Theorem eulerpath 30174

Description: A pseudograph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpathpr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eulerpath	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eulerpath

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		releupth 30132	. . . . . 6 ⊢ Rel (EulerPaths‘𝐺)
2		reldm0 5934	. . . . . 6 ⊢ (Rel (EulerPaths‘𝐺) → ((EulerPaths‘𝐺) = ∅ ↔ dom (EulerPaths‘𝐺) = ∅))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((EulerPaths‘𝐺) = ∅ ↔ dom (EulerPaths‘𝐺) = ∅)
4	3	necon3bii 2983	. . . 4 ⊢ ((EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅ ↔ dom (EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅)
5		n0 4349	. . . 4 ⊢ (dom (EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ dom (EulerPaths‘𝐺))
6	4, 5	bitri 274	. . 3 ⊢ ((EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ dom (EulerPaths‘𝐺))
7		vex 3466	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
8	7	eldm 5907	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ dom (EulerPaths‘𝐺) ↔ ∃𝑝 𝑓(EulerPaths‘𝐺)𝑝)
9		eulerpathpr.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10	9	eulerpathpr 30173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑓(EulerPaths‘𝐺)𝑝) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})
11	10	expcom 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(EulerPaths‘𝐺)𝑝 → (𝐺 ∈ UPGraph → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2}))
12	11	exlimiv 1926	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 𝑓(EulerPaths‘𝐺)𝑝 → (𝐺 ∈ UPGraph → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2}))
13	8, 12	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ dom (EulerPaths‘𝐺) → (𝐺 ∈ UPGraph → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2}))
14	13	exlimiv 1926	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ dom (EulerPaths‘𝐺) → (𝐺 ∈ UPGraph → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2}))
15	6, 14	sylbi 216	. 2 ⊢ ((EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅ → (𝐺 ∈ UPGraph → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2}))
16	15	impcom 406	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (EulerPaths‘𝐺) ≠ ∅) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  {crab 3419  ∅c0 4325  {cpr 4635   class class class wbr 5153  dom cdm 5682  Rel wrel 5687  ‘cfv 6554  0cc0 11158  2c2 12319  ♯chash 14347   ∥ cdvds 16256  Vtxcvtx 28932  UPGraphcupgr 29016  VtxDegcvtxdg 29402  EulerPathsceupth 30130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-xadd 13147  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-word 14523  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-dvds 16257  df-vtx 28934  df-iedg 28935  df-edg 28984  df-uhgr 28994  df-ushgr 28995  df-upgr 29018  df-uspgr 29086  df-vtxdg 29403  df-wlks 29536  df-trls 29629  df-eupth 30131

This theorem is referenced by:  konigsberg  30190