Theorem pmtrfmvdn0 19419

Description: A transposition moves at least one point. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r	⊢ 𝑅 = ran 𝑇

Assertion

Ref	Expression
pmtrfmvdn0	⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅)

Proof of Theorem pmtrfmvdn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8499	. 2 ⊢ 2o ≠ ∅
2		pmtrrn.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
3		pmtrrn.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = ran 𝑇
4		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
5	2, 3, 4	pmtrfrn 19415	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
6	5	simpld 493	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
7	6	simp3d 1141	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
8		enen1 9138	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ 2o ≈ ∅))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ 2o ≈ ∅))
10		en0 9034	. . . 4 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ dom (𝐹 ∖ I ) = ∅)
11		en0 9034	. . . 4 ⊢ (2o ≈ ∅ ↔ 2o = ∅)
12	9, 10, 11	3bitr3g 312	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = ∅ ↔ 2o = ∅))
13	12	necon3bid 2975	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅ ↔ 2o ≠ ∅))
14	1, 13	mpbiri 257	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  Vcvv 3463   ∖ cdif 3937   ⊆ wss 3940  ∅c0 4318   class class class wbr 5143   I cid 5569  dom cdm 5672  ran crn 5673  ‘cfv 6542  2_oc2o 8477   ≈ cen 8957  pmTrspcpmtr 19398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7868  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-en 8961  df-pmtr 19399

This theorem is referenced by:  psgnunilem3  19453