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Theorem fundmpss 31983
Description: If a class 𝐹 is a proper subset of a function 𝐺, then dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺. (Contributed by Scott Fenton, 20-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
fundmpss (Fun 𝐺 → (𝐹𝐺 → dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺))

Proof of Theorem fundmpss
Dummy variables 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssss 3897 . . . . 5 (𝐹𝐺𝐹𝐺)
2 dmss 5521 . . . . 5 (𝐹𝐺 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐹𝐺 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺)
43a1i 11 . . 3 (Fun 𝐺 → (𝐹𝐺 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺))
5 pssdif 4143 . . . . . . . 8 (𝐹𝐺 → (𝐺𝐹) ≠ ∅)
6 n0 4129 . . . . . . . 8 ((𝐺𝐹) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺𝐹))
75, 6sylib 209 . . . . . . 7 (𝐹𝐺 → ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺𝐹))
87adantl 469 . . . . . 6 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺𝐹))
9 funrel 6115 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝐺 → Rel 𝐺)
10 reldif 5437 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐺 → Rel (𝐺𝐹))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐺 → Rel (𝐺𝐹))
12 elrel 5421 . . . . . . . . . . . 12 ((Rel (𝐺𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺𝐹)) → ∃𝑥𝑦 𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
13 eleq1 2872 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐺𝐹)))
14 df-br 4841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥(𝐺𝐹)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐺𝐹))
1513, 14syl6bbr 280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) ↔ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
1615biimpcd 240 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
1716adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((Rel (𝐺𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺𝐹)) → (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
18172eximdv 2013 . . . . . . . . . . . 12 ((Rel (𝐺𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺𝐹)) → (∃𝑥𝑦 𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
1912, 18mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((Rel (𝐺𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺𝐹)) → ∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦)
2019ex 399 . . . . . . . . . 10 (Rel (𝐺𝐹) → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → ∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
2111, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐺 → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → ∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
2221adantr 468 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → ∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
23 difss 3933 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺𝐹) ⊆ 𝐺
2423ssbri 4885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(𝐺𝐹)𝑦𝑥𝐺𝑦)
2524eximi 1922 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ∃𝑦 𝑥𝐺𝑦)
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (∃𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ∃𝑦 𝑥𝐺𝑦))
27 brdif 4893 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥(𝐺𝐹)𝑦 ↔ (𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ 𝑥𝐹𝑦))
2827simprbi 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ¬ 𝑥𝐹𝑦)
2928adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → ¬ 𝑥𝐹𝑦)
301ssbrd 4883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹𝐺 → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐺𝑧))
3130ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐺𝑧))
3227simplbi 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥(𝐺𝐹)𝑦𝑥𝐺𝑦)
33 dffun2 6108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Fun 𝐺 ↔ (Rel 𝐺 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
3433simprbi 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Fun 𝐺 → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
35 2sp 2223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∀𝑦𝑧((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧) → ((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3635sps 2222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧) → ((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3734, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Fun 𝐺 → ((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
38 breq2 4844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝐹𝑦𝑥𝐹𝑧))
3938biimprd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦))
4037, 39syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Fun 𝐺 → ((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦)))
4140expd 402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Fun 𝐺 → (𝑥𝐺𝑦 → (𝑥𝐺𝑧 → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦))))
4232, 41syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Fun 𝐺 → (𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → (𝑥𝐺𝑧 → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦))))
4342imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun 𝐺𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (𝑥𝐺𝑧 → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦)))
4443adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (𝑥𝐺𝑧 → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦)))
4544com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (𝑥𝐹𝑧 → (𝑥𝐺𝑧𝑥𝐹𝑦)))
4631, 45mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦))
4746exlimdv 2026 . . . . . . . . . . . . 13 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (∃𝑧 𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦))
4829, 47mtod 189 . . . . . . . . . . . 12 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)
4948ex 399 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
5049exlimdv 2026 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (∃𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
5126, 50jcad 504 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (∃𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → (∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
5251eximdv 2011 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
5322, 52syld 47 . . . . . . 7 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
5453exlimdv 2026 . . . . . 6 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
558, 54mpd 15 . . . . 5 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
56 nss 3857 . . . . . 6 (¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
57 vex 3393 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
5857eldm 5519 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐺𝑦)
5957eldm 5519 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)
6059notbii 311 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)
6158, 60anbi12i 614 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) ↔ (∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
6261exbii 1936 . . . . . 6 (∃𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) ↔ ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
6356, 62bitri 266 . . . . 5 (¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹 ↔ ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
6455, 63sylibr 225 . . . 4 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹)
6564ex 399 . . 3 (Fun 𝐺 → (𝐹𝐺 → ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹))
664, 65jcad 504 . 2 (Fun 𝐺 → (𝐹𝐺 → (dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺 ∧ ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹)))
67 dfpss3 3888 . 2 (dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺 ↔ (dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺 ∧ ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹))
6866, 67syl6ibr 243 1 (Fun 𝐺 → (𝐹𝐺 → dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  wal 1635   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2158  wne 2977  cdif 3763  wss 3766  wpss 3767  c0 4113  cop 4373   class class class wbr 4840  dom cdm 5308  Rel wrel 5313  Fun wfun 6092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pr 5093
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-ral 3100  df-rab 3104  df-v 3392  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-pss 3782  df-nul 4114  df-if 4277  df-sn 4368  df-pr 4370  df-op 4374  df-br 4841  df-opab 4903  df-id 5216  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-fun 6100
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