Theorem pmtrfmvdn0 19556

Description: A transposition moves at least one point. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r	⊢ 𝑅 = ran 𝑇

Assertion

Ref	Expression
pmtrfmvdn0	⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅)

Proof of Theorem pmtrfmvdn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8470	. 2 ⊢ 2o ≠ ∅
2		pmtrrn.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
3		pmtrrn.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = ran 𝑇
4		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
5	2, 3, 4	pmtrfrn 19552	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
6	5	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
7	6	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
8		enen1 9108	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ 2o ≈ ∅))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ 2o ≈ ∅))
10		en0 9017	. . . 4 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ dom (𝐹 ∖ I ) = ∅)
11		en0 9017	. . . 4 ⊢ (2o ≈ ∅ ↔ 2o = ∅)
12	9, 10, 11	3bitr3g 316	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = ∅ ↔ 2o = ∅))
13	12	necon3bid 3004	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅ ↔ 2o ≠ ∅))
14	1, 13	mpbiri 261	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286   class class class wbr 5111   I cid 5557  dom cdm 5663  ran crn 5664  ‘cfv 6540  2_oc2o 8449   ≈ cen 8942  pmTrspcpmtr 19535

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7865  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8946  df-pmtr 19536

This theorem is used by:  psgnunilem3  19590