Theorem entr 9004

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 8999	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 8720	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1548	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396  ⊤wtru 1542  Vcvv 3474   class class class wbr 5148   Er wer 8702   ≈ cen 8938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-er 8705  df-en 8942

This theorem is referenced by:  entri  9006  snmapen1  9041  en2snOLDOLD  9045  xpsnen2g  9067  omxpen  9076  enen1  9119  enen2  9120  map2xp  9149  pwen  9152  ssenen  9153  ssfiALT  9176  phplem4OLD  9222  php3OLD  9226  snnen2oOLD  9229  fineqvlem  9264  en1eqsnOLD  9277  dif1ennnALT  9279  unfiOLD  9315  unxpwdom2  9585  infdifsn  9654  infdiffi  9655  karden  9892  xpnum  9948  cardidm  9956  ficardom  9958  carden2a  9963  carden2b  9964  isinffi  9989  pm54.43  9998  pr2neOLD  10002  en2eqpr  10004  en2eleq  10005  infxpenlem  10010  infxpidm2  10014  mappwen  10109  finnisoeu  10110  djuen  10166  djuenun  10167  dju1dif  10169  djuassen  10175  mapdjuen  10177  pwdjuen  10178  infdju1  10186  pwdju1  10187  pwdjuidm  10188  cardadju  10191  nnadju  10194  ficardadju  10196  ficardun  10197  ficardunOLD  10198  pwsdompw  10201  infxp  10212  infmap2  10215  ackbij1lem5  10221  ackbij1lem9  10225  ackbij1b  10236  fin4en1  10306  isfin4p1  10312  fin23lem23  10323  domtriomlem  10439  axcclem  10454  carden  10548  alephadd  10574  gchdjuidm  10665  gchxpidm  10666  gchpwdom  10667  gchhar  10676  tskuni  10780  fzen2  13936  hashdvds  16710  unbenlem  16843  unben  16844  4sqlem11  16890  pmtrfconj  19336  psgnunilem1  19363  odinf  19433  dfod2  19434  sylow2blem1  19490  sylow2  19496  simpgnsgd  19972  frlmisfrlm  21409  hmphindis  23308  dyadmbl  25124  fnpreimac  31934  padct  31982  f1ocnt  32051  volmeas  33298  sconnpi1  34299  lzenom  41596  fiphp3d  41645  frlmpwfi  41928  isnumbasgrplem3  41935  fiuneneq  42027  rp-isfinite5  42356  enrelmap  42836  enrelmapr  42837  enmappw  42838  uspgrymrelen  46616