Theorem entr 8792

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 8787	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 8513	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1546	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396  ⊤wtru 1540  Vcvv 3432   class class class wbr 5074   Er wer 8495   ≈ cen 8730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-er 8498  df-en 8734

This theorem is referenced by:  entri  8794  snmapen1  8829  en2snOLDOLD  8833  xpsnen2g  8852  omxpen  8861  enen1  8904  enen2  8905  map2xp  8934  pwen  8937  ssenen  8938  ssfiALT  8957  phplem4OLD  9003  php3OLD  9007  snnen2oOLD  9010  fineqvlem  9037  en1eqsn  9048  dif1enALT  9050  unfiOLD  9081  unxpwdom2  9347  infdifsn  9415  infdiffi  9416  karden  9653  xpnum  9709  cardidm  9717  ficardom  9719  carden2a  9724  carden2b  9725  isinffi  9750  pm54.43  9759  pr2ne  9761  en2eqpr  9763  en2eleq  9764  infxpenlem  9769  infxpidm2  9773  mappwen  9868  finnisoeu  9869  djuen  9925  djuenun  9926  dju1dif  9928  djuassen  9934  mapdjuen  9936  pwdjuen  9937  infdju1  9945  pwdju1  9946  pwdjuidm  9947  cardadju  9950  nnadju  9953  ficardadju  9955  ficardun  9956  ficardunOLD  9957  pwsdompw  9960  infxp  9971  infmap2  9974  ackbij1lem5  9980  ackbij1lem9  9984  ackbij1b  9995  fin4en1  10065  isfin4p1  10071  fin23lem23  10082  domtriomlem  10198  axcclem  10213  carden  10307  alephadd  10333  gchdjuidm  10424  gchxpidm  10425  gchpwdom  10426  gchhar  10435  tskuni  10539  fzen2  13689  hashdvds  16476  unbenlem  16609  unben  16610  4sqlem11  16656  pmtrfconj  19074  psgnunilem1  19101  odinf  19170  dfod2  19171  sylow2blem1  19225  sylow2  19231  simpgnsgd  19703  frlmisfrlm  21055  hmphindis  22948  dyadmbl  24764  fnpreimac  31008  padct  31054  f1ocnt  31123  volmeas  32199  sconnpi1  33201  lzenom  40592  fiphp3d  40641  frlmpwfi  40923  isnumbasgrplem3  40930  fiuneneq  41022  rp-isfinite5  41124  enrelmap  41605  enrelmapr  41606  enmappw  41607  uspgrymrelen  45315