Theorem entr 8998

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 8993	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 8714	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1549	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397  ⊤wtru 1543  Vcvv 3475   class class class wbr 5147   Er wer 8696   ≈ cen 8932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-er 8699  df-en 8936

This theorem is referenced by:  entri  9000  snmapen1  9035  en2snOLDOLD  9039  xpsnen2g  9061  omxpen  9070  enen1  9113  enen2  9114  map2xp  9143  pwen  9146  ssenen  9147  ssfiALT  9170  phplem4OLD  9216  php3OLD  9220  snnen2oOLD  9223  fineqvlem  9258  en1eqsnOLD  9271  dif1ennnALT  9273  unfiOLD  9309  unxpwdom2  9579  infdifsn  9648  infdiffi  9649  karden  9886  xpnum  9942  cardidm  9950  ficardom  9952  carden2a  9957  carden2b  9958  isinffi  9983  pm54.43  9992  pr2neOLD  9996  en2eqpr  9998  en2eleq  9999  infxpenlem  10004  infxpidm2  10008  mappwen  10103  finnisoeu  10104  djuen  10160  djuenun  10161  dju1dif  10163  djuassen  10169  mapdjuen  10171  pwdjuen  10172  infdju1  10180  pwdju1  10181  pwdjuidm  10182  cardadju  10185  nnadju  10188  ficardadju  10190  ficardun  10191  ficardunOLD  10192  pwsdompw  10195  infxp  10206  infmap2  10209  ackbij1lem5  10215  ackbij1lem9  10219  ackbij1b  10230  fin4en1  10300  isfin4p1  10306  fin23lem23  10317  domtriomlem  10433  axcclem  10448  carden  10542  alephadd  10568  gchdjuidm  10659  gchxpidm  10660  gchpwdom  10661  gchhar  10670  tskuni  10774  fzen2  13930  hashdvds  16704  unbenlem  16837  unben  16838  4sqlem11  16884  pmtrfconj  19327  psgnunilem1  19354  odinf  19424  dfod2  19425  sylow2blem1  19481  sylow2  19487  simpgnsgd  19962  frlmisfrlm  21387  hmphindis  23283  dyadmbl  25099  fnpreimac  31874  padct  31922  f1ocnt  31991  volmeas  33167  sconnpi1  34168  lzenom  41441  fiphp3d  41490  frlmpwfi  41773  isnumbasgrplem3  41780  fiuneneq  41872  rp-isfinite5  42201  enrelmap  42681  enrelmapr  42682  enmappw  42683  uspgrymrelen  46466