Theorem eulerpath 29484

Description: A pseudograph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpathpr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eulerpath	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eulerpath

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		releupth 29442	. . . . . 6 ⊢ Rel (EulerPaths‘𝐺)
2		reldm0 5926	. . . . . 6 ⊢ (Rel (EulerPaths‘𝐺) → ((EulerPaths‘𝐺) = ∅ ↔ dom (EulerPaths‘𝐺) = ∅))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((EulerPaths‘𝐺) = ∅ ↔ dom (EulerPaths‘𝐺) = ∅)
4	3	necon3bii 2994	. . . 4 ⊢ ((EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅ ↔ dom (EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅)
5		n0 4346	. . . 4 ⊢ (dom (EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ dom (EulerPaths‘𝐺))
6	4, 5	bitri 275	. . 3 ⊢ ((EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ dom (EulerPaths‘𝐺))
7		vex 3479	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
8	7	eldm 5899	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ dom (EulerPaths‘𝐺) ↔ ∃𝑝 𝑓(EulerPaths‘𝐺)𝑝)
9		eulerpathpr.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10	9	eulerpathpr 29483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑓(EulerPaths‘𝐺)𝑝) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})
11	10	expcom 415	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(EulerPaths‘𝐺)𝑝 → (𝐺 ∈ UPGraph → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2}))
12	11	exlimiv 1934	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 𝑓(EulerPaths‘𝐺)𝑝 → (𝐺 ∈ UPGraph → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2}))
13	8, 12	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ dom (EulerPaths‘𝐺) → (𝐺 ∈ UPGraph → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2}))
14	13	exlimiv 1934	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ dom (EulerPaths‘𝐺) → (𝐺 ∈ UPGraph → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2}))
15	6, 14	sylbi 216	. 2 ⊢ ((EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅ → (𝐺 ∈ UPGraph → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2}))
16	15	impcom 409	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  {crab 3433  ∅c0 4322  {cpr 4630   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  Rel wrel 5681  ‘cfv 6541  0cc0 11107  2c2 12264  ♯chash 14287   ∥ cdvds 16194  Vtxcvtx 28246  UPGraphcupgr 28330  VtxDegcvtxdg 28712  EulerPathsceupth 29440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-xadd 13090  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-word 14462  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-vtx 28248  df-iedg 28249  df-edg 28298  df-uhgr 28308  df-ushgr 28309  df-upgr 28332  df-uspgr 28400  df-vtxdg 28713  df-wlks 28846  df-trls 28939  df-eupth 29441

This theorem is referenced by:  konigsberg  29500