Theorem isfbas2 24159

Description: The predicate "𝐹 is a filter base." (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfbas2	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem isfbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfbas 24153	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
2		elin 4093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)))
3		velpw 4561	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))
4	3	anbi2i 635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
5	2, 4	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
6	5	exbii 1880	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
7		n0 4299	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)))
8		df-rex 3087	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
9	6, 7, 8	3bitr4i 306	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))
10	9	2ralbii 3137	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))
11	10	3anbi3i 1177	. . 3 ⊢ ((𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅) ↔ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
12	11	anbi2i 635	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
13	1, 12	bitrdi 290	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∉ wnel 3061  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  ‘cfv 6538  fBascfbas 21671

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-fbas 21680

This theorem is used by:  fbasssin  24160  fbun  24164  opnfbas  24166  isfil2  24180  fsubbas  24191  fbasrn  24208  rnelfmlem  24276  metustfbas  24881  tailfb  37257