Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem9 32822
Description: Lemma for knoppcn 32825. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem9.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem9.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem9.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppcnlem9.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem9.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem9.2 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem9 (𝜑 → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑚,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑚,𝑤,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑚,𝑤,𝑧,𝑛,𝑦   𝑥,𝑖,𝑚,𝑤,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤,𝑖,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑤,𝑖,𝑚)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem knoppcnlem9
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem9.t . . . 4 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 knoppcnlem9.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 knoppcnlem9.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 knoppcnlem9.1 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5 knoppcnlem9.2 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
61, 2, 3, 4, 5knoppcnlem6 32819 . . 3 (𝜑 → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ))
7 seqex 13009 . . . 4 seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) ∈ V
87eldm 5459 . . 3 (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ) ↔ ∃𝑓seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓)
96, 8sylib 208 . 2 (𝜑 → ∃𝑓seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓)
10 simpr 471 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓)
11 ulmcl 24354 . . . . . . . 8 (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓𝑓:ℝ⟶ℂ)
1211feqmptd 6391 . . . . . . 7 (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓𝑓 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑤)))
1312adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → 𝑓 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑤)))
14 nn0uz 11923 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
15 0zd 11590 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℤ)
16 eqidd 2771 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑤)‘𝑖) = ((𝐹𝑤)‘𝑖))
173ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
184ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
19 simplr 744 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ ℝ)
20 simpr 471 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
211, 2, 17, 18, 19, 20knoppcnlem3 32816 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑤)‘𝑖) ∈ ℝ)
2221adantllr 690 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑤)‘𝑖) ∈ ℝ)
2322recnd 10269 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑤)‘𝑖) ∈ ℂ)
241, 2, 3, 4knoppcnlem8 32821 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 ℝ))
2524ad2antrr 697 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 ℝ))
26 simpr 471 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
27 seqex 13009 . . . . . . . . . . 11 seq0( + , (𝐹𝑤)) ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( + , (𝐹𝑤)) ∈ V)
293ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
304ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
31 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
321, 2, 29, 30, 31knoppcnlem7 32820 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘)))
3332adantllr 690 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘)))
3433fveq1d 6334 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝑤) = ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘))‘𝑤))
35 eqid 2770 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘)) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘))
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘)) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘)))
37 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑤 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑤))
3837seqeq3d 13015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑤 → seq0( + , (𝐹𝑣)) = seq0( + , (𝐹𝑤)))
3938fveq1d 6334 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑤 → (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘) = (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘))
4039adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑣 = 𝑤) → (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘) = (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘))
4126adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ ℝ)
42 fvexd 6344 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘) ∈ V)
4336, 40, 41, 42fvmptd 6430 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘))‘𝑤) = (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘))
4434, 43eqtrd 2804 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝑤) = (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘))
45 simplr 744 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓)
4614, 15, 25, 26, 28, 44, 45ulmclm 24360 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( + , (𝐹𝑤)) ⇝ (𝑓𝑤))
4714, 15, 16, 23, 46isumclim 14695 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖) = (𝑓𝑤))
4847eqcomd 2776 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑓𝑤) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
4948mpteq2dva 4876 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖)))
50 knoppcnlem9.w . . . . . . . 8 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
5150a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖)))
5251eqcomd 2776 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖)) = 𝑊)
5313, 49, 523eqtrd 2808 . . . . 5 ((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → 𝑓 = 𝑊)
5410, 53breqtrd 4810 . . . 4 ((𝜑 ∧ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊)
5554ex 397 . . 3 (𝜑 → (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓 → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊))
5655exlimdv 2012 . 2 (𝜑 → (∃𝑓seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓 → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊))
579, 56mpd 15 1 (𝜑 → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wex 1851  wcel 2144  Vcvv 3349   class class class wbr 4784  cmpt 4861  dom cdm 5249  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  𝑓 cof 7041  𝑚 cmap 8008  cc 10135  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142   < clt 10275  cmin 10467   / cdiv 10885  cn 11221  2c2 11271  0cn0 11493  cfl 12798  seqcseq 13007  cexp 13066  abscabs 14181  Σcsu 14623  𝑢culm 24349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-ico 12385  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ulm 24350
This theorem is referenced by:  knoppcn  32825  knoppndvlem4  32837
  Copyright terms: Public domain W3C validator