Theorem hmph0 23917

Description: A topology homeomorphic to the empty set is empty. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmph0	⊢ (𝐽 ≃ {∅} ↔ 𝐽 = {∅})

Proof of Theorem hmph0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmphen 23907	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ≈ {∅})
2		df1o2 8456	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
3	1, 2	breqtrrdi 5154	. . 3 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ≈ 1o)
4		hmphtop1 23901	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ∈ Top)
5		en1top 23106	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o ↔ 𝐽 = {∅}))
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → (𝐽 ≈ 1o ↔ 𝐽 = {∅}))
7	3, 6	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 = {∅})
8		id 23	. . 3 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 = {∅})
9		sn0top 23121	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Top
10		hmphref 23903	. . . 4 ⊢ ({∅} ∈ Top → {∅} ≃ {∅})
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅} ≃ {∅}
12	8, 11	eqbrtrdi 5151	. 2 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 ≃ {∅})
13	7, 12	impbii 212	1 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} ↔ 𝐽 = {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∅c0 4294  {csn 4591   class class class wbr 5110  1_oc1o 8442   ≈ cen 8936  Topctop 23015   ≃ chmph 23876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-1o 8449  df-map 8822  df-en 8940  df-top 23016  df-topon 23033  df-cn 23349  df-hmeo 23877  df-hmph 23878

This theorem is referenced by:  hmphindis  23919