Theorem ensn1 8970

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.) Avoid ax-un 7690. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	⊢ {𝐴} ≈ 1o

Proof of Theorem ensn1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5385	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩} ∈ V
2		f1oeq1 6770	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨𝐴, ∅⟩} → (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅} ↔ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
3		ensn1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		0ex 5254	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5	3, 4	f1osn 6823	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
6	1, 2, 5	ceqsexv2d 3493	. . 3 ⊢ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
7		snex 5385	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
8		snex 5385	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
9		breng 8904	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
10	7, 8, 9	mp2an 693	. . 3 ⊢ ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅})
11	6, 10	mpbir 231	. 2 ⊢ {𝐴} ≈ {∅}
12		df1o2 8414	. 2 ⊢ 1o = {∅}
13	11, 12	breqtrri 5127	1 ⊢ {𝐴} ≈ 1o

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ∅c0 4287  {csn 4582  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  –1-1-onto→wf1o 6499  1_oc1o 8400   ≈ cen 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-suc 6331  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-1o 8407  df-en 8896

This theorem is referenced by:  ensn1g  8971  en1  8973  sdom1  9162  fodomfiOLD  9242  pm54.43  9925  1nprm  16618  gex1  19532  sylow2a  19560  0frgp  19720  en1top  22940  en2top  22941  t1connperf  23392  ptcmplem2  24009  xrge0tsms2  24792  sconnpi1  35455  setcsnterm  49849