Theorem lzenom 42760

Description: Lower integers are countably infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lzenom	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ω)

Proof of Theorem lzenom

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12602	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
2		difexg 5304	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ V → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∈ V)
3	1, 2	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∈ V)
4		nnex 12251	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ℕ ∈ V)
6		ovex 7443	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ V
7	6	2a1i 12	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ V))
8		ovex 7443	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ V
9	8	2a1i 12	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑏 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ V))
10		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	peano2zd 12705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
12		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ∈ ℤ)
13	11, 12	zsubcld 12707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ)
14		zre 12597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
15	14	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ∈ ℝ)
16	11	zred 12702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
17		1red 11241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
18		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ≤ 𝑁)
19		zcn 12598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
21		ax-1cn 11192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		pncan 11493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
23	20, 21, 22	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
24	18, 23	breqtrrd 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ≤ ((𝑁 + 1) − 1))
25	15, 16, 17, 24	lesubd 11846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎))
26	11	zcnd 12703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
27		zcn 12598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
28	27	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ∈ ℂ)
29	26, 28	nncand 11604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)) = 𝑎)
30	29	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
31	13, 25, 30	jca31 514	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
32	31	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))) → ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
33		eleq1 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (𝑏 ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ))
34		breq2 5128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (1 ≤ 𝑏 ↔ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
35	33, 34	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ↔ (((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
36		oveq2 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → ((𝑁 + 1) − 𝑏) = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
37	36	eqeq2d 2747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) ↔ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
38	35, 37	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))))
39	38	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))) → (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))))
40	32, 39	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)))
41		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑁 ∈ ℤ)
42	41	peano2zd 12705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
43		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℤ)
44	42, 43	zsubcld 12707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ)
45	42	zred 12702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
46		zre 12597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑁 ∈ ℝ)
48		zre 12597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
49	48	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
50	47	recnd 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑁 ∈ ℂ)
51		pncan2 11494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
52	50, 21, 51	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
53		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 1 ≤ 𝑏)
54	52, 53	eqbrtrd 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) ≤ 𝑏)
55	45, 47, 49, 54	subled 11845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁)
56	42	zcnd 12703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
57		zcn 12598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
58	57	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℂ)
59	56, 58	nncand 11604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)) = 𝑏)
60	59	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))
61	44, 55, 60	jca31 514	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
62	61	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))) → ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
63		eleq1 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (𝑎 ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ))
64		breq1 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (𝑎 ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁))
65	63, 64	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ↔ (((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁)))
66		oveq2 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → ((𝑁 + 1) − 𝑎) = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))
67	66	eqeq2d 2747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) ↔ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
68	65, 67	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))))
69	68	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))))
70	62, 69	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
71	40, 70	impbida 800	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
72		ellz1 42757	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
73	72	anbi1d 631	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
74		elnnz1 12623	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏))
75	74	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑏 ∈ ℕ ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)))
76	75	anbi1d 631	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)) ↔ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
77	71, 73, 76	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ (𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
78	3, 5, 7, 9, 77	en2d 9007	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ℕ)
79		nnenom 14003	. 2 ⊢ ℕ ≈ ω
80		entr 9025	. 2 ⊢ (((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ω)
81	78, 79, 80	sylancl 586	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ∖ cdif 3928   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ωcom 7866   ≈ cen 8961  ℂcc 11132  ℝcr 11133  1c1 11135   + caddc 11137   ≤ cle 11275   − cmin 11471  ℕcn 12245  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858

This theorem is referenced by:  diophin  42762  diophren  42803