Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapcod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapcod 41602
Description: Compose two mappings. (Contributed by SN, 11-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mapcod.1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵))
mapcod.2 (𝜑𝐺 ∈ (𝐵m 𝐶))
Assertion
Ref Expression
mapcod (𝜑 → (𝐹𝐺) ∈ (𝐴m 𝐶))

Proof of Theorem mapcod
StepHypRef Expression
1 mapcod.1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵))
2 elmapex 8839 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
43simpld 494 . 2 (𝜑𝐴 ∈ V)
5 mapcod.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (𝐵m 𝐶))
6 elmapex 8839 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐵m 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
87simprd 495 . 2 (𝜑𝐶 ∈ V)
9 elmapi 8840 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) → 𝐹:𝐵𝐴)
101, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
11 elmapi 8840 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐵m 𝐶) → 𝐺:𝐶𝐵)
125, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝐺:𝐶𝐵)
1310, 12fcod 6734 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐺):𝐶𝐴)
144, 8, 13elmapdd 8832 1 (𝜑 → (𝐹𝐺) ∈ (𝐴m 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2098  Vcvv 3466  ccom 5671  wf 6530  (class class class)co 7402  m cmap 8817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-map 8819
This theorem is referenced by:  evlselv  41690
  Copyright terms: Public domain W3C validator