Theorem eulerpath 30176

Description: A pseudograph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpathpr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eulerpath	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eulerpath

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		releupth 30134	. . . . . 6 ⊢ Rel (EulerPaths‘𝐺)
2		reldm0 5893	. . . . . 6 ⊢ (Rel (EulerPaths‘𝐺) → ((EulerPaths‘𝐺) = ∅ ↔ dom (EulerPaths‘𝐺) = ∅))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((EulerPaths‘𝐺) = ∅ ↔ dom (EulerPaths‘𝐺) = ∅)
4	3	necon3bii 2978	. . . 4 ⊢ ((EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅ ↔ dom (EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅)
5		n0 4318	. . . 4 ⊢ (dom (EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ dom (EulerPaths‘𝐺))
6	4, 5	bitri 275	. . 3 ⊢ ((EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ dom (EulerPaths‘𝐺))
7		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
8	7	eldm 5866	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ dom (EulerPaths‘𝐺) ↔ ∃𝑝 𝑓(EulerPaths‘𝐺)𝑝)
9		eulerpathpr.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10	9	eulerpathpr 30175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑓(EulerPaths‘𝐺)𝑝) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})
11	10	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(EulerPaths‘𝐺)𝑝 → (𝐺 ∈ UPGraph → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2}))
12	11	exlimiv 1930	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 𝑓(EulerPaths‘𝐺)𝑝 → (𝐺 ∈ UPGraph → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2}))
13	8, 12	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ dom (EulerPaths‘𝐺) → (𝐺 ∈ UPGraph → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2}))
14	13	exlimiv 1930	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ dom (EulerPaths‘𝐺) → (𝐺 ∈ UPGraph → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2}))
15	6, 14	sylbi 217	. 2 ⊢ ((EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅ → (𝐺 ∈ UPGraph → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2}))
16	15	impcom 407	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {crab 3408  ∅c0 4298  {cpr 4593   class class class wbr 5109  dom cdm 5640  Rel wrel 5645  ‘cfv 6513  0cc0 11074  2c2 12242  ♯chash 14301   ∥ cdvds 16228  Vtxcvtx 28929  UPGraphcupgr 29013  VtxDegcvtxdg 29399  EulerPathsceupth 30132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-oadd 8440  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-xnn0 12522  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-xadd 13079  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14302  df-word 14485  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-dvds 16229  df-vtx 28931  df-iedg 28932  df-edg 28981  df-uhgr 28991  df-ushgr 28992  df-upgr 29015  df-uspgr 29083  df-vtxdg 29400  df-wlks 29533  df-trls 29626  df-eupth 30133

This theorem is referenced by:  konigsberg  30192