Theorem entr 8544

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 8539	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 8287	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1545	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399  ⊤wtru 1539  Vcvv 3441   class class class wbr 5030   Er wer 8269   ≈ cen 8489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-er 8272  df-en 8493

This theorem is referenced by:  entri  8546  snmapen1  8574  en2sn  8576  xpsnen2g  8593  omxpen  8602  enen1  8641  enen2  8642  map2xp  8671  pwen  8674  ssenen  8675  phplem4  8683  php3  8687  snnen2o  8691  fineqvlem  8716  ssfi  8722  en1eqsn  8732  dif1en  8735  unfi  8769  unxpwdom2  9036  infdifsn  9104  infdiffi  9105  karden  9308  xpnum  9364  cardidm  9372  ficardom  9374  carden2a  9379  carden2b  9380  isinffi  9405  pm54.43  9414  pr2ne  9416  en2eqpr  9418  en2eleq  9419  infxpenlem  9424  infxpidm2  9428  mappwen  9523  finnisoeu  9524  djuen  9580  djuenun  9581  dju1dif  9583  djuassen  9589  mapdjuen  9591  pwdjuen  9592  infdju1  9600  pwdju1  9601  pwdjuidm  9602  cardadju  9605  nnadju  9608  ficardadju  9610  ficardun  9611  ficardunOLD  9612  pwsdompw  9615  infxp  9626  infmap2  9629  ackbij1lem5  9635  ackbij1lem9  9639  ackbij1b  9650  fin4en1  9720  isfin4p1  9726  fin23lem23  9737  domtriomlem  9853  axcclem  9868  carden  9962  alephadd  9988  gchdjuidm  10079  gchxpidm  10080  gchpwdom  10081  gchhar  10090  tskuni  10194  fzen2  13332  hashdvds  16102  unbenlem  16234  unben  16235  4sqlem11  16281  pmtrfconj  18586  psgnunilem1  18613  odinf  18682  dfod2  18683  sylow2blem1  18737  sylow2  18743  simpgnsgd  19215  frlmisfrlm  20537  hmphindis  22402  dyadmbl  24204  fnpreimac  30434  padct  30481  f1ocnt  30551  volmeas  31600  sconnpi1  32599  lzenom  39711  fiphp3d  39760  frlmpwfi  40042  isnumbasgrplem3  40049  fiuneneq  40141  rp-isfinite5  40225  enrelmap  40698  enrelmapr  40699  enmappw  40700  uspgrymrelen  44381