Theorem hausflf2 24278

Description: If a convergent function has its values in a Hausdorff space, then it has a unique limit. (Contributed by FL, 14-Nov-2010.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hausflf.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
hausflf2	⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ≠ ∅) → ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ≈ 1o)

Proof of Theorem hausflf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4299	. . 3 ⊢ (((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹))
2	1	biimpi 219	. 2 ⊢ (((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹))
3		hausflf.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4	3	hausflf 24277	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹))
5		euen1b 9033	. . 3 ⊢ (((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ≈ 1o ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹))
6		df-eu 2594	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹)))
7	5, 6	sylbbr 239	. 2 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹)) → ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ≈ 1o)
8	2, 4, 7	syl2anr 609	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ≠ ∅) → ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ≈ 1o)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃*wmo 2562  ∃!weu 2593   ≠ wne 2955  ∅c0 4278  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  1_oc1o 8447   ≈ cen 8948  Hauscha 23587  Filcfil 24125   fLimf cflf 24215

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1o 8454  df-map 8827  df-en 8952  df-fbas 21636  df-top 23173  df-topon 23190  df-nei 23377  df-haus 23594  df-fil 24126  df-flim 24219  df-flf 24220

This theorem is used by:  cnextfvval  24345  cnextcn  24347  cnextfres1  24348