Theorem knoppcnlem9 36502

Description: Lemma for knoppcn 36505. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem9.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem9.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem9.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppcnlem9.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem9.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem9.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem9	⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑚,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑚,𝑤,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑚,𝑤,𝑧,𝑛,𝑦   𝑥,𝑖,𝑚,𝑤,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤,𝑖,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑤,𝑖,𝑚)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem knoppcnlem9

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem9.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppcnlem9.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppcnlem9.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		knoppcnlem9.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5		knoppcnlem9.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
6	1, 2, 3, 4, 5	knoppcnlem6 36499	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ))
7		seqex 14044	. . . 4 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) ∈ V
8	7	eldm 5911	. . 3 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ) ↔ ∃𝑓seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓)
9	6, 8	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓)
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓)
11		ulmcl 26424	. . . . . . . 8 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓 → 𝑓:ℝ⟶ℂ)
12	11	feqmptd 6977	. . . . . . 7 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓 → 𝑓 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑤)))
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → 𝑓 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑤)))
14		nn0uz 12920	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
15		0zd 12625	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℤ)
16		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
17	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
19		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ ℝ)
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
21	1, 2, 17, 18, 19, 20	knoppcnlem3 36496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) ∈ ℝ)
22	21	adantllr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) ∈ ℂ)
24	1, 2, 3, 4	knoppcnlem8 36501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
26		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
27		seqex 14044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ∈ V)
29	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
30	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
32	1, 2, 29, 30, 31	knoppcnlem7 36500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘)))
33	32	adantllr 719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘)))
34	33	fveq1d 6908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝑤) = ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘))‘𝑤))
35		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘)) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘))
36		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑤))
37	36	seqeq3d 14050	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → seq0( + , (𝐹‘𝑣)) = seq0( + , (𝐹‘𝑤)))
38	37	fveq1d 6908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘) = (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘))
39	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ ℝ)
40		fvexd 6921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘) ∈ V)
41	35, 38, 39, 40	fvmptd3 7039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘))‘𝑤) = (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘))
42	34, 41	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝑤) = (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘))
43		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓)
44	14, 15, 25, 26, 28, 42, 43	ulmclm 26430	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ⇝ (𝑓‘𝑤))
45	14, 15, 16, 23, 44	isumclim 15793	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = (𝑓‘𝑤))
46	45	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑤) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
47	46	mpteq2dva 5242	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖)))
48		knoppcnlem9.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖)))
50	49	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖)) = 𝑊)
51	13, 47, 50	3eqtrd 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → 𝑓 = 𝑊)
52	10, 51	breqtrd 5169	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊)
53	52	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊))
54	53	exlimdv 1933	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊))
55	9, 54	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695   ↑_m cmap 8866  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ⌊cfl 13830  seqcseq 14042  ↑cexp 14102  abscabs 15273  Σcsu 15722  ⇝_𝑢culm 26419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ulm 26420

This theorem is referenced by:  knoppcn  36505  knoppndvlem4  36516