Theorem funcsetcestrclem8 18119

Description: Lemma 8 for funcsetcestrc 18121. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
funcsetcestrc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem8	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem8

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6812	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)–1-1-onto→(𝑌 ↑m 𝑋)
2		f1of 6774	. . . 4 ⊢ (( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)–1-1-onto→(𝑌 ↑m 𝑋) → ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)⟶(𝑌 ↑m 𝑋))
3	1, 2	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)⟶(𝑌 ↑m 𝑋))
4		elmapi 8789	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) → 𝑓:𝑋⟶𝑌)
5		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶))
6	5	ancomd 461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶))
7		elmapg 8779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ↔ 𝑓:𝑋⟶𝑌))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ↔ 𝑓:𝑋⟶𝑌))
9	8	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋))
10		funcsetcestrc.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
11		funcsetcestrc.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
12		funcsetcestrc.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
13	10, 11, 12	funcsetcestrclem1 18111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑌) = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩})
14	13	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
15		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}
16	15	1strbas 17185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑌 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
17	16	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
19	14, 18	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
20	19	adantrl 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
21	10, 11, 12	funcsetcestrclem1 18111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
22	21	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
23		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
24	23	1strbas 17185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
26	22, 25	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
27	26	adantrr 718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
28	20, 27	oveq12d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))) = (𝑌 ↑m 𝑋))
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))) = (𝑌 ↑m 𝑋))
30	9, 29	eleqtrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → 𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))))
31	30	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑓:𝑋⟶𝑌 → 𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋)))))
32	4, 31	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) → 𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋)))))
33	32	ssrdv 3928	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑌 ↑m 𝑋) ⊆ ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))))
34	3, 33	fssd 6679	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)⟶((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))))
35		funcsetcestrc.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
36		funcsetcestrc.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
37		funcsetcestrc.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
38	10, 11, 12, 35, 36, 37	funcsetcestrclem5 18116	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌) = ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)))
39	35	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑈 ∈ WUni)
40		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
41	10, 35	setcbas 18036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
42	11, 41	eqtr4id 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝑈)
43	42	eleq2d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
44	43	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ 𝑈))
45	44	adantrd 491	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝑈))
46	45	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
47	42	eleq2d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 ↔ 𝑌 ∈ 𝑈))
48	47	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑌 ∈ 𝑈))
49	48	adantld 490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ∈ 𝑈))
50	49	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
51	10, 39, 40, 46, 50	setchom 18038	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) = (𝑌 ↑m 𝑋))
52		funcsetcestrc.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
53		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
54	10, 11, 12, 35, 36	funcsetcestrclem2 18112	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
55	54	adantrr 718	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
56	10, 11, 12, 35, 36	funcsetcestrclem2 18112	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
57	56	adantrl 717	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
58		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑋)) = (Base‘(𝐹‘𝑋))
59		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑌)) = (Base‘(𝐹‘𝑌))
60	52, 39, 53, 55, 57, 58, 59	estrchom 18084	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑌)) = ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))))
61	38, 51, 60	feq123d 6651	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ((𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑌)) ↔ ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)⟶((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋)))))
62	34, 61	mpbird 257	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568  ⟨cop 4574   ↦ cmpt 5167   I cid 5518   ↾ cres 5626  ⟶wf 6488  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  ωcom 7810   ↑_m cmap 8766  WUnicwun 10614  ndxcnx 17154  Basecbs 17170  Hom chom 17222  SetCatcsetc 18033  ExtStrCatcestrc 18079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-ec 8638  df-qs 8642  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-wun 10616  df-ni 10786  df-pli 10787  df-mi 10788  df-lti 10789  df-plpq 10822  df-mpq 10823  df-ltpq 10824  df-enq 10825  df-nq 10826  df-erq 10827  df-plq 10828  df-mq 10829  df-1nq 10830  df-rq 10831  df-ltnq 10832  df-np 10895  df-plp 10897  df-ltp 10899  df-enr 10969  df-nr 10970  df-c 11035  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-hom 17235  df-cco 17236  df-setc 18034  df-estrc 18080

This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  18121  fthsetcestrc  18122  fullsetcestrc  18123