . 2 (𝑋𝑊 → [𝑋] ∈ (𝑊 / ))
4 frgpeccl.w . . . . . . 7 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
54efgrcl 18961 . . . . . 6 (𝑋𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))
65simpld 498 . . . . 5 (𝑋𝑊𝐼 ∈ V)
7 frgp0.m . . . . . 6 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8 eqid 2738 . . . . . 6 (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
97, 8, 1frgpval 19004 . . . . 5 (𝐼 ∈ V → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
106, 9syl 17 . . . 4 (𝑋𝑊𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
115simprd 499 . . . . 5 (𝑋𝑊𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
12 2on 8141 . . . . . . 7 2o ∈ On
13 xpexg 7493 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
146, 12, 13sylancl 589 . . . . . 6 (𝑋𝑊 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
15 eqid 2738 . . . . . . 7 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
168, 15frmdbas 18135 . . . . . 6 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
1714, 16syl 17 . . . . 5 (𝑋𝑊 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
1811, 17eqtr4d 2776 . . . 4 (𝑋𝑊𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
192a1i 11 . . . 4 (𝑋𝑊 ∈ V)
20 fvexd 6691 . . . 4 (𝑋𝑊 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
2110, 18, 19, 20qusbas 16923 . . 3 (𝑋𝑊 → (𝑊 / ) = (Base‘𝐺))
22 frgpeccl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2321, 22eqtr4di 2791 . 2 (𝑋𝑊 → (𝑊 / ) = 𝐵)
243, 23eleqtrd 2835 1 (𝑋𝑊 → [𝑋] 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3398   I cid 5428   × cxp 5523  Oncon0 6172  cfv 6339  (class class class)co 7172  2oc2o 8127  [cec 8320   / cqs 8321  Word cword 13957  Basecbs 16588   /s cqus 16883  freeMndcfrmd 18130   ~FG cefg 18952  freeGrpcfrgp 18953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-2o 8134  df-er 8322  df-ec 8324  df-qs 8328  df-map 8441  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-sup 8981  df-inf 8982  df-card 9443  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-5 11784  df-6 11785  df-7 11786  df-8 11787  df-9 11788  df-n0 11979  df-z 12065  df-dec 12182  df-uz 12327  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-hash 13785  df-word 13958  df-struct 16590  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-plusg 16683  df-mulr 16684  df-sca 16686  df-vsca 16687  df-ip 16688  df-tset 16689  df-ple 16690  df-ds 16692  df-imas 16886  df-qus 16887  df-frmd 18132  df-frgp 18956
This theorem is referenced by:  frgpinv  19010  frgpmhm  19011  vrgpf  19014  frgpup3lem  19023
  Copyright terms: Public domain W3C validator