MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcestrcsetclem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcestrcsetclem8 18040
Description: Lemma 8 for funcestrcsetc 18042. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcestrcsetc.e 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
funcestrcsetc.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
funcestrcsetc.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΈ)
funcestrcsetc.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
funcestrcsetc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
funcestrcsetc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (Baseβ€˜π‘₯)))
funcestrcsetc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘¦) ↑m (Baseβ€˜π‘₯)))))
Assertion
Ref Expression
funcestrcsetclem8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ):(𝑋(Hom β€˜πΈ)π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘Œ)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐢   𝑦,𝐡,π‘₯   𝑦,𝑋   πœ‘,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑦)   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem funcestrcsetclem8
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 6823 . . . 4 ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))):((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))–1-1-ontoβ†’((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))
2 f1of 6785 . . . 4 (( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))):((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))–1-1-ontoβ†’((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))):((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))⟢((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)))
31, 2mp1i 13 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))):((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))⟢((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)))
4 elmapi 8790 . . . . 5 (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
5 fvex 6856 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V
6 fvex 6856 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V
75, 6pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 ((Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V ∧ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V)
8 elmapg 8781 . . . . . . . . . 10 (((Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V ∧ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V) β†’ (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)) ↔ 𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ)))
98bicomd 222 . . . . . . . . 9 (((Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V ∧ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V) β†’ (𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))))
107, 9mp1i 13 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))))
1110biimpa 478 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)))
12 funcestrcsetc.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
13 funcestrcsetc.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
14 funcestrcsetc.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜πΈ)
15 funcestrcsetc.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
16 funcestrcsetc.u . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
17 funcestrcsetc.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (Baseβ€˜π‘₯)))
1812, 13, 14, 15, 16, 17funcestrcsetclem1 18033 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ))
1918adantrl 715 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ))
2012, 13, 14, 15, 16, 17funcestrcsetclem1 18033 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹))
2120adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹))
2219, 21oveq12d 7376 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)) = ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)))
2322adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)) = ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)))
2411, 23eleqtrrd 2837 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑓 ∈ ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)))
2524ex 414 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ) β†’ 𝑓 ∈ ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹))))
264, 25syl5 34 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑓 ∈ ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹))))
2726ssrdv 3951 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)))
283, 27fssd 6687 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))):((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))⟢((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)))
29 funcestrcsetc.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘¦) ↑m (Baseβ€˜π‘₯)))))
30 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
31 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
3212, 13, 14, 15, 16, 17, 29, 30, 31funcestrcsetclem5 18037 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ) = ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))))
3316adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
34 eqid 2733 . . . 4 (Hom β€˜πΈ) = (Hom β€˜πΈ)
3512, 16estrcbas 18017 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΈ))
3614, 35eqtr4id 2792 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 = π‘ˆ)
3736eleq2d 2820 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
3837biimpcd 249 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
3938adantr 482 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
4039impcom 409 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
4136eleq2d 2820 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ↔ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
4241biimpd 228 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
4342adantld 492 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
4443imp 408 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
4512, 33, 34, 40, 44, 30, 31estrchom 18019 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(Hom β€˜πΈ)π‘Œ) = ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)))
46 eqid 2733 . . . 4 (Hom β€˜π‘†) = (Hom β€˜π‘†)
4712, 13, 14, 15, 16, 17funcestrcsetclem2 18034 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
4847adantrr 716 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
4912, 13, 14, 15, 16, 17funcestrcsetclem2 18034 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
5049adantrl 715 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
5113, 33, 46, 48, 50setchom 17971 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)))
5232, 45, 51feq123d 6658 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ):(𝑋(Hom β€˜πΈ)π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))):((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))⟢((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹))))
5328, 52mpbird 257 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ):(𝑋(Hom β€˜πΈ)π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   ↦ cmpt 5189   I cid 5531   β†Ύ cres 5636  βŸΆwf 6493  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360   ↑m cmap 8768  WUnicwun 10641  Basecbs 17088  Hom chom 17149  SetCatcsetc 17966  ExtStrCatcestrc 18014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-wun 10643  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-hom 17162  df-cco 17163  df-setc 17967  df-estrc 18015
This theorem is referenced by:  funcestrcsetc  18042  fthestrcsetc  18043  fullestrcsetc  18044
  Copyright terms: Public domain W3C validator