Theorem hmph0 24003

Description: A topology homeomorphic to the empty set is empty. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmph0	⊢ (𝐽 ≃ {∅} ↔ 𝐽 = {∅})

Proof of Theorem hmph0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmphen 23993	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ≈ {∅})
2		df1o2 8466	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
3	1, 2	breqtrrdi 5155	. . 3 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ≈ 1o)
4		hmphtop1 23987	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ∈ Top)
5		en1top 23191	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o ↔ 𝐽 = {∅}))
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → (𝐽 ≈ 1o ↔ 𝐽 = {∅}))
7	3, 6	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 = {∅})
8		id 23	. . 3 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 = {∅})
9		sn0top 23206	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Top
10		hmphref 23989	. . . 4 ⊢ ({∅} ∈ Top → {∅} ≃ {∅})
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅} ≃ {∅}
12	8, 11	eqbrtrdi 5152	. 2 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 ≃ {∅})
13	7, 12	impbii 212	1 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} ↔ 𝐽 = {∅})

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∅c0 4286  {csn 4591   class class class wbr 5111  1_oc1o 8452   ≈ cen 8946  Topctop 23100   ≃ chmph 23962

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-1o 8459  df-map 8832  df-en 8950  df-top 23101  df-topon 23118  df-cn 23434  df-hmeo 23963  df-hmph 23964

This theorem is used by:  hmphindis  24005