Theorem isfbas2 23973

Description: The predicate "𝐹 is a filter base." (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfbas2	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isfbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfbas 23967	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
2		elin 3922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)))
3		velpw 4568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))
4	3	anbi2i 634	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
5	2, 4	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
6	5	exbii 1878	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
7		n0 4308	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)))
8		df-rex 3090	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
9	6, 7, 8	3bitr4i 306	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))
10	9	2ralbii 3140	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))
11	10	3anbi3i 1177	. . 3 ⊢ ((𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅) ↔ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
12	11	anbi2i 634	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
13	1, 12	bitrdi 290	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∉ wnel 3064  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4563  ‘cfv 6538  fBascfbas 21491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-fbas 21500

This theorem is referenced by:  fbasssin  23974  fbun  23978  opnfbas  23980  isfil2  23994  fsubbas  24005  fbasrn  24022  rnelfmlem  24090  metustfbas  24695  tailfb  36869