Theorem isfbas2 23713

Description: The predicate "𝐹 is a filter base." (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfbas2	⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isfbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfbas 23707	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
2		elin 3960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)))
3		velpw 4603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))
4	3	anbi2i 622	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
5	2, 4	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
6	5	exbii 1843	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
7		n0 4342	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)))
8		df-rex 3066	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
9	6, 7, 8	3bitr4i 303	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))
10	9	2ralbii 3123	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))
11	10	3anbi3i 1157	. . 3 ⊢ ((𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅) ↔ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
12	11	anbi2i 622	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
13	1, 12	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 ∃𝑧 ∈ 𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   ∉ wnel 3041  ∀wral 3056  ∃wrex 3065   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  ∅c0 4318  𝒫 cpw 4598  ‘cfv 6542  fBascfbas 21247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-fbas 21256

This theorem is referenced by:  fbasssin  23714  fbun  23718  opnfbas  23720  isfil2  23734  fsubbas  23745  fbasrn  23762  rnelfmlem  23830  metustfbas  24440  tailfb  35784