Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem9 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem knoppcnlem9 36032
Description: Lemma for knoppcn 36035. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem9.t 𝑇 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((βŒŠβ€˜(π‘₯ + (1 / 2))) βˆ’ π‘₯)))
knoppcnlem9.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢↑𝑛) Β· (π‘‡β€˜(((2 Β· 𝑁)↑𝑛) Β· 𝑦)))))
knoppcnlem9.w π‘Š = (𝑀 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–))
knoppcnlem9.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
knoppcnlem9.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
knoppcnlem9.2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΆ) < 1)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem9 (πœ‘ β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)π‘Š)
Distinct variable groups:   𝐢,π‘š,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,π‘š,𝑀,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   πœ‘,𝑖,π‘š,𝑀,𝑧,𝑛,𝑦   π‘₯,𝑖,π‘š,𝑀,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐢(π‘₯,𝑧,𝑀,𝑖)   𝑇(π‘₯,𝑧,𝑀,𝑖,π‘š)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑀,𝑖,π‘š)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑖,π‘š,𝑛)
Proof of Theorem knoppcnlem9
Dummy variables 𝑓 π‘˜ 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem9.t . . . 4 𝑇 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((βŒŠβ€˜(π‘₯ + (1 / 2))) βˆ’ π‘₯)))
2 knoppcnlem9.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐢↑𝑛) Β· (π‘‡β€˜(((2 Β· 𝑁)↑𝑛) Β· 𝑦)))))
3 knoppcnlem9.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4 knoppcnlem9.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
5 knoppcnlem9.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΆ) < 1)
61, 2, 3, 4, 5knoppcnlem6 36029 . . 3 (πœ‘ β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) ∈ dom (β‡π‘’β€˜β„))
7 seqex 13998 . . . 4 seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) ∈ V
87eldm 5897 . . 3 (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))) ∈ dom (β‡π‘’β€˜β„) ↔ βˆƒπ‘“seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓)
96, 8sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓)
10 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓)
11 ulmcl 26333 . . . . . . . 8 (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓 β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„‚)
1211feqmptd 6961 . . . . . . 7 (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓 β†’ 𝑓 = (𝑀 ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘€)))
1312adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) β†’ 𝑓 = (𝑀 ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘€)))
14 nn0uz 12892 . . . . . . . . 9 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
15 0zd 12598 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ β„€)
16 eqidd 2726 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–) = ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–))
173ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
184ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
19 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
20 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
211, 2, 17, 18, 19, 20knoppcnlem3 36026 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–) ∈ ℝ)
2221adantllr 717 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–) ∈ ℝ)
2322recnd 11270 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–) ∈ β„‚)
241, 2, 3, 4knoppcnlem8 36031 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))):β„•0⟢(β„‚ ↑m ℝ))
2524ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š)))):β„•0⟢(β„‚ ↑m ℝ))
26 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
27 seqex 13998 . . . . . . . . . . 11 seq0( + , (πΉβ€˜π‘€)) ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ seq0( + , (πΉβ€˜π‘€)) ∈ V)
293ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
304ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
31 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
321, 2, 29, 30, 31knoppcnlem7 36030 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘£))β€˜π‘˜)))
3332adantllr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘£))β€˜π‘˜)))
3433fveq1d 6893 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)β€˜π‘€) = ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘£))β€˜π‘˜))β€˜π‘€))
35 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘£))β€˜π‘˜)) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘£))β€˜π‘˜))
36 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π‘€))
3736seqeq3d 14004 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑀 β†’ seq0( + , (πΉβ€˜π‘£)) = seq0( + , (πΉβ€˜π‘€)))
3837fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑀 β†’ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘£))β€˜π‘˜) = (seq0( + , (πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘˜))
3926adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
40 fvexd 6906 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘˜) ∈ V)
4135, 38, 39, 40fvmptd3 7022 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (πΉβ€˜π‘£))β€˜π‘˜))β€˜π‘€) = (seq0( + , (πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘˜))
4234, 41eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))β€˜π‘˜)β€˜π‘€) = (seq0( + , (πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘˜))
43 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓)
4414, 15, 25, 26, 28, 42, 43ulmclm 26339 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ seq0( + , (πΉβ€˜π‘€)) ⇝ (π‘“β€˜π‘€))
4514, 15, 16, 23, 44isumclim 15733 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ Σ𝑖 ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–) = (π‘“β€˜π‘€))
4645eqcomd 2731 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘€) = Σ𝑖 ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–))
4746mpteq2dva 5243 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) β†’ (𝑀 ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘€)) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–)))
48 knoppcnlem9.w . . . . . . . 8 π‘Š = (𝑀 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–))
4948a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) β†’ π‘Š = (𝑀 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–)))
5049eqcomd 2731 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) β†’ (𝑀 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘–)) = π‘Š)
5113, 47, 503eqtrd 2769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) β†’ 𝑓 = π‘Š)
5210, 51breqtrd 5169 . . . 4 ((πœ‘ ∧ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓) β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)π‘Š)
5352ex 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓 β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)π‘Š))
5453exlimdv 1928 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)𝑓 β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)π‘Š))
559, 54mpd 15 1 (πœ‘ β†’ seq0( ∘f + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘š))))(β‡π‘’β€˜β„)π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∘f cof 7679   ↑m cmap 8841  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   Β· cmul 11141   < clt 11276   βˆ’ cmin 11472   / cdiv 11899  β„•cn 12240  2c2 12295  β„•0cn0 12500  βŒŠcfl 13785  seqcseq 13996  β†‘cexp 14056  abscabs 15211  Ξ£csu 15662  β‡π‘’culm 26328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-ico 13360  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-ulm 26329
This theorem is referenced by:  knoppcn  36035  knoppndvlem4  36046
  Copyright terms: Public domain W3C validator