Theorem lzenom 40572

Description: Lower integers are countably infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lzenom	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ω)

Proof of Theorem lzenom

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12311	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
2		difexg 5254	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ V → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∈ V)
3	1, 2	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∈ V)
4		nnex 11962	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ℕ ∈ V)
6		ovex 7301	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ V
7	6	2a1i 12	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ V))
8		ovex 7301	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ V
9	8	2a1i 12	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑏 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ V))
10		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	peano2zd 12411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
12		simprl 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ∈ ℤ)
13	11, 12	zsubcld 12413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ)
14		zre 12306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
15	14	ad2antrl 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ∈ ℝ)
16	11	zred 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
17		1red 10960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
18		simprr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ≤ 𝑁)
19		zcn 12307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
21		ax-1cn 10913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		pncan 11210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
23	20, 21, 22	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
24	18, 23	breqtrrd 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ≤ ((𝑁 + 1) − 1))
25	15, 16, 17, 24	lesubd 11562	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎))
26	11	zcnd 12409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
27		zcn 12307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
28	27	ad2antrl 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ∈ ℂ)
29	26, 28	nncand 11320	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)) = 𝑎)
30	29	eqcomd 2745	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
31	13, 25, 30	jca31 514	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
32	31	adantrr 713	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))) → ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
33		eleq1 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (𝑏 ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ))
34		breq2 5082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (1 ≤ 𝑏 ↔ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
35	33, 34	anbi12d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ↔ (((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
36		oveq2 7276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → ((𝑁 + 1) − 𝑏) = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
37	36	eqeq2d 2750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) ↔ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
38	35, 37	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))))
39	38	ad2antll 725	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))) → (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))))
40	32, 39	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)))
41		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑁 ∈ ℤ)
42	41	peano2zd 12411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
43		simprl 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℤ)
44	42, 43	zsubcld 12413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ)
45	42	zred 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
46		zre 12306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑁 ∈ ℝ)
48		zre 12306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
49	48	ad2antrl 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
50	47	recnd 10987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑁 ∈ ℂ)
51		pncan2 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
52	50, 21, 51	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
53		simprr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 1 ≤ 𝑏)
54	52, 53	eqbrtrd 5100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) ≤ 𝑏)
55	45, 47, 49, 54	subled 11561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁)
56	42	zcnd 12409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
57		zcn 12307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
58	57	ad2antrl 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℂ)
59	56, 58	nncand 11320	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)) = 𝑏)
60	59	eqcomd 2745	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))
61	44, 55, 60	jca31 514	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
62	61	adantrr 713	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))) → ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
63		eleq1 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (𝑎 ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ))
64		breq1 5081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (𝑎 ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁))
65	63, 64	anbi12d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ↔ (((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁)))
66		oveq2 7276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → ((𝑁 + 1) − 𝑎) = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))
67	66	eqeq2d 2750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) ↔ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
68	65, 67	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))))
69	68	ad2antll 725	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))))
70	62, 69	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
71	40, 70	impbida 797	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
72		ellz1 40569	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
73	72	anbi1d 629	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
74		elnnz1 12329	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏))
75	74	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑏 ∈ ℕ ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)))
76	75	anbi1d 629	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)) ↔ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
77	71, 73, 76	3bitr4d 310	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ (𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
78	3, 5, 7, 9, 77	en2d 8747	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ℕ)
79		nnenom 13681	. 2 ⊢ ℕ ≈ ω
80		entr 8763	. 2 ⊢ (((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ω)
81	78, 79, 80	sylancl 585	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430   ∖ cdif 3888   class class class wbr 5078  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ωcom 7700   ≈ cen 8704  ℂcc 10853  ℝcr 10854  1c1 10856   + caddc 10858   ≤ cle 10994   − cmin 11188  ℕcn 11956  ℤcz 12302  ℤ_≥cuz 12564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565

This theorem is referenced by:  diophin  40574  diophren  40615