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Theorem fundmpss 35767
Description: If a class 𝐹 is a proper subset of a function 𝐺, then dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺. (Contributed by Scott Fenton, 20-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
fundmpss (Fun 𝐺 → (𝐹𝐺 → dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺))

Proof of Theorem fundmpss
Dummy variables 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssss 4098 . . . . 5 (𝐹𝐺𝐹𝐺)
2 dmss 5913 . . . . 5 (𝐹𝐺 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐹𝐺 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺)
43a1i 11 . . 3 (Fun 𝐺 → (𝐹𝐺 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺))
5 pssdif 4369 . . . . . . . 8 (𝐹𝐺 → (𝐺𝐹) ≠ ∅)
6 n0 4353 . . . . . . . 8 ((𝐺𝐹) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺𝐹))
75, 6sylib 218 . . . . . . 7 (𝐹𝐺 → ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺𝐹))
87adantl 481 . . . . . 6 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺𝐹))
9 funrel 6583 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝐺 → Rel 𝐺)
10 reldif 5825 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐺 → Rel (𝐺𝐹))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐺 → Rel (𝐺𝐹))
12 elrel 5808 . . . . . . . . . . . 12 ((Rel (𝐺𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺𝐹)) → ∃𝑥𝑦 𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
13 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐺𝐹)))
14 df-br 5144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥(𝐺𝐹)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐺𝐹))
1513, 14bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) ↔ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
1615biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((Rel (𝐺𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺𝐹)) → (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
18172eximdv 1919 . . . . . . . . . . . 12 ((Rel (𝐺𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺𝐹)) → (∃𝑥𝑦 𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
1912, 18mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((Rel (𝐺𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺𝐹)) → ∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦)
2019ex 412 . . . . . . . . . 10 (Rel (𝐺𝐹) → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → ∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
2111, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐺 → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → ∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
2221adantr 480 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → ∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
23 difss 4136 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺𝐹) ⊆ 𝐺
2423ssbri 5188 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(𝐺𝐹)𝑦𝑥𝐺𝑦)
2524eximi 1835 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ∃𝑦 𝑥𝐺𝑦)
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (∃𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ∃𝑦 𝑥𝐺𝑦))
27 brdif 5196 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥(𝐺𝐹)𝑦 ↔ (𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ 𝑥𝐹𝑦))
2827simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ¬ 𝑥𝐹𝑦)
2928adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → ¬ 𝑥𝐹𝑦)
301ssbrd 5186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹𝐺 → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐺𝑧))
3130ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐺𝑧))
32 dffun2 6571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Fun 𝐺 ↔ (Rel 𝐺 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
3332simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Fun 𝐺 → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
34 2sp 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑦𝑧((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧) → ((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3534sps 2185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧) → ((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3633, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Fun 𝐺 → ((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
37 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝐹𝑦𝑥𝐹𝑧))
3837biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦))
3936, 38syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Fun 𝐺 → ((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦)))
4039expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Fun 𝐺 → (𝑥𝐺𝑦 → (𝑥𝐺𝑧 → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦))))
4127simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥(𝐺𝐹)𝑦𝑥𝐺𝑦)
4240, 41impel 505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun 𝐺𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (𝑥𝐺𝑧 → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦)))
4342adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (𝑥𝐺𝑧 → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦)))
4443com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (𝑥𝐹𝑧 → (𝑥𝐺𝑧𝑥𝐹𝑦)))
4531, 44mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦))
4645exlimdv 1933 . . . . . . . . . . . . 13 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (∃𝑧 𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦))
4729, 46mtod 198 . . . . . . . . . . . 12 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)
4847ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
4948exlimdv 1933 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (∃𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
5026, 49jcad 512 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (∃𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → (∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
5150eximdv 1917 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
5222, 51syld 47 . . . . . . 7 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
5352exlimdv 1933 . . . . . 6 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
548, 53mpd 15 . . . . 5 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
55 nss 4048 . . . . . 6 (¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
56 vex 3484 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
5756eldm 5911 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐺𝑦)
5856eldm 5911 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)
5958notbii 320 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)
6057, 59anbi12i 628 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) ↔ (∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
6160exbii 1848 . . . . . 6 (∃𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) ↔ ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
6255, 61bitri 275 . . . . 5 (¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹 ↔ ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
6354, 62sylibr 234 . . . 4 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹)
6463ex 412 . . 3 (Fun 𝐺 → (𝐹𝐺 → ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹))
654, 64jcad 512 . 2 (Fun 𝐺 → (𝐹𝐺 → (dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺 ∧ ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹)))
66 dfpss3 4089 . 2 (dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺 ↔ (dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺 ∧ ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹))
6765, 66imbitrrdi 252 1 (Fun 𝐺 → (𝐹𝐺 → dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wal 1538   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  wss 3951  wpss 3952  c0 4333  cop 4632   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  Rel wrel 5690  Fun wfun 6555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-fun 6563
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