MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1otrspeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1otrspeq 18306
Description: A transposition is characterized by the points it moves. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1otrspeq (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem f1otrspeq
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ofn 6484 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹 Fn 𝐴)
21ad2antrr 722 . 2 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐹 Fn 𝐴)
3 f1ofn 6484 . . 3 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝐺 Fn 𝐴)
43ad2antlr 723 . 2 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐺 Fn 𝐴)
5 1onn 8115 . . . . . . 7 1o ∈ ω
6 simplrr 774 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
7 simplrl 773 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
8 df-2o 7954 . . . . . . . . 9 2o = suc 1o
97, 8syl6breq 5003 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ suc 1o)
106, 9eqbrtrd 4984 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → dom (𝐺 ∖ I ) ≈ suc 1o)
11 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ))
12 dif1en 8597 . . . . . . 7 ((1o ∈ ω ∧ dom (𝐺 ∖ I ) ≈ suc 1o𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ≈ 1o)
135, 10, 11, 12mp3an2i 1458 . . . . . 6 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ≈ 1o)
14 euen1b 8428 . . . . . . 7 ((dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ≈ 1o ↔ ∃!𝑦 𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
15 eumo 2623 . . . . . . 7 (∃!𝑦 𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
1614, 15sylbi 218 . . . . . 6 ((dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ≈ 1o → ∃*𝑦 𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
1713, 16syl 17 . . . . 5 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
18 f1omvdmvd 18302 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
1918ex 413 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) → (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
2019ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) → (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
21 eleq2 2871 . . . . . . . 8 (dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) ↔ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )))
2221ad2antll 725 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) ↔ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )))
23 difeq1 4013 . . . . . . . . 9 (dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ) → (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) = (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
2423eleq2d 2868 . . . . . . . 8 (dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ) → ((𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
2524ad2antll 725 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → ((𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
2620, 22, 253imtr4d 295 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) → (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
2726imp 407 . . . . 5 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
28 f1omvdmvd 18302 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐺𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
2928ad4ant24 750 . . . . 5 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐺𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
30 fvex 6551 . . . . . . 7 (𝐹𝑥) ∈ V
31 fvex 6551 . . . . . . 7 (𝐺𝑥) ∈ V
3230, 31pm3.2i 471 . . . . . 6 ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐺𝑥) ∈ V)
33 eleq1 2870 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
34 eleq1 2870 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐺𝑥) → (𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ↔ (𝐺𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
3533, 34moi 3645 . . . . . 6 ((((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐺𝑥) ∈ V) ∧ ∃*𝑦 𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∧ (𝐺𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
3632, 35mp3an1 1440 . . . . 5 ((∃*𝑦 𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∧ (𝐺𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
3717, 27, 29, 36syl12anc 833 . . . 4 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
3837adantlr 711 . . 3 (((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
39 simplrr 774 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
4039eleq2d 2868 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) ↔ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )))
41 fnelnfp 6802 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥))
422, 41sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥))
4340, 42bitrd 280 . . . . . 6 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥))
4443necon2bbid 3027 . . . . 5 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )))
4544biimpar 478 . . . 4 (((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
46 fnelnfp 6802 . . . . . . 7 ((𝐺 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) ↔ (𝐺𝑥) ≠ 𝑥))
474, 46sylan 580 . . . . . 6 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) ↔ (𝐺𝑥) ≠ 𝑥))
4847necon2bbid 3027 . . . . 5 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )))
4948biimpar 478 . . . 4 (((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐺𝑥) = 𝑥)
5045, 49eqtr4d 2834 . . 3 (((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
5138, 50pm2.61dan 809 . 2 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
522, 4, 51eqfnfvd 6670 1 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  ∃*wmo 2574  ∃!weu 2611  wne 2984  Vcvv 3437  cdif 3856  {csn 4472   class class class wbr 4962   I cid 5347  dom cdm 5443  suc csuc 6068   Fn wfn 6220  1-1-ontowf1o 6224  cfv 6225  ωcom 7436  1oc1o 7946  2oc2o 7947  cen 8354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-om 7437  df-1o 7953  df-2o 7954  df-er 8139  df-en 8358  df-fin 8361
This theorem is referenced by:  pmtrfb  18324  psgnunilem1  18352
  Copyright terms: Public domain W3C validator