Theorem elmapresaunres2 43618

Description: fresaunres2 6751 transposed to mappings. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapresaunres2	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐹 ∪ 𝐺) ↾ 𝐵) = 𝐺)

Proof of Theorem elmapresaunres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8851	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐶)
2		elmapi 8851	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵) → 𝐺:𝐵⟶𝐶)
3		id 23	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)))
4		fresaunres2 6751	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐵⟶𝐶 ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐹 ∪ 𝐺) ↾ 𝐵) = 𝐺)
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1178	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐵) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝐺 ↾ (𝐴 ∩ 𝐵))) → ((𝐹 ∪ 𝐺) ↾ 𝐵) = 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ↾ cres 5661  ⟶wf 6533  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-map 8831

This theorem is used by:  diophin  43619  eldioph4b  43654