Theorem entr 9071

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 9066	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 8771	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1577	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ⊤wtru 1571  Vcvv 3454   class class class wbr 5108   Er wer 8752   ≈ cen 9008

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-er 8755  df-en 9012

This theorem is used by:  entri  9073  snmapen1  9105  xpsnen2g  9127  omxpen  9136  enen1  9174  enen2  9175  map2xp  9204  pwen  9207  ssenen  9208  ssfiALT  9227  fineqvlem  9295  dif1ennnALT  9306  unxpwdom2  9619  infdifsn  9695  infdiffi  9696  karden  9996  kardenOLD  9997  xpnum  10069  cardidm  10077  ficardom  10079  carden2a  10084  carden2b  10085  isinffi  10112  pm54.43  10121  en2eqpr  10125  en2eleq  10126  infxpenlem  10131  infxpidm2  10135  mappwen  10230  finnisoeu  10231  djuen  10287  djuenun  10288  dju1dif  10290  djuassen  10296  mapdjuen  10298  pwdjuen  10299  infdju1  10307  pwdju1  10308  pwdjuidm  10309  cardadju  10312  nnadju  10315  ficardadju  10317  ficardun  10318  pwsdompw  10320  infxp  10331  infmap2  10334  ackbij1lem5  10340  ackbij1lem9  10344  ackbij1b  10355  fin4en1  10426  isfin4p1  10432  fin23lem23  10443  domtriomlem  10559  axcclem  10574  carden  10674  alephadd  10701  gchdjuidm  10792  gchxpidm  10793  gchpwdom  10794  gchhar  10803  tskuni  10907  fzen2  14152  hashdvds  16996  unbenlem  17130  unben  17131  4sqlem11  17177  pmtrfconj  19731  psgnunilem1  19758  odinf  19828  dfod2  19829  sylow2blem1  19885  sylow2  19891  simpgnsgd  20367  frlmisfrlm  22209  hmphindis  24171  dyadmbl  25976  fnpreimac  33362  padct  33407  f1ocnt  33488  volmeas  34975  kardexen  35972  jltalephlem  36066  sconnpi1  36212  lzenom  44047  fiphp3d  44092  frlmpwfi  44366  isnumbasgrplem3  44372  fiuneneq  44455  rp-isfinite5  44779  enrelmap  45258  enrelmapr  45259  enmappw  45260  uspgrymrelen  49524  termcterm2  50980