Theorem hausflf2 23913

Description: If a convergent function has its values in a Hausdorff space, then it has a unique limit. (Contributed by FL, 14-Nov-2010.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hausflf.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
hausflf2	⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ≠ ∅) → ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ≈ 1o)

Proof of Theorem hausflf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4300	. . 3 ⊢ (((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹))
2	1	biimpi 216	. 2 ⊢ (((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹))
3		hausflf.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4	3	hausflf 23912	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹))
5		euen1b 8950	. . 3 ⊢ (((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ≈ 1o ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹))
6		df-eu 2564	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹)))
7	5, 6	sylbbr 236	. 2 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹)) → ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ≈ 1o)
8	2, 4, 7	syl2anr 597	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ≠ ∅) → ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ≈ 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  ∃*wmo 2533  ∃!weu 2563   ≠ wne 2928  ∅c0 4280  ∪ cuni 4856   class class class wbr 5089  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1_oc1o 8378   ≈ cen 8866  Hauscha 23223  Filcfil 23760   fLimf cflf 23850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1o 8385  df-map 8752  df-en 8870  df-fbas 21288  df-top 22809  df-topon 22826  df-nei 23013  df-haus 23230  df-fil 23761  df-flim 23854  df-flf 23855

This theorem is referenced by:  cnextfvval  23980  cnextcn  23982  cnextfres1  23983