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Theorem fundmpss 35490
Description: If a class 𝐹 is a proper subset of a function 𝐺, then dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺. (Contributed by Scott Fenton, 20-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
fundmpss (Fun 𝐺 → (𝐹𝐺 → dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺))

Proof of Theorem fundmpss
Dummy variables 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssss 4091 . . . . 5 (𝐹𝐺𝐹𝐺)
2 dmss 5905 . . . . 5 (𝐹𝐺 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐹𝐺 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺)
43a1i 11 . . 3 (Fun 𝐺 → (𝐹𝐺 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺))
5 pssdif 4366 . . . . . . . 8 (𝐹𝐺 → (𝐺𝐹) ≠ ∅)
6 n0 4346 . . . . . . . 8 ((𝐺𝐹) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺𝐹))
75, 6sylib 217 . . . . . . 7 (𝐹𝐺 → ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺𝐹))
87adantl 480 . . . . . 6 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺𝐹))
9 funrel 6571 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝐺 → Rel 𝐺)
10 reldif 5817 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝐺 → Rel (𝐺𝐹))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐺 → Rel (𝐺𝐹))
12 elrel 5800 . . . . . . . . . . . 12 ((Rel (𝐺𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺𝐹)) → ∃𝑥𝑦 𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
13 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐺𝐹)))
14 df-br 5150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥(𝐺𝐹)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐺𝐹))
1513, 14bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) ↔ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
1615biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
1716adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((Rel (𝐺𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺𝐹)) → (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
18172eximdv 1914 . . . . . . . . . . . 12 ((Rel (𝐺𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺𝐹)) → (∃𝑥𝑦 𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
1912, 18mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((Rel (𝐺𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺𝐹)) → ∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦)
2019ex 411 . . . . . . . . . 10 (Rel (𝐺𝐹) → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → ∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
2111, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐺 → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → ∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
2221adantr 479 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → ∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦))
23 difss 4128 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺𝐹) ⊆ 𝐺
2423ssbri 5194 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(𝐺𝐹)𝑦𝑥𝐺𝑦)
2524eximi 1829 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ∃𝑦 𝑥𝐺𝑦)
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (∃𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ∃𝑦 𝑥𝐺𝑦))
27 brdif 5202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥(𝐺𝐹)𝑦 ↔ (𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ 𝑥𝐹𝑦))
2827simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ¬ 𝑥𝐹𝑦)
2928adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → ¬ 𝑥𝐹𝑦)
301ssbrd 5192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹𝐺 → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐺𝑧))
3130ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐺𝑧))
32 dffun2 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Fun 𝐺 ↔ (Rel 𝐺 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
3332simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Fun 𝐺 → ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
34 2sp 2174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑦𝑧((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧) → ((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3534sps 2173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧) → ((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3633, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Fun 𝐺 → ((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
37 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝐹𝑦𝑥𝐹𝑧))
3837biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦))
3936, 38syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Fun 𝐺 → ((𝑥𝐺𝑦𝑥𝐺𝑧) → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦)))
4039expd 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Fun 𝐺 → (𝑥𝐺𝑦 → (𝑥𝐺𝑧 → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦))))
4127simplbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥(𝐺𝐹)𝑦𝑥𝐺𝑦)
4240, 41impel 504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun 𝐺𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (𝑥𝐺𝑧 → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦)))
4342adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (𝑥𝐺𝑧 → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦)))
4443com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (𝑥𝐹𝑧 → (𝑥𝐺𝑧𝑥𝐹𝑦)))
4531, 44mpdd 43 . . . . . . . . . . . . . 14 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦))
4645exlimdv 1928 . . . . . . . . . . . . 13 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → (∃𝑧 𝑥𝐹𝑧𝑥𝐹𝑦))
4729, 46mtod 197 . . . . . . . . . . . 12 (((Fun 𝐺𝐹𝐺) ∧ 𝑥(𝐺𝐹)𝑦) → ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)
4847ex 411 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
4948exlimdv 1928 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (∃𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
5026, 49jcad 511 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (∃𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → (∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
5150eximdv 1912 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (∃𝑥𝑦 𝑥(𝐺𝐹)𝑦 → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
5222, 51syld 47 . . . . . . 7 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
5352exlimdv 1928 . . . . . 6 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → (∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺𝐹) → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
548, 53mpd 15 . . . . 5 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
55 nss 4041 . . . . . 6 (¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
56 vex 3465 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
5756eldm 5903 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐺𝑦)
5856eldm 5903 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)
5958notbii 319 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)
6057, 59anbi12i 626 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) ↔ (∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
6160exbii 1842 . . . . . 6 (∃𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) ↔ ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
6255, 61bitri 274 . . . . 5 (¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹 ↔ ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
6354, 62sylibr 233 . . . 4 ((Fun 𝐺𝐹𝐺) → ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹)
6463ex 411 . . 3 (Fun 𝐺 → (𝐹𝐺 → ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹))
654, 64jcad 511 . 2 (Fun 𝐺 → (𝐹𝐺 → (dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺 ∧ ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹)))
66 dfpss3 4082 . 2 (dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺 ↔ (dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺 ∧ ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹))
6765, 66imbitrrdi 251 1 (Fun 𝐺 → (𝐹𝐺 → dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wal 1531   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2929  cdif 3941  wss 3944  wpss 3945  c0 4322  cop 4636   class class class wbr 5149  dom cdm 5678  Rel wrel 5683  Fun wfun 6543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-fun 6551
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