Theorem mapsspm 8915

Description: Set exponentiation is a subset of partial maps. (Contributed by NM, 15-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mapsspm	⊢ (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ (𝐴 ↑pm 𝐵)

Proof of Theorem mapsspm

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 8887	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2	1	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3	1	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
4		elmapi 8888	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → 𝑓:𝐵⟶𝐴)
5		fpmg 8907	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑓:𝐵⟶𝐴) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵))
7	6	ssriv 3999	1 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐵) ⊆ (𝐴 ↑pm 𝐵)

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ⟶wf 6559  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865   ↑_pm cpm 8866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-pm 8868

This theorem is referenced by:  mapsspw  8917  wunmap  10764  dvntaylp  26428  taylthlem1  26430  taylthlem2  26431  taylthlem2OLD  26432  mrsubrn  35498  mrsubff1  35499  msubrn  35514  msubff1  35541