Theorem en1uniel 9052

Description: A singleton contains its sole element. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) Avoid ax-un 7738. (Revised by BTernaryTau, 24-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
en1uniel	⊢ (𝑆 ≈ 1o → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem en1uniel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en1b 9048	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≈ 1o ↔ 𝑆 = {∪ 𝑆})
2		eqsnuniex 5343	. . . 4 ⊢ (𝑆 = {∪ 𝑆} → ∪ 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → ∪ 𝑆 ∈ V)
4		snidg 4642	. . 3 ⊢ (∪ 𝑆 ∈ V → ∪ 𝑆 ∈ {∪ 𝑆})
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → ∪ 𝑆 ∈ {∪ 𝑆})
6	1	biimpi 216	. 2 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → 𝑆 = {∪ 𝑆})
7	5, 6	eleqtrrd 2836	1 ⊢ (𝑆 ≈ 1o → ∪ 𝑆 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3464  {csn 4608  ∪ cuni 4889   class class class wbr 5125  1_oc1o 8482   ≈ cen 8965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pr 5414

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-nul 4316  df-if 4508  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-br 5126  df-opab 5188  df-id 5560  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-1o 8489  df-en 8969

This theorem is referenced by:  en2eleq  10031  en2other2  10032  pmtrf  19446  pmtrmvd  19447  pmtrfinv  19452  frgpcyg  21559