MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  entr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem entr 8559
Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
entr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem entr
StepHypRef Expression
1 ener 8554 . . . 4 ≈ Er V
21a1i 11 . . 3 (⊤ → ≈ Er V)
32ertr 8302 . 2 (⊤ → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
43mptru 1545 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wtru 1539  Vcvv 3480   class class class wbr 5053   Er wer 8284  cen 8504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-er 8287  df-en 8508
This theorem is referenced by:  entri  8561  snmapen1  8589  en2sn  8591  xpsnen2g  8608  omxpen  8617  enen1  8656  enen2  8657  map2xp  8686  pwen  8689  ssenen  8690  phplem4  8698  php3  8702  snnen2o  8706  fineqvlem  8731  ssfi  8737  en1eqsn  8747  dif1en  8750  unfi  8784  unxpwdom2  9051  infdifsn  9119  infdiffi  9120  karden  9323  xpnum  9379  cardidm  9387  ficardom  9389  carden2a  9394  carden2b  9395  isinffi  9420  pm54.43  9429  pr2ne  9431  en2eqpr  9433  en2eleq  9434  infxpenlem  9439  infxpidm2  9443  mappwen  9538  finnisoeu  9539  djuen  9595  djuenun  9596  dju1dif  9598  djuassen  9604  mapdjuen  9606  pwdjuen  9607  infdju1  9615  pwdju1  9616  pwdjuidm  9617  cardadju  9620  ficardun  9624  pwsdompw  9626  infxp  9637  infmap2  9640  ackbij1lem5  9646  ackbij1lem9  9650  ackbij1b  9661  fin4en1  9731  isfin4p1  9737  fin23lem23  9748  domtriomlem  9864  axcclem  9879  carden  9973  alephadd  9999  gchdjuidm  10090  gchxpidm  10091  gchpwdom  10092  gchhar  10101  tskuni  10205  fzen2  13343  hashdvds  16112  unbenlem  16244  unben  16245  4sqlem11  16291  pmtrfconj  18596  psgnunilem1  18623  odinf  18692  dfod2  18693  sylow2blem1  18747  sylow2  18753  simpgnsgd  19224  frlmisfrlm  20546  hmphindis  22411  dyadmbl  24213  fnpreimac  30435  padct  30476  f1ocnt  30546  volmeas  31575  sconnpi1  32571  lzenom  39655  fiphp3d  39704  frlmpwfi  39986  isnumbasgrplem3  39993  fiuneneq  40085  rp-isfinite5  40169  enrelmap  40643  enrelmapr  40644  enmappw  40645  uspgrymrelen  44334
  Copyright terms: Public domain W3C validator