Theorem fbasne0 24024

Description: There are no empty filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fbasne0	⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ≠ ∅)

Proof of Theorem fbasne0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6922	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom fBas)
2		isfbas 24023	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom fBas → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅))))
4	3	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → (𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)))
5		simpr1 1213	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝒫 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ≠ ∅)) → 𝐹 ≠ ∅)
6	4, 5	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ (fBas‘𝐵) → 𝐹 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ∉ wnel 3067  ∀wral 3082   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  𝒫 cpw 4567  dom cdm 5666  ‘cfv 6543  fBascfbas 21547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-fbas 21556

This theorem is used by:  fbdmn0  24028  fbssint  24032  fbun  24034  trfbas2  24037  filtop  24049  fsubbas  24061  fgcl  24072  fbasrn  24078  fmfnfm  24152