Theorem isfbas2 23722

Description: The predicate "𝐹 is a filter base." (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfbas2	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isfbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfbas 23716	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
2		elin 3930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)))
3		velpw 4568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))
4	3	anbi2i 623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
5	2, 4	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
6	5	exbii 1848	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
7		n0 4316	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)))
8		df-rex 3054	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
9	6, 7, 8	3bitr4i 303	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))
10	9	2ralbii 3108	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))
11	10	3anbi3i 1159	. . 3 ⊢ ((𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅) ↔ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
12	11	anbi2i 623	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
13	1, 12	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∉ wnel 3029  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  ‘cfv 6511  fBascfbas 21252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-fbas 21261

This theorem is referenced by:  fbasssin  23723  fbun  23727  opnfbas  23729  isfil2  23743  fsubbas  23754  fbasrn  23771  rnelfmlem  23839  metustfbas  24445  tailfb  36365