Theorem ensn1 9049

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.) Avoid ax-un 7751. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	⊢ {𝐴} ≈ 1o

Proof of Theorem ensn1

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5396	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩} ∈ V
2		f1oeq1 6812	. . . 4 ⊢ (𝑓 = {⟨𝐴, ∅⟩} → (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅} ↔ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
3		ensn1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		0ex 5260	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5	3, 4	f1osn 6866	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, ∅⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
6	1, 2, 5	ceqsexv2d 3499	. . 3 ⊢ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}
7		snex 5396	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
8		snex 5396	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
9		breng 8983	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {∅} ∈ V) → ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅}))
10	7, 8, 9	mp2an 705	. . 3 ⊢ ({𝐴} ≈ {∅} ↔ ∃𝑓 𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{∅})
11	6, 10	mpbir 234	. 2 ⊢ {𝐴} ≈ {∅}
12		df1o2 8484	. 2 ⊢ 1o = {∅}
13	11, 12	breqtrri 5131	1 ⊢ {𝐴} ≈ 1o

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4278  {csn 4583  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102  –1-1-onto→wf1o 6537  1_oc1o 8470   ≈ cen 8971

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-suc 6368  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-1o 8477  df-en 8975

This theorem is used by:  ensn1g  9050  en1  9052  sdom1  9242  pm54.43  10083  1nprm  16855  gex1  19806  sylow2a  19834  0frgp  19994  en1top  23303  en2top  23304  t1connperf  23755  ptcmplem2  24373  xrge0tsms2  25156  fldlring  34074  sconnpi1  36073  setcsnterm  50674