MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcestrcsetclem8 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem funcestrcsetclem8 18104
Description: Lemma 8 for funcestrcsetc 18106. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcestrcsetc.e 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
funcestrcsetc.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
funcestrcsetc.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΈ)
funcestrcsetc.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
funcestrcsetc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
funcestrcsetc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (Baseβ€˜π‘₯)))
funcestrcsetc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘¦) ↑m (Baseβ€˜π‘₯)))))
Assertion
Ref Expression
funcestrcsetclem8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ):(𝑋(Hom β€˜πΈ)π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘Œ)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐢   𝑦,𝐡,π‘₯   𝑦,𝑋   πœ‘,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑦)   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem funcestrcsetclem8
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 6871 . . . 4 ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))):((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))–1-1-ontoβ†’((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))
2 f1of 6833 . . . 4 (( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))):((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))–1-1-ontoβ†’((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))):((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))⟢((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)))
31, 2mp1i 13 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))):((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))⟢((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)))
4 elmapi 8847 . . . . 5 (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
5 fvex 6904 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V
6 fvex 6904 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V
75, 6pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 ((Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V ∧ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V)
8 elmapg 8837 . . . . . . . . . 10 (((Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V ∧ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V) β†’ (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)) ↔ 𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ)))
98bicomd 222 . . . . . . . . 9 (((Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V ∧ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V) β†’ (𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))))
107, 9mp1i 13 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))))
1110biimpa 476 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)))
12 funcestrcsetc.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
13 funcestrcsetc.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
14 funcestrcsetc.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜πΈ)
15 funcestrcsetc.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
16 funcestrcsetc.u . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
17 funcestrcsetc.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (Baseβ€˜π‘₯)))
1812, 13, 14, 15, 16, 17funcestrcsetclem1 18097 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ))
1918adantrl 713 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ))
2012, 13, 14, 15, 16, 17funcestrcsetclem1 18097 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹))
2120adantrr 714 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹))
2219, 21oveq12d 7430 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)) = ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)))
2322adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)) = ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)))
2411, 23eleqtrrd 2835 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ 𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑓 ∈ ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)))
2524ex 412 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ) β†’ 𝑓 ∈ ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹))))
264, 25syl5 34 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑓 ∈ ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹))))
2726ssrdv 3988 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)))
283, 27fssd 6735 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))):((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))⟢((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)))
29 funcestrcsetc.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘¦) ↑m (Baseβ€˜π‘₯)))))
30 eqid 2731 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
31 eqid 2731 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
3212, 13, 14, 15, 16, 17, 29, 30, 31funcestrcsetclem5 18101 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ) = ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))))
3316adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
34 eqid 2731 . . . 4 (Hom β€˜πΈ) = (Hom β€˜πΈ)
3512, 16estrcbas 18081 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΈ))
3614, 35eqtr4id 2790 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 = π‘ˆ)
3736eleq2d 2818 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
3837biimpcd 248 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
3938adantr 480 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
4039impcom 407 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
4136eleq2d 2818 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ↔ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
4241biimpd 228 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
4342adantld 490 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
4443imp 406 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
4512, 33, 34, 40, 44, 30, 31estrchom 18083 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(Hom β€˜πΈ)π‘Œ) = ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹)))
46 eqid 2731 . . . 4 (Hom β€˜π‘†) = (Hom β€˜π‘†)
4712, 13, 14, 15, 16, 17funcestrcsetclem2 18098 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
4847adantrr 714 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
4912, 13, 14, 15, 16, 17funcestrcsetclem2 18098 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
5049adantrl 713 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
5113, 33, 46, 48, 50setchom 18035 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹)))
5232, 45, 51feq123d 6706 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ):(𝑋(Hom β€˜πΈ)π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ ( I β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))):((Baseβ€˜π‘Œ) ↑m (Baseβ€˜π‘‹))⟢((πΉβ€˜π‘Œ) ↑m (πΉβ€˜π‘‹))))
5328, 52mpbird 257 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ):(𝑋(Hom β€˜πΈ)π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ↑m cmap 8824  WUnicwun 10699  Basecbs 17149  Hom chom 17213  SetCatcsetc 18030  ExtStrCatcestrc 18078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-wun 10701  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-hom 17226  df-cco 17227  df-setc 18031  df-estrc 18079
This theorem is referenced by:  funcestrcsetc  18106  fthestrcsetc  18107  fullestrcsetc  18108
  Copyright terms: Public domain W3C validator