MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enen2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enen2 9156
Description: Equality-like theorem for equinumerosity. (Contributed by NM, 18-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
enen2 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))

Proof of Theorem enen2
StepHypRef Expression
1 entr 9044 . . 3 ((𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
21ancoms 458 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐴) → 𝐶𝐵)
3 ensym 9041 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 entr 9044 . . . 4 ((𝐶𝐵𝐵𝐴) → 𝐶𝐴)
54ancoms 458 . . 3 ((𝐵𝐴𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
63, 5sylan 580 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
72, 6impbida 801 1 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   class class class wbr 5147  cen 8980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-er 8743  df-en 8984
This theorem is referenced by:  karden  9932  ennum  9984  pwdjuen  10219  alephexp1  10616  gchdomtri  10666  gch-kn  10714  ctbnfien  42805
  Copyright terms: Public domain W3C validator