MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem8 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem funcsetcestrclem8 18152
Description: Lemma 8 for funcsetcestrc 18154. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
funcsetcestrc.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
funcsetcestrc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩}))
funcsetcestrc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
funcsetcestrc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
funcsetcestrc.e 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ):(𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   𝑦,𝐢,π‘₯   𝑦,𝑋   π‘₯,π‘Œ,𝑦   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem funcsetcestrclem8
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 6874 . . . 4 ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)):(π‘Œ ↑m 𝑋)–1-1-ontoβ†’(π‘Œ ↑m 𝑋)
2 f1of 6836 . . . 4 (( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)):(π‘Œ ↑m 𝑋)–1-1-ontoβ†’(π‘Œ ↑m 𝑋) β†’ ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)):(π‘Œ ↑m 𝑋)⟢(π‘Œ ↑m 𝑋))
31, 2mp1i 13 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)):(π‘Œ ↑m 𝑋)⟢(π‘Œ ↑m 𝑋))
4 elmapi 8866 . . . . 5 (𝑓 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) β†’ 𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
5 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢))
65ancomd 460 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 ∈ 𝐢))
7 elmapg 8856 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝑓 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ↔ 𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑓 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ↔ 𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ))
98biimpar 476 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) ∧ 𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 𝑓 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋))
10 funcsetcestrc.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
11 funcsetcestrc.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
12 funcsetcestrc.f . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩}))
1310, 11, 12funcsetcestrclem1 18144 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©})
1413fveq2d 6898 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}))
15 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©} = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}
16151strbas 17196 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ π‘Œ = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}))
1716eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}) = π‘Œ)
1817adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}) = π‘Œ)
1914, 18eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
2019adantrl 714 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
2110, 11, 12funcsetcestrclem1 18144 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©})
2221fveq2d 6898 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}))
23 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©} = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}
24231strbas 17196 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}))
2524adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}))
2622, 25eqtr4d 2768 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
2726adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
2820, 27oveq12d 7435 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ ((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))) = (π‘Œ ↑m 𝑋))
2928adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) ∧ 𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))) = (π‘Œ ↑m 𝑋))
309, 29eleqtrrd 2828 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) ∧ 𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))))
3130ex 411 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)))))
324, 31syl5 34 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑓 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) β†’ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)))))
3332ssrdv 3983 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘Œ ↑m 𝑋) βŠ† ((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))))
343, 33fssd 6738 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)):(π‘Œ ↑m 𝑋)⟢((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))))
35 funcsetcestrc.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
36 funcsetcestrc.o . . . 4 (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
37 funcsetcestrc.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
3810, 11, 12, 35, 36, 37funcsetcestrclem5 18149 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ) = ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)))
3935adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
40 eqid 2725 . . . 4 (Hom β€˜π‘†) = (Hom β€˜π‘†)
4110, 35setcbas 18066 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘†))
4211, 41eqtr4id 2784 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 = π‘ˆ)
4342eleq2d 2811 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐢 ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
4443biimpd 228 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
4544adantrd 490 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
4645imp 405 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
4742eleq2d 2811 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐢 ↔ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
4847biimpd 228 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
4948adantld 489 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
5049imp 405 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
5110, 39, 40, 46, 50setchom 18068 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ) = (π‘Œ ↑m 𝑋))
52 funcsetcestrc.e . . . 4 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
53 eqid 2725 . . . 4 (Hom β€˜πΈ) = (Hom β€˜πΈ)
5410, 11, 12, 35, 36funcsetcestrclem2 18145 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
5554adantrr 715 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
5610, 11, 12, 35, 36funcsetcestrclem2 18145 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
5756adantrl 714 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
58 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))
59 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ))
6052, 39, 53, 55, 57, 58, 59estrchom 18116 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘Œ)) = ((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))))
6138, 51, 60feq123d 6710 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ):(𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)):(π‘Œ ↑m 𝑋)⟢((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)))))
6234, 61mpbird 256 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ):(𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4629  βŸ¨cop 4635   ↦ cmpt 5231   I cid 5574   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6543  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6546  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419  Ο‰com 7869   ↑m cmap 8843  WUnicwun 10723  ndxcnx 17161  Basecbs 17179  Hom chom 17243  SetCatcsetc 18063  ExtStrCatcestrc 18111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-ec 8725  df-qs 8729  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-wun 10725  df-ni 10895  df-pli 10896  df-mi 10897  df-lti 10898  df-plpq 10931  df-mpq 10932  df-ltpq 10933  df-enq 10934  df-nq 10935  df-erq 10936  df-plq 10937  df-mq 10938  df-1nq 10939  df-rq 10940  df-ltnq 10941  df-np 11004  df-plp 11006  df-ltp 11008  df-enr 11078  df-nr 11079  df-c 11144  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-hom 17256  df-cco 17257  df-setc 18064  df-estrc 18112
This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  18154  fthsetcestrc  18155  fullsetcestrc  18156
  Copyright terms: Public domain W3C validator