Theorem eceldmqsxrncnvepres 38974

Description: An (𝑅 ⋉ (^◡ E ↾ 𝐴))-coset in its domain quotient. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
eceldmqsxrncnvepres	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ([𝐵](𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ (dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) / (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)))

Proof of Theorem eceldmqsxrncnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrncnvepresex 38969	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)
2		eceldmqs 8784	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V → ([𝐵](𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ (dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) / (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))) ↔ 𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ([𝐵](𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ (dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) / (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))) ↔ 𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))))
4	3	3adant2 1147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ([𝐵](𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ (dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) / (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))) ↔ 𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))))
5		eldmxrncnvepres 38972	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)))
6	5	3ad2ant2 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)))
7	4, 6	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ([𝐵](𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ (dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) / (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463  ∅c0 4294   E cep 5561  ^◡ccnv 5661  dom cdm 5662   ↾ cres 5664  [cec 8691   / cqs 8692   ⋉ cxrn 38712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-eprel 5562  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fo 6543  df-fv 6545  df-oprab 7415  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-ec 8695  df-qs 8699  df-xrn 38918

This theorem is referenced by: (None)