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Theorem dchrisumlem3 27536

Description: Lemma for dchrisum 27537. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrisum.2	⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
dchrisum.6	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
dchrisum.7	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
dchrisumlem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))

Distinct variable groups: 𝑢,𝑛,𝑥,𝑐,𝑡 1 ,𝑐 𝑡,𝑛, 1 ,𝑥 𝑢,𝑐,𝐹,𝑛,𝑡,𝑥 𝐴,𝑐,𝑡,𝑥 𝑁,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥 𝜑,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥 𝑅,𝑐,𝑛,𝑢,𝑥 𝐵,𝑐,𝑛 𝑛,𝑍,𝑥 𝐷,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥 𝐿,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥 𝑀,𝑐,𝑛,𝑢,𝑥 𝑋,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑢,𝑛) 𝐵(𝑥,𝑢,𝑡) 𝐷(𝑢) 𝑅(𝑡) 1 (𝑢) 𝐺(𝑥,𝑢,𝑡,𝑛,𝑐) 𝑀(𝑡) 𝑍(𝑢,𝑡,𝑐)

Proof of Theorem dchrisumlem3 Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑖 𝑗 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12922	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
2		1zzd 12650	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
4		rpvmasum.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5		rpvmasum.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6		rpvmasum.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7		rpvmasum.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
8		dchrisum.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐷)
10	3	nnzd 12642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
11	4, 5, 6, 7, 9, 10	dchrzrhcl 27290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑖)) ∈ ℂ)
12		dchrisum.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12	ralrimiva 3145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ)
14		nnrp 13047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ⁺)
15		nfcsb1v 3922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴
16	15	nfel1 2921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ
17		csbeq1a 3912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → 𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
18	17	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
19	16, 18	rspc 3609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
20	19	impcom 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ⁺) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
21	13, 14, 20	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
22	21	recnd 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
23	11, 22	mulcld 11282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
24		nfcv 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛𝑖
25		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑋‘(𝐿‘𝑖))
26		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 ·
27	25, 26, 15	nfov 7462	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
28		2fveq3 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑖)))
29	28, 17	oveq12d 7450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
30		dchrisum.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴))
31	24, 27, 29, 30	fvmptf 7036	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
32	3, 23, 31	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
33	32, 23	eqeltrd 2840	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
34	1, 2, 33	serf 14072	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
35	34	ffvelcdmda 7103	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
36	12	recnd 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℂ)
37	36	ralrimiva 3145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℂ)
38	37	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℂ)
39		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ⁺ → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
40		2re 12341	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
41		dchrisum.9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
42		remulcl 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
43	40, 41, 42	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
44		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
45		lbfzo0 13740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
46	44, 45	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
47		dchrisum.10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
48		oveq2 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = 0 → (0..^𝑢) = (0..^0))
49		fzo0 13724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0..^0) = ∅
50	48, 49	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = 0 → (0..^𝑢) = ∅)
51	50	sumeq1d 15737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
52		sum0 15758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0
53	51, 52	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
54	53	abs00bd 15331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 0 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = 0)
55	54	breq1d 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 0 → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ 𝑅))
56	55	rspcv 3617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) → (∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
57	46, 47, 56	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
58		0le2 12369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
59		mulge0 11782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅)) → 0 ≤ (2 · 𝑅))
60	40, 58, 59	mpanl12 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ (2 · 𝑅))
61	41, 57, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑅))
62	43, 61	ge0p1rpd 13108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ⁺)
63		rpdivcl 13061	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ∈ ℝ⁺)
64	39, 62, 63	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ∈ ℝ⁺)
65		dchrisum.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
66	65	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
67	38, 64, 66	rlimi 15550	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ (𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
68		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ∈ ℝ)
69		dchrisum.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
70	69	nnred 12282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
72	68, 71	ifcld 4571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ)
73		0red 11265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
74	69	nngt0d 12316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 < 𝑀)
76		max1 13228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
77	70, 76	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
78	73, 71, 72, 75, 77	ltletrd 11422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 < if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
79	72, 78	elrpd 13075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺)
80	79	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺)
81		nfv 1913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)
82		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛abs
83		nfcsb1v 3922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴
84		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛 −
85		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛0
86	83, 84, 85	nfov 7462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)
87	82, 86	nffv 6915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0))
88		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛 <
89		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))
90	87, 88, 89	nfbr 5189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))
91	81, 90	nfim 1895	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))
92		breq2 5146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (𝑚 ≤ 𝑛 ↔ 𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))
93		csbeq1a 3912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → 𝐴 = ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)
94	93	fvoveq1d 7454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)))
95	94	breq1d 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → ((abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ↔ (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
96	92, 95	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → ((𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) ↔ (𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))))
97	91, 96	rspc 3609	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ (𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → (𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))))
98	80, 97	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ (𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → (𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))))
99	70	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
100		max2 13230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
101	99, 100	sylancom 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
102	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ)
103	83	nfel1 2921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑛⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ
104	93	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
105	103, 104	rspc 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ → ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
106	80, 102, 105	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
107	106	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
108	107	subid1d 11610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0) = ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)
109	108	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) = (abs‘⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴))
110	72	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ)
111	99, 76	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
112		elicopnf 13486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))
113	99, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))
114	110, 111, 113	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞))
115	44	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ)
116		rpvmasum.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
117	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ 𝐷)
118		dchrisum.n1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
119	118	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑋 ≠ 1 )
120		dchrisum.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝐴 = 𝐵)
121	69	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ)
122	12	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
123		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝜑)
124		dchrisum.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
125	123, 124	syl3an1 1163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
126	65	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
127	5, 7, 115, 4, 6, 116, 117, 119, 120, 121, 122, 125, 126, 30	dchrisumlema 27533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺ → ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ) ∧ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)))
128	127	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴))
129	114, 128	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 ≤ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)
130	106, 129	absidd 15462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (abs‘⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) = ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)
131	109, 130	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) = ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)
132	131	breq1d 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ↔ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
133		rpre 13044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ⁺ → 𝑒 ∈ ℝ)
134	133	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑒 ∈ ℝ)
135	62	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ⁺)
136	106, 134, 135	ltmuldiv2d 13126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒 ↔ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
137	132, 136	bitr4d 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ↔ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒))
138	43	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
139	135	rpred 13078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ)
140	138	lep1d 12200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ≤ ((2 · 𝑅) + 1))
141	138, 139, 106, 129, 140	lemul1ad 12208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ≤ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴))
142	138, 106	remulcld 11292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
143	139, 106	remulcld 11292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
144		lelttr 11352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ ∧ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ≤ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∧ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒))
145	142, 143, 134, 144	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ≤ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∧ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒))
146	141, 145	mpand 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒 → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒))
147	137, 146	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒))
148		1red 11263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
149	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ)
150	149	nnge1d 12315	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 1 ≤ 𝑀)
151	148, 71, 72, 150, 77	letrd 11419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
152		flge1nn 13862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
153	72, 151, 152	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
154	153	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
155	44	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
156	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
157	118	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑋 ≠ 1 )
158	69	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℕ)
159	12	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
160	124	3adant1r 1177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
161	160	3adant1r 1177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
162	65	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
163	41	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
164	47	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
165	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺)
166	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
167	72	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ)
168		fllep1 13842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ≤ ((⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) + 1))
169	167, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ≤ ((⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) + 1))
170	153	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
171		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))
172	5, 7, 155, 4, 6, 116, 156, 157, 120, 158, 159, 161, 162, 30, 163, 164, 165, 166, 169, 170, 171	dchrisumlem2 27535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴))
173	172	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴))
174	34	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
175		eluznn 12961	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
176	154, 175	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
177	174, 176	ffvelcdmd 7104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
178	154	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
179	174, 178	ffvelcdmd 7104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))) ∈ ℂ)
180	177, 179	subcld 11621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) ∈ ℂ)
181	180	abscld 15476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ∈ ℝ)
182	142	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
183	134	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑒 ∈ ℝ)
184		lelttr 11352	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∧ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
185	181, 182, 183, 184	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∧ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
186	173, 185	mpand 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
187	186	ralrimdva 3153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒 → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
188		fveq2 6905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (ℤ_≥‘𝑗) = (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))
189		fveq2 6905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))
190	189	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗)) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))))
191	190	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))))
192	191	breq1d 5152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒 ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
193	188, 192	raleqbidv 3345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
194	193	rspcev 3621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒)
195	154, 187, 194	syl6an 684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
196	147, 195	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
197	101, 196	embantd 59	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
198	98, 197	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ (𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
199	198	rexlimdva 3154	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ (𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
200	67, 199	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒)
201	200	ralrimiva 3145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒)
202		seqex 14045	. . . . 5 ⊢ seq1( + , 𝐹) ∈ V
203	202	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
204	1, 35, 201, 203	caucvg 15716	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
205	202	eldm 5910	. . 3 ⊢ (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∃𝑡seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
206	204, 205	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
207		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
208		elrege0 13495	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((2 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑅)))
209	43, 61, 208	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞))
210	209	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → (2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞))
211		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚)) = (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))
212		pnfxr 11316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
213		icossre 13469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
214	70, 212, 213	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
215	214	sselda 3982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ)
216	215	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ)
217	216	flcld 13839	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (⌊‘𝑚) ∈ ℤ)
218		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
219	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
220		1red 11263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
221	70	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
222	69	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℕ)
223	222	nnge1d 12315	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑀)
224		elicopnf 13486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚)))
225	70, 224	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚)))
226	225	simplbda 499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑚)
227	226	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑚)
228	220, 221, 216, 223, 227	letrd 11419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑚)
229		flge1nn 13862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑚) → (⌊‘𝑚) ∈ ℕ)
230	216, 228, 229	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (⌊‘𝑚) ∈ ℕ)
231	219, 230	ffvelcdmd 7104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) ∈ ℂ)
232		nnex 12273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ ∈ V
233	232	mptex 7244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ∈ V
234	233	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ∈ V)
235	219	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
236		eluznn 12961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⌊‘𝑚) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑖 ∈ ℕ)
237	230, 236	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑖 ∈ ℕ)
238	235, 237	ffvelcdmd 7104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑖) ∈ ℂ)
239		fveq2 6905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))
240	239	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
241		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
242		ovex 7465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)) ∈ V
243	240, 241, 242	fvmpt3i 7020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
244	237, 243	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
245	211, 217, 218, 231, 234, 238, 244	climsubc2 15676	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ⇝ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡))
246	232	mptex 7244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) ∈ V
247	246	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) ∈ V)
248		fvex 6918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) ∈ V
249	248	fvconst2 7225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))
250	237, 249	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))
251	250	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
252	244, 251	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) = (((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
253	231	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) ∈ ℂ)
254	250, 253	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) ∈ ℂ)
255	254, 238	subcld 11621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)) ∈ ℂ)
256	252, 255	eqeltrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
257	240	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
258		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))
259		fvex 6918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ∈ V
260	257, 258, 259	fvmpt3i 7020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
261	237, 260	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
262	244	fveq2d 6909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
263	261, 262	eqtr4d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖)))
264	211, 245, 247, 217, 256, 263	climabs 15641	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) ⇝ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)))
265	43	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
266		0red 11265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
267	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
268	74	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 < 𝑀)
269	266, 267, 215, 268, 226	ltletrd 11422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 < 𝑚)
270	215, 269	elrpd 13075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ⁺)
271		nfcsb1v 3922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
272	271	nfel1 2921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ
273		csbeq1a 3912	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
274	273	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
275	272, 274	rspc 3609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
276	13, 275	mpan9 506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ⁺) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
277	270, 276	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
278	277	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
279	265, 278	remulcld 11292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
280	279	recnd 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
281		1z 12649	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
282	1	eqimss2i 4044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ_≥‘1) ⊆ ℕ
283	282, 232	climconst2 15585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)}) ⇝ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
284	280, 281, 283	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)}) ⇝ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
285	253, 238	subcld 11621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)) ∈ ℂ)
286	285	abscld 15476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))) ∈ ℝ)
287	261, 286	eqeltrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) ∈ ℝ)
288		ovex 7465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V
289	288	fvconst2 7225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})‘𝑖) = ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
290	237, 289	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})‘𝑖) = ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
291	279	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
292	290, 291	eqeltrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})‘𝑖) ∈ ℝ)
293		simplll 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝜑)
294	293, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ)
295	293, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
296	293, 118	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑋 ≠ 1 )
297	222	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑀 ∈ ℕ)
298	293, 12	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
299	293, 124	syl3an1 1163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
300	293, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
301	293, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑅 ∈ ℝ)
302	293, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
303	270	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ⁺)
304	303	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℝ⁺)
305	227	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑀 ≤ 𝑚)
306	216	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℝ)
307		reflcl 13837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (⌊‘𝑚) ∈ ℝ)
308		peano2re 11435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌊‘𝑚) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
309	306, 307, 308	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((⌊‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
310		flltp1 13841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → 𝑚 < ((⌊‘𝑚) + 1))
311	306, 310	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 < ((⌊‘𝑚) + 1))
312	306, 309, 311	ltled 11410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑚) + 1))
313	230	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (⌊‘𝑚) ∈ ℕ)
314		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚)))
315	5, 7, 294, 4, 6, 116, 295, 296, 120, 297, 298, 299, 300, 30, 301, 302, 304, 305, 312, 313, 314	dchrisumlem2 27535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
316	253, 238	abssubd 15493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))))
317	261, 316	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))))
318	315, 317, 290	3brtr4d 5174	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) ≤ ((ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})‘𝑖))
319	211, 217, 264, 284, 287, 292, 318	climle 15677	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
320	319	ralrimiva 3145	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → ∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
321		oveq1 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑅) → (𝑐 · 𝐵) = ((2 · 𝑅) · 𝐵))
322	321	breq2d 5154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑅) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵)))
323	322	ralbidv 3177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑅) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵)))
324		2fveq3 6910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
325	324	fvoveq1d 7454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
326		vex 3483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑚 ∈ V
327	326	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → 𝑚 ∈ V)
328		equequ2 2024	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑛 = 𝑚 ↔ 𝑛 = 𝑥))
329	328	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 = 𝑥 ∧ 𝑛 = 𝑚) → 𝑛 = 𝑥)
330	329, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 = 𝑥 ∧ 𝑛 = 𝑚) → 𝐴 = 𝐵)
331	327, 330	csbied 3934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = 𝐵)
332	331	oveq2d 7448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = ((2 · 𝑅) · 𝐵))
333	325, 332	breq12d 5155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵)))
334	333	cbvralvw 3236	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵))
335	323, 334	bitr4di 289	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑅) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵) ↔ ∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)))
336	335	rspcev 3621	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))
337	210, 320, 336	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))
338		r19.42v 3190	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)) ↔ (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
339	207, 337, 338	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
340	339	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))))
341	340	eximdv 1916	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))))
342	206, 341	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∃wex 1778 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2939 ∀wral 3060 ∃wrex 3069 Vcvv 3479 ⦋csb 3898 ⊆ wss 3950 ∅c0 4332 ifcif 4524 {csn 4625 class class class wbr 5142 ↦ cmpt 5224 × cxp 5682 dom cdm 5684 ⟶wf 6556 ‘cfv 6560 (class class class)co 7432 ℂcc 11154 ℝcr 11155 0cc0 11156 1c1 11157 + caddc 11159 · cmul 11161 +∞cpnf 11293 ℝ^*cxr 11295 < clt 11296 ≤ cle 11297 − cmin 11493 / cdiv 11921 ℕcn 12267 2c2 12322 ℤcz 12615 ℤ_≥cuz 12879 ℝ⁺crp 13035 [,)cico 13390 ..^cfzo 13695 ⌊cfl 13831 seqcseq 14043 abscabs 15274 ⇝ cli 15521 ⇝_𝑟 crli 15522 Σcsu 15723 Basecbs 17248 0_gc0g 17485 ℤRHomczrh 21511 ℤ/nℤczn 21514 DChrcdchr 27277

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1794 ax-4 1808 ax-5 1909 ax-6 1966 ax-7 2006 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2140 ax-11 2156 ax-12 2176 ax-ext 2707 ax-rep 5278 ax-sep 5295 ax-nul 5305 ax-pow 5364 ax-pr 5431 ax-un 7756 ax-inf2 9682 ax-cnex 11212 ax-resscn 11213 ax-1cn 11214 ax-icn 11215 ax-addcl 11216 ax-addrcl 11217 ax-mulcl 11218 ax-mulrcl 11219 ax-mulcom 11220 ax-addass 11221 ax-mulass 11222 ax-distr 11223 ax-i2m1 11224 ax-1ne0 11225 ax-1rid 11226 ax-rnegex 11227 ax-rrecex 11228 ax-cnre 11229 ax-pre-lttri 11230 ax-pre-lttrn 11231 ax-pre-ltadd 11232 ax-pre-mulgt0 11233 ax-pre-sup 11234 ax-addf 11235 ax-mulf 11236

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1779 df-nf 1783 df-sb 2064 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2815 df-nfc 2891 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3379 df-reu 3380 df-rab 3436 df-v 3481 df-sbc 3788 df-csb 3899 df-dif 3953 df-un 3955 df-in 3957 df-ss 3967 df-pss 3970 df-nul 4333 df-if 4525 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-tp 4630 df-op 4632 df-uni 4907 df-int 4946 df-iun 4992 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5577 df-eprel 5583 df-po 5591 df-so 5592 df-fr 5636 df-se 5637 df-we 5638 df-xp 5690 df-rel 5691 df-cnv 5692 df-co 5693 df-dm 5694 df-rn 5695 df-res 5696 df-ima 5697 df-pred 6320 df-ord 6386 df-on 6387 df-lim 6388 df-suc 6389 df-iota 6513 df-fun 6562 df-fn 6563 df-f 6564 df-f1 6565 df-fo 6566 df-f1o 6567 df-fv 6568 df-isom 6569 df-riota 7389 df-ov 7435 df-oprab 7436 df-mpo 7437 df-of 7698 df-om 7889 df-1st 8015 df-2nd 8016 df-tpos 8252 df-frecs 8307 df-wrecs 8338 df-recs 8412 df-rdg 8451 df-1o 8507 df-oadd 8511 df-er 8746 df-ec 8748 df-qs 8752 df-map 8869 df-pm 8870 df-en 8987 df-dom 8988 df-sdom 8989 df-fin 8990 df-sup 9483 df-inf 9484 df-oi 9551 df-card 9980 df-pnf 11298 df-mnf 11299 df-xr 11300 df-ltxr 11301 df-le 11302 df-sub 11495 df-neg 11496 df-div 11922 df-nn 12268 df-2 12330 df-3 12331 df-4 12332 df-5 12333 df-6 12334 df-7 12335 df-8 12336 df-9 12337 df-n0 12529 df-xnn0 12602 df-z 12616 df-dec 12736 df-uz 12880 df-rp 13036 df-ico 13394 df-fz 13549 df-fzo 13696 df-fl 13833 df-mod 13911 df-seq 14044 df-exp 14104 df-hash 14371 df-cj 15139 df-re 15140 df-im 15141 df-sqrt 15275 df-abs 15276 df-limsup 15508 df-clim 15525 df-rlim 15526 df-sum 15724 df-dvds 16292 df-gcd 16533 df-phi 16804 df-struct 17185 df-sets 17202 df-slot 17220 df-ndx 17232 df-base 17249 df-ress 17276 df-plusg 17311 df-mulr 17312 df-starv 17313 df-sca 17314 df-vsca 17315 df-ip 17316 df-tset 17317 df-ple 17318 df-ds 17320 df-unif 17321 df-0g 17487 df-imas 17554 df-qus 17555 df-mgm 18654 df-sgrp 18733 df-mnd 18749 df-mhm 18797 df-grp 18955 df-minusg 18956 df-sbg 18957 df-mulg 19087 df-subg 19142 df-nsg 19143 df-eqg 19144 df-ghm 19232 df-cmn 19801 df-abl 19802 df-mgp 20139 df-rng 20151 df-ur 20180 df-ring 20233 df-cring 20234 df-oppr 20335 df-dvdsr 20358 df-unit 20359 df-invr 20389 df-rhm 20473 df-subrng 20547 df-subrg 20571 df-lmod 20861 df-lss 20931 df-lsp 20971 df-sra 21173 df-rgmod 21174 df-lidl 21219 df-rsp 21220 df-2idl 21261 df-cnfld 21366 df-zring 21459 df-zrh 21515 df-zn 21518 df-dchr 27278

This theorem is referenced by: dchrisum 27537

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