Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem9 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem knoppcnlem9 35372
Description: Lemma for knoppcn 35375. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem9.t 𝑇 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((βŒŠβ€˜(π‘₯ + (1 / 2))) βˆ’ π‘₯)))
knoppcnlem9.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢↑𝑛) Β· (π‘‡β€˜(((2 Β· 𝑁)↑𝑛) Β· 𝑦)))))
knoppcnlem9.w π‘Š = (𝑀 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–))
knoppcnlem9.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
knoppcnlem9.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
knoppcnlem9.2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΆ) < 1)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem9 (πœ‘ β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)π‘Š)
Distinct variable groups:   𝐢,π‘š,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,π‘š,𝑀,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   πœ‘,𝑖,π‘š,𝑀,𝑧,𝑛,𝑦   π‘₯,𝑖,π‘š,𝑀,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐢(π‘₯,𝑧,𝑀,𝑖)   𝑇(π‘₯,𝑧,𝑀,𝑖,π‘š)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑀,𝑖,π‘š)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑖,π‘š,𝑛)
Proof of Theorem knoppcnlem9
Dummy variables 𝑓 π‘˜ 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem9.t . . . 4 𝑇 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((βŒŠβ€˜(π‘₯ + (1 / 2))) βˆ’ π‘₯)))
2 knoppcnlem9.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢↑𝑛) Β· (π‘‡β€˜(((2 Β· 𝑁)↑𝑛) Β· 𝑦)))))
3 knoppcnlem9.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4 knoppcnlem9.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
5 knoppcnlem9.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΆ) < 1)
61, 2, 3, 4, 5knoppcnlem6 35369 . . 3 (πœ‘ β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) ∈ dom (β‡π‘’β€˜β„))
7 seqex 13967 . . . 4 seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) ∈ V
87eldm 5900 . . 3 (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) ∈ dom (β‡π‘’β€˜β„) ↔ βˆƒπ‘“seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓)
96, 8sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓)
10 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓)
11 ulmcl 25892 . . . . . . . 8 (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓 β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„‚)
1211feqmptd 6960 . . . . . . 7 (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓 β†’ 𝑓 = (𝑀 ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘€)))
1312adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) β†’ 𝑓 = (𝑀 ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘€)))
14 nn0uz 12863 . . . . . . . . 9 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
15 0zd 12569 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ β„€)
16 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–) = ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–))
173ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
184ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
19 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
20 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
211, 2, 17, 18, 19, 20knoppcnlem3 35366 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–) ∈ ℝ)
2221adantllr 717 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–) ∈ ℝ)
2322recnd 11241 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–) ∈ β„‚)
241, 2, 3, 4knoppcnlem8 35371 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))):β„•0⟢(β„‚ ↑m ℝ))
2524ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))):β„•0⟢(β„‚ ↑m ℝ))
26 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
27 seqex 13967 . . . . . . . . . . 11 seq0( + , (πΉβ€˜π‘€)) ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ seq0( + , (πΉβ€˜π‘€)) ∈ V)
293ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
304ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
31 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
321, 2, 29, 30, 31knoppcnlem7 35370 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘£))β€˜π‘˜)))
3332adantllr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘£))β€˜π‘˜)))
3433fveq1d 6893 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)β€˜π‘€) = ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘£))β€˜π‘˜))β€˜π‘€))
35 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘£))β€˜π‘˜)) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘£))β€˜π‘˜))
36 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π‘€))
3736seqeq3d 13973 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑀 β†’ seq0( + , (πΉβ€˜π‘£)) = seq0( + , (πΉβ€˜π‘€)))
3837fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑀 β†’ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘£))β€˜π‘˜) = (seq0( + , (πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘˜))
3926adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
40 fvexd 6906 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ V)
4135, 38, 39, 40fvmptd3 7021 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘£))β€˜π‘˜))β€˜π‘€) = (seq0( + , (πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘˜))
4234, 41eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)β€˜π‘€) = (seq0( + , (πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘˜))
43 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓)
4414, 15, 25, 26, 28, 42, 43ulmclm 25898 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ seq0( + , (πΉβ€˜π‘€)) ⇝ (π‘“β€˜π‘€))
4514, 15, 16, 23, 44isumclim 15702 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ Σ𝑖 ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–) = (π‘“β€˜π‘€))
4645eqcomd 2738 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘€) = Σ𝑖 ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–))
4746mpteq2dva 5248 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) β†’ (𝑀 ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘€)) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–)))
48 knoppcnlem9.w . . . . . . . 8 π‘Š = (𝑀 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–))
4948a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) β†’ π‘Š = (𝑀 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–)))
5049eqcomd 2738 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) β†’ (𝑀 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–)) = π‘Š)
5113, 47, 503eqtrd 2776 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) β†’ 𝑓 = π‘Š)
5210, 51breqtrd 5174 . . . 4 ((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)π‘Š)
5352ex 413 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓 β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)π‘Š))
5453exlimdv 1936 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓 β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)π‘Š))
559, 54mpd 15 1 (πœ‘ β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667   ↑m cmap 8819  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   < clt 11247   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  β„•cn 12211  2c2 12266  β„•0cn0 12471  βŒŠcfl 13754  seqcseq 13965  β†‘cexp 14026  abscabs 15180  Ξ£csu 15631  β‡π‘’culm 25887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-ico 13329  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ulm 25888
This theorem is referenced by:  knoppcn  35375  knoppndvlem4  35386
  Copyright terms: Public domain W3C validator