Theorem enen2 8685

Description: Equality-like theorem for equinumerosity. (Contributed by NM, 18-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
enen2	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≈ 𝐴 ↔ 𝐶 ≈ 𝐵))

Proof of Theorem enen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		entr 8584	. . 3 ⊢ ((𝐶 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐶 ≈ 𝐵)
2	1	ancoms 462	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐴) → 𝐶 ≈ 𝐵)
3		ensym 8581	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
4		entr 8584	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐶 ≈ 𝐴)
5	4	ancoms 462	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≈ 𝐵) → 𝐶 ≈ 𝐴)
6	3, 5	sylan 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≈ 𝐵) → 𝐶 ≈ 𝐴)
7	2, 6	impbida 800	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≈ 𝐴 ↔ 𝐶 ≈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   class class class wbr 5035   ≈ cen 8529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5036  df-opab 5098  df-id 5433  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-er 8304  df-en 8533

This theorem is referenced by:  karden  9362  ennum  9414  pwdjuen  9646  alephexp1  10044  gchdomtri  10094  gch-kn  10142  ctbnfien  40160