MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1otrspeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1otrspeq 19407
Description: A transposition is characterized by the points it moves. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1otrspeq (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem f1otrspeq
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ofn 6843 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹 Fn 𝐴)
21ad2antrr 724 . 2 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐹 Fn 𝐴)
3 f1ofn 6843 . . 3 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝐺 Fn 𝐴)
43ad2antlr 725 . 2 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐺 Fn 𝐴)
5 1onn 8665 . . . . . . 7 1o ∈ ω
6 simplrr 776 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
7 simplrl 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
8 df-2o 8492 . . . . . . . . 9 2o = suc 1o
97, 8breqtrdi 5191 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ suc 1o)
106, 9eqbrtrd 5172 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → dom (𝐺 ∖ I ) ≈ suc 1o)
11 simpr 483 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ))
12 dif1ennn 9190 . . . . . . 7 ((1o ∈ ω ∧ dom (𝐺 ∖ I ) ≈ suc 1o𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ≈ 1o)
135, 10, 11, 12mp3an2i 1462 . . . . . 6 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ≈ 1o)
14 euen1b 9056 . . . . . . 7 ((dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ≈ 1o ↔ ∃!𝑦 𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
15 eumo 2567 . . . . . . 7 (∃!𝑦 𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
1614, 15sylbi 216 . . . . . 6 ((dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ≈ 1o → ∃*𝑦 𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
1713, 16syl 17 . . . . 5 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
18 f1omvdmvd 19403 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
1918ex 411 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) → (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
2019ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) → (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
21 eleq2 2817 . . . . . . . 8 (dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) ↔ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )))
2221ad2antll 727 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) ↔ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )))
23 difeq1 4113 . . . . . . . . 9 (dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ) → (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) = (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
2423eleq2d 2814 . . . . . . . 8 (dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ) → ((𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
2524ad2antll 727 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → ((𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
2620, 22, 253imtr4d 293 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) → (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
2726imp 405 . . . . 5 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
28 f1omvdmvd 19403 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐺𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
2928ad4ant24 752 . . . . 5 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐺𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
30 fvex 6913 . . . . . . 7 (𝐹𝑥) ∈ V
31 fvex 6913 . . . . . . 7 (𝐺𝑥) ∈ V
3230, 31pm3.2i 469 . . . . . 6 ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐺𝑥) ∈ V)
33 eleq1 2816 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
34 eleq1 2816 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐺𝑥) → (𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ↔ (𝐺𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
3533, 34moi 3713 . . . . . 6 ((((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐺𝑥) ∈ V) ∧ ∃*𝑦 𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∧ (𝐺𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
3632, 35mp3an1 1444 . . . . 5 ((∃*𝑦 𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∧ (𝐺𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
3717, 27, 29, 36syl12anc 835 . . . 4 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
3837adantlr 713 . . 3 (((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
39 simplrr 776 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
4039eleq2d 2814 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) ↔ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )))
41 fnelnfp 7190 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥))
422, 41sylan 578 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥))
4340, 42bitrd 278 . . . . . 6 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥))
4443necon2bbid 2980 . . . . 5 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )))
4544biimpar 476 . . . 4 (((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
46 fnelnfp 7190 . . . . . . 7 ((𝐺 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) ↔ (𝐺𝑥) ≠ 𝑥))
474, 46sylan 578 . . . . . 6 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) ↔ (𝐺𝑥) ≠ 𝑥))
4847necon2bbid 2980 . . . . 5 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )))
4948biimpar 476 . . . 4 (((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐺𝑥) = 𝑥)
5045, 49eqtr4d 2770 . . 3 (((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
5138, 50pm2.61dan 811 . 2 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
522, 4, 51eqfnfvd 7046 1 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  ∃*wmo 2527  ∃!weu 2557  wne 2936  Vcvv 3471  cdif 3944  {csn 4630   class class class wbr 5150   I cid 5577  dom cdm 5680  suc csuc 6374   Fn wfn 6546  1-1-ontowf1o 6550  cfv 6551  ωcom 7874  1oc1o 8484  2oc2o 8485  cen 8965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-om 7875  df-1o 8491  df-2o 8492  df-en 8969
This theorem is referenced by:  pmtrfb  19425  psgnunilem1  19453
  Copyright terms: Public domain W3C validator