Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapcod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapcod 41733
Description: Compose two mappings. (Contributed by SN, 11-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mapcod.1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵))
mapcod.2 (𝜑𝐺 ∈ (𝐵m 𝐶))
Assertion
Ref Expression
mapcod (𝜑 → (𝐹𝐺) ∈ (𝐴m 𝐶))

Proof of Theorem mapcod
StepHypRef Expression
1 mapcod.1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵))
2 elmapex 8867 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
43simpld 494 . 2 (𝜑𝐴 ∈ V)
5 mapcod.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (𝐵m 𝐶))
6 elmapex 8867 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐵m 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
87simprd 495 . 2 (𝜑𝐶 ∈ V)
9 elmapi 8868 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) → 𝐹:𝐵𝐴)
101, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
11 elmapi 8868 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐵m 𝐶) → 𝐺:𝐶𝐵)
125, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝐺:𝐶𝐵)
1310, 12fcod 6749 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐺):𝐶𝐴)
144, 8, 13elmapdd 8860 1 (𝜑 → (𝐹𝐺) ∈ (𝐴m 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2099  Vcvv 3471  ccom 5682  wf 6544  (class class class)co 7420  m cmap 8845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-map 8847
This theorem is referenced by:  evlselv  41820
  Copyright terms: Public domain W3C validator