Theorem funcsetcestrclem8 18228

Description: Lemma 8 for funcsetcestrc 18230. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
funcsetcestrc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem8	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝑈(𝑥, 𝑦)   𝐸(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem8

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6863	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)–1-1-onto→(𝑌 ↑m 𝑋)
2		f1of 6824	. . . 4 ⊢ (( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)–1-1-onto→(𝑌 ↑m 𝑋) → ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)⟶(𝑌 ↑m 𝑋))
3	1, 2	mp1i 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)⟶(𝑌 ↑m 𝑋))
4		elmapi 8848	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) → 𝑓:𝑋⟶𝑌)
5		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶))
6	5	ancomd 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶))
7		elmapg 8838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ↔ 𝑓:𝑋⟶𝑌))
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ↔ 𝑓:𝑋⟶𝑌))
9	8	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋))
10		funcsetcestrc.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
11		funcsetcestrc.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
12		funcsetcestrc.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
13	10, 11, 12	funcsetcestrclem1 18220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑌) = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩})
14	13	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
15		eqid 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}
16	15	1strbas 17294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑌 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
17	16	eqcomd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
18	17	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
19	14, 18	eqtrd 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
20	19	adantrl 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
21	10, 11, 12	funcsetcestrclem1 18220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
22	21	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
23		eqid 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
24	23	1strbas 17294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
25	24	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
26	22, 25	eqtr4d 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
27	26	adantrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
28	20, 27	oveq12d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))) = (𝑌 ↑m 𝑋))
29	28	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))) = (𝑌 ↑m 𝑋))
30	9, 29	eleqtrrd 2869	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → 𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))))
31	30	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑓:𝑋⟶𝑌 → 𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋)))))
32	4, 31	syl5 35	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) → 𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋)))))
33	32	ssrdv 3946	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑌 ↑m 𝑋) ⊆ ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))))
34	3, 33	fssd 6727	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)⟶((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))))
35		funcsetcestrc.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
36		funcsetcestrc.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
37		funcsetcestrc.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
38	10, 11, 12, 35, 36, 37	funcsetcestrclem5 18225	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌) = ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)))
39	35	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑈 ∈ WUni)
40		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
41	10, 35	setcbas 18145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
42	11, 41	eqtr4id 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝑈)
43	42	eleq2d 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
44	43	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ 𝑈))
45	44	adantrd 497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝑈))
46	45	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
47	42	eleq2d 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 ↔ 𝑌 ∈ 𝑈))
48	47	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑌 ∈ 𝑈))
49	48	adantld 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ∈ 𝑈))
50	49	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
51	10, 39, 40, 46, 50	setchom 18147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) = (𝑌 ↑m 𝑋))
52		funcsetcestrc.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
53		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
54	10, 11, 12, 35, 36	funcsetcestrclem2 18221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
55	54	adantrr 730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
56	10, 11, 12, 35, 36	funcsetcestrclem2 18221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
57	56	adantrl 729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
58		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑋)) = (Base‘(𝐹‘𝑋))
59		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑌)) = (Base‘(𝐹‘𝑌))
60	52, 39, 53, 55, 57, 58, 59	estrchom 18193	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑌)) = ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))))
61	38, 51, 60	feq123d 6698	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ((𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑌)) ↔ ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)⟶((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋)))))
62	34, 61	mpbird 260	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4592  ⟨cop 4598   ↦ cmpt 5195   I cid 5558   ↾ cres 5666  ⟶wf 6536  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  ωcom 7864   ↑_m cmap 8826  WUnicwun 10695  ndxcnx 17263  Basecbs 17279  Hom chom 17331  SetCatcsetc 18142  ExtStrCatcestrc 18188

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-inf2 9612  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-wun 10697  df-ni 10867  df-pli 10868  df-mi 10869  df-lti 10870  df-plpq 10903  df-mpq 10904  df-ltpq 10905  df-enq 10906  df-nq 10907  df-erq 10908  df-plq 10909  df-mq 10910  df-1nq 10911  df-rq 10912  df-ltnq 10913  df-np 10976  df-plp 10978  df-ltp 10980  df-enr 11050  df-nr 11051  df-c 11116  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12515  df-z 12602  df-dec 12722  df-uz 12873  df-fz 13546  df-struct 17217  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-hom 17344  df-cco 17345  df-setc 18143  df-estrc 18189

This theorem is used by:  funcsetcestrc  18230  fthsetcestrc  18231  fullsetcestrc  18232