Theorem eqbrtrdi 5139

Description: A chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 12-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqbrtrdi.2	⊢ 𝐵𝑅𝐶

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrdi	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrdi.2	. 2 ⊢ 𝐵𝑅𝐶
2		eqbrtrdi.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	breq1d 5110	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
4	1, 3	mpbiri 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   class class class wbr 5100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101

This theorem is referenced by:  eqbrtrrdi  5140  domunsn  9067  mapdom1  9082  mapdom2  9088  pm54.43  9925  infmap2  10139  inar1  10698  gruina  10741  nn0ledivnn  13032  xltnegi  13143  leexp1a  14110  discr  14175  facwordi  14224  faclbnd3  14227  hashgt12el  14357  hashle2pr  14412  cnpart  15175  geomulcvg  15811  dvds1  16258  ramz2  16964  ramz  16965  gex1  19532  sylow2a  19560  en1top  22940  en2top  22941  hmph0  23751  ptcmplem2  24009  dscmet  24528  dscopn  24529  xrge0tsms2  24792  htpycc  24947  pcohtpylem  24987  pcopt  24990  pcopt2  24991  pcoass  24992  pcorevlem  24994  vitalilem5  25581  dvef  25952  dveq0  25973  dv11cn  25974  deg1lt0  26064  ply1rem  26139  fta1g  26143  plyremlem  26280  aalioulem3  26310  pige3ALT  26497  relogrn  26538  logneg  26565  cxpaddlelem  26729  mule1  27126  ppiub  27183  dchrabs2  27241  bposlem1  27263  zabsle1  27275  lgseisen  27358  lgsquadlem2  27360  rpvmasumlem  27466  qabvle  27604  ostth3  27617  precsexlem9  28223  nnsrecgt0d  28359  colinearalg  28995  eengstr  29065  clwwlknon1le1  30188  eucrct2eupth  30332  nmosetn0  30853  nmoo0  30879  siii  30941  bcsiALT  31267  branmfn  32193  fzo0opth  32894  drngidlhash  33527  m1pmeq  33678  cos9thpiminplylem1  33960  esumrnmpt2  34246  ballotlemrc  34709  pthhashvtx  35344  subfacval3  35405  sconnpi1  35455  fz0n  35947  poimirlem31  37902  itg2addnclem  37922  ftc1anc  37952  safesnsupfidom1o  43773  radcnvrat  44670  infxr  45725  stoweidlem18  46376  stoweidlem55  46413  fourierdlem62  46526  fourierswlem  46588  chnsubseqwl  47237  exple2lt6  48724  fvconstdomi  49251  f1omoALT  49254  indthincALT  49822