Theorem ensn1 9020

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.) Avoid ax-un 7738. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	⊢ {𝐴} ≈ 1o

Proof of Theorem ensn1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5412	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩} ∈ V
2		f1oeq1 6812	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨𝐴, ∅⟩} → (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅} ↔ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
3		ensn1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		0ex 5272	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5	3, 4	f1osn 6866	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
6	1, 2, 5	ceqsexv2d 3506	. . 3 ⊢ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
7		snex 5412	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
8		snex 5412	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
9		breng 8954	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
10	7, 8, 9	mp2an 705	. . 3 ⊢ ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅})
11	6, 10	mpbir 234	. 2 ⊢ {𝐴} ≈ {∅}
12		df1o2 8462	. 2 ⊢ 1o = {∅}
13	11, 12	breqtrri 5140	1 ⊢ {𝐴} ≈ 1o

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ∅c0 4286  {csn 4591  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111  –1-1-onto→wf1o 6539  1_oc1o 8448   ≈ cen 8942

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2569  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-suc 6370  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-1o 8455  df-en 8946

This theorem is used by:  ensn1g  9021  en1  9023  sdom1  9213  pm54.43  9999  1nprm  16755  gex1  19685  sylow2a  19713  0frgp  19873  en1top  23171  en2top  23172  t1connperf  23623  ptcmplem2  24241  xrge0tsms2  25024  fldlring  33829  sconnpi1  35744  setcsnterm  50301