Theorem entr 9025

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 9020	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 8739	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1547	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ⊤wtru 1541  Vcvv 3464   class class class wbr 5124   Er wer 8721   ≈ cen 8961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-er 8724  df-en 8965

This theorem is referenced by:  entri  9027  snmapen1  9058  xpsnen2g  9084  omxpen  9093  enen1  9136  enen2  9137  map2xp  9166  pwen  9169  ssenen  9170  ssfiALT  9193  php3OLD  9238  snnen2oOLD  9241  fineqvlem  9275  en1eqsnOLD  9286  dif1ennnALT  9288  unxpwdom2  9607  infdifsn  9676  infdiffi  9677  karden  9914  xpnum  9970  cardidm  9978  ficardom  9980  carden2a  9985  carden2b  9986  isinffi  10011  pm54.43  10020  pr2neOLD  10024  en2eqpr  10026  en2eleq  10027  infxpenlem  10032  infxpidm2  10036  mappwen  10131  finnisoeu  10132  djuen  10189  djuenun  10190  dju1dif  10192  djuassen  10198  mapdjuen  10200  pwdjuen  10201  infdju1  10209  pwdju1  10210  pwdjuidm  10211  cardadju  10214  nnadju  10217  ficardadju  10219  ficardun  10220  pwsdompw  10222  infxp  10233  infmap2  10236  ackbij1lem5  10242  ackbij1lem9  10246  ackbij1b  10257  fin4en1  10328  isfin4p1  10334  fin23lem23  10345  domtriomlem  10461  axcclem  10476  carden  10570  alephadd  10596  gchdjuidm  10687  gchxpidm  10688  gchpwdom  10689  gchhar  10698  tskuni  10802  fzen2  13992  hashdvds  16799  unbenlem  16933  unben  16934  4sqlem11  16980  pmtrfconj  19452  psgnunilem1  19479  odinf  19549  dfod2  19550  sylow2blem1  19606  sylow2  19612  simpgnsgd  20088  frlmisfrlm  21813  hmphindis  23740  dyadmbl  25558  fnpreimac  32654  padct  32702  f1ocnt  32784  volmeas  34267  sconnpi1  35266  lzenom  42768  fiphp3d  42817  frlmpwfi  43097  isnumbasgrplem3  43104  fiuneneq  43191  rp-isfinite5  43516  enrelmap  43996  enrelmapr  43997  enmappw  43998  uspgrymrelen  48108  termcterm2  49379