Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmph0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmph0 22508
 Description: A topology homeomorphic to the empty set is empty. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmph0 (𝐽 ≃ {∅} ↔ 𝐽 = {∅})

Proof of Theorem hmph0
StepHypRef Expression
1 hmphen 22498 . . . 4 (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ≈ {∅})
2 df1o2 8132 . . . 4 1o = {∅}
31, 2breqtrrdi 5078 . . 3 (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ≈ 1o)
4 hmphtop1 22492 . . . 4 (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ∈ Top)
5 en1top 21697 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o𝐽 = {∅}))
64, 5syl 17 . . 3 (𝐽 ≃ {∅} → (𝐽 ≈ 1o𝐽 = {∅}))
73, 6mpbid 235 . 2 (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 = {∅})
8 id 22 . . 3 (𝐽 = {∅} → 𝐽 = {∅})
9 sn0top 21712 . . . 4 {∅} ∈ Top
10 hmphref 22494 . . . 4 ({∅} ∈ Top → {∅} ≃ {∅})
119, 10ax-mp 5 . . 3 {∅} ≃ {∅}
128, 11eqbrtrdi 5075 . 2 (𝐽 = {∅} → 𝐽 ≃ {∅})
137, 12impbii 212 1 (𝐽 ≃ {∅} ↔ 𝐽 = {∅})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∅c0 4227  {csn 4525   class class class wbr 5036  1oc1o 8111   ≈ cen 8537  Topctop 21606   ≃ chmph 22467 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-top 21607  df-topon 21624  df-cn 21940  df-hmeo 22468  df-hmph 22469 This theorem is referenced by:  hmphindis  22510
 Copyright terms: Public domain W3C validator