Theorem entr 8991

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 8986	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 8698	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1570	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400  ⊤wtru 1564  Vcvv 3457   class class class wbr 5104   Er wer 8679   ≈ cen 8928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-er 8682  df-en 8932

This theorem is referenced by:  entri  8993  snmapen1  9024  xpsnen2g  9046  omxpen  9055  enen1  9093  enen2  9094  map2xp  9123  pwen  9126  ssenen  9127  ssfiALT  9146  fineqvlem  9214  dif1ennnALT  9225  unxpwdom2  9538  infdifsn  9614  infdiffi  9615  karden  9869  xpnum  9925  cardidm  9933  ficardom  9935  carden2a  9940  carden2b  9941  isinffi  9966  pm54.43  9975  en2eqpr  9979  en2eleq  9980  infxpenlem  9985  infxpidm2  9989  mappwen  10084  finnisoeu  10085  djuen  10141  djuenun  10142  dju1dif  10144  djuassen  10150  mapdjuen  10152  pwdjuen  10153  infdju1  10161  pwdju1  10162  pwdjuidm  10163  cardadju  10166  nnadju  10169  ficardadju  10171  ficardun  10172  pwsdompw  10174  infxp  10185  infmap2  10188  ackbij1lem5  10194  ackbij1lem9  10198  ackbij1b  10209  fin4en1  10281  isfin4p1  10287  fin23lem23  10298  domtriomlem  10414  axcclem  10429  carden  10523  alephadd  10550  gchdjuidm  10641  gchxpidm  10642  gchpwdom  10643  gchhar  10652  tskuni  10756  fzen2  13993  hashdvds  16822  unbenlem  16956  unben  16957  4sqlem11  17003  pmtrfconj  19524  psgnunilem1  19551  odinf  19621  dfod2  19622  sylow2blem1  19678  sylow2  19684  simpgnsgd  20160  frlmisfrlm  21955  hmphindis  23911  dyadmbl  25716  fnpreimac  32923  padct  32971  f1ocnt  33053  volmeas  34533  sconnpi1  35597  lzenom  43358  fiphp3d  43403  frlmpwfi  43682  isnumbasgrplem3  43689  fiuneneq  43776  rp-isfinite5  44100  enrelmap  44580  enrelmapr  44581  enmappw  44582  uspgrymrelen  48774  termcterm2  50144