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Theorem lzenom 38865
Description: Lower integers are countably infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
lzenom (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ≈ ω)

Proof of Theorem lzenom
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 11840 . . . 4 ℤ ∈ V
2 difexg 5125 . . . 4 (ℤ ∈ V → (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∈ V)
31, 2mp1i 13 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∈ V)
4 nnex 11494 . . . 4 ℕ ∈ V
54a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ℕ ∈ V)
6 ovex 7051 . . . 4 ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ V
762a1i 12 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ V))
8 ovex 7051 . . . 4 ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ V
982a1i 12 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑏 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ V))
10 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
1110peano2zd 11940 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
12 simprl 767 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → 𝑎 ∈ ℤ)
1311, 12zsubcld 11942 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ)
14 zre 11835 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
1514ad2antrl 724 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → 𝑎 ∈ ℝ)
1611zred 11937 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
17 1red 10491 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
18 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → 𝑎𝑁)
19 zcn 11836 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2019adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
21 ax-1cn 10444 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
22 pncan 10741 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2320, 21, 22sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2418, 23breqtrrd 4992 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → 𝑎 ≤ ((𝑁 + 1) − 1))
2515, 16, 17, 24lesubd 11094 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎))
2611zcnd 11938 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
27 zcn 11836 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
2827ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → 𝑎 ∈ ℂ)
2926, 28nncand 10852 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)) = 𝑎)
3029eqcomd 2800 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
3113, 25, 30jca31 515 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
3231adantrr 713 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))) → ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
33 eleq1 2869 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (𝑏 ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ))
34 breq2 4968 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (1 ≤ 𝑏 ↔ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
3533, 34anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ↔ (((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
36 oveq2 7027 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → ((𝑁 + 1) − 𝑏) = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
3736eqeq2d 2804 . . . . . . . 8 (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) ↔ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
3835, 37anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))))
3938ad2antll 725 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))) → (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))))
4032, 39mpbird 258 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)))
41 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4241peano2zd 11940 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
43 simprl 767 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℤ)
4442, 43zsubcld 11942 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ)
4542zred 11937 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
46 zre 11835 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4746adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑁 ∈ ℝ)
48 zre 11835 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
4948ad2antrl 724 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
5047recnd 10518 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑁 ∈ ℂ)
51 pncan2 10742 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
5250, 21, 51sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
53 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 1 ≤ 𝑏)
5452, 53eqbrtrd 4986 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) ≤ 𝑏)
5545, 47, 49, 54subled 11093 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁)
5642zcnd 11938 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
57 zcn 11836 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
5857ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℂ)
5956, 58nncand 10852 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)) = 𝑏)
6059eqcomd 2800 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))
6144, 55, 60jca31 515 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
6261adantrr 713 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))) → ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
63 eleq1 2869 . . . . . . . . 9 (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (𝑎 ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ))
64 breq1 4967 . . . . . . . . 9 (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (𝑎𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁))
6563, 64anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ↔ (((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁)))
66 oveq2 7027 . . . . . . . . 9 (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → ((𝑁 + 1) − 𝑎) = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))
6766eqeq2d 2804 . . . . . . . 8 (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) ↔ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
6865, 67anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))))
6968ad2antll 725 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))))
7062, 69mpbird 258 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
7140, 70impbida 797 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
72 ellz1 38862 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁)))
7372anbi1d 629 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
74 elnnz1 11858 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ℕ ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏))
7574a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑏 ∈ ℕ ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)))
7675anbi1d 629 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)) ↔ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
7771, 73, 763bitr4d 312 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ (𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
783, 5, 7, 9, 77en2d 8396 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ≈ ℕ)
79 nnenom 13198 . 2 ℕ ≈ ω
80 entr 8412 . 2 (((ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ≈ ω)
8178, 79, 80sylancl 586 1 (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ≈ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2080  Vcvv 3436  cdif 3858   class class class wbr 4964  cfv 6228  (class class class)co 7019  ωcom 7439  cen 8357  cc 10384  cr 10385  1c1 10387   + caddc 10389  cle 10525  cmin 10719  cn 11488  cz 11831  cuz 12093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-inf2 8953  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094
This theorem is referenced by:  diophin  38867  diophren  38908
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