Theorem pmtrfmvdn0 19428

Description: A transposition moves at least one point. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r	⊢ 𝑅 = ran 𝑇

Assertion

Ref	Expression
pmtrfmvdn0	⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅)

Proof of Theorem pmtrfmvdn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8409	. 2 ⊢ 2o ≠ ∅
2		pmtrrn.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
3		pmtrrn.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = ran 𝑇
4		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
5	2, 3, 4	pmtrfrn 19424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
6	5	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
7	6	simp3d 1150	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
8		enen1 9045	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ 2o ≈ ∅))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ 2o ≈ ∅))
10		en0 8955	. . . 4 ⊢ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ dom (𝐹 ∖ I ) = ∅)
11		en0 8955	. . . 4 ⊢ (2o ≈ ∅ ↔ 2o = ∅)
12	9, 10, 11	3bitr3g 314	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = ∅ ↔ 2o = ∅))
13	12	necon3bid 2978	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅ ↔ 2o ≠ ∅))
14	1, 13	mpbiri 259	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261   class class class wbr 5072   I cid 5512  dom cdm 5618  ran crn 5619  ‘cfv 6485  2_oc2o 8389   ≈ cen 8880  pmTrspcpmtr 19407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-om 7807  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8884  df-pmtr 19408

This theorem is referenced by:  psgnunilem3  19462