Theorem pmtrfmvdn0 19528

Description: A transposition moves at least one point. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r	⊢ 𝑅 = ran 𝑇

Assertion

Ref	Expression
pmtrfmvdn0	⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅)

Proof of Theorem pmtrfmvdn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8464	. 2 ⊢ 2o ≠ ∅
2		pmtrrn.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
3		pmtrrn.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = ran 𝑇
4		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
5	2, 3, 4	pmtrfrn 19524	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
6	5	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
7	6	simp3d 1160	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
8		enen1 9101	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ 2o ≈ ∅))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ 2o ≈ ∅))
10		en0 9011	. . . 4 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ dom (𝐹 ∖ I ) = ∅)
11		en0 9011	. . . 4 ⊢ (2o ≈ ∅ ↔ 2o = ∅)
12	9, 10, 11	3bitr3g 316	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = ∅ ↔ 2o = ∅))
13	12	necon3bid 3008	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅ ↔ 2o ≠ ∅))
14	1, 13	mpbiri 261	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294   class class class wbr 5110   I cid 5553  dom cdm 5659  ran crn 5660  ‘cfv 6534  2_oc2o 8443   ≈ cen 8936  pmTrspcpmtr 19507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-om 7859  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-pmtr 19508

This theorem is referenced by:  psgnunilem3  19562