Theorem m1r 10996

Description: The constant -1_R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
m1r	⊢ -1R ∈ R

Proof of Theorem m1r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 10929	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 10932	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		opelxpi 5661	. . . 4 ⊢ ((1P ∈ P ∧ (1P +P 1P) ∈ P) → ⟨1P, (1P +P 1P)⟩ ∈ (P × P))
5	1, 3, 4	mp2an 693	. . 3 ⊢ ⟨1P, (1P +P 1P)⟩ ∈ (P × P)
6		enrex 10981	. . . 4 ⊢ ~R ∈ V
7	6	ecelqsi 8709	. . 3 ⊢ (⟨1P, (1P +P 1P)⟩ ∈ (P × P) → [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
9		df-m1r 10976	. 2 ⊢ -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
10		df-nr 10970	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
11	8, 9, 10	3eltr4i 2850	1 ⊢ -1R ∈ R

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4574   × cxp 5622  (class class class)co 7360  [cec 8634   / cqs 8635  Pcnp 10773  1_Pc1p 10774   +_P cpp 10775   ~_R cer 10778  Rcnr 10779  -1_Rcm1r 10782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-ec 8638  df-qs 8642  df-ni 10786  df-pli 10787  df-mi 10788  df-lti 10789  df-plpq 10822  df-mpq 10823  df-ltpq 10824  df-enq 10825  df-nq 10826  df-erq 10827  df-plq 10828  df-mq 10829  df-1nq 10830  df-rq 10831  df-ltnq 10832  df-np 10895  df-1p 10896  df-plp 10897  df-enr 10969  df-nr 10970  df-m1r 10976

This theorem is referenced by:  negexsr  11016  sqgt0sr  11020  map2psrpr  11024  supsrlem  11025  mulresr  11053  axmulf  11060  axmulass  11071  axdistr  11072  axi2m1  11073  axrnegex  11076  axcnre  11078