Theorem ensn1 9086

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.) Avoid ax-un 7783. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	⊢ {𝐴} ≈ 1o

Proof of Theorem ensn1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5404	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩} ∈ V
2		f1oeq1 6842	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨𝐴, ∅⟩} → (𝑓:{𝐴}⟶1-1onto{∅} ↔ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}⟶1-1onto{∅}))
3		ensn1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		0ex 5267	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5	3, 4	f1osn 6897	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}⟶1-1onto{∅}
6	1, 2, 5	ceqsexv2d 3503	. . 3 ⊢ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}⟶1-1onto{∅}
7		snex 5404	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
8		snex 5404	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
9		breng 9020	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}⟶1-1onto{∅}))
10	7, 8, 9	mp2an 705	. . 3 ⊢ ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}⟶1-1onto{∅})
11	6, 10	mpbir 234	. 2 ⊢ {𝐴} ≈ {∅}
12		df1o2 8521	. 2 ⊢ 1o = {∅}
13	11, 12	breqtrri 5138	1 ⊢ {𝐴} ≈ 1o

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟨cop 4840   class class class wbr 5108  ⟶1-1ontowf1o 6565  1_oc1o 8507   ≈ cen 9008

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-suc 6394  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-1o 8514  df-en 9012

This theorem is used by:  ensn1g  9087  en1  9089  sdom1  9279  pm54.43  10121  1nprm  16898  gex1  19856  sylow2a  19884  0frgp  20044  en1top  23357  en2top  23358  t1connperf  23809  ptcmplem2  24427  xrge0tsms2  25210  fldlring  34135  sconnpi1  36212  setcsnterm  50956