Theorem entr 8943

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 8938	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 8650	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1548	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ⊤wtru 1542  Vcvv 3440   class class class wbr 5098   Er wer 8632   ≈ cen 8880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-er 8635  df-en 8884

This theorem is referenced by:  entri  8945  snmapen1  8976  xpsnen2g  8998  omxpen  9007  enen1  9045  enen2  9046  map2xp  9075  pwen  9078  ssenen  9079  ssfiALT  9098  fineqvlem  9166  dif1ennnALT  9177  unxpwdom2  9493  infdifsn  9566  infdiffi  9567  karden  9807  xpnum  9863  cardidm  9871  ficardom  9873  carden2a  9878  carden2b  9879  isinffi  9904  pm54.43  9913  en2eqpr  9917  en2eleq  9918  infxpenlem  9923  infxpidm2  9927  mappwen  10022  finnisoeu  10023  djuen  10080  djuenun  10081  dju1dif  10083  djuassen  10089  mapdjuen  10091  pwdjuen  10092  infdju1  10100  pwdju1  10101  pwdjuidm  10102  cardadju  10105  nnadju  10108  ficardadju  10110  ficardun  10111  pwsdompw  10113  infxp  10124  infmap2  10127  ackbij1lem5  10133  ackbij1lem9  10137  ackbij1b  10148  fin4en1  10219  isfin4p1  10225  fin23lem23  10236  domtriomlem  10352  axcclem  10367  carden  10461  alephadd  10488  gchdjuidm  10579  gchxpidm  10580  gchpwdom  10581  gchhar  10590  tskuni  10694  fzen2  13892  hashdvds  16702  unbenlem  16836  unben  16837  4sqlem11  16883  pmtrfconj  19395  psgnunilem1  19422  odinf  19492  dfod2  19493  sylow2blem1  19549  sylow2  19555  simpgnsgd  20031  frlmisfrlm  21803  hmphindis  23741  dyadmbl  25557  fnpreimac  32749  padct  32797  f1ocnt  32880  volmeas  34388  sconnpi1  35433  lzenom  43012  fiphp3d  43061  frlmpwfi  43340  isnumbasgrplem3  43347  fiuneneq  43434  rp-isfinite5  43758  enrelmap  44238  enrelmapr  44239  enmappw  44240  uspgrymrelen  48399  termcterm2  49759