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Theorem dchrisumlem3 27398

Description: Lemma for dchrisum 27399. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrisum.2	⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
dchrisum.6	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
dchrisum.7	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
dchrisumlem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))

Distinct variable groups: 𝑢,𝑛,𝑥,𝑐,𝑡 1 ,𝑐 𝑡,𝑛, 1 ,𝑥 𝑢,𝑐,𝐹,𝑛,𝑡,𝑥 𝐴,𝑐,𝑡,𝑥 𝑁,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥 𝜑,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥 𝑅,𝑐,𝑛,𝑢,𝑥 𝐵,𝑐,𝑛 𝑛,𝑍,𝑥 𝐷,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥 𝐿,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥 𝑀,𝑐,𝑛,𝑢,𝑥 𝑋,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑢,𝑛) 𝐵(𝑥,𝑢,𝑡) 𝐷(𝑢) 𝑅(𝑡) 1 (𝑢) 𝐺(𝑥,𝑢,𝑡,𝑛,𝑐) 𝑀(𝑡) 𝑍(𝑢,𝑡,𝑐)

Proof of Theorem dchrisumlem3 Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑖 𝑗 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12881	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
2		1zzd 12609	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
4		rpvmasum.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5		rpvmasum.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6		rpvmasum.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7		rpvmasum.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
8		dchrisum.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐷)
10	3	nnzd 12601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
11	4, 5, 6, 7, 9, 10	dchrzrhcl 27152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑖)) ∈ ℂ)
12		dchrisum.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12	ralrimiva 3141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ)
14		nnrp 13003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ⁺)
15		nfcsb1v 3914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴
16	15	nfel1 2914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ
17		csbeq1a 3903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → 𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
18	17	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
19	16, 18	rspc 3595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
20	19	impcom 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ⁺) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
21	13, 14, 20	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
22	21	recnd 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
23	11, 22	mulcld 11250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
24		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛𝑖
25		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑋‘(𝐿‘𝑖))
26		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 ·
27	25, 26, 15	nfov 7444	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
28		2fveq3 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑖)))
29	28, 17	oveq12d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
30		dchrisum.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · 𝐴))
31	24, 27, 29, 30	fvmptf 7020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
32	3, 23, 31	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑖)) · ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴))
33	32, 23	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)
34	1, 2, 33	serf 14013	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
35	34	ffvelcdmda 7088	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
36	12	recnd 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℂ)
37	36	ralrimiva 3141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℂ)
38	37	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℂ)
39		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ⁺ → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
40		2re 12302	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
41		dchrisum.9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
42		remulcl 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
43	40, 41, 42	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
44		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
45		lbfzo0 13690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
46	44, 45	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
47		dchrisum.10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
48		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = 0 → (0..^𝑢) = (0..^0))
49		fzo0 13674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0..^0) = ∅
50	48, 49	eqtrdi 2783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = 0 → (0..^𝑢) = ∅)
51	50	sumeq1d 15665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
52		sum0 15685	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0
53	51, 52	eqtrdi 2783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = 0)
54	53	abs00bd 15256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 0 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) = 0)
55	54	breq1d 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 0 → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ 𝑅))
56	55	rspcv 3603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) → (∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
57	46, 47, 56	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
58		0le2 12330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
59		mulge0 11748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅)) → 0 ≤ (2 · 𝑅))
60	40, 58, 59	mpanl12 701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ (2 · 𝑅))
61	41, 57, 60	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑅))
62	43, 61	ge0p1rpd 13064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ⁺)
63		rpdivcl 13017	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ∈ ℝ⁺)
64	39, 62, 63	syl2anr 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ∈ ℝ⁺)
65		dchrisum.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
66	65	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
67	38, 64, 66	rlimi 15475	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ (𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
68		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ∈ ℝ)
69		dchrisum.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
70	69	nnred 12243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
72	68, 71	ifcld 4570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ)
73		0red 11233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
74	69	nngt0d 12277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 < 𝑀)
76		max1 13182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
77	70, 76	sylan 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
78	73, 71, 72, 75, 77	ltletrd 11390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 < if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
79	72, 78	elrpd 13031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺)
80	79	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺)
81		nfv 1910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)
82		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛abs
83		nfcsb1v 3914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴
84		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛 −
85		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛0
86	83, 84, 85	nfov 7444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)
87	82, 86	nffv 6901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0))
88		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛 <
89		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))
90	87, 88, 89	nfbr 5189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))
91	81, 90	nfim 1892	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))
92		breq2 5146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (𝑚 ≤ 𝑛 ↔ 𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))
93		csbeq1a 3903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → 𝐴 = ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)
94	93	fvoveq1d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)))
95	94	breq1d 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → ((abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ↔ (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
96	92, 95	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → ((𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) ↔ (𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))))
97	91, 96	rspc 3595	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ (𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → (𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))))
98	80, 97	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ (𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → (𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))))
99	70	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
100		max2 13184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
101	99, 100	sylancom 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
102	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ)
103	83	nfel1 2914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑛⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ
104	93	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
105	103, 104	rspc 3595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ → ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
106	80, 102, 105	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
107	106	recnd 11258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℂ)
108	107	subid1d 11576	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0) = ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)
109	108	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) = (abs‘⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴))
110	72	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ)
111	99, 76	sylancom 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
112		elicopnf 13440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))
113	99, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))
114	110, 111, 113	mpbir2and 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞))
115	44	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ)
116		rpvmasum.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 = (0_g‘𝐺)
117	8	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ 𝐷)
118		dchrisum.n1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
119	118	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑋 ≠ 1 )
120		dchrisum.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝐴 = 𝐵)
121	69	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ)
122	12	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
123		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝜑)
124		dchrisum.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
125	123, 124	syl3an1 1161	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
126	65	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
127	5, 7, 115, 4, 6, 116, 117, 119, 120, 121, 122, 125, 126, 30	dchrisumlema 27395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺ → ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ) ∧ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)))
128	127	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴))
129	114, 128	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 ≤ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)
130	106, 129	absidd 15387	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (abs‘⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) = ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)
131	109, 130	eqtrd 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) = ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴)
132	131	breq1d 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ↔ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
133		rpre 13000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ⁺ → 𝑒 ∈ ℝ)
134	133	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑒 ∈ ℝ)
135	62	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ⁺)
136	106, 134, 135	ltmuldiv2d 13082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒 ↔ ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
137	132, 136	bitr4d 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ↔ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒))
138	43	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
139	135	rpred 13034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ)
140	138	lep1d 12161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ≤ ((2 · 𝑅) + 1))
141	138, 139, 106, 129, 140	lemul1ad 12169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ≤ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴))
142	138, 106	remulcld 11260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
143	139, 106	remulcld 11260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
144		lelttr 11320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ ∧ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ≤ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∧ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒))
145	142, 143, 134, 144	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ≤ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∧ (((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒))
146	141, 145	mpand 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) + 1) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒 → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒))
147	137, 146	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒))
148		1red 11231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
149	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ)
150	149	nnge1d 12276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 1 ≤ 𝑀)
151	148, 71, 72, 150, 77	letrd 11387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
152		flge1nn 13804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
153	72, 151, 152	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
154	153	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
155	44	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
156	8	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
157	118	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑋 ≠ 1 )
158	69	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℕ)
159	12	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
160	124	3adant1r 1175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
161	160	3adant1r 1175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
162	65	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
163	41	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
164	47	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
165	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ⁺)
166	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))
167	72	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ)
168		fllep1 13784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ≤ ((⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) + 1))
169	167, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) ≤ ((⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) + 1))
170	153	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
171		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))
172	5, 7, 155, 4, 6, 116, 156, 157, 120, 158, 159, 161, 162, 30, 163, 164, 165, 166, 169, 170, 171	dchrisumlem2 27397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴))
173	172	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴))
174	34	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
175		eluznn 12918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
176	154, 175	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
177	174, 176	ffvelcdmd 7089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
178	154	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
179	174, 178	ffvelcdmd 7089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))) ∈ ℂ)
180	177, 179	subcld 11587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) ∈ ℂ)
181	180	abscld 15401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ∈ ℝ)
182	142	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
183	134	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑒 ∈ ℝ)
184		lelttr 11320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∧ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
185	181, 182, 183, 184	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) ∧ ((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
186	173, 185	mpand 694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
187	186	ralrimdva 3149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒 → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
188		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (ℤ_≥‘𝑗) = (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))
189		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))
190	189	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗)) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))))
191	190	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))))
192	191	breq1d 5152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒 ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
193	188, 192	raleqbidv 3337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
194	193	rspcev 3607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀)))(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒)
195	154, 187, 194	syl6an 683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑅) · ⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴) < 𝑒 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
196	147, 195	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
197	101, 196	embantd 59	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑚 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(⦋if(𝑀 ≤ 𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛⦌𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
198	98, 197	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ (𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
199	198	rexlimdva 3150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ⁺ (𝑚 ≤ 𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
200	67, 199	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒)
201	200	ralrimiva 3141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒)
202		seqex 13986	. . . . 5 ⊢ seq1( + , 𝐹) ∈ V
203	202	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
204	1, 35, 201, 203	caucvg 15643	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
205	202	eldm 5897	. . 3 ⊢ (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∃𝑡seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
206	204, 205	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
207		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
208		elrege0 13449	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((2 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑅)))
209	43, 61, 208	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞))
210	209	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → (2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞))
211		eqid 2727	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚)) = (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))
212		pnfxr 11284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
213		icossre 13423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
214	70, 212, 213	sylancl 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
215	214	sselda 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ)
216	215	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ)
217	216	flcld 13781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (⌊‘𝑚) ∈ ℤ)
218		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
219	34	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
220		1red 11231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
221	70	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
222	69	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℕ)
223	222	nnge1d 12276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑀)
224		elicopnf 13440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚)))
225	70, 224	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚)))
226	225	simplbda 499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑚)
227	226	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑚)
228	220, 221, 216, 223, 227	letrd 11387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑚)
229		flge1nn 13804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑚) → (⌊‘𝑚) ∈ ℕ)
230	216, 228, 229	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (⌊‘𝑚) ∈ ℕ)
231	219, 230	ffvelcdmd 7089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) ∈ ℂ)
232		nnex 12234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ ∈ V
233	232	mptex 7229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ∈ V
234	233	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ∈ V)
235	219	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
236		eluznn 12918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⌊‘𝑚) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑖 ∈ ℕ)
237	230, 236	sylan 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑖 ∈ ℕ)
238	235, 237	ffvelcdmd 7089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑖) ∈ ℂ)
239		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))
240	239	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
241		eqid 2727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
242		ovex 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)) ∈ V
243	240, 241, 242	fvmpt3i 7004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
244	237, 243	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
245	211, 217, 218, 231, 234, 238, 244	climsubc2 15601	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ⇝ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡))
246	232	mptex 7229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) ∈ V
247	246	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) ∈ V)
248		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) ∈ V
249	248	fvconst2 7210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))
250	237, 249	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))
251	250	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
252	244, 251	eqtr4d 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) = (((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
253	231	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) ∈ ℂ)
254	250, 253	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) ∈ ℂ)
255	254, 238	subcld 11587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)) ∈ ℂ)
256	252, 255	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
257	240	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
258		eqid 2727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))
259		fvex 6904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ∈ V
260	257, 258, 259	fvmpt3i 7004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
261	237, 260	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
262	244	fveq2d 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
263	261, 262	eqtr4d 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖)))
264	211, 245, 247, 217, 256, 263	climabs 15566	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) ⇝ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)))
265	43	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
266		0red 11233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
267	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
268	74	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 < 𝑀)
269	266, 267, 215, 268, 226	ltletrd 11390	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 < 𝑚)
270	215, 269	elrpd 13031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ⁺)
271		nfcsb1v 3914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
272	271	nfel1 2914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ
273		csbeq1a 3903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
274	273	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
275	272, 274	rspc 3595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑛 ∈ ℝ⁺ 𝐴 ∈ ℝ → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ))
276	13, 275	mpan9 506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℝ⁺) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
277	270, 276	syldan 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
278	277	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℝ)
279	265, 278	remulcld 11260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
280	279	recnd 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ)
281		1z 12608	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
282	1	eqimss2i 4039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ_≥‘1) ⊆ ℕ
283	282, 232	climconst2 15510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)}) ⇝ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
284	280, 281, 283	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)}) ⇝ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
285	253, 238	subcld 11587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)) ∈ ℂ)
286	285	abscld 15401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))) ∈ ℝ)
287	261, 286	eqeltrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) ∈ ℝ)
288		ovex 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V
289	288	fvconst2 7210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})‘𝑖) = ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
290	237, 289	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})‘𝑖) = ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
291	279	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ ℝ)
292	290, 291	eqeltrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})‘𝑖) ∈ ℝ)
293		simplll 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝜑)
294	293, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ)
295	293, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
296	293, 118	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑋 ≠ 1 )
297	222	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑀 ∈ ℕ)
298	293, 12	sylan 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) ∧ 𝑛 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ∈ ℝ)
299	293, 124	syl3an1 1161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
300	293, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (𝑛 ∈ ℝ⁺ ↦ 𝐴) ⇝_𝑟 0)
301	293, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑅 ∈ ℝ)
302	293, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿‘𝑛))) ≤ 𝑅)
303	270	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ⁺)
304	303	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℝ⁺)
305	227	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑀 ≤ 𝑚)
306	216	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℝ)
307		reflcl 13779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (⌊‘𝑚) ∈ ℝ)
308		peano2re 11403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌊‘𝑚) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
309	306, 307, 308	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((⌊‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
310		flltp1 13783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → 𝑚 < ((⌊‘𝑚) + 1))
311	306, 310	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 < ((⌊‘𝑚) + 1))
312	306, 309, 311	ltled 11378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑚) + 1))
313	230	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (⌊‘𝑚) ∈ ℕ)
314		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚)))
315	5, 7, 294, 4, 6, 116, 295, 296, 120, 297, 298, 299, 300, 30, 301, 302, 304, 305, 312, 313, 314	dchrisumlem2 27397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
316	253, 238	abssubd 15418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))))
317	261, 316	eqtrd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))))
318	315, 317, 290	3brtr4d 5174	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) ≤ ((ℕ × {((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})‘𝑖))
319	211, 217, 264, 284, 287, 292, 318	climle 15602	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
320	319	ralrimiva 3141	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → ∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
321		oveq1 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑅) → (𝑐 · 𝐵) = ((2 · 𝑅) · 𝐵))
322	321	breq2d 5154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑅) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵)))
323	322	ralbidv 3172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑅) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵)))
324		2fveq3 6896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
325	324	fvoveq1d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
326		vex 3473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑚 ∈ V
327	326	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → 𝑚 ∈ V)
328		equequ2 2022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑛 = 𝑚 ↔ 𝑛 = 𝑥))
329	328	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 = 𝑥 ∧ 𝑛 = 𝑚) → 𝑛 = 𝑥)
330	329, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 = 𝑥 ∧ 𝑛 = 𝑚) → 𝐴 = 𝐵)
331	327, 330	csbied 3927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = 𝐵)
332	331	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = ((2 · 𝑅) · 𝐵))
333	325, 332	breq12d 5155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵)))
334	333	cbvralvw 3229	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵))
335	323, 334	bitr4di 289	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (2 · 𝑅) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵) ↔ ∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)))
336	335	rspcev 3607	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))
337	210, 320, 336	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))
338		r19.42v 3185	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)) ↔ (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
339	207, 337, 338	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
340	339	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))))
341	340	eximdv 1913	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))))
342	206, 341	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∧ w3a 1085 = wceq 1534 ∃wex 1774 ∈ wcel 2099 ≠ wne 2935 ∀wral 3056 ∃wrex 3065 Vcvv 3469 ⦋csb 3889 ⊆ wss 3944 ∅c0 4318 ifcif 4524 {csn 4624 class class class wbr 5142 ↦ cmpt 5225 × cxp 5670 dom cdm 5672 ⟶wf 6538 ‘cfv 6542 (class class class)co 7414 ℂcc 11122 ℝcr 11123 0cc0 11124 1c1 11125 + caddc 11127 · cmul 11129 +∞cpnf 11261 ℝ^*cxr 11263 < clt 11264 ≤ cle 11265 − cmin 11460 / cdiv 11887 ℕcn 12228 2c2 12283 ℤcz 12574 ℤ_≥cuz 12838 ℝ⁺crp 12992 [,)cico 13344 ..^cfzo 13645 ⌊cfl 13773 seqcseq 13984 abscabs 15199 ⇝ cli 15446 ⇝_𝑟 crli 15447 Σcsu 15650 Basecbs 17165 0_gc0g 17406 ℤRHomczrh 21405 ℤ/nℤczn 21408 DChrcdchr 27139

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7732 ax-inf2 9650 ax-cnex 11180 ax-resscn 11181 ax-1cn 11182 ax-icn 11183 ax-addcl 11184 ax-addrcl 11185 ax-mulcl 11186 ax-mulrcl 11187 ax-mulcom 11188 ax-addass 11189 ax-mulass 11190 ax-distr 11191 ax-i2m1 11192 ax-1ne0 11193 ax-1rid 11194 ax-rnegex 11195 ax-rrecex 11196 ax-cnre 11197 ax-pre-lttri 11198 ax-pre-lttrn 11199 ax-pre-ltadd 11200 ax-pre-mulgt0 11201 ax-pre-sup 11202 ax-addf 11203 ax-mulf 11204

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-tp 4629 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-of 7677 df-om 7863 df-1st 7985 df-2nd 7986 df-tpos 8223 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8383 df-rdg 8422 df-1o 8478 df-oadd 8482 df-er 8716 df-ec 8718 df-qs 8722 df-map 8836 df-pm 8837 df-en 8954 df-dom 8955 df-sdom 8956 df-fin 8957 df-sup 9451 df-inf 9452 df-oi 9519 df-card 9948 df-pnf 11266 df-mnf 11267 df-xr 11268 df-ltxr 11269 df-le 11270 df-sub 11462 df-neg 11463 df-div 11888 df-nn 12229 df-2 12291 df-3 12292 df-4 12293 df-5 12294 df-6 12295 df-7 12296 df-8 12297 df-9 12298 df-n0 12489 df-xnn0 12561 df-z 12575 df-dec 12694 df-uz 12839 df-rp 12993 df-ico 13348 df-fz 13503 df-fzo 13646 df-fl 13775 df-mod 13853 df-seq 13985 df-exp 14045 df-hash 14308 df-cj 15064 df-re 15065 df-im 15066 df-sqrt 15200 df-abs 15201 df-limsup 15433 df-clim 15450 df-rlim 15451 df-sum 15651 df-dvds 16217 df-gcd 16455 df-phi 16720 df-struct 17101 df-sets 17118 df-slot 17136 df-ndx 17148 df-base 17166 df-ress 17195 df-plusg 17231 df-mulr 17232 df-starv 17233 df-sca 17234 df-vsca 17235 df-ip 17236 df-tset 17237 df-ple 17238 df-ds 17240 df-unif 17241 df-0g 17408 df-imas 17475 df-qus 17476 df-mgm 18585 df-sgrp 18664 df-mnd 18680 df-mhm 18725 df-grp 18878 df-minusg 18879 df-sbg 18880 df-mulg 19008 df-subg 19062 df-nsg 19063 df-eqg 19064 df-ghm 19152 df-cmn 19721 df-abl 19722 df-mgp 20059 df-rng 20077 df-ur 20106 df-ring 20159 df-cring 20160 df-oppr 20255 df-dvdsr 20278 df-unit 20279 df-invr 20309 df-rhm 20393 df-subrng 20465 df-subrg 20490 df-lmod 20727 df-lss 20798 df-lsp 20838 df-sra 21040 df-rgmod 21041 df-lidl 21086 df-rsp 21087 df-2idl 21126 df-cnfld 21260 df-zring 21353 df-zrh 21409 df-zn 21412 df-dchr 27140

This theorem is referenced by: dchrisum 27399

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