Theorem entr 8954

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 8949	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 8663	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1547	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ⊤wtru 1541  Vcvv 3444   class class class wbr 5102   Er wer 8645   ≈ cen 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-er 8648  df-en 8896

This theorem is referenced by:  entri  8956  snmapen1  8987  xpsnen2g  9011  omxpen  9020  enen1  9058  enen2  9059  map2xp  9088  pwen  9091  ssenen  9092  ssfiALT  9115  fineqvlem  9185  en1eqsnOLD  9196  dif1ennnALT  9198  unxpwdom2  9517  infdifsn  9586  infdiffi  9587  karden  9824  xpnum  9880  cardidm  9888  ficardom  9890  carden2a  9895  carden2b  9896  isinffi  9921  pm54.43  9930  pr2neOLD  9934  en2eqpr  9936  en2eleq  9937  infxpenlem  9942  infxpidm2  9946  mappwen  10041  finnisoeu  10042  djuen  10099  djuenun  10100  dju1dif  10102  djuassen  10108  mapdjuen  10110  pwdjuen  10111  infdju1  10119  pwdju1  10120  pwdjuidm  10121  cardadju  10124  nnadju  10127  ficardadju  10129  ficardun  10130  pwsdompw  10132  infxp  10143  infmap2  10146  ackbij1lem5  10152  ackbij1lem9  10156  ackbij1b  10167  fin4en1  10238  isfin4p1  10244  fin23lem23  10255  domtriomlem  10371  axcclem  10386  carden  10480  alephadd  10506  gchdjuidm  10597  gchxpidm  10598  gchpwdom  10599  gchhar  10608  tskuni  10712  fzen2  13910  hashdvds  16721  unbenlem  16855  unben  16856  4sqlem11  16902  pmtrfconj  19372  psgnunilem1  19399  odinf  19469  dfod2  19470  sylow2blem1  19526  sylow2  19532  simpgnsgd  20008  frlmisfrlm  21733  hmphindis  23660  dyadmbl  25477  fnpreimac  32568  padct  32616  f1ocnt  32698  volmeas  34194  sconnpi1  35199  lzenom  42731  fiphp3d  42780  frlmpwfi  43060  isnumbasgrplem3  43067  fiuneneq  43154  rp-isfinite5  43479  enrelmap  43959  enrelmapr  43960  enmappw  43961  uspgrymrelen  48114  termcterm2  49476