Theorem eceldmqsxrncnvepres 38384

Description: An (𝑅 ⋉ (' E | 𝐴))-coset in its domain quotient. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
eceldmqsxrncnvepres	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ([𝐵](𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ (dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) / (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)))

Proof of Theorem eceldmqsxrncnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrncnvepresex 38380	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)
2		eceldmqs 8714	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V → ([𝐵](𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ (dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) / (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))) ↔ 𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ([𝐵](𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ (dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) / (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))) ↔ 𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))))
4	3	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ([𝐵](𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ (dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) / (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))) ↔ 𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))))
5		eldmxrncnvepres 38382	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)))
6	5	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (𝐵 ∈ dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)))
7	4, 6	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ([𝐵](𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ (dom (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) / (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ [𝐵]𝑅 ≠ ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3436  ∅c0 4284   E cep 5518  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619   ↾ cres 5621  [cec 8623   / cqs 8624   ⋉ cxrn 38154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-eprel 5519  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fo 6488  df-fv 6490  df-oprab 7353  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-ec 8627  df-qs 8631  df-xrn 38339

This theorem is referenced by: (None)