Theorem hmph0 23689

Description: A topology homeomorphic to the empty set is empty. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmph0	⊢ (𝐽 ≃ {∅} ↔ 𝐽 = {∅})

Proof of Theorem hmph0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmphen 23679	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ≈ {∅})
2		df1o2 8444	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
3	1, 2	breqtrrdi 5152	. . 3 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ≈ 1o)
4		hmphtop1 23673	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 ∈ Top)
5		en1top 22878	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o ↔ 𝐽 = {∅}))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → (𝐽 ≈ 1o ↔ 𝐽 = {∅}))
7	3, 6	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} → 𝐽 = {∅})
8		id 22	. . 3 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 = {∅})
9		sn0top 22893	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Top
10		hmphref 23675	. . . 4 ⊢ ({∅} ∈ Top → {∅} ≃ {∅})
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅} ≃ {∅}
12	8, 11	eqbrtrdi 5149	. 2 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 ≃ {∅})
13	7, 12	impbii 209	1 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} ↔ 𝐽 = {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4299  {csn 4592   class class class wbr 5110  1_oc1o 8430   ≈ cen 8918  Topctop 22787   ≃ chmph 23648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8437  df-map 8804  df-en 8922  df-top 22788  df-topon 22805  df-cn 23121  df-hmeo 23649  df-hmph 23650

This theorem is referenced by:  hmphindis  23691