Theorem funcsetcestrclem8 18206

Description: Lemma 8 for funcsetcestrc 18208. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
funcsetcestrc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem8	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem8

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6849	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)–1-1-onto→(𝑌 ↑m 𝑋)
2		f1of 6810	. . . 4 ⊢ (( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)–1-1-onto→(𝑌 ↑m 𝑋) → ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)⟶(𝑌 ↑m 𝑋))
3	1, 2	mp1i 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)⟶(𝑌 ↑m 𝑋))
4		elmapi 8834	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) → 𝑓:𝑋⟶𝑌)
5		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶))
6	5	ancomd 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶))
7		elmapg 8824	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ↔ 𝑓:𝑋⟶𝑌))
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ↔ 𝑓:𝑋⟶𝑌))
9	8	biimpar 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋))
10		funcsetcestrc.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
11		funcsetcestrc.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
12		funcsetcestrc.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
13	10, 11, 12	funcsetcestrclem1 18198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑌) = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩})
14	13	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
15		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}
16	15	1strbas 17272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑌 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
17	16	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
18	17	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
19	14, 18	eqtrd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
20	19	adantrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
21	10, 11, 12	funcsetcestrclem1 18198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
22	21	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
23		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
24	23	1strbas 17272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
25	24	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
26	22, 25	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
27	26	adantrr 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
28	20, 27	oveq12d 7418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))) = (𝑌 ↑m 𝑋))
29	28	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))) = (𝑌 ↑m 𝑋))
30	9, 29	eleqtrrd 2868	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → 𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))))
31	30	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑓:𝑋⟶𝑌 → 𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋)))))
32	4, 31	syl5 35	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) → 𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋)))))
33	32	ssrdv 3945	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑌 ↑m 𝑋) ⊆ ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))))
34	3, 33	fssd 6713	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)⟶((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))))
35		funcsetcestrc.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
36		funcsetcestrc.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
37		funcsetcestrc.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
38	10, 11, 12, 35, 36, 37	funcsetcestrclem5 18203	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌) = ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)))
39	35	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑈 ∈ WUni)
40		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
41	10, 35	setcbas 18123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
42	11, 41	eqtr4id 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝑈)
43	42	eleq2d 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
44	43	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ 𝑈))
45	44	adantrd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝑈))
46	45	imp 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
47	42	eleq2d 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 ↔ 𝑌 ∈ 𝑈))
48	47	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑌 ∈ 𝑈))
49	48	adantld 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ∈ 𝑈))
50	49	imp 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
51	10, 39, 40, 46, 50	setchom 18125	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) = (𝑌 ↑m 𝑋))
52		funcsetcestrc.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
53		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
54	10, 11, 12, 35, 36	funcsetcestrclem2 18199	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
55	54	adantrr 729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
56	10, 11, 12, 35, 36	funcsetcestrclem2 18199	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
57	56	adantrl 728	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
58		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑋)) = (Base‘(𝐹‘𝑋))
59		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑌)) = (Base‘(𝐹‘𝑌))
60	52, 39, 53, 55, 57, 58, 59	estrchom 18171	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑌)) = ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))))
61	38, 51, 60	feq123d 6684	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ((𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑌)) ↔ ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)⟶((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋)))))
62	34, 61	mpbird 260	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {csn 4585  ⟨cop 4591   ↦ cmpt 5185   I cid 5545   ↾ cres 5653  ⟶wf 6521  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  ωcom 7850   ↑_m cmap 8812  WUnicwun 10673  ndxcnx 17241  Basecbs 17257  Hom chom 17309  SetCatcsetc 18120  ExtStrCatcestrc 18166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-er 8682  df-ec 8684  df-qs 8688  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-wun 10675  df-ni 10845  df-pli 10846  df-mi 10847  df-lti 10848  df-plpq 10881  df-mpq 10882  df-ltpq 10883  df-enq 10884  df-nq 10885  df-erq 10886  df-plq 10887  df-mq 10888  df-1nq 10889  df-rq 10890  df-ltnq 10891  df-np 10954  df-plp 10956  df-ltp 10958  df-enr 11028  df-nr 11029  df-c 11094  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-hom 17322  df-cco 17323  df-setc 18121  df-estrc 18167

This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  18208  fthsetcestrc  18209  fullsetcestrc  18210