MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem8 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem funcsetcestrclem8 18110
Description: Lemma 8 for funcsetcestrc 18112. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
funcsetcestrc.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
funcsetcestrc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩}))
funcsetcestrc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
funcsetcestrc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
funcsetcestrc.e 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ):(𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   𝑦,𝐢,π‘₯   𝑦,𝑋   π‘₯,π‘Œ,𝑦   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem funcsetcestrclem8
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 6868 . . . 4 ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)):(π‘Œ ↑m 𝑋)–1-1-ontoβ†’(π‘Œ ↑m 𝑋)
2 f1of 6830 . . . 4 (( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)):(π‘Œ ↑m 𝑋)–1-1-ontoβ†’(π‘Œ ↑m 𝑋) β†’ ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)):(π‘Œ ↑m 𝑋)⟢(π‘Œ ↑m 𝑋))
31, 2mp1i 13 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)):(π‘Œ ↑m 𝑋)⟢(π‘Œ ↑m 𝑋))
4 elmapi 8839 . . . . 5 (𝑓 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) β†’ 𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
5 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢))
65ancomd 462 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 ∈ 𝐢))
7 elmapg 8829 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝑓 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ↔ 𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑓 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ↔ 𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ))
98biimpar 478 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) ∧ 𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 𝑓 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋))
10 funcsetcestrc.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
11 funcsetcestrc.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
12 funcsetcestrc.f . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩}))
1310, 11, 12funcsetcestrclem1 18102 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©})
1413fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}))
15 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©} = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}
16151strbas 17157 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ π‘Œ = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}))
1716eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}) = π‘Œ)
1817adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}) = π‘Œ)
1914, 18eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
2019adantrl 714 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
2110, 11, 12funcsetcestrclem1 18102 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©})
2221fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}))
23 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©} = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}
24231strbas 17157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}))
2524adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}))
2622, 25eqtr4d 2775 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
2726adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
2820, 27oveq12d 7423 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ ((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))) = (π‘Œ ↑m 𝑋))
2928adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) ∧ 𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))) = (π‘Œ ↑m 𝑋))
309, 29eleqtrrd 2836 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) ∧ 𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))))
3130ex 413 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)))))
324, 31syl5 34 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑓 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) β†’ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)))))
3332ssrdv 3987 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘Œ ↑m 𝑋) βŠ† ((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))))
343, 33fssd 6732 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)):(π‘Œ ↑m 𝑋)⟢((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))))
35 funcsetcestrc.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
36 funcsetcestrc.o . . . 4 (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
37 funcsetcestrc.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
3810, 11, 12, 35, 36, 37funcsetcestrclem5 18107 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ) = ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)))
3935adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
40 eqid 2732 . . . 4 (Hom β€˜π‘†) = (Hom β€˜π‘†)
4110, 35setcbas 18024 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘†))
4211, 41eqtr4id 2791 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 = π‘ˆ)
4342eleq2d 2819 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐢 ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
4443biimpd 228 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
4544adantrd 492 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
4645imp 407 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
4742eleq2d 2819 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐢 ↔ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
4847biimpd 228 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
4948adantld 491 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
5049imp 407 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
5110, 39, 40, 46, 50setchom 18026 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ) = (π‘Œ ↑m 𝑋))
52 funcsetcestrc.e . . . 4 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
53 eqid 2732 . . . 4 (Hom β€˜πΈ) = (Hom β€˜πΈ)
5410, 11, 12, 35, 36funcsetcestrclem2 18103 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
5554adantrr 715 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
5610, 11, 12, 35, 36funcsetcestrclem2 18103 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
5756adantrl 714 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
58 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))
59 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ))
6052, 39, 53, 55, 57, 58, 59estrchom 18074 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘Œ)) = ((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))))
6138, 51, 60feq123d 6703 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ):(𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)):(π‘Œ ↑m 𝑋)⟢((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)))))
6234, 61mpbird 256 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ):(𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4627  βŸ¨cop 4633   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6536  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Ο‰com 7851   ↑m cmap 8816  WUnicwun 10691  ndxcnx 17122  Basecbs 17140  Hom chom 17204  SetCatcsetc 18021  ExtStrCatcestrc 18069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-wun 10693  df-ni 10863  df-pli 10864  df-mi 10865  df-lti 10866  df-plpq 10899  df-mpq 10900  df-ltpq 10901  df-enq 10902  df-nq 10903  df-erq 10904  df-plq 10905  df-mq 10906  df-1nq 10907  df-rq 10908  df-ltnq 10909  df-np 10972  df-plp 10974  df-ltp 10976  df-enr 11046  df-nr 11047  df-c 11112  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-hom 17217  df-cco 17218  df-setc 18022  df-estrc 18070
This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  18112  fthsetcestrc  18113  fullsetcestrc  18114
  Copyright terms: Public domain W3C validator