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Theorem diophin 41812
Description: If two sets are Diophantine, so is their intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
diophin ((𝐴 ∈ (Diophβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (Diophβ€˜π‘)) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ (Diophβ€˜π‘))
Proof of Theorem diophin
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldiophelnn0 41804 . . 3 (𝐴 ∈ (Diophβ€˜π‘) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 id 22 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3 zex 12571 . . . . . . 7 β„€ ∈ V
4 difexg 5327 . . . . . . 7 (β„€ ∈ V β†’ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∈ V)
53, 4mp1i 13 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∈ V)
6 ominf 9260 . . . . . . 7 Β¬ Ο‰ ∈ Fin
7 nn0z 12587 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
8 lzenom 41810 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β‰ˆ Ο‰)
9 enfi 9192 . . . . . . . 8 ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β‰ˆ Ο‰ β†’ ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∈ Fin ↔ Ο‰ ∈ Fin))
107, 8, 93syl 18 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∈ Fin ↔ Ο‰ ∈ Fin))
116, 10mtbiri 326 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ Β¬ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∈ Fin)
12 fz1eqin 41809 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (1...𝑁) = ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∩ β„•))
13 inss1 4228 . . . . . . 7 ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∩ β„•) βŠ† (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
1412, 13eqsstrdi 4036 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (1...𝑁) βŠ† (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
15 eldioph2b 41803 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∈ V) ∧ (Β¬ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) βŠ† (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) β†’ (𝐴 ∈ (Diophβ€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))𝐴 = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))(𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0)}))
162, 5, 11, 14, 15syl22anc 837 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ (Diophβ€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))𝐴 = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))(𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0)}))
17 nnex 12222 . . . . . . 7 β„• ∈ V
1817a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ β„• ∈ V)
19 1z 12596 . . . . . . 7 1 ∈ β„€
20 nnuz 12869 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2120uzinf 13934 . . . . . . 7 (1 ∈ β„€ β†’ Β¬ β„• ∈ Fin)
2219, 21mp1i 13 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ Β¬ β„• ∈ Fin)
23 elfznn 13534 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ (1...𝑁) β†’ π‘Ž ∈ β„•)
2423ssriv 3986 . . . . . . 7 (1...𝑁) βŠ† β„•
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (1...𝑁) βŠ† β„•)
26 eldioph2b 41803 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ β„• ∈ V) ∧ (Β¬ β„• ∈ Fin ∧ (1...𝑁) βŠ† β„•)) β†’ (𝐡 ∈ (Diophβ€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (mzPolyβ€˜β„•)𝐡 = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)(𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)}))
272, 18, 22, 25, 26syl22anc 837 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐡 ∈ (Diophβ€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (mzPolyβ€˜β„•)𝐡 = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)(𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)}))
2816, 27anbi12d 631 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 ∈ (Diophβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (Diophβ€˜π‘)) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))𝐴 = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))(𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0)} ∧ βˆƒπ‘ ∈ (mzPolyβ€˜β„•)𝐡 = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)(𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)})))
29 reeanv 3226 . . . . 5 (βˆƒπ‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))βˆƒπ‘ ∈ (mzPolyβ€˜β„•)(𝐴 = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))(𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0)} ∧ 𝐡 = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)(𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)}) ↔ (βˆƒπ‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))𝐴 = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))(𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0)} ∧ βˆƒπ‘ ∈ (mzPolyβ€˜β„•)𝐡 = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)(𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)}))
30 inab 4299 . . . . . . . . 9 ({𝑐 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))(𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0)} ∩ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)(𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)}) = {𝑐 ∣ (βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))(𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)(𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))}
31 reeanv 3226 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)) ↔ (βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))(𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)(𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)))
32 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ 𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
33 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))
3412eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∩ β„•) = (1...𝑁))
3534reseq2d 5981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑑 β†Ύ ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∩ β„•)) = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)))
3635ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ (𝑑 β†Ύ ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∩ β„•)) = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)))
3734reseq2d 5981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑒 β†Ύ ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∩ β„•)) = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)))
3837ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ (𝑒 β†Ύ ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∩ β„•)) = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)))
39 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ 𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)))
40 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ 𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)))
4138, 39, 403eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ (𝑒 β†Ύ ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∩ β„•)) = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)))
4236, 41eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ (𝑑 β†Ύ ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∩ β„•)) = (𝑒 β†Ύ ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∩ β„•)))
43 elmapresaun 8876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (𝑑 β†Ύ ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∩ β„•)) = (𝑒 β†Ύ ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∩ β„•))) β†’ (𝑑 βˆͺ 𝑒) ∈ (β„•0 ↑m ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βˆͺ β„•)))
4432, 33, 42, 43syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ (𝑑 βˆͺ 𝑒) ∈ (β„•0 ↑m ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βˆͺ β„•)))
4520uneq2i 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βˆͺ β„•) = ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜1))
4619a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„€)
47 nn0p1nn 12515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
4847nnge1d 12264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ≀ (𝑁 + 1))
49 lzunuz 41808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€ ∧ 1 ≀ (𝑁 + 1)) β†’ ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜1)) = β„€)
507, 46, 48, 49syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜1)) = β„€)
5145, 50eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βˆͺ β„•) = β„€)
5251oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„•0 ↑m ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βˆͺ β„•)) = (β„•0 ↑m β„€))
5352ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ (β„•0 ↑m ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βˆͺ β„•)) = (β„•0 ↑m β„€))
5444, 53eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ (𝑑 βˆͺ 𝑒) ∈ (β„•0 ↑m β„€))
55 unidm 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 βˆͺ 𝑐) = 𝑐
5640, 39uneq12d 4164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ (𝑐 βˆͺ 𝑐) = ((𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) βˆͺ (𝑒 β†Ύ (1...𝑁))))
5755, 56eqtr3id 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ 𝑐 = ((𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) βˆͺ (𝑒 β†Ύ (1...𝑁))))
58 resundir 5996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (1...𝑁)) = ((𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) βˆͺ (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)))
5957, 58eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ 𝑐 = ((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (1...𝑁)))
60 uncom 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 βˆͺ 𝑒) = (𝑒 βˆͺ 𝑑)
6160reseq1i 5977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) = ((𝑒 βˆͺ 𝑑) β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
62 incom 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (β„• ∩ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) = ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∩ β„•)
6362, 34eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„• ∩ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) = (1...𝑁))
6463reseq2d 5981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑒 β†Ύ (β„• ∩ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)))
6564ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ (𝑒 β†Ύ (β„• ∩ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)))
6663reseq2d 5981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑑 β†Ύ (β„• ∩ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)))
6766ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ (𝑑 β†Ύ (β„• ∩ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)))
6867, 40, 393eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ (𝑑 β†Ύ (β„• ∩ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)))
6965, 68eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ (𝑒 β†Ύ (β„• ∩ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = (𝑑 β†Ύ (β„• ∩ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))))
70 elmapresaunres2 41811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ 𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ (𝑒 β†Ύ (β„• ∩ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = (𝑑 β†Ύ (β„• ∩ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))) β†’ ((𝑒 βˆͺ 𝑑) β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) = 𝑑)
7133, 32, 69, 70syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ ((𝑒 βˆͺ 𝑑) β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) = 𝑑)
7261, 71eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ ((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) = 𝑑)
7372fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ (π‘Žβ€˜((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = (π‘Žβ€˜π‘‘))
74 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0)
7573, 74eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ (π‘Žβ€˜((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0)
76 elmapresaunres2 41811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (𝑑 β†Ύ ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∩ β„•)) = (𝑒 β†Ύ ((β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∩ β„•))) β†’ ((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ β„•) = 𝑒)
7732, 33, 42, 76syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ ((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ β„•) = 𝑒)
7877fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ (π‘β€˜((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ β„•)) = (π‘β€˜π‘’))
79 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ (π‘β€˜π‘’) = 0)
8078, 79eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ (π‘β€˜((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ β„•)) = 0)
8159, 75, 80jca32 516 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ (𝑐 = ((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ β„•)) = 0)))
82 reseq1 5975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = (𝑑 βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) = ((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (1...𝑁)))
8382eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑑 βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ↔ 𝑐 = ((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (1...𝑁))))
84 reseq1 5975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = (𝑑 βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) = ((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
8584fveqeq2d 6899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = (𝑑 βˆͺ 𝑒) β†’ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ↔ (π‘Žβ€˜((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0))
86 reseq1 5975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = (𝑑 βˆͺ 𝑒) β†’ (𝑓 β†Ύ β„•) = ((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ β„•))
8786fveqeq2d 6899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = (𝑑 βˆͺ 𝑒) β†’ ((π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0 ↔ (π‘β€˜((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ β„•)) = 0))
8885, 87anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑑 βˆͺ 𝑒) β†’ (((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0) ↔ ((π‘Žβ€˜((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ β„•)) = 0)))
8983, 88anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝑑 βˆͺ 𝑒) β†’ ((𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0)) ↔ (𝑐 = ((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ β„•)) = 0))))
9089rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑑 βˆͺ 𝑒) ∈ (β„•0 ↑m β„€) ∧ (𝑐 = ((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜((𝑑 βˆͺ 𝑒) β†Ύ β„•)) = 0))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„•0 ↑m β„€)(𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0)))
9154, 81, 90syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) ∧ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„•0 ↑m β„€)(𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0)))
9291ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ (𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„•))) β†’ (((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„•0 ↑m β„€)(𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0))))
9392rexlimdvva 3211 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (β„•0 ↑m β„€)(𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0))))
94 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) β†’ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€))
95 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βŠ† β„€
96 elmapssres 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€) ∧ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βŠ† β„€) β†’ (𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
9794, 95, 96sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) β†’ (𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
9897adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) ∧ (𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0))) β†’ (𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
99 nnssz 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„• βŠ† β„€
100 elmapssres 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€) ∧ β„• βŠ† β„€) β†’ (𝑓 β†Ύ β„•) ∈ (β„•0 ↑m β„•))
10194, 99, 100sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) β†’ (𝑓 β†Ύ β„•) ∈ (β„•0 ↑m β„•))
102101adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) ∧ (𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0))) β†’ (𝑓 β†Ύ β„•) ∈ (β„•0 ↑m β„•))
103 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) ∧ (𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0))) β†’ 𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)))
10414ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) ∧ (𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0))) β†’ (1...𝑁) βŠ† (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))
105104resabs1d 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) ∧ (𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0))) β†’ ((𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†Ύ (1...𝑁)) = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)))
106103, 105eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) ∧ (𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0))) β†’ 𝑐 = ((𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†Ύ (1...𝑁)))
107 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) ∧ (𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0))) β†’ (π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0)
108106, 107jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) ∧ (𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0))) β†’ (𝑐 = ((𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0))
109 resabs1 6011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1...𝑁) βŠ† β„• β†’ ((𝑓 β†Ύ β„•) β†Ύ (1...𝑁)) = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)))
11024, 109mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) ∧ (𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0))) β†’ ((𝑓 β†Ύ β„•) β†Ύ (1...𝑁)) = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)))
111103, 110eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) ∧ (𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0))) β†’ 𝑐 = ((𝑓 β†Ύ β„•) β†Ύ (1...𝑁)))
112 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) ∧ (𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0))) β†’ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0)
113108, 111, 112jca32 516 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) ∧ (𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0))) β†’ ((𝑐 = ((𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0) ∧ (𝑐 = ((𝑓 β†Ύ β„•) β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0)))
114 reseq1 5975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 = (𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) = ((𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†Ύ (1...𝑁)))
115114eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = (𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ↔ 𝑐 = ((𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†Ύ (1...𝑁))))
116 fveqeq2 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = (𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘‘) = 0 ↔ (π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0))
117115, 116anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ ((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ↔ (𝑐 = ((𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0)))
118117anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ (((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)) ↔ ((𝑐 = ((𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))))
119 reseq1 5975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = (𝑓 β†Ύ β„•) β†’ (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) = ((𝑓 β†Ύ β„•) β†Ύ (1...𝑁)))
120119eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = (𝑓 β†Ύ β„•) β†’ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ↔ 𝑐 = ((𝑓 β†Ύ β„•) β†Ύ (1...𝑁))))
121 fveqeq2 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = (𝑓 β†Ύ β„•) β†’ ((π‘β€˜π‘’) = 0 ↔ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0))
122120, 121anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (𝑓 β†Ύ β„•) β†’ ((𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0) ↔ (𝑐 = ((𝑓 β†Ύ β„•) β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0)))
123122anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = (𝑓 β†Ύ β„•) β†’ (((𝑐 = ((𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)) ↔ ((𝑐 = ((𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0) ∧ (𝑐 = ((𝑓 β†Ύ β„•) β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0))))
124118, 123rspc2ev 3624 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ (𝑓 β†Ύ β„•) ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ ((𝑐 = ((𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0) ∧ (𝑐 = ((𝑓 β†Ύ β„•) β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)))
12598, 102, 113, 124syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) ∧ (𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)))
126125rexlimdva2 3157 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (β„•0 ↑m β„€)(𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))))
12793, 126impbid 211 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (β„•0 ↑m β„€)(𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0))))
128 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) β†’ π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
129 mzpf 41776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) β†’ π‘Ž:(β„€ ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))βŸΆβ„€)
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) β†’ π‘Ž:(β„€ ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))βŸΆβ„€)
131 nn0ssz 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„•0 βŠ† β„€
132 mapss 8885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((β„€ ∈ V ∧ β„•0 βŠ† β„€) β†’ (β„•0 ↑m β„€) βŠ† (β„€ ↑m β„€))
1333, 131, 132mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (β„•0 ↑m β„€) βŠ† (β„€ ↑m β„€)
134133sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€) β†’ 𝑓 ∈ (β„€ ↑m β„€))
135 elmapssres 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 ∈ (β„€ ↑m β„€) ∧ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βŠ† β„€) β†’ (𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∈ (β„€ ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
136134, 95, 135sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€) β†’ (𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∈ (β„€ ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
137136adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) β†’ (𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∈ (β„€ ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
138130, 137ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) β†’ (π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) ∈ β„€)
139138zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) β†’ (π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) ∈ ℝ)
140 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) β†’ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))
141 mzpf 41776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•) β†’ 𝑏:(β„€ ↑m β„•)βŸΆβ„€)
142140, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) β†’ 𝑏:(β„€ ↑m β„•)βŸΆβ„€)
143 elmapssres 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 ∈ (β„€ ↑m β„€) ∧ β„• βŠ† β„€) β†’ (𝑓 β†Ύ β„•) ∈ (β„€ ↑m β„•))
144134, 99, 143sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€) β†’ (𝑓 β†Ύ β„•) ∈ (β„€ ↑m β„•))
145144adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) β†’ (𝑓 β†Ύ β„•) ∈ (β„€ ↑m β„•))
146142, 145ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) β†’ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) ∈ β„€)
147146zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) β†’ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) ∈ ℝ)
148 sumsqeq0 14147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) ∈ ℝ) β†’ (((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0) ↔ (((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•))↑2)) = 0))
149139, 147, 148syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) β†’ (((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0) ↔ (((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•))↑2)) = 0))
150134adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) β†’ 𝑓 ∈ (β„€ ↑m β„€))
151 reseq1 5975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔 = 𝑓 β†’ (𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) = (𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
152151fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 = 𝑓 β†’ (π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = (π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))))
153152oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑔 = 𝑓 β†’ ((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) = ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2))
154 reseq1 5975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔 = 𝑓 β†’ (𝑔 β†Ύ β„•) = (𝑓 β†Ύ β„•))
155154fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 = 𝑓 β†’ (π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•)) = (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)))
156155oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑔 = 𝑓 β†’ ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2) = ((π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•))↑2))
157153, 156oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = 𝑓 β†’ (((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2)) = (((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•))↑2)))
158 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2))) = (𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2)))
159 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•))↑2)) ∈ V
160157, 158, 159fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ (β„€ ↑m β„€) β†’ ((𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2)))β€˜π‘“) = (((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•))↑2)))
161150, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) β†’ ((𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2)))β€˜π‘“) = (((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•))↑2)))
162161eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) β†’ (((𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2)))β€˜π‘“) = 0 ↔ (((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•))↑2)) = 0))
163149, 162bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) β†’ (((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0) ↔ ((𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2)))β€˜π‘“) = 0))
164163anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) ∧ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„€)) β†’ ((𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0)) ↔ (𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2)))β€˜π‘“) = 0)))
165164rexbidva 3176 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ (β„•0 ↑m β„€)(𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((π‘Žβ€˜(𝑓 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) = 0 ∧ (π‘β€˜(𝑓 β†Ύ β„•)) = 0)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (β„•0 ↑m β„€)(𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2)))β€˜π‘“) = 0)))
166127, 165bitrd 278 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)((𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ (𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (β„•0 ↑m β„€)(𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2)))β€˜π‘“) = 0)))
16731, 166bitr3id 284 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ ((βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))(𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)(𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ (β„•0 ↑m β„€)(𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2)))β€˜π‘“) = 0)))
168167abbidv 2801 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ {𝑐 ∣ (βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))(𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)(𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0))} = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (β„•0 ↑m β„€)(𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2)))β€˜π‘“) = 0)})
16930, 168eqtrid 2784 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ ({𝑐 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))(𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0)} ∩ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)(𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)}) = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (β„•0 ↑m β„€)(𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2)))β€˜π‘“) = 0)})
170 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
171 fzssuz 13546 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
172 uzssz 12847 . . . . . . . . . . . 12 (β„€β‰₯β€˜1) βŠ† β„€
173171, 172sstri 3991 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) βŠ† β„€
1743, 173pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (β„€ ∈ V ∧ (1...𝑁) βŠ† β„€)
175174a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ (β„€ ∈ V ∧ (1...𝑁) βŠ† β„€))
1763a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ β„€ ∈ V)
17795a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βŠ† β„€)
178 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))
179 mzpresrename 41790 . . . . . . . . . . . 12 ((β„€ ∈ V ∧ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) βŠ† β„€ ∧ π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))) β†’ (𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))) ∈ (mzPolyβ€˜β„€))
180176, 177, 178, 179syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ (𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))) ∈ (mzPolyβ€˜β„€))
181 2nn0 12493 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„•0
182 mzpexpmpt 41785 . . . . . . . . . . 11 (((𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))) ∈ (mzPolyβ€˜β„€) ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ (𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ ((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2)) ∈ (mzPolyβ€˜β„€))
183180, 181, 182sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ (𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ ((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2)) ∈ (mzPolyβ€˜β„€))
18499a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ β„• βŠ† β„€)
185 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))
186 mzpresrename 41790 . . . . . . . . . . . 12 ((β„€ ∈ V ∧ β„• βŠ† β„€ ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•)) β†’ (𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))) ∈ (mzPolyβ€˜β„€))
187176, 184, 185, 186syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ (𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))) ∈ (mzPolyβ€˜β„€))
188 mzpexpmpt 41785 . . . . . . . . . . 11 (((𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))) ∈ (mzPolyβ€˜β„€) ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ (𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2)) ∈ (mzPolyβ€˜β„€))
189187, 181, 188sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ (𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2)) ∈ (mzPolyβ€˜β„€))
190 mzpaddmpt 41781 . . . . . . . . . 10 (((𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ ((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2)) ∈ (mzPolyβ€˜β„€) ∧ (𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2)) ∈ (mzPolyβ€˜β„€)) β†’ (𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2))) ∈ (mzPolyβ€˜β„€))
191183, 189, 190syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ (𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2))) ∈ (mzPolyβ€˜β„€))
192 eldioph2 41802 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β„€ ∈ V ∧ (1...𝑁) βŠ† β„€) ∧ (𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2))) ∈ (mzPolyβ€˜β„€)) β†’ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (β„•0 ↑m β„€)(𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2)))β€˜π‘“) = 0)} ∈ (Diophβ€˜π‘))
193170, 175, 191, 192syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (β„•0 ↑m β„€)(𝑐 = (𝑓 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ ((𝑔 ∈ (β„€ ↑m β„€) ↦ (((π‘Žβ€˜(𝑔 β†Ύ (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))))↑2) + ((π‘β€˜(𝑔 β†Ύ β„•))↑2)))β€˜π‘“) = 0)} ∈ (Diophβ€˜π‘))
194169, 193eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ ({𝑐 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))(𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0)} ∩ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)(𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)}) ∈ (Diophβ€˜π‘))
195 ineq12 4207 . . . . . . . 8 ((𝐴 = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))(𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0)} ∧ 𝐡 = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)(𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)}) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) = ({𝑐 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))(𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0)} ∩ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)(𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)}))
196195eleq1d 2818 . . . . . . 7 ((𝐴 = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))(𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0)} ∧ 𝐡 = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)(𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)}) β†’ ((𝐴 ∩ 𝐡) ∈ (Diophβ€˜π‘) ↔ ({𝑐 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))(𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0)} ∩ {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)(𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)}) ∈ (Diophβ€˜π‘)))
197194, 196syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))) ∧ 𝑏 ∈ (mzPolyβ€˜β„•))) β†’ ((𝐴 = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))(𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0)} ∧ 𝐡 = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)(𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)}) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ (Diophβ€˜π‘)))
198197rexlimdvva 3211 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))βˆƒπ‘ ∈ (mzPolyβ€˜β„•)(𝐴 = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))(𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0)} ∧ 𝐡 = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)(𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)}) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ (Diophβ€˜π‘)))
19929, 198biimtrrid 242 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((βˆƒπ‘Ž ∈ (mzPolyβ€˜(β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))𝐴 = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„•0 ↑m (β„€ βˆ– (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))))(𝑐 = (𝑑 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘Žβ€˜π‘‘) = 0)} ∧ βˆƒπ‘ ∈ (mzPolyβ€˜β„•)𝐡 = {𝑐 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ (β„•0 ↑m β„•)(𝑐 = (𝑒 β†Ύ (1...𝑁)) ∧ (π‘β€˜π‘’) = 0)}) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ (Diophβ€˜π‘)))
20028, 199sylbid 239 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 ∈ (Diophβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (Diophβ€˜π‘)) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ (Diophβ€˜π‘)))
2011, 200syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (Diophβ€˜π‘) β†’ ((𝐴 ∈ (Diophβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (Diophβ€˜π‘)) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ (Diophβ€˜π‘)))
202201anabsi5 667 1 ((𝐴 ∈ (Diophβ€˜π‘) ∧ 𝐡 ∈ (Diophβ€˜π‘)) β†’ (𝐴 ∩ 𝐡) ∈ (Diophβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   ↑m cmap 8822   β‰ˆ cen 8938  Fincfn 8941  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  β†‘cexp 14031  mzPolycmzp 41762  Diophcdioph 41795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-mzpcl 41763  df-mzp 41764  df-dioph 41796
This theorem is referenced by:  anrabdioph  41820
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