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Theorem fundmpss 33069
 Description: If a class 𝐹 is a proper subset of a function 𝐺, then dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺. (Contributed by Scott Fenton, 20-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
fundmpss (Fun 𝐺 → (𝐹𝐺 → dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺))

Proof of Theorem fundmpss
Dummy variables 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssss 4058 . . . . 5 (𝐹𝐺𝐹𝐺)
2 dmss 5758 . . . . 5 (𝐹𝐺 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐹𝐺 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺)
43a1i 11 . . 3 (Fun 𝐺 → (𝐹𝐺 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺))
5 pssdif 4309 . . . . . . . 8 (𝐹𝐺 → (𝐺𝐹) ≠ ∅)
6 n0 4293 . . . . . . . 8 ((𝐺𝐹) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺𝐹))
75, 6sylib 221 . . . . . . 7 (𝐹𝐺 → ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺𝐹))
87adantl 485 . . . . . 6 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺𝐹))
9 funrel 6360 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝐺 → Rel 𝐺)
10 reldif 5675 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐺 → Rel (𝐺𝐹))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐺 → Rel (𝐺𝐹))
12 elrel 5658 . . . . . . . . . . . 12 ((Rel (𝐺𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺𝐹)) → ∃𝑥𝑦 𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
13 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐺𝐹)))
14 df-br 5053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥(𝐺𝐹)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐺𝐹))
1513, 14syl6bbr 292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) ↔ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
1615biimpcd 252 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
1716adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((Rel (𝐺𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺𝐹)) → (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
18172eximdv 1921 . . . . . . . . . . . 12 ((Rel (𝐺𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺𝐹)) → (∃𝑥𝑦 𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
1912, 18mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((Rel (𝐺𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺𝐹)) → ∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦)
2019ex 416 . . . . . . . . . 10 (Rel (𝐺𝐹) → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → ∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
2111, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐺 → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → ∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
2221adantr 484 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → ∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
23 difss 4094 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺𝐹) ⊆ 𝐺
2423ssbri 5097 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(𝐺𝐹)𝑦𝑥𝐺𝑦)
2524eximi 1836 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ∃𝑦 𝑥𝐺𝑦)
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (∃𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ∃𝑦 𝑥𝐺𝑦))
27 brdif 5105 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥(𝐺𝐹)𝑦 ↔ (𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ 𝑥𝐹𝑦))
2827simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ¬ 𝑥𝐹𝑦)
2928adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → ¬ 𝑥𝐹𝑦)
301ssbrd 5095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹𝐺 → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐺𝑧))
3130ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐺𝑧))
32 dffun2 6353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Fun 𝐺 ↔ (Rel 𝐺 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
3332simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Fun 𝐺 → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
34 2sp 2187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑦𝑧((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧) → ((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3534sps 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧) → ((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3633, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Fun 𝐺 → ((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
37 breq2 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝐹𝑦𝑥𝐹𝑧))
3837biimprd 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦))
3936, 38syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Fun 𝐺 → ((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦)))
4039expd 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Fun 𝐺 → (𝑥𝐺𝑦 → (𝑥𝐺𝑧 → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦))))
4127simplbi 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥(𝐺𝐹)𝑦𝑥𝐺𝑦)
4240, 41impel 509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun 𝐺𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (𝑥𝐺𝑧 → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦)))
4342adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (𝑥𝐺𝑧 → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦)))
4443com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (𝑥𝐹𝑧 → (𝑥𝐺𝑧𝑥𝐹𝑦)))
4531, 44mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦))
4645exlimdv 1935 . . . . . . . . . . . . 13 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (∃𝑧 𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦))
4729, 46mtod 201 . . . . . . . . . . . 12 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)
4847ex 416 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
4948exlimdv 1935 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (∃𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
5026, 49jcad 516 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (∃𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → (∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
5150eximdv 1919 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
5222, 51syld 47 . . . . . . 7 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
5352exlimdv 1935 . . . . . 6 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
548, 53mpd 15 . . . . 5 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
55 nss 4015 . . . . . 6 (¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
56 vex 3483 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
5756eldm 5756 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐺𝑦)
5856eldm 5756 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)
5958notbii 323 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)
6057, 59anbi12i 629 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) ↔ (∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
6160exbii 1849 . . . . . 6 (∃𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) ↔ ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
6255, 61bitri 278 . . . . 5 (¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹 ↔ ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
6354, 62sylibr 237 . . . 4 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹)
6463ex 416 . . 3 (Fun 𝐺 → (𝐹𝐺 → ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹))
654, 64jcad 516 . 2 (Fun 𝐺 → (𝐹𝐺 → (dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺 ∧ ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹)))
66 dfpss3 4049 . 2 (dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺 ↔ (dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺 ∧ ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹))
6765, 66syl6ibr 255 1 (Fun 𝐺 → (𝐹𝐺 → dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   ∖ cdif 3916   ⊆ wss 3919   ⊊ wpss 3920  ∅c0 4276  ⟨cop 4556   class class class wbr 5052  dom cdm 5542  Rel wrel 5547  Fun wfun 6337 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pr 5317 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-v 3482  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-br 5053  df-opab 5115  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-fun 6345 This theorem is referenced by: (None)
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