MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcestrcsetclem8 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem funcestrcsetclem8 18099
Description: Lemma 8 for funcestrcsetc 18101. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcestrcsetc.e 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
funcestrcsetc.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
funcestrcsetc.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΈ)
funcestrcsetc.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
funcestrcsetc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
funcestrcsetc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (Baseβ€˜π‘₯)))
funcestrcsetc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘¦) ↑m (Baseβ€˜π‘₯)))))
Assertion
Ref Expression
funcestrcsetclem8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ):(𝑋(Hom β€˜πΈ)π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘Œ)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐢   𝑦,𝐡,π‘₯   𝑦,𝑋   πœ‘,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑦)   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem funcestrcsetclem8
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 6872 . . . 4 ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))):((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))–1-1-ontoβ†’((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))
2 f1of 6834 . . . 4 (( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))):((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))–1-1-ontoβ†’((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))):((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))⟢((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)))
31, 2mp1i 13 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))):((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))⟢((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)))
4 elmapi 8843 . . . . 5 (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
5 fvex 6905 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V
6 fvex 6905 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V
75, 6pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 ((Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V ∧ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V)
8 elmapg 8833 . . . . . . . . . 10 (((Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V ∧ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V) β†’ (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)) ↔ 𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ)))
98bicomd 222 . . . . . . . . 9 (((Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V ∧ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V) β†’ (𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))))
107, 9mp1i 13 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))))
1110biimpa 478 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)))
12 funcestrcsetc.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
13 funcestrcsetc.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
14 funcestrcsetc.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜πΈ)
15 funcestrcsetc.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
16 funcestrcsetc.u . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
17 funcestrcsetc.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (Baseβ€˜π‘₯)))
1812, 13, 14, 15, 16, 17funcestrcsetclem1 18092 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ))
1918adantrl 715 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ))
2012, 13, 14, 15, 16, 17funcestrcsetclem1 18092 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹))
2120adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹))
2219, 21oveq12d 7427 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)) = ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)))
2322adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)) = ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)))
2411, 23eleqtrrd 2837 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑓 ∈ ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)))
2524ex 414 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ) β†’ 𝑓 ∈ ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹))))
264, 25syl5 34 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑓 ∈ ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹))))
2726ssrdv 3989 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)))
283, 27fssd 6736 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))):((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))⟢((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)))
29 funcestrcsetc.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘¦) ↑m (Baseβ€˜π‘₯)))))
30 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
31 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
3212, 13, 14, 15, 16, 17, 29, 30, 31funcestrcsetclem5 18096 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ) = ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))))
3316adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
34 eqid 2733 . . . 4 (Hom β€˜πΈ) = (Hom β€˜πΈ)
3512, 16estrcbas 18076 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΈ))
3614, 35eqtr4id 2792 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 = π‘ˆ)
3736eleq2d 2820 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
3837biimpcd 248 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
3938adantr 482 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
4039impcom 409 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
4136eleq2d 2820 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ↔ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
4241biimpd 228 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
4342adantld 492 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
4443imp 408 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
4512, 33, 34, 40, 44, 30, 31estrchom 18078 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(Hom β€˜πΈ)π‘Œ) = ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)))
46 eqid 2733 . . . 4 (Hom β€˜π‘†) = (Hom β€˜π‘†)
4712, 13, 14, 15, 16, 17funcestrcsetclem2 18093 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
4847adantrr 716 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
4912, 13, 14, 15, 16, 17funcestrcsetclem2 18093 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
5049adantrl 715 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
5113, 33, 46, 48, 50setchom 18030 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)))
5232, 45, 51feq123d 6707 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ):(𝑋(Hom β€˜πΈ)π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))):((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))⟢((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹))))
5328, 52mpbird 257 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ):(𝑋(Hom β€˜πΈ)π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ↦ cmpt 5232   I cid 5574   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411   ↑m cmap 8820  WUnicwun 10695  Basecbs 17144  Hom chom 17208  SetCatcsetc 18025  ExtStrCatcestrc 18073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-wun 10697  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-hom 17221  df-cco 17222  df-setc 18026  df-estrc 18074
This theorem is referenced by:  funcestrcsetc  18101  fthestrcsetc  18102  fullestrcsetc  18103
  Copyright terms: Public domain W3C validator