Theorem knoppcnlem9 36807

Description: Lemma for knoppcn 36810. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem9.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem9.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem9.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppcnlem9.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem9.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem9.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem9	⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑚,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑚,𝑤,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑚,𝑤,𝑧,𝑛,𝑦   𝑥,𝑖,𝑚,𝑤,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤,𝑖,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑤,𝑖,𝑚)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem knoppcnlem9

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem9.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppcnlem9.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppcnlem9.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		knoppcnlem9.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5		knoppcnlem9.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
6	1, 2, 3, 4, 5	knoppcnlem6 36804	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ))
7		seqex 13956	. . . 4 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) ∈ V
8	7	eldm 5842	. . 3 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ) ↔ ∃𝑓seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓)
9	6, 8	sylib 219	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓)
10		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓)
11		ulmcl 26364	. . . . . . . 8 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓 → 𝑓:ℝ⟶ℂ)
12	11	feqmptd 6895	. . . . . . 7 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓 → 𝑓 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑤)))
13	12	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → 𝑓 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑤)))
14		nn0uz 12817	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
15		0zd 12527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℤ)
16		eqidd 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
17	3	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	4	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
19		simplr 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ ℝ)
20		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
21	1, 2, 17, 18, 19, 20	knoppcnlem3 36801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) ∈ ℝ)
22	21	adantllr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) ∈ ℂ)
24	1, 2, 3, 4	knoppcnlem8 36806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
25	24	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
26		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
27		seqex 13956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ∈ V)
29	3	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
30	4	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
31		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
32	1, 2, 29, 30, 31	knoppcnlem7 36805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘)))
33	32	adantllr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘)))
34	33	fveq1d 6829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝑤) = ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘))‘𝑤))
35		eqid 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘)) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘))
36		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑤))
37	36	seqeq3d 13962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → seq0( + , (𝐹‘𝑣)) = seq0( + , (𝐹‘𝑤)))
38	37	fveq1d 6829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘) = (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘))
39	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ ℝ)
40		fvexd 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘) ∈ V)
41	35, 38, 39, 40	fvmptd3 6959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘))‘𝑤) = (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘))
42	34, 41	eqtrd 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝑤) = (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘))
43		simplr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓)
44	14, 15, 25, 26, 28, 42, 43	ulmclm 26370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ⇝ (𝑓‘𝑤))
45	14, 15, 16, 23, 44	isumclim 15710	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = (𝑓‘𝑤))
46	45	eqcomd 2745	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑤) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
47	46	mpteq2dva 5165	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖)))
48		knoppcnlem9.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖)))
50	49	eqcomd 2745	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖)) = 𝑊)
51	13, 47, 50	3eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → 𝑓 = 𝑊)
52	10, 51	breqtrd 5098	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊)
53	52	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊))
54	53	exlimdv 1940	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊))
55	9, 54	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5618  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618   ↑_m cmap 8763  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ⌊cfl 13740  seqcseq 13954  ↑cexp 14014  abscabs 15187  Σcsu 15639  ⇝_𝑢culm 26359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ico 13295  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ulm 26360

This theorem is referenced by:  knoppcn  36810  knoppndvlem4  36821