Theorem enen2 9059

Description: Equality-like theorem for equinumerosity. (Contributed by NM, 18-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
enen2	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≈ 𝐴 ↔ 𝐶 ≈ 𝐵))

Proof of Theorem enen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		entr 8954	. . 3 ⊢ ((𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐶 ≈ 𝐵)
2	1	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐴) → 𝐶 ≈ 𝐵)
3		ensym 8951	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
4		entr 8954	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐶 ≈ 𝐴)
5	4	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≈ 𝐵) → 𝐶 ≈ 𝐴)
6	3, 5	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐵) → 𝐶 ≈ 𝐴)
7	2, 6	impbida 800	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≈ 𝐴 ↔ 𝐶 ≈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   class class class wbr 5102   ≈ cen 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-er 8648  df-en 8896

This theorem is referenced by:  karden  9824  ennum  9876  pwdjuen  10111  alephexp1  10508  gchdomtri  10558  gch-kn  10606  ctbnfien  42779