Theorem entr 9047

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 9042	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 8761	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1546	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ⊤wtru 1540  Vcvv 3479   class class class wbr 5142   Er wer 8743   ≈ cen 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-er 8746  df-en 8987

This theorem is referenced by:  entri  9049  snmapen1  9080  xpsnen2g  9106  omxpen  9115  enen1  9158  enen2  9159  map2xp  9188  pwen  9191  ssenen  9192  ssfiALT  9215  phplem4OLD  9258  php3OLD  9262  snnen2oOLD  9265  fineqvlem  9299  en1eqsnOLD  9310  dif1ennnALT  9312  unxpwdom2  9629  infdifsn  9698  infdiffi  9699  karden  9936  xpnum  9992  cardidm  10000  ficardom  10002  carden2a  10007  carden2b  10008  isinffi  10033  pm54.43  10042  pr2neOLD  10046  en2eqpr  10048  en2eleq  10049  infxpenlem  10054  infxpidm2  10058  mappwen  10153  finnisoeu  10154  djuen  10211  djuenun  10212  dju1dif  10214  djuassen  10220  mapdjuen  10222  pwdjuen  10223  infdju1  10231  pwdju1  10232  pwdjuidm  10233  cardadju  10236  nnadju  10239  ficardadju  10241  ficardun  10242  pwsdompw  10244  infxp  10255  infmap2  10258  ackbij1lem5  10264  ackbij1lem9  10268  ackbij1b  10279  fin4en1  10350  isfin4p1  10356  fin23lem23  10367  domtriomlem  10483  axcclem  10498  carden  10592  alephadd  10618  gchdjuidm  10709  gchxpidm  10710  gchpwdom  10711  gchhar  10720  tskuni  10824  fzen2  14011  hashdvds  16813  unbenlem  16947  unben  16948  4sqlem11  16994  pmtrfconj  19485  psgnunilem1  19512  odinf  19582  dfod2  19583  sylow2blem1  19639  sylow2  19645  simpgnsgd  20121  frlmisfrlm  21869  hmphindis  23806  dyadmbl  25636  fnpreimac  32682  padct  32732  f1ocnt  32805  volmeas  34233  sconnpi1  35245  lzenom  42786  fiphp3d  42835  frlmpwfi  43115  isnumbasgrplem3  43122  fiuneneq  43209  rp-isfinite5  43535  enrelmap  44015  enrelmapr  44016  enmappw  44017  uspgrymrelen  48074  termcterm2  49174