MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisumlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisumlem3 25471
Description: Lemma for dchrisum 25472. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisum.2 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
dchrisum.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dchrisum.4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
dchrisum.5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
dchrisum.6 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
dchrisum.7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
dchrisum.9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
dchrisum.10 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dchrisumlem3 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝑥,𝑐,𝑡   1 ,𝑐   𝑡,𝑛, 1 ,𝑥   𝑢,𝑐,𝐹,𝑛,𝑡,𝑥   𝐴,𝑐,𝑡,𝑥   𝑁,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥   𝜑,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥   𝑅,𝑐,𝑛,𝑢,𝑥   𝐵,𝑐,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥   𝐷,𝑐,𝑛,𝑡,𝑥   𝐿,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥   𝑀,𝑐,𝑛,𝑢,𝑥   𝑋,𝑐,𝑛,𝑡,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑡)   𝐷(𝑢)   𝑅(𝑡)   1 (𝑢)   𝐺(𝑥,𝑢,𝑡,𝑛,𝑐)   𝑀(𝑡)   𝑍(𝑢,𝑡,𝑐)

Proof of Theorem dchrisumlem3
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑖 𝑗 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11923 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11655 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
4 rpvmasum.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 rpvmasum.z . . . . . . . . . 10 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6 rpvmasum.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Base‘𝐺)
7 rpvmasum.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
8 dchrisum.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝐷)
98adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑋𝐷)
103nnzd 11728 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
114, 5, 6, 7, 9, 10dchrzrhcl 25261 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑖)) ∈ ℂ)
12 dchrisum.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
1312ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ)
14 nnrp 12041 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ+)
15 nfcsb1v 3707 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴
1615nfel1 2922 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ
17 csbeq1a 3700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑖𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
1817eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑖 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
1916, 18rspc 3455 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
2019impcom 396 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
2113, 14, 20syl2an 589 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
2221recnd 10322 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
2311, 22mulcld 10314 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
24 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑛𝑖
25 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑋‘(𝐿𝑖))
26 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑛 ·
2725, 26, 15nfov 6872 . . . . . . . . 9 𝑛((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴)
28 2fveq3 6380 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑖 → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿𝑖)))
2928, 17oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
30 dchrisum.7 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · 𝐴))
3124, 27, 29, 30fvmptf 6490 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ) → (𝐹𝑖) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
323, 23, 31syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) = ((𝑋‘(𝐿𝑖)) · 𝑖 / 𝑛𝐴))
3332, 23eqeltrd 2844 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ∈ ℂ)
341, 2, 33serf 13036 . . . . 5 (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
3534ffvelrnda 6549 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
3612recnd 10322 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
3736ralrimiva 3113 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℂ)
3837adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℂ)
39 id 22 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ+)
40 2re 11346 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
41 dchrisum.9 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
42 remulcl 10274 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
4340, 41, 42sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
44 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
45 lbfzo0 12716 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
4644, 45sylibr 225 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑁))
47 dchrisum.10 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
48 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = 0 → (0..^𝑢) = (0..^0))
49 fzo0 12700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0..^0) = ∅
5048, 49syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = 0 → (0..^𝑢) = ∅)
5150sumeq1d 14716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿𝑛)))
52 sum0 14737 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ𝑛 ∈ ∅ (𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0
5351, 52syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 0 → Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛)) = 0)
5453abs00bd 14316 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 0 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) = 0)
5554breq1d 4819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 0 → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ 𝑅))
5655rspcv 3457 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^𝑁) → (∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
5746, 47, 56sylc 65 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
58 0le2 11381 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
59 mulge0 10800 . . . . . . . . . . 11 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅)) → 0 ≤ (2 · 𝑅))
6040, 58, 59mpanl12 693 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 0 ≤ (2 · 𝑅))
6141, 57, 60syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑅))
6243, 61ge0p1rpd 12100 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ+)
63 rpdivcl 12054 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ+) → (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ∈ ℝ+)
6439, 62, 63syl2anr 590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ∈ ℝ+)
65 dchrisum.6 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
6665adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
6738, 64, 66rlimi 14529 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑚𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
68 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ∈ ℝ)
69 dchrisum.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
7069nnred 11291 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7170adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
7268, 71ifcld 4288 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ)
73 0red 10297 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
7469nngt0d 11321 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 𝑀)
7574adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 0 < 𝑀)
76 max1 12218 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
7770, 76sylan 575 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
7873, 71, 72, 75, 77ltletrd 10451 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 0 < if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
7972, 78elrpd 12067 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ+)
8079adantlr 706 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ+)
81 nfv 2009 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)
82 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛abs
83 nfcsb1v 3707 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴
84 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛
85 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛0
8683, 84, 85nfov 6872 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)
8782, 86nffv 6385 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0))
88 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 <
89 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))
9087, 88, 89nfbr 4856 . . . . . . . . . . 11 𝑛(abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))
9181, 90nfim 1995 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))
92 breq2 4813 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (𝑚𝑛𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))
93 csbeq1a 3700 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → 𝐴 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴)
9493fvoveq1d 6864 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)))
9594breq1d 4819 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → ((abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ↔ (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
9692, 95imbi12d 335 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → ((𝑚𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) ↔ (𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))))
9791, 96rspc 3455 . . . . . . . . 9 (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑚𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → (𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))))
9880, 97syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑚𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → (𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)))))
9970ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
100 max2 12220 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
10199, 100sylancom 582 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
10213ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ)
10383nfel1 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ
10493eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
105103, 104rspc 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
10680, 102, 105sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
107106recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 ∈ ℂ)
108107subid1d 10635 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0) = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴)
109108fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) = (abs‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴))
11072adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ)
11199, 76sylancom 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
112 elicopnf 12472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℝ → (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))
11399, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))
114110, 111, 113mpbir2and 704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞))
11544ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ)
116 rpvmasum.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 = (0g𝐺)
1178ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑋𝐷)
118 dchrisum.n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋1 )
119118ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑋1 )
120 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑥𝐴 = 𝐵)
12169ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ)
122102r19.21bi 3079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
123 simpll 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝜑)
124 dchrisum.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
125123, 124syl3an1 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
12665ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
1275, 7, 115, 4, 6, 116, 117, 119, 120, 121, 122, 125, 126, 30dchrisumlema 25468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ+if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 ∈ ℝ) ∧ (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴)))
128127simprd 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ (𝑀[,)+∞) → 0 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴))
129114, 128mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴)
130106, 129absidd 14446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (abs‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴)
131109, 130eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) = if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴)
132131breq1d 4819 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ↔ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
133 rpre 12036 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ)
134133ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑒 ∈ ℝ)
13562ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ+)
136106, 134, 135ltmuldiv2d 12118 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))))
137132, 136bitr4d 273 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) ↔ (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒))
13843ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
139135rpred 12070 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) + 1) ∈ ℝ)
140138lep1d 11209 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (2 · 𝑅) ≤ ((2 · 𝑅) + 1))
141138, 139, 106, 129, 140lemul1ad 11217 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ≤ (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴))
142138, 106remulcld 10324 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
143139, 106remulcld 10324 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
144 lelttr 10382 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ ∧ (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ≤ (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∧ (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒) → ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒))
145142, 143, 134, 144syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ≤ (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∧ (((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒) → ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒))
146141, 145mpand 686 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑅) + 1) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒 → ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒))
147137, 146sylbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) → ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒))
148 1red 10294 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
14969adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ)
150149nnge1d 11320 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 1 ≤ 𝑀)
151148, 71, 72, 150, 77letrd 10448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
152 flge1nn 12830 . . . . . . . . . . . . 13 ((if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
15372, 151, 152syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ) → (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
154153adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
15544ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
1568ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑋𝐷)
157118ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑋1 )
15869ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℕ)
15912adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
160159adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
1611243adant1r 1223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
1621613adant1r 1223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
16365ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
16441ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
16547ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
16679adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ+)
16777adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))
16872adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ)
169 fllep1 12810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ∈ ℝ → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ≤ ((⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) + 1))
170168, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) ≤ ((⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) + 1))
171153adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
172 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))
1735, 7, 155, 4, 6, 116, 156, 157, 120, 158, 160, 162, 163, 30, 164, 165, 166, 167, 170, 171, 172dchrisumlem2 25470 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴))
174173adantllr 710 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴))
17534ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
176 eluznn 11959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
177154, 176sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
178175, 177ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
179154adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ)
180175, 179ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))) ∈ ℂ)
181178, 180subcld 10646 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) ∈ ℂ)
182181abscld 14460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ∈ ℝ)
183142adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
184134adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → 𝑒 ∈ ℝ)
185 lelttr 10382 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∧ ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
186182, 183, 184, 185syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) ≤ ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) ∧ ((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
187174, 186mpand 686 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))) → (((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
188187ralrimdva 3116 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒 → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
189 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))
190 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))
191190oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗)) = ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))))
192191fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))))
193192breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒 ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
194189, 193raleqbidv 3300 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒))
195194rspcev 3461 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀)))(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀))))) < 𝑒) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒)
196154, 188, 195syl6an 674 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑅) · if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴) < 𝑒 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
197147, 196syld 47 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
198101, 197embantd 59 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑚 ≤ if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) → (abs‘(if(𝑀𝑚, 𝑚, 𝑀) / 𝑛𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
19998, 198syld 47 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑚𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
200199rexlimdva 3178 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑚𝑛 → (abs‘(𝐴 − 0)) < (𝑒 / ((2 · 𝑅) + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒))
20167, 200mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒)
202201ralrimiva 3113 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))) < 𝑒)
203 seqex 13010 . . . . 5 seq1( + , 𝐹) ∈ V
204203a1i 11 . . . 4 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
2051, 35, 202, 204caucvg 14694 . . 3 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
206203eldm 5489 . . 3 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∃𝑡seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
207205, 206sylib 209 . 2 (𝜑 → ∃𝑡seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
208 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
209 elrege0 12482 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((2 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑅)))
21043, 61, 209sylanbrc 578 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞))
211210adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → (2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞))
212 eqid 2765 . . . . . . . 8 (ℤ‘(⌊‘𝑚)) = (ℤ‘(⌊‘𝑚))
213 pnfxr 10346 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
214 icossre 12456 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
21570, 213, 214sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
216215sselda 3761 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ)
217216adantlr 706 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ)
218217flcld 12807 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (⌊‘𝑚) ∈ ℤ)
219 simplr 785 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡)
22034ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
221 1red 10294 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
22270ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
22369ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℕ)
224223nnge1d 11320 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑀)
225 elicopnf 12472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑚)))
22670, 225syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑚)))
227226simplbda 493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀𝑚)
228227adantlr 706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀𝑚)
229221, 222, 217, 224, 228letrd 10448 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑚)
230 flge1nn 12830 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑚) → (⌊‘𝑚) ∈ ℕ)
231217, 229, 230syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (⌊‘𝑚) ∈ ℕ)
232220, 231ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) ∈ ℂ)
233 nnex 11281 . . . . . . . . . . . 12 ℕ ∈ V
234233mptex 6679 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ∈ V
235234a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ∈ V)
236220adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
237 eluznn 11959 . . . . . . . . . . . 12 (((⌊‘𝑚) ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑖 ∈ ℕ)
238231, 237sylan 575 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑖 ∈ ℕ)
239236, 238ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑖) ∈ ℂ)
240 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))
241240oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
242 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
243 ovex 6874 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)) ∈ V
244241, 242, 243fvmpt3i 6476 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
245238, 244syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
246212, 218, 219, 232, 235, 239, 245climsubc2 14654 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ⇝ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡))
247233mptex 6679 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) ∈ V
248247a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) ∈ V)
249 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . 14 (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) ∈ V
250249fvconst2 6662 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℕ → ((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))
251238, 250syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))
252251oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)) = ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
253245, 252eqtr4d 2802 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) = (((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)))
254232adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) ∈ ℂ)
255251, 254eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) ∈ ℂ)
256255, 239subcld 10646 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (((ℕ × {(seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚))})‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)) ∈ ℂ)
257253, 256eqeltrd 2844 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
258241fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
259 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))
260 fvex 6388 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))) ∈ V
261258, 259, 260fvmpt3i 6476 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
262238, 261syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
263245fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))))
264262, 263eqtr4d 2802 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))‘𝑖)))
265212, 246, 248, 218, 257, 264climabs 14619 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))) ⇝ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)))
26643ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
267 0red 10297 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
26870adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
26974adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 < 𝑀)
270267, 268, 216, 269, 227ltletrd 10451 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 0 < 𝑚)
271216, 270elrpd 12067 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ+)
272 nfcsb1v 3707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴
273272nfel1 2922 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ
274 csbeq1a 3700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
275274eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
276273, 275rspc 3455 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℝ+ → (∀𝑛 ∈ ℝ+ 𝐴 ∈ ℝ → 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ))
27713, 276mpan9 502 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
278271, 277syldan 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
279278adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℝ)
280266, 279remulcld 10324 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
281280recnd 10322 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
282 1z 11654 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
2831eqimss2i 3820 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘1) ⊆ ℕ
284283, 233climconst2 14564 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)}) ⇝ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴))
285281, 282, 284sylancl 580 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (ℕ × {((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)}) ⇝ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴))
286254, 239subcld 10646 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖)) ∈ ℂ)
287286abscld 14460 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))) ∈ ℝ)
288262, 287eqeltrd 2844 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) ∈ ℝ)
289 ovex 6874 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V
290289fvconst2 6662 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℕ → ((ℕ × {((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)})‘𝑖) = ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴))
291238, 290syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)})‘𝑖) = ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴))
292280adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
293291, 292eqeltrd 2844 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((ℕ × {((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)})‘𝑖) ∈ ℝ)
294 simplll 791 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝜑)
295294, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ)
296294, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑋𝐷)
297294, 118syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑋1 )
298223adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑀 ∈ ℕ)
299294, 12sylan 575 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
300294, 124syl3an1 1202 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀𝑛𝑛𝑥)) → 𝐵𝐴)
301294, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (𝑛 ∈ ℝ+𝐴) ⇝𝑟 0)
302294, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑅 ∈ ℝ)
303294, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ∀𝑢 ∈ (0..^𝑁)(abs‘Σ𝑛 ∈ (0..^𝑢)(𝑋‘(𝐿𝑛))) ≤ 𝑅)
304271adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℝ+)
305304adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
306228adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑀𝑚)
307217adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℝ)
308 reflcl 12805 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℝ → (⌊‘𝑚) ∈ ℝ)
309 peano2re 10463 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝑚) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
310307, 308, 3093syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((⌊‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
311 flltp1 12809 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℝ → 𝑚 < ((⌊‘𝑚) + 1))
312307, 311syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 < ((⌊‘𝑚) + 1))
313307, 310, 312ltled 10439 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑚 ≤ ((⌊‘𝑚) + 1))
314231adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (⌊‘𝑚) ∈ ℕ)
315 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚)))
3165, 7, 295, 4, 6, 116, 296, 297, 120, 298, 299, 300, 301, 30, 302, 303, 305, 306, 313, 314, 315dchrisumlem2 25470 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴))
317254, 239abssubd 14477 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑖))) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))))
318262, 317eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘𝑖) − (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)))))
319316, 318, 2913brtr4d 4841 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚))) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))))‘𝑖) ≤ ((ℕ × {((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)})‘𝑖))
320212, 218, 265, 285, 288, 293, 319climle 14655 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴))
321320ralrimiva 3113 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → ∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴))
322 oveq1 6849 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (2 · 𝑅) → (𝑐 · 𝐵) = ((2 · 𝑅) · 𝐵))
323322breq2d 4821 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (2 · 𝑅) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵)))
324323ralbidv 3133 . . . . . . . 8 (𝑐 = (2 · 𝑅) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵)))
325 2fveq3 6380 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑥 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
326325fvoveq1d 6864 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑥 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
327 vex 3353 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚 ∈ V
328327a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑥𝑚 ∈ V)
329 equequ2 2123 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑥 → (𝑛 = 𝑚𝑛 = 𝑥))
330329biimpa 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 = 𝑥𝑛 = 𝑚) → 𝑛 = 𝑥)
331330, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 = 𝑥𝑛 = 𝑚) → 𝐴 = 𝐵)
332328, 331csbied 3718 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑥𝑚 / 𝑛𝐴 = 𝐵)
333332oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑥 → ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) = ((2 · 𝑅) · 𝐵))
334326, 333breq12d 4822 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑥 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵)))
335334cbvralv 3319 . . . . . . . 8 (∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝐵))
336324, 335syl6bbr 280 . . . . . . 7 (𝑐 = (2 · 𝑅) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵) ↔ ∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)))
337336rspcev 3461 . . . . . 6 (((2 · 𝑅) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑚)) − 𝑡)) ≤ ((2 · 𝑅) · 𝑚 / 𝑛𝐴)) → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))
338211, 321, 337syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))
339 r19.42v 3239 . . . . 5 (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)) ↔ (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
340208, 338, 339sylanbrc 578 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡) → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
341340ex 401 . . 3 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 → ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))))
342341eximdv 2012 . 2 (𝜑 → (∃𝑡seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵))))
343207, 342mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑀[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  csb 3691  wss 3732  c0 4079  ifcif 4243  {csn 4334   class class class wbr 4809  cmpt 4888   × cxp 5275  dom cdm 5277  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  +∞cpnf 10325  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028  [,)cico 12379  ..^cfzo 12673  cfl 12799  seqcseq 13008  abscabs 14259  cli 14500  𝑟 crli 14501  Σcsu 14701  Basecbs 16130  0gc0g 16366  ℤRHomczrh 20121  ℤ/nczn 20124  DChrcdchr 25248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-ec 7949  df-qs 7953  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-rp 12029  df-ico 12383  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-dvds 15266  df-gcd 15498  df-phi 15750  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-0g 16368  df-imas 16434  df-qus 16435  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-mhm 17601  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-mulg 17808  df-subg 17855  df-nsg 17856  df-eqg 17857  df-ghm 17922  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-rnghom 18984  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-lidl 19448  df-rsp 19449  df-2idl 19506  df-cnfld 20020  df-zring 20092  df-zrh 20125  df-zn 20128  df-dchr 25249
This theorem is referenced by:  dchrisum  25472
  Copyright terms: Public domain W3C validator