Theorem entr 8775

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 8770	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 8496	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1549	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396  ⊤wtru 1543  Vcvv 3431   class class class wbr 5079   Er wer 8478   ≈ cen 8713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-er 8481  df-en 8717

This theorem is referenced by:  entri  8777  snmapen1  8812  en2snOLDOLD  8816  xpsnen2g  8834  omxpen  8843  enen1  8886  enen2  8887  map2xp  8916  pwen  8919  ssenen  8920  ssfiALT  8939  snnen2o  8980  phplem4OLD  8985  php3OLD  8989  fineqvlem  9015  en1eqsn  9026  dif1enALT  9028  unfiOLD  9059  unxpwdom2  9325  infdifsn  9393  infdiffi  9394  karden  9654  xpnum  9710  cardidm  9718  ficardom  9720  carden2a  9725  carden2b  9726  isinffi  9751  pm54.43  9760  pr2ne  9762  en2eqpr  9764  en2eleq  9765  infxpenlem  9770  infxpidm2  9774  mappwen  9869  finnisoeu  9870  djuen  9926  djuenun  9927  dju1dif  9929  djuassen  9935  mapdjuen  9937  pwdjuen  9938  infdju1  9946  pwdju1  9947  pwdjuidm  9948  cardadju  9951  nnadju  9954  ficardadju  9956  ficardun  9957  ficardunOLD  9958  pwsdompw  9961  infxp  9972  infmap2  9975  ackbij1lem5  9981  ackbij1lem9  9985  ackbij1b  9996  fin4en1  10066  isfin4p1  10072  fin23lem23  10083  domtriomlem  10199  axcclem  10214  carden  10308  alephadd  10334  gchdjuidm  10425  gchxpidm  10426  gchpwdom  10427  gchhar  10436  tskuni  10540  fzen2  13687  hashdvds  16474  unbenlem  16607  unben  16608  4sqlem11  16654  pmtrfconj  19072  psgnunilem1  19099  odinf  19168  dfod2  19169  sylow2blem1  19223  sylow2  19229  simpgnsgd  19701  frlmisfrlm  21053  hmphindis  22946  dyadmbl  24762  fnpreimac  31004  padct  31050  f1ocnt  31119  volmeas  32195  sconnpi1  33197  lzenom  40589  fiphp3d  40638  frlmpwfi  40920  isnumbasgrplem3  40927  fiuneneq  41019  rp-isfinite5  41103  enrelmap  41575  enrelmapr  41576  enmappw  41577  uspgrymrelen  45284