Theorem hmph0 22854

Description: A topology homeomorphic to the empty set is empty. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmph0	⊢ (𝐽 ≃ {∅} ↔ 𝐽 = {∅})

Proof of Theorem hmph0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmphen 22844	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ≈ {∅})
2		df1o2 8279	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
3	1, 2	breqtrrdi 5112	. . 3 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ≈ 1o)
4		hmphtop1 22838	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ∈ Top)
5		en1top 22042	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o ↔ 𝐽 = {∅}))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → (𝐽 ≈ 1o ↔ 𝐽 = {∅}))
7	3, 6	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 = {∅})
8		id 22	. . 3 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 = {∅})
9		sn0top 22057	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Top
10		hmphref 22840	. . . 4 ⊢ ({∅} ∈ Top → {∅} ≃ {∅})
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅} ≃ {∅}
12	8, 11	eqbrtrdi 5109	. 2 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 ≃ {∅})
13	7, 12	impbii 208	1 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} ↔ 𝐽 = {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∅c0 4253  {csn 4558   class class class wbr 5070  1_oc1o 8260   ≈ cen 8688  Topctop 21950   ≃ chmph 22813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-top 21951  df-topon 21968  df-cn 22286  df-hmeo 22814  df-hmph 22815

This theorem is referenced by:  hmphindis  22856