Theorem pmtrfmvdn0 19448

Description: A transposition moves at least one point. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r	⊢ 𝑅 = ran 𝑇

Assertion

Ref	Expression
pmtrfmvdn0	⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅)

Proof of Theorem pmtrfmvdn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8504	. 2 ⊢ 2o ≠ ∅
2		pmtrrn.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
3		pmtrrn.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = ran 𝑇
4		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
5	2, 3, 4	pmtrfrn 19444	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
6	5	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
7	6	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
8		enen1 9139	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ 2o ≈ ∅))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ 2o ≈ ∅))
10		en0 9040	. . . 4 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ dom (𝐹 ∖ I ) = ∅)
11		en0 9040	. . . 4 ⊢ (2o ≈ ∅ ↔ 2o = ∅)
12	9, 10, 11	3bitr3g 313	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = ∅ ↔ 2o = ∅))
13	12	necon3bid 2975	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅ ↔ 2o ≠ ∅))
14	1, 13	mpbiri 258	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  Vcvv 3463   ∖ cdif 3928   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313   class class class wbr 5123   I cid 5557  dom cdm 5665  ran crn 5666  ‘cfv 6541  2_oc2o 8482   ≈ cen 8964  pmTrspcpmtr 19427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-om 7870  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-en 8968  df-pmtr 19428

This theorem is referenced by:  psgnunilem3  19482