Theorem feq123d 6476

Description: Equality deduction for functions. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
feq12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
feq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
feq123d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
feq123d	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐷))

Proof of Theorem feq123d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq12d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
2		feq12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	1, 2	feq12d 6475	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐶))
4		feq123d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
5	4	feq3d 6474	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐷))
6	3, 5	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐶 ↔ 𝐺:𝐵⟶𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538  ⟶wf 6320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-v 3443  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328

This theorem is referenced by:  feq123  6477  feq23d  6482  fprg  6894  csbwrdg  13887  funcestrcsetclem8  17389  funcsetcestrclem8  17404  funcsetcestrclem9  17405  evlfcl  17464  yonedalem3a  17516  yonedalem4c  17519  yonedalem3b  17521  yonedainv  17523  iscau  23880  isuhgr  26853  uhgreq12g  26858  isuhgrop  26863  uhgrun  26867  isupgr  26877  upgrop  26887  isumgr  26888  upgrun  26911  umgrun  26913  lfuhgr1v0e  27044  wlkp1  27471  sseqf  31760  ismfs  32909  isrngo  35335  gneispace2  40835  funcringcsetcALTV2lem8  44667  funcringcsetclem8ALTV  44690