Theorem ensn1 9027

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.) Avoid ax-un 7736. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	⊢ {𝐴} ≈ 1o

Proof of Theorem ensn1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5404	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩} ∈ V
2		f1oeq1 6805	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨𝐴, ∅⟩} → (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅} ↔ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
3		ensn1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		0ex 5264	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5	3, 4	f1osn 6859	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
6	1, 2, 5	ceqsexv2d 3499	. . 3 ⊢ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
7		snex 5404	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
8		snex 5404	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
9		breng 8961	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
10	7, 8, 9	mp2an 705	. . 3 ⊢ ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅})
11	6, 10	mpbir 234	. 2 ⊢ {𝐴} ≈ {∅}
12		df1o2 8462	. 2 ⊢ 1o = {∅}
13	11, 12	breqtrri 5132	1 ⊢ {𝐴} ≈ 1o

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ∅c0 4279  {csn 4584  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  –1-1-onto→wf1o 6532  1_oc1o 8448   ≈ cen 8949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-suc 6363  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-1o 8455  df-en 8953

This theorem is used by:  ensn1g  9028  en1  9030  sdom1  9220  pm54.43  10006  1nprm  16769  gex1  19718  sylow2a  19746  0frgp  19906  en1top  23209  en2top  23210  t1connperf  23661  ptcmplem2  24279  xrge0tsms2  25062  fldlring  33909  sconnpi1  35818  setcsnterm  50416