Theorem lzenom 40842

Description: Lower integers are countably infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lzenom	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ω)

Proof of Theorem lzenom

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12421	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
2		difexg 5268	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ V → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∈ V)
3	1, 2	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∈ V)
4		nnex 12072	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ℕ ∈ V)
6		ovex 7362	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ V
7	6	2a1i 12	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ V))
8		ovex 7362	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ V
9	8	2a1i 12	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑏 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ V))
10		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	peano2zd 12522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
12		simprl 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ∈ ℤ)
13	11, 12	zsubcld 12524	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ)
14		zre 12416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
15	14	ad2antrl 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ∈ ℝ)
16	11	zred 12519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
17		1red 11069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
18		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ≤ 𝑁)
19		zcn 12417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
21		ax-1cn 11022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		pncan 11320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
23	20, 21, 22	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
24	18, 23	breqtrrd 5117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ≤ ((𝑁 + 1) − 1))
25	15, 16, 17, 24	lesubd 11672	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎))
26	11	zcnd 12520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
27		zcn 12417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
28	27	ad2antrl 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ∈ ℂ)
29	26, 28	nncand 11430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)) = 𝑎)
30	29	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
31	13, 25, 30	jca31 515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
32	31	adantrr 714	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))) → ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
33		eleq1 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (𝑏 ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ))
34		breq2 5093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (1 ≤ 𝑏 ↔ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
35	33, 34	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ↔ (((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
36		oveq2 7337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → ((𝑁 + 1) − 𝑏) = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
37	36	eqeq2d 2747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) ↔ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
38	35, 37	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))))
39	38	ad2antll 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))) → (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))))
40	32, 39	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)))
41		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑁 ∈ ℤ)
42	41	peano2zd 12522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
43		simprl 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℤ)
44	42, 43	zsubcld 12524	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ)
45	42	zred 12519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
46		zre 12416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
47	46	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑁 ∈ ℝ)
48		zre 12416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
49	48	ad2antrl 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
50	47	recnd 11096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑁 ∈ ℂ)
51		pncan2 11321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
52	50, 21, 51	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
53		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 1 ≤ 𝑏)
54	52, 53	eqbrtrd 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) ≤ 𝑏)
55	45, 47, 49, 54	subled 11671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁)
56	42	zcnd 12520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
57		zcn 12417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
58	57	ad2antrl 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℂ)
59	56, 58	nncand 11430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)) = 𝑏)
60	59	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))
61	44, 55, 60	jca31 515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
62	61	adantrr 714	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))) → ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
63		eleq1 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (𝑎 ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ))
64		breq1 5092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (𝑎 ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁))
65	63, 64	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ↔ (((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁)))
66		oveq2 7337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → ((𝑁 + 1) − 𝑎) = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))
67	66	eqeq2d 2747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) ↔ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
68	65, 67	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))))
69	68	ad2antll 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))))
70	62, 69	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
71	40, 70	impbida 798	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
72		ellz1 40839	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
73	72	anbi1d 630	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
74		elnnz1 12439	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏))
75	74	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑏 ∈ ℕ ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)))
76	75	anbi1d 630	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)) ↔ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
77	71, 73, 76	3bitr4d 310	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ (𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
78	3, 5, 7, 9, 77	en2d 8841	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ℕ)
79		nnenom 13793	. 2 ⊢ ℕ ≈ ω
80		entr 8859	. 2 ⊢ (((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ω)
81	78, 79, 80	sylancl 586	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441   ∖ cdif 3894   class class class wbr 5089  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329  ωcom 7772   ≈ cen 8793  ℂcc 10962  ℝcr 10963  1c1 10965   + caddc 10967   ≤ cle 11103   − cmin 11298  ℕcn 12066  ℤcz 12412  ℤ_≥cuz 12675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676

This theorem is referenced by:  diophin  40844  diophren  40885