Theorem lzenom 43219

Description: Lower integers are countably infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lzenom	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ω)

Proof of Theorem lzenom

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12527	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
2		difexg 5267	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ V → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∈ V)
3	1, 2	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∈ V)
4		nnex 12174	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ℕ ∈ V)
6		ovex 7394	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ V
7	6	2a1i 12	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ V))
8		ovex 7394	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ V
9	8	2a1i 12	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑏 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ V))
10		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	peano2zd 12630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
12		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ∈ ℤ)
13	11, 12	zsubcld 12632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ)
14		zre 12522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
15	14	ad2antrl 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ∈ ℝ)
16	11	zred 12627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
17		1red 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
18		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ≤ 𝑁)
19		zcn 12523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
21		ax-1cn 11090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		pncan 11393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
23	20, 21, 22	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
24	18, 23	breqtrrd 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ≤ ((𝑁 + 1) − 1))
25	15, 16, 17, 24	lesubd 11748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎))
26	11	zcnd 12628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
27		zcn 12523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
28	27	ad2antrl 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 ∈ ℂ)
29	26, 28	nncand 11504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)) = 𝑎)
30	29	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
31	13, 25, 30	jca31 514	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
32	31	adantrr 718	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))) → ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
33		eleq1 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (𝑏 ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ))
34		breq2 5090	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (1 ≤ 𝑏 ↔ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
35	33, 34	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ↔ (((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
36		oveq2 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → ((𝑁 + 1) − 𝑏) = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
37	36	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) ↔ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
38	35, 37	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) → (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))))
39	38	ad2antll 730	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))) → (((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑎) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑎)))))
40	32, 39	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))) → ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)))
41		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑁 ∈ ℤ)
42	41	peano2zd 12630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
43		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℤ)
44	42, 43	zsubcld 12632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ)
45	42	zred 12627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
46		zre 12522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑁 ∈ ℝ)
48		zre 12522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
49	48	ad2antrl 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
50	47	recnd 11167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑁 ∈ ℂ)
51		pncan2 11394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
52	50, 21, 51	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
53		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 1 ≤ 𝑏)
54	52, 53	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) ≤ 𝑏)
55	45, 47, 49, 54	subled 11747	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁)
56	42	zcnd 12628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
57		zcn 12523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
58	57	ad2antrl 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℂ)
59	56, 58	nncand 11504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)) = 𝑏)
60	59	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))
61	44, 55, 60	jca31 514	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)) → ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
62	61	adantrr 718	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))) → ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
63		eleq1 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (𝑎 ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ))
64		breq1 5089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (𝑎 ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁))
65	63, 64	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ↔ (((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁)))
66		oveq2 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → ((𝑁 + 1) − 𝑎) = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))
67	66	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎) ↔ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
68	65, 67	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))))
69	68	ad2antll 730	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((((𝑁 + 1) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑏) ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − ((𝑁 + 1) − 𝑏)))))
70	62, 69	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)))
71	40, 70	impbida 801	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
72		ellz1 43216	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁)))
73	72	anbi1d 632	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝑁) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎))))
74		elnnz1 12547	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏))
75	74	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑏 ∈ ℕ ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏)))
76	75	anbi1d 632	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏)) ↔ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑏) ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
77	71, 73, 76	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑏 = ((𝑁 + 1) − 𝑎)) ↔ (𝑏 ∈ ℕ ∧ 𝑎 = ((𝑁 + 1) − 𝑏))))
78	3, 5, 7, 9, 77	en2d 8929	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ℕ)
79		nnenom 13936	. 2 ⊢ ℕ ≈ ω
80		entr 8947	. 2 ⊢ (((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ω)
81	78, 79, 80	sylancl 587	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ≈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ωcom 7811   ≈ cen 8884  ℂcc 11030  ℝcr 11031  1c1 11033   + caddc 11035   ≤ cle 11174   − cmin 11371  ℕcn 12168  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783

This theorem is referenced by:  diophin  43221  diophren  43262