Theorem ensn1 8938

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.) Avoid ax-un 7663. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	⊢ {𝐴} ≈ 1o

Proof of Theorem ensn1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5369	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩} ∈ V
2		f1oeq1 6746	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨𝐴, ∅⟩} → (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅} ↔ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
3		ensn1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		0ex 5240	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5	3, 4	f1osn 6798	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
6	1, 2, 5	ceqsexv2d 3487	. . 3 ⊢ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
7		snex 5369	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
8		snex 5369	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
9		breng 8873	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
10	7, 8, 9	mp2an 692	. . 3 ⊢ ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅})
11	6, 10	mpbir 231	. 2 ⊢ {𝐴} ≈ {∅}
12		df1o2 8387	. 2 ⊢ 1o = {∅}
13	11, 12	breqtrri 5113	1 ⊢ {𝐴} ≈ 1o

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4278  {csn 4571  ⟨cop 4577   class class class wbr 5086  –1-1-onto→wf1o 6475  1_oc1o 8373   ≈ cen 8861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2535  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-suc 6307  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-1o 8380  df-en 8865

This theorem is referenced by:  ensn1g  8939  en1  8941  sdom1  9129  fodomfiOLD  9209  pm54.43  9889  1nprm  16585  gex1  19498  sylow2a  19526  0frgp  19686  en1top  22894  en2top  22895  t1connperf  23346  ptcmplem2  23963  xrge0tsms2  24746  sconnpi1  35275  setcsnterm  49522