Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1r 10502
 Description: The constant -1R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
m1r -1RR

Proof of Theorem m1r
StepHypRef Expression
1 1pr 10435 . . . 4 1PP
2 addclpr 10438 . . . . 5 ((1PP ∧ 1PP) → (1P +P 1P) ∈ P)
31, 1, 2mp2an 691 . . . 4 (1P +P 1P) ∈ P
4 opelxpi 5579 . . . 4 ((1PP ∧ (1P +P 1P) ∈ P) → ⟨1P, (1P +P 1P)⟩ ∈ (P × P))
51, 3, 4mp2an 691 . . 3 ⟨1P, (1P +P 1P)⟩ ∈ (P × P)
6 enrex 10487 . . . 4 ~R ∈ V
76ecelqsi 8349 . . 3 (⟨1P, (1P +P 1P)⟩ ∈ (P × P) → [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
85, 7ax-mp 5 . 2 [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )
9 df-m1r 10482 . 2 -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
10 df-nr 10476 . 2 R = ((P × P) / ~R )
118, 9, 103eltr4i 2929 1 -1RR
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 2115  ⟨cop 4556   × cxp 5540  (class class class)co 7149  [cec 8283   / cqs 8284  Pcnp 10279  1Pc1p 10280   +P cpp 10281   ~R cer 10284  Rcnr 10285  -1Rcm1r 10288 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-ec 8287  df-qs 8291  df-ni 10292  df-pli 10293  df-mi 10294  df-lti 10295  df-plpq 10328  df-mpq 10329  df-ltpq 10330  df-enq 10331  df-nq 10332  df-erq 10333  df-plq 10334  df-mq 10335  df-1nq 10336  df-rq 10337  df-ltnq 10338  df-np 10401  df-1p 10402  df-plp 10403  df-enr 10475  df-nr 10476  df-m1r 10482 This theorem is referenced by:  negexsr  10522  sqgt0sr  10526  map2psrpr  10530  supsrlem  10531  mulresr  10559  axmulf  10566  axmulass  10577  axdistr  10578  axi2m1  10579  axrnegex  10582  axcnre  10584
 Copyright terms: Public domain W3C validator