MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fbasne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fbasne0 23838
Description: There are no empty filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbasne0 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ≠ ∅)

Proof of Theorem fbasne0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6943 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom fBas)
2 isfbas 23837 . . . 4 (𝐵 ∈ dom fBas → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅))))
43ibi 267 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)))
5 simpr1 1195 . 2 ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥𝑦)) ≠ ∅)) → 𝐹 ≠ ∅)
64, 5syl 17 1 (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wcel 2108  wne 2940  wnel 3046  wral 3061  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600  dom cdm 5685  cfv 6561  fBascfbas 21352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-fbas 21361
This theorem is referenced by:  fbdmn0  23842  fbssint  23846  fbun  23848  trfbas2  23851  filtop  23863  fsubbas  23875  fgcl  23886  fbasrn  23892  fmfnfm  23966
  Copyright terms: Public domain W3C validator