Theorem isfbas2 24187

Description: The predicate "𝐹 is a filter base." (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfbas2	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem isfbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfbas 24181	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
2		elin 4096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)))
3		velpw 4565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))
4	3	anbi2i 635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
5	2, 4	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
6	5	exbii 1881	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
7		n0 4303	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)))
8		df-rex 3091	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
9	6, 7, 8	3bitr4i 306	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))
10	9	2ralbii 3141	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))
11	10	3anbi3i 1177	. . 3 ⊢ ((𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅) ↔ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
12	11	anbi2i 635	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
13	1, 12	bitrdi 290	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∉ wnel 3065  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  ‘cfv 6561  fBascfbas 21699

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fv 6569  df-fbas 21708

This theorem is used by:  fbasssin  24188  fbun  24192  opnfbas  24194  isfil2  24208  fsubbas  24219  fbasrn  24236  rnelfmlem  24304  metustfbas  24909  tailfb  37356