Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  funcringcsetcALTV2lem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcringcsetcALTV2lem8 46415
Description: Lemma 8 for funcringcsetcALTV2 46417. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
funcringcsetcALTV2.r 𝑅 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
funcringcsetcALTV2.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
funcringcsetcALTV2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
funcringcsetcALTV2.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
funcringcsetcALTV2.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
funcringcsetcALTV2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (Baseβ€˜π‘₯)))
funcringcsetcALTV2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯ RingHom 𝑦))))
Assertion
Ref Expression
funcringcsetcALTV2lem8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ):(𝑋(Hom β€˜π‘…)π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘Œ)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐢   𝑦,𝐡,π‘₯   𝑦,𝑋   π‘₯,π‘Œ,𝑦   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑦)   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem funcringcsetcALTV2lem8
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 6827 . . . 4 ( I β†Ύ (𝑋 RingHom π‘Œ)):(𝑋 RingHom π‘Œ)–1-1-ontoβ†’(𝑋 RingHom π‘Œ)
2 f1of 6789 . . . 4 (( I β†Ύ (𝑋 RingHom π‘Œ)):(𝑋 RingHom π‘Œ)–1-1-ontoβ†’(𝑋 RingHom π‘Œ) β†’ ( I β†Ύ (𝑋 RingHom π‘Œ)):(𝑋 RingHom π‘Œ)⟢(𝑋 RingHom π‘Œ))
31, 2mp1i 13 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ( I β†Ύ (𝑋 RingHom π‘Œ)):(𝑋 RingHom π‘Œ)⟢(𝑋 RingHom π‘Œ))
4 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
5 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
64, 5rhmf 20167 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
7 fvex 6860 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V
8 fvex 6860 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V
97, 8pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 ((Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V ∧ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V)
10 elmapg 8785 . . . . . . . . . 10 (((Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V ∧ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V) β†’ (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)) ↔ 𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ)))
1110bicomd 222 . . . . . . . . 9 (((Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V ∧ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V) β†’ (𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))))
129, 11mp1i 13 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))))
1312biimpa 478 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)))
14 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
15 funcringcsetcALTV2.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
16 funcringcsetcALTV2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
17 funcringcsetcALTV2.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
18 funcringcsetcALTV2.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
19 funcringcsetcALTV2.u . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
20 funcringcsetcALTV2.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (Baseβ€˜π‘₯)))
2115, 16, 17, 18, 19, 20funcringcsetcALTV2lem1 46408 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ))
2214, 21sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ))
23 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2415, 16, 17, 18, 19, 20funcringcsetcALTV2lem1 46408 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹))
2523, 24sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹))
2622, 25oveq12d 7380 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)) = ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)))
2726adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)) = ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)))
2813, 27eleqtrrd 2841 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑓 ∈ ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)))
2928ex 414 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ) β†’ 𝑓 ∈ ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹))))
306, 29syl5 34 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) β†’ 𝑓 ∈ ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹))))
3130ssrdv 3955 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 RingHom π‘Œ) βŠ† ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)))
323, 31fssd 6691 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ( I β†Ύ (𝑋 RingHom π‘Œ)):(𝑋 RingHom π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)))
33 funcringcsetcALTV2.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯ RingHom 𝑦))))
3415, 16, 17, 18, 19, 20, 33funcringcsetcALTV2lem5 46412 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ) = ( I β†Ύ (𝑋 RingHom π‘Œ)))
3519adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
36 eqid 2737 . . . 4 (Hom β€˜π‘…) = (Hom β€˜π‘…)
3723adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3814adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3915, 17, 35, 36, 37, 38ringchom 46385 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(Hom β€˜π‘…)π‘Œ) = (𝑋 RingHom π‘Œ))
40 eqid 2737 . . . 4 (Hom β€˜π‘†) = (Hom β€˜π‘†)
4115, 16, 17, 18, 19, 20funcringcsetcALTV2lem2 46409 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
4223, 41sylan2 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
4315, 16, 17, 18, 19, 20funcringcsetcALTV2lem2 46409 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
4414, 43sylan2 594 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
4516, 35, 40, 42, 44setchom 17973 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)))
4634, 39, 45feq123d 6662 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ):(𝑋(Hom β€˜π‘…)π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ ( I β†Ύ (𝑋 RingHom π‘Œ)):(𝑋 RingHom π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹))))
4732, 46mpbird 257 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ):(𝑋(Hom β€˜π‘…)π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   ↦ cmpt 5193   I cid 5535   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364   ↑m cmap 8772  WUnicwun 10643  Basecbs 17090  Hom chom 17151  SetCatcsetc 17968   RingHom crh 20152  RingCatcringc 46375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-wun 10645  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-resc 17701  df-setc 17969  df-estrc 18017  df-mhm 18608  df-ghm 19013  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-rnghom 20155  df-ringc 46377
This theorem is referenced by:  funcringcsetcALTV2  46417
  Copyright terms: Public domain W3C validator