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Theorem dchrisumlem3 25753

Description: Lemma for dchrisum 25754. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrisum.2	⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
dchrisum.6	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
dchrisum.7	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
dchrisumlem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))

Distinct variable groups: 𝑢,𝑛,𝑥,𝑐,𝑡 1 ,𝑐 𝑡,𝑛, 1 ,𝑥 𝑢,𝑐,𝐹,𝑛,𝑡,𝑥 𝐴,𝑐,𝑡,𝑥 𝑁,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥 𝜑,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥 𝑅,𝑐,𝑛,𝑢,𝑥 𝐵,𝑐,𝑛 𝑛,𝑍,𝑥 𝐷,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥 𝐿,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥 𝑀,𝑐,𝑛,𝑢,𝑥 𝑋,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑢,𝑛) 𝐵(𝑥,𝑢,𝑡) 𝐷(𝑢) 𝑅(𝑡) 1 (𝑢) 𝐺(𝑥,𝑢,𝑡,𝑛,𝑐) 𝑀(𝑡) 𝑍(𝑢,𝑡,𝑐)

Proof of Theorem dchrisumlem3 Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑖 𝑗 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12134	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
2		1zzd 11867	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
4		rpvmasum.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5		rpvmasum.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6		rpvmasum.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7		rpvmasum.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
8		dchrisum.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐷)
10	3	nnzd 11940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
11	4, 5, 6, 7, 9, 10	dchrzrhcl 25507	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑖)) ∈ ℂ)
12		dchrisum.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12	ralrimiva 3151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ)
14		nnrp 12254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ⁺)
15		nfcsb1v 3839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴
16	15	nfel1 2965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ
17		csbeq1a 3830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → 𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
18	17	eleq1d 2869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
19	16, 18	rspc 3555	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
20	19	impcom 408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ⁺) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
21	13, 14, 20	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
22	21	recnd 10522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
23	11, 22	mulcld 10514	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
24		nfcv 2951	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛𝑖
25		nfcv 2951	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑋‘(𝐿‘𝑖))
26		nfcv 2951	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 ·
27	25, 26, 15	nfov 7053	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
28		2fveq3 6550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑖)))
29	28, 17	oveq12d 7041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
30		dchrisum.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴))
31	24, 27, 29, 30	fvmptf 6662	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
32	3, 23, 31	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
33	32, 23	eqeltrd 2885	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
34	1, 2, 33	serf 13252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
35	34	ffvelrnda 6723	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
36	12	recnd 10522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℂ)
37	36	ralrimiva 3151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℂ)
38	37	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℂ)
39		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ⁺ → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
40		2re 11565	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
41		dchrisum.9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
42		remulcl 10475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
43	40, 41, 42	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
44		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
45		lbfzo0 12931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
46	44, 45	sylibr 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
47		dchrisum.10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
48		oveq2 7031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = 0 → (0..^𝑢) = (0..^0))
49		fzo0 12915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0..^0) = ∅
50	48, 49	syl6eq 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = 0 → (0..^𝑢) = ∅)
51	50	sumeq1d 14895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
52		sum0 14915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0
53	51, 52	syl6eq 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
54	53	abs00bd 14489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 0 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = 0)
55	54	breq1d 4978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 0 → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ 𝑅))
56	55	rspcv 3557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) → (∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
57	46, 47, 56	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
58		0le2 11593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
59		mulge0 11012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅)) → 0 ≤ (2 · 𝑅))
60	40, 58, 59	mpanl12 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ (2 · 𝑅))
61	41, 57, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑅))
62	43, 61	ge0p1rpd 12315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ⁺)
63		rpdivcl 12268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ∈ ℝ⁺)
64	39, 62, 63	syl2anr 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ∈ ℝ⁺)
65		dchrisum.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
66	65	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
67	38, 64, 66	rlimi 14708	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ (𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
68		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ∈ ℝ)
69		dchrisum.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
70	69	nnred 11507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
72	68, 71	ifcld 4432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ)
73		0red 10497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
74	69	nngt0d 11540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 < 𝑀)
76		max1 12432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
77	70, 76	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
78	73, 71, 72, 75, 77	ltletrd 10653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 < if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
79	72, 78	elrpd 12282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺)
80	79	adantlr 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺)
81		nfv 1896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)
82		nfcv 2951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛abs
83		nfcsb1v 3839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴
84		nfcv 2951	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛 −
85		nfcv 2951	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛0
86	83, 84, 85	nfov 7053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)
87	82, 86	nffv 6555	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0))
88		nfcv 2951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛 <
89		nfcv 2951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))
90	87, 88, 89	nfbr 5015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))
91	81, 90	nfim 1882	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))
92		breq2 4972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (𝑚 ≤ 𝑛 ↔ 𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))
93		csbeq1a 3830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → 𝐴 = ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)
94	93	fvoveq1d 7045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)))
95	94	breq1d 4978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → ((abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ↔ (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
96	92, 95	imbi12d 346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → ((𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) ↔ (𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))))
97	91, 96	rspc 3555	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ (𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → (𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))))
98	80, 97	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ (𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → (𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))))
99	70	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
100		max2 12434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
101	99, 100	sylancom 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
102	13	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ)
103	83	nfel1 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑛⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ
104	93	eleq1d 2869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
105	103, 104	rspc 3555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ → ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
106	80, 102, 105	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
107	106	recnd 10522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
108	107	subid1d 10840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0) = ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)
109	108	fveq2d 6549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) = (abs‘⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴))
110	72	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ)
111	99, 76	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
112		elicopnf 12687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))
113	99, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))
114	110, 111, 113	mpbir2and 709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞))
115	44	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ)
116		rpvmasum.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
117	8	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ 𝐷)
118		dchrisum.n1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
119	118	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑋 ≠ 1 )
120		dchrisum.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝐴 = 𝐵)
121	69	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ)
122	12	ad4ant14 748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
123		simpll 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝜑)
124		dchrisum.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
125	123, 124	syl3an1 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
126	65	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
127	5, 7, 115, 4, 6, 116, 117, 119, 120, 121, 122, 125, 126, 30	dchrisumlema 25750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺ → ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ) ∧ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)))
128	127	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴))
129	114, 128	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 ≤ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)
130	106, 129	absidd 14620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (abs‘⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) = ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)
131	109, 130	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) = ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)
132	131	breq1d 4978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ↔ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
133		rpre 12251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ⁺ → 𝑒 ∈ ℝ)
134	133	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑒 ∈ ℝ)
135	62	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ⁺)
136	106, 134, 135	ltmuldiv2d 12333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒 ↔ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
137	132, 136	bitr4d 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ↔ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒))
138	43	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
139	135	rpred 12285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ)
140	138	lep1d 11425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ≤ ((2 · 𝑅) + 1))
141	138, 139, 106, 129, 140	lemul1ad 11433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ≤ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴))
142	138, 106	remulcld 10524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
143	139, 106	remulcld 10524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
144		lelttr 10584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ ∧ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ≤ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∧ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒))
145	142, 143, 134, 144	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ≤ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∧ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒))
146	141, 145	mpand 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒 → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒))
147	137, 146	sylbid 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒))
148		1red 10495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
149	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ)
150	149	nnge1d 11539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 1 ≤ 𝑀)
151	148, 71, 72, 150, 77	letrd 10650	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
152		flge1nn 13045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
153	72, 151, 152	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
154	153	adantlr 711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
155	44	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
156	8	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
157	118	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑋 ≠ 1 )
158	69	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℕ)
159	12	ad4ant14 748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
160	124	3adant1r 1170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
161	160	3adant1r 1170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
162	65	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
163	41	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
164	47	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
165	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺)
166	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
167	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ)
168		fllep1 13025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ≤ ((⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) + 1))
169	167, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ≤ ((⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) + 1))
170	153	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
171		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))
172	5, 7, 155, 4, 6, 116, 156, 157, 120, 158, 159, 161, 162, 30, 163, 164, 165, 166, 169, 170, 171	dchrisumlem2 25752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴))
173	172	adantllr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴))
174	34	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
175		eluznn 12171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
176	154, 175	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
177	174, 176	ffvelrnd 6724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
178	154	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
179	174, 178	ffvelrnd 6724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))) ∈ ℂ)
180	177, 179	subcld 10851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) ∈ ℂ)
181	180	abscld 14634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ∈ ℝ)
182	142	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
183	134	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑒 ∈ ℝ)
184		lelttr 10584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∧ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
185	181, 182, 183, 184	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∧ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
186	173, 185	mpand 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
187	186	ralrimdva 3158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒 → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
188		fveq2 6545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (ℤ_≥‘𝑗) = (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))
189		fveq2 6545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))
190	189	oveq2d 7039	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗)) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))))
191	190	fveq2d 6549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))))
192	191	breq1d 4978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒 ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
193	188, 192	raleqbidv 3363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
194	193	rspcev 3561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒)
195	154, 187, 194	syl6an 680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
196	147, 195	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
197	101, 196	embantd 59	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
198	98, 197	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ (𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
199	198	rexlimdva 3249	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ (𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
200	67, 199	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒)
201	200	ralrimiva 3151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒)
202		seqex 13225	. . . . 5 ⊢ seq1( + , 𝐹) ∈ V
203	202	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
204	1, 35, 201, 203	caucvg 14873	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
205	202	eldm 5662	. . 3 ⊢ (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∃𝑡seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
206	204, 205	sylib 219	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
207		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
208		elrege0 12696	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((2 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑅)))
209	43, 61, 208	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞))
210	209	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → (2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞))
211		eqid 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚)) = (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))
212		pnfxr 10548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
213		icossre 12671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
214	70, 212, 213	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
215	214	sselda 3895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ)
216	215	adantlr 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ)
217	216	flcld 13022	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (⌊‘𝑚) ∈ ℤ)
218		simplr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
219	34	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
220		1red 10495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
221	70	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
222	69	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℕ)
223	222	nnge1d 11539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑀)
224		elicopnf 12687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚)))
225	70, 224	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚)))
226	225	simplbda 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑚)
227	226	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑚)
228	220, 221, 216, 223, 227	letrd 10650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑚)
229		flge1nn 13045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑚) → (⌊‘𝑚) ∈ ℕ)
230	216, 228, 229	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (⌊‘𝑚) ∈ ℕ)
231	219, 230	ffvelrnd 6724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) ∈ ℂ)
232		nnex 11498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ ∈ V
233	232	mptex 6859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ∈ V
234	233	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ∈ V)
235	219	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
236		eluznn 12171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⌊‘𝑚) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑖 ∈ ℕ)
237	230, 236	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑖 ∈ ℕ)
238	235, 237	ffvelrnd 6724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑖) ∈ ℂ)
239		fveq2 6545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))
240	239	oveq2d 7039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
241		eqid 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
242		ovex 7055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)) ∈ V
243	240, 241, 242	fvmpt3i 6647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
244	237, 243	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
245	211, 217, 218, 231, 234, 238, 244	climsubc2 14833	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ⇝ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡))
246	232	mptex 6859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) ∈ V
247	246	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) ∈ V)
248		fvex 6558	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) ∈ V
249	248	fvconst2 6840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))
250	237, 249	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))
251	250	oveq1d 7038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
252	244, 251	eqtr4d 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) = (((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
253	231	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) ∈ ℂ)
254	250, 253	eqeltrd 2885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) ∈ ℂ)
255	254, 238	subcld 10851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)) ∈ ℂ)
256	252, 255	eqeltrd 2885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
257	240	fveq2d 6549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
258		eqid 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))
259		fvex 6558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ∈ V
260	257, 258, 259	fvmpt3i 6647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
261	237, 260	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
262	244	fveq2d 6549	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
263	261, 262	eqtr4d 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖)))
264	211, 245, 247, 217, 256, 263	climabs 14798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) ⇝ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)))
265	43	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
266		0red 10497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
267	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
268	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 < 𝑀)
269	266, 267, 215, 268, 226	ltletrd 10653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 < 𝑚)
270	215, 269	elrpd 12282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ⁺)
271		nfcsb1v 3839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
272	271	nfel1 2965	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ
273		csbeq1a 3830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
274	273	eleq1d 2869	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
275	272, 274	rspc 3555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
276	13, 275	mpan9 507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ⁺) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
277	270, 276	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
278	277	adantlr 711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
279	265, 278	remulcld 10524	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
280	279	recnd 10522	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
281		1z 11866	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
282	1	eqimss2i 3953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ_≥‘1) ⊆ ℕ
283	282, 232	climconst2 14743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)}) ⇝ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
284	280, 281, 283	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)}) ⇝ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
285	253, 238	subcld 10851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)) ∈ ℂ)
286	285	abscld 14634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))) ∈ ℝ)
287	261, 286	eqeltrd 2885	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) ∈ ℝ)
288		ovex 7055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V
289	288	fvconst2 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})‘𝑖) = ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
290	237, 289	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})‘𝑖) = ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
291	279	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
292	290, 291	eqeltrd 2885	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})‘𝑖) ∈ ℝ)
293		simplll 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝜑)
294	293, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ)
295	293, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
296	293, 118	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑋 ≠ 1 )
297	222	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑀 ∈ ℕ)
298	293, 12	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
299	293, 124	syl3an1 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
300	293, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
301	293, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑅 ∈ ℝ)
302	293, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
303	270	adantlr 711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ⁺)
304	303	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℝ⁺)
305	227	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑀 ≤ 𝑚)
306	216	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℝ)
307		reflcl 13020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (⌊‘𝑚) ∈ ℝ)
308		peano2re 10666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌊‘𝑚) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
309	306, 307, 308	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((⌊‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
310		flltp1 13024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → 𝑚 < ((⌊‘𝑚) + 1))
311	306, 310	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 < ((⌊‘𝑚) + 1))
312	306, 309, 311	ltled 10641	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑚) + 1))
313	230	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (⌊‘𝑚) ∈ ℕ)
314		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚)))
315	5, 7, 294, 4, 6, 116, 295, 296, 120, 297, 298, 299, 300, 30, 301, 302, 304, 305, 312, 313, 314	dchrisumlem2 25752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
316	253, 238	abssubd 14651	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))))
317	261, 316	eqtrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))))
318	315, 317, 290	3brtr4d 5000	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) ≤ ((ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})‘𝑖))
319	211, 217, 264, 284, 287, 292, 318	climle 14834	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
320	319	ralrimiva 3151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → ∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
321		oveq1 7030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑅) → (𝑐 · 𝐵) = ((2 · 𝑅) · 𝐵))
322	321	breq2d 4980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑅) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵)))
323	322	ralbidv 3166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑅) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵)))
324		2fveq3 6550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
325	324	fvoveq1d 7045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
326		vex 3443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑚 ∈ V
327	326	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → 𝑚 ∈ V)
328		equequ2 2014	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑛 = 𝑚 ↔ 𝑛 = 𝑥))
329	328	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 = 𝑥 ∧ 𝑛 = 𝑚) → 𝑛 = 𝑥)
330	329, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 = 𝑥 ∧ 𝑛 = 𝑚) → 𝐴 = 𝐵)
331	327, 330	csbied 3850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = 𝐵)
332	331	oveq2d 7039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = ((2 · 𝑅) · 𝐵))
333	325, 332	breq12d 4981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵)))
334	333	cbvralv 3405	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵))
335	323, 334	syl6bbr 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑅) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵) ↔ ∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)))
336	335	rspcev 3561	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))
337	210, 320, 336	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))
338		r19.42v 3313	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)) ↔ (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
339	207, 337, 338	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
340	339	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))))
341	340	eximdv 1899	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))))
342	206, 341	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 207 ∧ wa 396 ∧ w3a 1080 = wceq 1525 ∃wex 1765 ∈ wcel 2083 ≠ wne 2986 ∀wral 3107 ∃wrex 3108 Vcvv 3440 ⦋csb 3817 ⊆ wss 3865 ∅c0 4217 ifcif 4387 {csn 4478 class class class wbr 4968 ↦ cmpt 5047 × cxp 5448 dom cdm 5450 ⟶wf 6228 ‘cfv 6232 (class class class)co 7023 ℂcc 10388 ℝcr 10389 0cc0 10390 1c1 10391 + caddc 10393 · cmul 10395 +∞cpnf 10525 ℝ^*cxr 10527 < clt 10528 ≤ cle 10529 − cmin 10723 / cdiv 11151 ℕcn 11492 2c2 11546 ℤcz 11835 ℤ_≥cuz 12097 ℝ⁺crp 12243 [,)cico 12594 ..^cfzo 12887 ⌊cfl 13014 seqcseq 13223 abscabs 14431 ⇝ cli 14679 ⇝_𝑟 crli 14680 Σcsu 14880 Basecbs 16316 0_gc0g 16546 ℤRHomczrh 20333 ℤ/nℤczn 20336 DChrcdchr 25494

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1781 ax-4 1795 ax-5 1892 ax-6 1951 ax-7 1996 ax-8 2085 ax-9 2093 ax-10 2114 ax-11 2128 ax-12 2143 ax-13 2346 ax-ext 2771 ax-rep 5088 ax-sep 5101 ax-nul 5108 ax-pow 5164 ax-pr 5228 ax-un 7326 ax-inf2 8957 ax-cnex 10446 ax-resscn 10447 ax-1cn 10448 ax-icn 10449 ax-addcl 10450 ax-addrcl 10451 ax-mulcl 10452 ax-mulrcl 10453 ax-mulcom 10454 ax-addass 10455 ax-mulass 10456 ax-distr 10457 ax-i2m1 10458 ax-1ne0 10459 ax-1rid 10460 ax-rnegex 10461 ax-rrecex 10462 ax-cnre 10463 ax-pre-lttri 10464 ax-pre-lttrn 10465 ax-pre-ltadd 10466 ax-pre-mulgt0 10467 ax-pre-sup 10468 ax-addf 10469 ax-mulf 10470

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 843 df-3or 1081 df-3an 1082 df-tru 1528 df-fal 1538 df-ex 1766 df-nf 1770 df-sb 2045 df-mo 2578 df-eu 2614 df-clab 2778 df-cleq 2790 df-clel 2865 df-nfc 2937 df-ne 2987 df-nel 3093 df-ral 3112 df-rex 3113 df-reu 3114 df-rmo 3115 df-rab 3116 df-v 3442 df-sbc 3712 df-csb 3818 df-dif 3868 df-un 3870 df-in 3872 df-ss 3880 df-pss 3882 df-nul 4218 df-if 4388 df-pw 4461 df-sn 4479 df-pr 4481 df-tp 4483 df-op 4485 df-uni 4752 df-int 4789 df-iun 4833 df-br 4969 df-opab 5031 df-mpt 5048 df-tr 5071 df-id 5355 df-eprel 5360 df-po 5369 df-so 5370 df-fr 5409 df-se 5410 df-we 5411 df-xp 5456 df-rel 5457 df-cnv 5458 df-co 5459 df-dm 5460 df-rn 5461 df-res 5462 df-ima 5463 df-pred 6030 df-ord 6076 df-on 6077 df-lim 6078 df-suc 6079 df-iota 6196 df-fun 6234 df-fn 6235 df-f 6236 df-f1 6237 df-fo 6238 df-f1o 6239 df-fv 6240 df-isom 6241 df-riota 6984 df-ov 7026 df-oprab 7027 df-mpo 7028 df-of 7274 df-om 7444 df-1st 7552 df-2nd 7553 df-tpos 7750 df-wrecs 7805 df-recs 7867 df-rdg 7905 df-1o 7960 df-oadd 7964 df-er 8146 df-ec 8148 df-qs 8152 df-map 8265 df-pm 8266 df-en 8365 df-dom 8366 df-sdom 8367 df-fin 8368 df-sup 8759 df-inf 8760 df-oi 8827 df-card 9221 df-pnf 10530 df-mnf 10531 df-xr 10532 df-ltxr 10533 df-le 10534 df-sub 10725 df-neg 10726 df-div 11152 df-nn 11493 df-2 11554 df-3 11555 df-4 11556 df-5 11557 df-6 11558 df-7 11559 df-8 11560 df-9 11561 df-n0 11752 df-xnn0 11822 df-z 11836 df-dec 11953 df-uz 12098 df-rp 12244 df-ico 12598 df-fz 12747 df-fzo 12888 df-fl 13016 df-mod 13092 df-seq 13224 df-exp 13284 df-hash 13545 df-cj 14296 df-re 14297 df-im 14298 df-sqrt 14432 df-abs 14433 df-limsup 14666 df-clim 14683 df-rlim 14684 df-sum 14881 df-dvds 15445 df-gcd 15681 df-phi 15936 df-struct 16318 df-ndx 16319 df-slot 16320 df-base 16322 df-sets 16323 df-ress 16324 df-plusg 16411 df-mulr 16412 df-starv 16413 df-sca 16414 df-vsca 16415 df-ip 16416 df-tset 16417 df-ple 16418 df-ds 16420 df-unif 16421 df-0g 16548 df-imas 16614 df-qus 16615 df-mgm 17685 df-sgrp 17727 df-mnd 17738 df-mhm 17778 df-grp 17868 df-minusg 17869 df-sbg 17870 df-mulg 17986 df-subg 18034 df-nsg 18035 df-eqg 18036 df-ghm 18101 df-cmn 18639 df-abl 18640 df-mgp 18934 df-ur 18946 df-ring 18993 df-cring 18994 df-oppr 19067 df-dvdsr 19085 df-unit 19086 df-invr 19116 df-rnghom 19161 df-subrg 19227 df-lmod 19330 df-lss 19398 df-lsp 19438 df-sra 19638 df-rgmod 19639 df-lidl 19640 df-rsp 19641 df-2idl 19698 df-cnfld 20232 df-zring 20304 df-zrh 20337 df-zn 20340 df-dchr 25495

This theorem is referenced by: dchrisum 25754

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