Theorem mapsspm 8890

Description: Set exponentiation is a subset of partial maps. (Contributed by NM, 15-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mapsspm	⊢ (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ (𝐴 ↑pm 𝐵)

Proof of Theorem mapsspm

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 8862	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2	1	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3	1	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
4		elmapi 8863	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → 𝑓:𝐵⟶𝐴)
5		fpmg 8882	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵))
7	6	ssriv 3962	1 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ (𝐴 ↑pm 𝐵)

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  ⟶wf 6527  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840   ↑_pm cpm 8841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-map 8842  df-pm 8843

This theorem is referenced by:  mapsspw  8892  wunmap  10740  dvntaylp  26331  taylthlem1  26333  taylthlem2  26334  taylthlem2OLD  26335  mrsubrn  35535  mrsubff1  35536  msubrn  35551  msubff1  35578