Theorem mapsspm 8870

Description: Set exponentiation is a subset of partial maps. (Contributed by NM, 15-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mapsspm	⊢ (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ (𝐴 ↑pm 𝐵)

Proof of Theorem mapsspm

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 8842	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2	1	simprd 497	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3	1	simpld 496	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
4		elmapi 8843	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → 𝑓:𝐵⟶𝐴)
5		fpmg 8862	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵))
7	6	ssriv 3987	1 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ (𝐴 ↑pm 𝐵)

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ⊆ wss 3949  ⟶wf 6540  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8820   ↑_pm cpm 8821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822  df-pm 8823

This theorem is referenced by:  mapsspw  8872  wunmap  10721  dvntaylp  25883  taylthlem1  25885  taylthlem2  25886  mrsubrn  34504  mrsubff1  34505  msubrn  34520  msubff1  34547