Theorem fundmpss 35747

Description: If a class 𝐹 is a proper subset of a function 𝐺, then dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺. (Contributed by Scott Fenton, 20-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fundmpss	⊢ (Fun 𝐺 → (𝐹 ⊊ 𝐺 → dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺))

Proof of Theorem fundmpss

Dummy variables 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssss 4107	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊊ 𝐺 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
2		dmss 5915	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐺 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊊ 𝐺 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (Fun 𝐺 → (𝐹 ⊊ 𝐺 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺))
5		pssdif 4374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⊊ 𝐺 → (𝐺 ∖ 𝐹) ≠ ∅)
6		n0 4358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∖ 𝐹) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹))
7	5, 6	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⊊ 𝐺 → ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹))
8	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹))
9		funrel 6584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun 𝐺 → Rel 𝐺)
10		reldif 5827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Rel 𝐺 → Rel (𝐺 ∖ 𝐹))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun 𝐺 → Rel (𝐺 ∖ 𝐹))
12		elrel 5810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Rel (𝐺 ∖ 𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹)) → ∃𝑥∃𝑦 𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
13		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐺 ∖ 𝐹)))
14		df-br 5148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐺 ∖ 𝐹))
15	13, 14	bitr4di 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹) ↔ 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦))
16	15	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹) → (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦))
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Rel (𝐺 ∖ 𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹)) → (𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦))
18	17	2eximdv 1916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Rel (𝐺 ∖ 𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹)) → (∃𝑥∃𝑦 𝑝 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ∃𝑥∃𝑦 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦))
19	12, 18	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Rel (𝐺 ∖ 𝐹) ∧ 𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹)) → ∃𝑥∃𝑦 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦)
20	19	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Rel (𝐺 ∖ 𝐹) → (𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹) → ∃𝑥∃𝑦 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦))
21	11, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝐺 → (𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹) → ∃𝑥∃𝑦 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦))
22	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → (𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹) → ∃𝑥∃𝑦 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦))
23		difss 4145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∖ 𝐹) ⊆ 𝐺
24	23	ssbri 5192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 → 𝑥𝐺𝑦)
25	24	eximi 1831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 → ∃𝑦 𝑥𝐺𝑦)
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → (∃𝑦 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 → ∃𝑦 𝑥𝐺𝑦))
27		brdif 5200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ 𝑥𝐹𝑦))
28	27	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 → ¬ 𝑥𝐹𝑦)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) ∧ 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦) → ¬ 𝑥𝐹𝑦)
30	1	ssbrd 5190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ⊊ 𝐺 → (𝑥𝐹𝑧 → 𝑥𝐺𝑧))
31	30	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) ∧ 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦) → (𝑥𝐹𝑧 → 𝑥𝐺𝑧))
32		dffun2 6572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ (Rel 𝐺 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
33	32	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Fun 𝐺 → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
34		2sp 2183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑦∀𝑧((𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧) → ((𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
35	34	sps 2182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧) → ((𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
36	33, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Fun 𝐺 → ((𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑥𝐺𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
37		breq2 5151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝐹𝑦 ↔ 𝑥𝐹𝑧))
38	37	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝐹𝑧 → 𝑥𝐹𝑦))
39	36, 38	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Fun 𝐺 → ((𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑥𝐺𝑧) → (𝑥𝐹𝑧 → 𝑥𝐹𝑦)))
40	39	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Fun 𝐺 → (𝑥𝐺𝑦 → (𝑥𝐺𝑧 → (𝑥𝐹𝑧 → 𝑥𝐹𝑦))))
41	27	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 → 𝑥𝐺𝑦)
42	40, 41	impel 505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦) → (𝑥𝐺𝑧 → (𝑥𝐹𝑧 → 𝑥𝐹𝑦)))
43	42	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) ∧ 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦) → (𝑥𝐺𝑧 → (𝑥𝐹𝑧 → 𝑥𝐹𝑦)))
44	43	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) ∧ 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦) → (𝑥𝐹𝑧 → (𝑥𝐺𝑧 → 𝑥𝐹𝑦)))
45	31, 44	mpdd 43	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) ∧ 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦) → (𝑥𝐹𝑧 → 𝑥𝐹𝑦))
46	45	exlimdv 1930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) ∧ 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦) → (∃𝑧 𝑥𝐹𝑧 → 𝑥𝐹𝑦))
47	29, 46	mtod 198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) ∧ 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦) → ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)
48	47	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → (𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 → ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
49	48	exlimdv 1930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → (∃𝑦 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 → ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
50	26, 49	jcad 512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → (∃𝑦 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 → (∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
51	50	eximdv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → (∃𝑥∃𝑦 𝑥(𝐺 ∖ 𝐹)𝑦 → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
52	22, 51	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → (𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹) → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
53	52	exlimdv 1930	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → (∃𝑝 𝑝 ∈ (𝐺 ∖ 𝐹) → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)))
54	8, 53	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
55		nss 4059	. . . . . 6 ⊢ (¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
56		vex 3481	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
57	56	eldm 5913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↔ ∃𝑦 𝑥𝐺𝑦)
58	56	eldm 5913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)
59	58	notbii 320	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧)
60	57, 59	anbi12i 628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) ↔ (∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
61	60	exbii 1844	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ dom 𝐺 ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) ↔ ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
62	55, 61	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹 ↔ ∃𝑥(∃𝑦 𝑥𝐺𝑦 ∧ ¬ ∃𝑧 𝑥𝐹𝑧))
63	54, 62	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐹 ⊊ 𝐺) → ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹)
64	63	ex 412	. . 3 ⊢ (Fun 𝐺 → (𝐹 ⊊ 𝐺 → ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹))
65	4, 64	jcad 512	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 → (𝐹 ⊊ 𝐺 → (dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺 ∧ ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹)))
66		dfpss3 4098	. 2 ⊢ (dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺 ↔ (dom 𝐹 ⊆ dom 𝐺 ∧ ¬ dom 𝐺 ⊆ dom 𝐹))
67	65, 66	imbitrrdi 252	1 ⊢ (Fun 𝐺 → (𝐹 ⊊ 𝐺 → dom 𝐹 ⊊ dom 𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1534   = wceq 1536  ∃wex 1775   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937   ∖ cdif 3959   ⊆ wss 3962   ⊊ wpss 3963  ∅c0 4338  ⟨cop 4636   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  Rel wrel 5693  Fun wfun 6556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-fun 6564

This theorem is referenced by: (None)