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Theorem dchrisumlem3 26839

Description: Lemma for dchrisum 26840. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrisum.2	⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
dchrisum.6	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
dchrisum.7	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
dchrisumlem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))

Distinct variable groups: 𝑢,𝑛,𝑥,𝑐,𝑡 1 ,𝑐 𝑡,𝑛, 1 ,𝑥 𝑢,𝑐,𝐹,𝑛,𝑡,𝑥 𝐴,𝑐,𝑡,𝑥 𝑁,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥 𝜑,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥 𝑅,𝑐,𝑛,𝑢,𝑥 𝐵,𝑐,𝑛 𝑛,𝑍,𝑥 𝐷,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥 𝐿,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥 𝑀,𝑐,𝑛,𝑢,𝑥 𝑋,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑢,𝑛) 𝐵(𝑥,𝑢,𝑡) 𝐷(𝑢) 𝑅(𝑡) 1 (𝑢) 𝐺(𝑥,𝑢,𝑡,𝑛,𝑐) 𝑀(𝑡) 𝑍(𝑢,𝑡,𝑐)

Proof of Theorem dchrisumlem3 Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑖 𝑗 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12806	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
2		1zzd 12534	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
4		rpvmasum.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5		rpvmasum.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6		rpvmasum.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7		rpvmasum.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
8		dchrisum.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐷)
10	3	nnzd 12526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
11	4, 5, 6, 7, 9, 10	dchrzrhcl 26593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑖)) ∈ ℂ)
12		dchrisum.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ)
14		nnrp 12926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ⁺)
15		nfcsb1v 3880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴
16	15	nfel1 2923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ
17		csbeq1a 3869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → 𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
18	17	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
19	16, 18	rspc 3569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
20	19	impcom 408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ⁺) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
21	13, 14, 20	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
22	21	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
23	11, 22	mulcld 11175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
24		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛𝑖
25		nfcv 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑋‘(𝐿‘𝑖))
26		nfcv 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 ·
27	25, 26, 15	nfov 7387	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
28		2fveq3 6847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑖)))
29	28, 17	oveq12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
30		dchrisum.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴))
31	24, 27, 29, 30	fvmptf 6969	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
32	3, 23, 31	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
33	32, 23	eqeltrd 2838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
34	1, 2, 33	serf 13936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
35	34	ffvelcdmda 7035	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
36	12	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℂ)
37	36	ralrimiva 3143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℂ)
38	37	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℂ)
39		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ⁺ → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
40		2re 12227	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
41		dchrisum.9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
42		remulcl 11136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
43	40, 41, 42	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
44		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
45		lbfzo0 13612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
46	44, 45	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
47		dchrisum.10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
48		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = 0 → (0..^𝑢) = (0..^0))
49		fzo0 13596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0..^0) = ∅
50	48, 49	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = 0 → (0..^𝑢) = ∅)
51	50	sumeq1d 15586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
52		sum0 15606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0
53	51, 52	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
54	53	abs00bd 15176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 0 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = 0)
55	54	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 0 → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ 𝑅))
56	55	rspcv 3577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) → (∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
57	46, 47, 56	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
58		0le2 12255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
59		mulge0 11673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅)) → 0 ≤ (2 · 𝑅))
60	40, 58, 59	mpanl12 700	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ (2 · 𝑅))
61	41, 57, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑅))
62	43, 61	ge0p1rpd 12987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ⁺)
63		rpdivcl 12940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ∈ ℝ⁺)
64	39, 62, 63	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ∈ ℝ⁺)
65		dchrisum.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
66	65	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
67	38, 64, 66	rlimi 15395	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ (𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
68		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ∈ ℝ)
69		dchrisum.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
70	69	nnred 12168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
72	68, 71	ifcld 4532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ)
73		0red 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
74	69	nngt0d 12202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 < 𝑀)
76		max1 13104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
77	70, 76	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
78	73, 71, 72, 75, 77	ltletrd 11315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 < if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
79	72, 78	elrpd 12954	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺)
80	79	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺)
81		nfv 1917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)
82		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛abs
83		nfcsb1v 3880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴
84		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛 −
85		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛0
86	83, 84, 85	nfov 7387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)
87	82, 86	nffv 6852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0))
88		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛 <
89		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))
90	87, 88, 89	nfbr 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))
91	81, 90	nfim 1899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))
92		breq2 5109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (𝑚 ≤ 𝑛 ↔ 𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))
93		csbeq1a 3869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → 𝐴 = ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)
94	93	fvoveq1d 7379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)))
95	94	breq1d 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → ((abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ↔ (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
96	92, 95	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → ((𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) ↔ (𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))))
97	91, 96	rspc 3569	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ (𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → (𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))))
98	80, 97	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ (𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → (𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))))
99	70	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
100		max2 13106	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
101	99, 100	sylancom 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
102	13	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ)
103	83	nfel1 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑛⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ
104	93	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
105	103, 104	rspc 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ → ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
106	80, 102, 105	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
107	106	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
108	107	subid1d 11501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0) = ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)
109	108	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) = (abs‘⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴))
110	72	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ)
111	99, 76	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
112		elicopnf 13362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))
113	99, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))
114	110, 111, 113	mpbir2and 711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞))
115	44	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ)
116		rpvmasum.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
117	8	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ 𝐷)
118		dchrisum.n1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
119	118	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑋 ≠ 1 )
120		dchrisum.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝐴 = 𝐵)
121	69	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ)
122	12	ad4ant14 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
123		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝜑)
124		dchrisum.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
125	123, 124	syl3an1 1163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
126	65	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
127	5, 7, 115, 4, 6, 116, 117, 119, 120, 121, 122, 125, 126, 30	dchrisumlema 26836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺ → ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ) ∧ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)))
128	127	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴))
129	114, 128	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 ≤ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)
130	106, 129	absidd 15307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (abs‘⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) = ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)
131	109, 130	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) = ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)
132	131	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ↔ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
133		rpre 12923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ⁺ → 𝑒 ∈ ℝ)
134	133	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑒 ∈ ℝ)
135	62	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ⁺)
136	106, 134, 135	ltmuldiv2d 13005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒 ↔ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
137	132, 136	bitr4d 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ↔ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒))
138	43	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
139	135	rpred 12957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ)
140	138	lep1d 12086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ≤ ((2 · 𝑅) + 1))
141	138, 139, 106, 129, 140	lemul1ad 12094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ≤ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴))
142	138, 106	remulcld 11185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
143	139, 106	remulcld 11185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
144		lelttr 11245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ ∧ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ≤ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∧ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒))
145	142, 143, 134, 144	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ≤ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∧ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒))
146	141, 145	mpand 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒 → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒))
147	137, 146	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒))
148		1red 11156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
149	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ)
150	149	nnge1d 12201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 1 ≤ 𝑀)
151	148, 71, 72, 150, 77	letrd 11312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
152		flge1nn 13726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
153	72, 151, 152	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
154	153	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
155	44	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
156	8	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
157	118	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑋 ≠ 1 )
158	69	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℕ)
159	12	ad4ant14 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
160	124	3adant1r 1177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
161	160	3adant1r 1177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
162	65	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
163	41	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
164	47	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
165	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺)
166	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
167	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ)
168		fllep1 13706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ≤ ((⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) + 1))
169	167, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ≤ ((⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) + 1))
170	153	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
171		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))
172	5, 7, 155, 4, 6, 116, 156, 157, 120, 158, 159, 161, 162, 30, 163, 164, 165, 166, 169, 170, 171	dchrisumlem2 26838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴))
173	172	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴))
174	34	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
175		eluznn 12843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
176	154, 175	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
177	174, 176	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
178	154	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
179	174, 178	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))) ∈ ℂ)
180	177, 179	subcld 11512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) ∈ ℂ)
181	180	abscld 15321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ∈ ℝ)
182	142	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
183	134	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑒 ∈ ℝ)
184		lelttr 11245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∧ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
185	181, 182, 183, 184	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∧ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
186	173, 185	mpand 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
187	186	ralrimdva 3151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒 → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
188		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (ℤ_≥‘𝑗) = (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))
189		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))
190	189	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗)) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))))
191	190	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))))
192	191	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒 ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
193	188, 192	raleqbidv 3319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
194	193	rspcev 3581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒)
195	154, 187, 194	syl6an 682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
196	147, 195	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
197	101, 196	embantd 59	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
198	98, 197	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ (𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
199	198	rexlimdva 3152	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ (𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
200	67, 199	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒)
201	200	ralrimiva 3143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒)
202		seqex 13908	. . . . 5 ⊢ seq1( + , 𝐹) ∈ V
203	202	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
204	1, 35, 201, 203	caucvg 15563	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
205	202	eldm 5856	. . 3 ⊢ (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∃𝑡seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
206	204, 205	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
207		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
208		elrege0 13371	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((2 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑅)))
209	43, 61, 208	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞))
210	209	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → (2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞))
211		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚)) = (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))
212		pnfxr 11209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
213		icossre 13345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
214	70, 212, 213	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
215	214	sselda 3944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ)
216	215	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ)
217	216	flcld 13703	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (⌊‘𝑚) ∈ ℤ)
218		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
219	34	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
220		1red 11156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
221	70	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
222	69	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℕ)
223	222	nnge1d 12201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑀)
224		elicopnf 13362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚)))
225	70, 224	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚)))
226	225	simplbda 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑚)
227	226	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑚)
228	220, 221, 216, 223, 227	letrd 11312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑚)
229		flge1nn 13726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑚) → (⌊‘𝑚) ∈ ℕ)
230	216, 228, 229	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (⌊‘𝑚) ∈ ℕ)
231	219, 230	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) ∈ ℂ)
232		nnex 12159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ ∈ V
233	232	mptex 7173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ∈ V
234	233	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ∈ V)
235	219	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
236		eluznn 12843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⌊‘𝑚) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑖 ∈ ℕ)
237	230, 236	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑖 ∈ ℕ)
238	235, 237	ffvelcdmd 7036	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑖) ∈ ℂ)
239		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))
240	239	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
241		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
242		ovex 7390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)) ∈ V
243	240, 241, 242	fvmpt3i 6953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
244	237, 243	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
245	211, 217, 218, 231, 234, 238, 244	climsubc2 15521	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ⇝ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡))
246	232	mptex 7173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) ∈ V
247	246	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) ∈ V)
248		fvex 6855	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) ∈ V
249	248	fvconst2 7153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))
250	237, 249	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))
251	250	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
252	244, 251	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) = (((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
253	231	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) ∈ ℂ)
254	250, 253	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) ∈ ℂ)
255	254, 238	subcld 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)) ∈ ℂ)
256	252, 255	eqeltrd 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
257	240	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
258		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))
259		fvex 6855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ∈ V
260	257, 258, 259	fvmpt3i 6953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
261	237, 260	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
262	244	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
263	261, 262	eqtr4d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖)))
264	211, 245, 247, 217, 256, 263	climabs 15486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) ⇝ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)))
265	43	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
266		0red 11158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
267	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
268	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 < 𝑀)
269	266, 267, 215, 268, 226	ltletrd 11315	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 < 𝑚)
270	215, 269	elrpd 12954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ⁺)
271		nfcsb1v 3880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
272	271	nfel1 2923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ
273		csbeq1a 3869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
274	273	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
275	272, 274	rspc 3569	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
276	13, 275	mpan9 507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ⁺) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
277	270, 276	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
278	277	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
279	265, 278	remulcld 11185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
280	279	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
281		1z 12533	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
282	1	eqimss2i 4003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ_≥‘1) ⊆ ℕ
283	282, 232	climconst2 15430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)}) ⇝ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
284	280, 281, 283	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)}) ⇝ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
285	253, 238	subcld 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)) ∈ ℂ)
286	285	abscld 15321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))) ∈ ℝ)
287	261, 286	eqeltrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) ∈ ℝ)
288		ovex 7390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V
289	288	fvconst2 7153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})‘𝑖) = ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
290	237, 289	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})‘𝑖) = ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
291	279	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
292	290, 291	eqeltrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})‘𝑖) ∈ ℝ)
293		simplll 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝜑)
294	293, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ)
295	293, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
296	293, 118	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑋 ≠ 1 )
297	222	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑀 ∈ ℕ)
298	293, 12	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
299	293, 124	syl3an1 1163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
300	293, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
301	293, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑅 ∈ ℝ)
302	293, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
303	270	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ⁺)
304	303	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℝ⁺)
305	227	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑀 ≤ 𝑚)
306	216	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℝ)
307		reflcl 13701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (⌊‘𝑚) ∈ ℝ)
308		peano2re 11328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌊‘𝑚) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
309	306, 307, 308	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((⌊‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
310		flltp1 13705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → 𝑚 < ((⌊‘𝑚) + 1))
311	306, 310	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 < ((⌊‘𝑚) + 1))
312	306, 309, 311	ltled 11303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑚) + 1))
313	230	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (⌊‘𝑚) ∈ ℕ)
314		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚)))
315	5, 7, 294, 4, 6, 116, 295, 296, 120, 297, 298, 299, 300, 30, 301, 302, 304, 305, 312, 313, 314	dchrisumlem2 26838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
316	253, 238	abssubd 15338	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))))
317	261, 316	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))))
318	315, 317, 290	3brtr4d 5137	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) ≤ ((ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})‘𝑖))
319	211, 217, 264, 284, 287, 292, 318	climle 15522	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
320	319	ralrimiva 3143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → ∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
321		oveq1 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑅) → (𝑐 · 𝐵) = ((2 · 𝑅) · 𝐵))
322	321	breq2d 5117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑅) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵)))
323	322	ralbidv 3174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑅) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵)))
324		2fveq3 6847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
325	324	fvoveq1d 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
326		vex 3449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑚 ∈ V
327	326	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → 𝑚 ∈ V)
328		equequ2 2029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑛 = 𝑚 ↔ 𝑛 = 𝑥))
329	328	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 = 𝑥 ∧ 𝑛 = 𝑚) → 𝑛 = 𝑥)
330	329, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 = 𝑥 ∧ 𝑛 = 𝑚) → 𝐴 = 𝐵)
331	327, 330	csbied 3893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = 𝐵)
332	331	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = ((2 · 𝑅) · 𝐵))
333	325, 332	breq12d 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵)))
334	333	cbvralvw 3225	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵))
335	323, 334	bitr4di 288	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑅) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵) ↔ ∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)))
336	335	rspcev 3581	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))
337	210, 320, 336	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))
338		r19.42v 3187	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)) ↔ (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
339	207, 337, 338	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
340	339	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))))
341	340	eximdv 1920	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))))
342	206, 341	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∃wex 1781 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∀wral 3064 ∃wrex 3073 Vcvv 3445 ⦋csb 3855 ⊆ wss 3910 ∅c0 4282 ifcif 4486 {csn 4586 class class class wbr 5105 ↦ cmpt 5188 × cxp 5631 dom cdm 5633 ⟶wf 6492 ‘cfv 6496 (class class class)co 7357 ℂcc 11049 ℝcr 11050 0cc0 11051 1c1 11052 + caddc 11054 · cmul 11056 +∞cpnf 11186 ℝ^*cxr 11188 < clt 11189 ≤ cle 11190 − cmin 11385 / cdiv 11812 ℕcn 12153 2c2 12208 ℤcz 12499 ℤ_≥cuz 12763 ℝ⁺crp 12915 [,)cico 13266 ..^cfzo 13567 ⌊cfl 13695 seqcseq 13906 abscabs 15119 ⇝ cli 15366 ⇝_𝑟 crli 15367 Σcsu 15570 Basecbs 17083 0_gc0g 17321 ℤRHomczrh 20900 ℤ/nℤczn 20903 DChrcdchr 26580

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-rep 5242 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-inf2 9577 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128 ax-pre-sup 11129 ax-addf 11130 ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rmo 3353 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-tp 4591 df-op 4593 df-uni 4866 df-int 4908 df-iun 4956 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-se 5589 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-isom 6505 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-of 7617 df-om 7803 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-tpos 8157 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-1o 8412 df-oadd 8416 df-er 8648 df-ec 8650 df-qs 8654 df-map 8767 df-pm 8768 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-sup 9378 df-inf 9379 df-oi 9446 df-card 9875 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-div 11813 df-nn 12154 df-2 12216 df-3 12217 df-4 12218 df-5 12219 df-6 12220 df-7 12221 df-8 12222 df-9 12223 df-n0 12414 df-xnn0 12486 df-z 12500 df-dec 12619 df-uz 12764 df-rp 12916 df-ico 13270 df-fz 13425 df-fzo 13568 df-fl 13697 df-mod 13775 df-seq 13907 df-exp 13968 df-hash 14231 df-cj 14984 df-re 14985 df-im 14986 df-sqrt 15120 df-abs 15121 df-limsup 15353 df-clim 15370 df-rlim 15371 df-sum 15571 df-dvds 16137 df-gcd 16375 df-phi 16638 df-struct 17019 df-sets 17036 df-slot 17054 df-ndx 17066 df-base 17084 df-ress 17113 df-plusg 17146 df-mulr 17147 df-starv 17148 df-sca 17149 df-vsca 17150 df-ip 17151 df-tset 17152 df-ple 17153 df-ds 17155 df-unif 17156 df-0g 17323 df-imas 17390 df-qus 17391 df-mgm 18497 df-sgrp 18546 df-mnd 18557 df-mhm 18601 df-grp 18751 df-minusg 18752 df-sbg 18753 df-mulg 18873 df-subg 18925 df-nsg 18926 df-eqg 18927 df-ghm 19006 df-cmn 19564 df-abl 19565 df-mgp 19897 df-ur 19914 df-ring 19966 df-cring 19967 df-oppr 20049 df-dvdsr 20070 df-unit 20071 df-invr 20101 df-rnghom 20146 df-subrg 20220 df-lmod 20324 df-lss 20393 df-lsp 20433 df-sra 20633 df-rgmod 20634 df-lidl 20635 df-rsp 20636 df-2idl 20702 df-cnfld 20797 df-zring 20870 df-zrh 20904 df-zn 20907 df-dchr 26581

This theorem is referenced by: dchrisum 26840

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