MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfmvdn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrfmvdn0 18086
Description: A transposition moves at least one point. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrfmvdn0 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅)

Proof of Theorem pmtrfmvdn0
StepHypRef Expression
1 2on0 7809 . 2 2𝑜 ≠ ∅
2 pmtrrn.t . . . . . . . 8 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
3 pmtrrn.r . . . . . . . 8 𝑅 = ran 𝑇
4 eqid 2813 . . . . . . . 8 dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
52, 3, 4pmtrfrn 18082 . . . . . . 7 (𝐹𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
65simpld 484 . . . . . 6 (𝐹𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜))
76simp3d 1167 . . . . 5 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜)
8 enen1 8342 . . . . 5 (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ 2𝑜 ≈ ∅))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ 2𝑜 ≈ ∅))
10 en0 8258 . . . 4 (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ dom (𝐹 ∖ I ) = ∅)
11 en0 8258 . . . 4 (2𝑜 ≈ ∅ ↔ 2𝑜 = ∅)
129, 10, 113bitr3g 304 . . 3 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = ∅ ↔ 2𝑜 = ∅))
1312necon3bid 3029 . 2 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅ ↔ 2𝑜 ≠ ∅))
141, 13mpbiri 249 1 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2985  Vcvv 3398  cdif 3773  wss 3776  c0 4123   class class class wbr 4851   I cid 5225  dom cdm 5318  ran crn 5319  cfv 6104  2𝑜c2o 7793  cen 8192  pmTrspcpmtr 18065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-om 7299  df-1o 7799  df-2o 7800  df-er 7982  df-en 8196  df-fin 8199  df-pmtr 18066
This theorem is referenced by:  psgnunilem3  18120
  Copyright terms: Public domain W3C validator