Theorem knoppcnlem9 36701

Description: Lemma for knoppcn 36704. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem9.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem9.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem9.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppcnlem9.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem9.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem9.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem9	⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑚,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑚,𝑤,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑚,𝑤,𝑧,𝑛,𝑦   𝑥,𝑖,𝑚,𝑤,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤,𝑖,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑤,𝑖,𝑚)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem knoppcnlem9

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem9.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppcnlem9.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppcnlem9.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		knoppcnlem9.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5		knoppcnlem9.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
6	1, 2, 3, 4, 5	knoppcnlem6 36698	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ))
7		seqex 13926	. . . 4 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) ∈ V
8	7	eldm 5849	. . 3 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ) ↔ ∃𝑓seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓)
9	6, 8	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓)
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓)
11		ulmcl 26346	. . . . . . . 8 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓 → 𝑓:ℝ⟶ℂ)
12	11	feqmptd 6902	. . . . . . 7 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓 → 𝑓 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑤)))
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → 𝑓 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑤)))
14		nn0uz 12789	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
15		0zd 12500	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℤ)
16		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
17	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
19		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ ℝ)
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
21	1, 2, 17, 18, 19, 20	knoppcnlem3 36695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) ∈ ℝ)
22	21	adantllr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) ∈ ℂ)
24	1, 2, 3, 4	knoppcnlem8 36700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
26		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
27		seqex 13926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ∈ V)
29	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
30	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
32	1, 2, 29, 30, 31	knoppcnlem7 36699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘)))
33	32	adantllr 719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘)))
34	33	fveq1d 6836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝑤) = ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘))‘𝑤))
35		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘)) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘))
36		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑤))
37	36	seqeq3d 13932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → seq0( + , (𝐹‘𝑣)) = seq0( + , (𝐹‘𝑤)))
38	37	fveq1d 6836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘) = (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘))
39	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ ℝ)
40		fvexd 6849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘) ∈ V)
41	35, 38, 39, 40	fvmptd3 6964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘))‘𝑤) = (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘))
42	34, 41	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝑤) = (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘))
43		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓)
44	14, 15, 25, 26, 28, 42, 43	ulmclm 26352	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ⇝ (𝑓‘𝑤))
45	14, 15, 16, 23, 44	isumclim 15680	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = (𝑓‘𝑤))
46	45	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑤) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
47	46	mpteq2dva 5191	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖)))
48		knoppcnlem9.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖)))
50	49	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖)) = 𝑊)
51	13, 47, 50	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → 𝑓 = 𝑊)
52	10, 51	breqtrd 5124	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊)
53	52	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊))
54	53	exlimdv 1934	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊))
55	9, 54	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  dom cdm 5624  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620   ↑_m cmap 8763  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   < clt 11166   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ⌊cfl 13710  seqcseq 13924  ↑cexp 13984  abscabs 15157  Σcsu 15609  ⇝_𝑢culm 26341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-ico 13267  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ulm 26342

This theorem is referenced by:  knoppcn  36704  knoppndvlem4  36715