Theorem ensn1 9041

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.) Avoid ax-un 7749. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	⊢ {𝐴} ≈ 1o

Proof of Theorem ensn1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5397	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩} ∈ V
2		f1oeq1 6810	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨𝐴, ∅⟩} → (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅} ↔ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
3		ensn1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		0ex 5261	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5	3, 4	f1osn 6864	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
6	1, 2, 5	ceqsexv2d 3500	. . 3 ⊢ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
7		snex 5397	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
8		snex 5397	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
9		breng 8975	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
10	7, 8, 9	mp2an 705	. . 3 ⊢ ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅})
11	6, 10	mpbir 234	. 2 ⊢ {𝐴} ≈ {∅}
12		df1o2 8476	. 2 ⊢ 1o = {∅}
13	11, 12	breqtrri 5132	1 ⊢ {𝐴} ≈ 1o

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ∅c0 4279  {csn 4584  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  –1-1-onto→wf1o 6536  1_oc1o 8462   ≈ cen 8963

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-suc 6367  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-1o 8469  df-en 8967

This theorem is used by:  ensn1g  9042  en1  9044  sdom1  9234  pm54.43  10075  1nprm  16847  gex1  19798  sylow2a  19826  0frgp  19986  en1top  23295  en2top  23296  t1connperf  23747  ptcmplem2  24365  xrge0tsms2  25148  fldlring  34024  sconnpi1  35983  setcsnterm  50567