MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfbas2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfbas2 22589
Description: The predicate "𝐹 is a filter base." (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfbas2 (𝐵𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isfbas2
StepHypRef Expression
1 isfbas 22583 . 2 (𝐵𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
2 elin 3860 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ↔ (𝑧𝐹𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥𝑦)))
3 velpw 4494 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥𝑦) ↔ 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
43anbi2i 626 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐹𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥𝑦)) ↔ (𝑧𝐹𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
52, 4bitri 278 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ↔ (𝑧𝐹𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
65exbii 1854 . . . . . 6 (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐹𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
7 n0 4236 . . . . . 6 ((𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)))
8 df-rex 3060 . . . . . 6 (∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐹𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
96, 7, 83bitr4i 306 . . . . 5 ((𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
1092ralbii 3082 . . . 4 (∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
11103anbi3i 1160 . . 3 ((𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅) ↔ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
1211anbi2i 626 . 2 ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))))
131, 12bitrdi 290 1 (𝐵𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088  wex 1786  wcel 2114  wne 2935  wnel 3039  wral 3054  wrex 3055  cin 3843  wss 3844  c0 4212  𝒫 cpw 4489  cfv 6340  fBascfbas 20208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fv 6348  df-fbas 20217
This theorem is referenced by:  fbasssin  22590  fbun  22594  opnfbas  22596  isfil2  22610  fsubbas  22621  fbasrn  22638  rnelfmlem  22706  metustfbas  23313  tailfb  34212
  Copyright terms: Public domain W3C validator