Theorem hmph0 23804

Description: A topology homeomorphic to the empty set is empty. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmph0	⊢ (𝐽 ≃ {∅} ↔ 𝐽 = {∅})

Proof of Theorem hmph0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmphen 23794	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ≈ {∅})
2		df1o2 8514	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
3	1, 2	breqtrrdi 5184	. . 3 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ≈ 1o)
4		hmphtop1 23788	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ∈ Top)
5		en1top 22992	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o ↔ 𝐽 = {∅}))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → (𝐽 ≈ 1o ↔ 𝐽 = {∅}))
7	3, 6	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 = {∅})
8		id 22	. . 3 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 = {∅})
9		sn0top 23007	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Top
10		hmphref 23790	. . . 4 ⊢ ({∅} ∈ Top → {∅} ≃ {∅})
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅} ≃ {∅}
12	8, 11	eqbrtrdi 5181	. 2 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 ≃ {∅})
13	7, 12	impbii 209	1 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} ↔ 𝐽 = {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∅c0 4332  {csn 4625   class class class wbr 5142  1_oc1o 8500   ≈ cen 8983  Topctop 22900   ≃ chmph 23763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-1o 8507  df-map 8869  df-en 8987  df-top 22901  df-topon 22918  df-cn 23236  df-hmeo 23764  df-hmph 23765

This theorem is referenced by:  hmphindis  23806