Theorem ensn1 8962

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.) Avoid ax-un 7682. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	⊢ {𝐴} ≈ 1o

Proof of Theorem ensn1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5382	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩} ∈ V
2		f1oeq1 6763	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨𝐴, ∅⟩} → (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅} ↔ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
3		ensn1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		0ex 5253	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5	3, 4	f1osn 6816	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
6	1, 2, 5	ceqsexv2d 3492	. . 3 ⊢ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
7		snex 5382	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
8		snex 5382	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
9		breng 8896	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
10	7, 8, 9	mp2an 693	. . 3 ⊢ ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅})
11	6, 10	mpbir 231	. 2 ⊢ {𝐴} ≈ {∅}
12		df1o2 8406	. 2 ⊢ 1o = {∅}
13	11, 12	breqtrri 5126	1 ⊢ {𝐴} ≈ 1o

Syntax hints:   ↔ wb 206  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441  ∅c0 4286  {csn 4581  ⟨cop 4587   class class class wbr 5099  –1-1-onto→wf1o 6492  1_oc1o 8392   ≈ cen 8884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-suc 6324  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-1o 8399  df-en 8888

This theorem is referenced by:  ensn1g  8963  en1  8965  sdom1  9154  fodomfiOLD  9234  pm54.43  9917  1nprm  16610  gex1  19524  sylow2a  19552  0frgp  19712  en1top  22932  en2top  22933  t1connperf  23384  ptcmplem2  24001  xrge0tsms2  24784  sconnpi1  35414  setcsnterm  49771