Theorem elmapssresd 8900

Description: A restricted mapping is a mapping. EDITORIAL: Could be used to shorten elpm2r 8870 with some reordering involving mapsspm 8909. (Contributed by SN, 11-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapssresd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶))
elmapssresd.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
elmapssresd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ↾ 𝐷) ∈ (𝐵 ↑m 𝐷))

Proof of Theorem elmapssresd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapssresd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶))
2		elmapssresd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐶)
3		elmapssres 8899	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐶) → (𝐴 ↾ 𝐷) ∈ (𝐵 ↑m 𝐷))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↾ 𝐷) ∈ (𝐵 ↑m 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   ↾ cres 5652  (class class class)co 7422   ↑_m cmap 8852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-fv 6549  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-map 8854

This theorem is used by:  selvply1rhm0  34206  extvfvvcl  34215  extvfvcl  34216  evlextv  34222  esplyind  34255  evlselv  43724