Theorem funcsetcestrclem8 18342

Description: Lemma 8 for funcsetcestrc 18344. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
funcsetcestrc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem8	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝑈(𝑥, 𝑦)   𝐸(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem8

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6864	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)–1-1-onto→(𝑌 ↑m 𝑋)
2		f1of 6825	. . . 4 ⊢ (( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)–1-1-onto→(𝑌 ↑m 𝑋) → ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)⟶(𝑌 ↑m 𝑋))
3	1, 2	mp1i 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)⟶(𝑌 ↑m 𝑋))
4		elmapi 8873	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) → 𝑓:𝑋⟶𝑌)
5		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶))
6	5	ancomd 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶))
7		elmapg 8863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ↔ 𝑓:𝑋⟶𝑌))
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ↔ 𝑓:𝑋⟶𝑌))
9	8	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋))
10		funcsetcestrc.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
11		funcsetcestrc.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
12		funcsetcestrc.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
13	10, 11, 12	funcsetcestrclem1 18334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑌) = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩})
14	13	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
15		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}
16	15	1strbas 17408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑌 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
17	16	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
18	17	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
19	14, 18	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
20	19	adantrl 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
21	10, 11, 12	funcsetcestrclem1 18334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
22	21	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
23		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
24	23	1strbas 17408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
25	24	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
26	22, 25	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
27	26	adantrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
28	20, 27	oveq12d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))) = (𝑌 ↑m 𝑋))
29	28	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))) = (𝑌 ↑m 𝑋))
30	9, 29	eleqtrrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → 𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))))
31	30	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑓:𝑋⟶𝑌 → 𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋)))))
32	4, 31	syl5 35	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) → 𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋)))))
33	32	ssrdv 3914	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑌 ↑m 𝑋) ⊆ ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))))
34	3, 33	fssd 6728	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)⟶((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))))
35		funcsetcestrc.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
36		funcsetcestrc.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
37		funcsetcestrc.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
38	10, 11, 12, 35, 36, 37	funcsetcestrclem5 18339	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌) = ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)))
39	35	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑈 ∈ WUni)
40		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
41	10, 35	setcbas 18259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
42	11, 41	eqtr4id 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝑈)
43	42	eleq2d 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
44	43	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ 𝑈))
45	44	adantrd 497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝑈))
46	45	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
47	42	eleq2d 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 ↔ 𝑌 ∈ 𝑈))
48	47	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑌 ∈ 𝑈))
49	48	adantld 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ∈ 𝑈))
50	49	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
51	10, 39, 40, 46, 50	setchom 18261	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) = (𝑌 ↑m 𝑋))
52		funcsetcestrc.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
53		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
54	10, 11, 12, 35, 36	funcsetcestrclem2 18335	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
55	54	adantrr 730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
56	10, 11, 12, 35, 36	funcsetcestrclem2 18335	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
57	56	adantrl 729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
58		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑋)) = (Base‘(𝐹‘𝑋))
59		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑌)) = (Base‘(𝐹‘𝑌))
60	52, 39, 53, 55, 57, 58, 59	estrchom 18307	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑌)) = ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))))
61	38, 51, 60	feq123d 6699	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ((𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑌)) ↔ ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)⟶((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋)))))
62	34, 61	mpbird 260	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {csn 4584  ⟨cop 4834   ↦ cmpt 5185   I cid 5544   ↾ cres 5652  ⟶wf 6535  –1-1-onto→wf1o 6538  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∈ cmpo 7423  ωcom 7878   ↑_m cmap 8851  WUnicwun 10789  ndxcnx 17377  Basecbs 17393  Hom chom 17445  SetCatcsetc 18256  ExtStrCatcestrc 18302

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8721  df-ec 8723  df-qs 8727  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-wun 10791  df-ni 10961  df-pli 10962  df-mi 10963  df-lti 10964  df-plpq 10997  df-mpq 10998  df-ltpq 10999  df-enq 11000  df-nq 11001  df-erq 11002  df-plq 11003  df-mq 11004  df-1nq 11005  df-rq 11006  df-ltnq 11007  df-np 11070  df-plp 11072  df-ltp 11074  df-enr 11144  df-nr 11145  df-c 11210  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-hom 17458  df-cco 17459  df-setc 18257  df-estrc 18303

This theorem is used by:  funcsetcestrc  18344  fthsetcestrc  18345  fullsetcestrc  18346