Theorem ensn1 9014

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.) Avoid ax-un 7732. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	⊢ {𝐴} ≈ 1o

Proof of Theorem ensn1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5410	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩} ∈ V
2		f1oeq1 6808	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨𝐴, ∅⟩} → (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅} ↔ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
3		ensn1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		0ex 5270	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5	3, 4	f1osn 6862	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
6	1, 2, 5	ceqsexv2d 3504	. . 3 ⊢ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
7		snex 5410	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
8		snex 5410	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
9		breng 8948	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
10	7, 8, 9	mp2an 704	. . 3 ⊢ ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅})
11	6, 10	mpbir 234	. 2 ⊢ {𝐴} ≈ {∅}
12		df1o2 8456	. 2 ⊢ 1o = {∅}
13	11, 12	breqtrri 5138	1 ⊢ {𝐴} ≈ 1o

Syntax hints:   ↔ wb 209  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4286  {csn 4589  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109  –1-1-onto→wf1o 6535  1_oc1o 8442   ≈ cen 8936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-suc 6366  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-1o 8449  df-en 8940

This theorem is referenced by:  ensn1g  9015  en1  9017  sdom1  9206  pm54.43  9983  1nprm  16732  gex1  19656  sylow2a  19684  0frgp  19844  en1top  23141  en2top  23142  t1connperf  23593  ptcmplem2  24210  xrge0tsms2  24993  fldlring  33789  sconnpi1  35731  setcsnterm  50268