MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem8 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem funcsetcestrclem8 18144
Description: Lemma 8 for funcsetcestrc 18146. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
funcsetcestrc.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
funcsetcestrc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩}))
funcsetcestrc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
funcsetcestrc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
funcsetcestrc.e 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ):(𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   𝑦,𝐢,π‘₯   𝑦,𝑋   π‘₯,π‘Œ,𝑦   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem funcsetcestrclem8
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 6871 . . . 4 ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)):(π‘Œ ↑m 𝑋)–1-1-ontoβ†’(π‘Œ ↑m 𝑋)
2 f1of 6833 . . . 4 (( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)):(π‘Œ ↑m 𝑋)–1-1-ontoβ†’(π‘Œ ↑m 𝑋) β†’ ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)):(π‘Œ ↑m 𝑋)⟢(π‘Œ ↑m 𝑋))
31, 2mp1i 13 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)):(π‘Œ ↑m 𝑋)⟢(π‘Œ ↑m 𝑋))
4 elmapi 8859 . . . . 5 (𝑓 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) β†’ 𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
5 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢))
65ancomd 461 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 ∈ 𝐢))
7 elmapg 8849 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (𝑓 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ↔ 𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑓 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ↔ 𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ))
98biimpar 477 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) ∧ 𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 𝑓 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋))
10 funcsetcestrc.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
11 funcsetcestrc.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
12 funcsetcestrc.f . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩}))
1310, 11, 12funcsetcestrclem1 18136 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©})
1413fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}))
15 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©} = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}
16151strbas 17188 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ π‘Œ = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}))
1716eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}) = π‘Œ)
1817adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}) = π‘Œ)
1914, 18eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
2019adantrl 715 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
2110, 11, 12funcsetcestrclem1 18136 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©})
2221fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}))
23 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©} = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}
24231strbas 17188 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}))
2524adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}))
2622, 25eqtr4d 2770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
2726adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
2820, 27oveq12d 7432 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ ((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))) = (π‘Œ ↑m 𝑋))
2928adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) ∧ 𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ ((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))) = (π‘Œ ↑m 𝑋))
309, 29eleqtrrd 2831 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) ∧ 𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))))
3130ex 412 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑓:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)))))
324, 31syl5 34 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑓 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) β†’ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)))))
3332ssrdv 3984 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘Œ ↑m 𝑋) βŠ† ((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))))
343, 33fssd 6734 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)):(π‘Œ ↑m 𝑋)⟢((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))))
35 funcsetcestrc.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
36 funcsetcestrc.o . . . 4 (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
37 funcsetcestrc.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
3810, 11, 12, 35, 36, 37funcsetcestrclem5 18141 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ) = ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)))
3935adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
40 eqid 2727 . . . 4 (Hom β€˜π‘†) = (Hom β€˜π‘†)
4110, 35setcbas 18058 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘†))
4211, 41eqtr4id 2786 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 = π‘ˆ)
4342eleq2d 2814 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐢 ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
4443biimpd 228 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
4544adantrd 491 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
4645imp 406 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
4742eleq2d 2814 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐢 ↔ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
4847biimpd 228 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
4948adantld 490 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
5049imp 406 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
5110, 39, 40, 46, 50setchom 18060 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ) = (π‘Œ ↑m 𝑋))
52 funcsetcestrc.e . . . 4 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
53 eqid 2727 . . . 4 (Hom β€˜πΈ) = (Hom β€˜πΈ)
5410, 11, 12, 35, 36funcsetcestrclem2 18137 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
5554adantrr 716 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
5610, 11, 12, 35, 36funcsetcestrclem2 18137 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
5756adantrl 715 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
58 eqid 2727 . . . 4 (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))
59 eqid 2727 . . . 4 (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ))
6052, 39, 53, 55, 57, 58, 59estrchom 18108 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘Œ)) = ((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))))
6138, 51, 60feq123d 6705 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ):(𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ ( I β†Ύ (π‘Œ ↑m 𝑋)):(π‘Œ ↑m 𝑋)⟢((Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↑m (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)))))
6234, 61mpbird 257 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢)) β†’ (π‘‹πΊπ‘Œ):(𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ)⟢((πΉβ€˜π‘‹)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4624  βŸ¨cop 4630   ↦ cmpt 5225   I cid 5569   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  Ο‰com 7864   ↑m cmap 8836  WUnicwun 10715  ndxcnx 17153  Basecbs 17171  Hom chom 17235  SetCatcsetc 18055  ExtStrCatcestrc 18103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-wun 10717  df-ni 10887  df-pli 10888  df-mi 10889  df-lti 10890  df-plpq 10923  df-mpq 10924  df-ltpq 10925  df-enq 10926  df-nq 10927  df-erq 10928  df-plq 10929  df-mq 10930  df-1nq 10931  df-rq 10932  df-ltnq 10933  df-np 10996  df-plp 10998  df-ltp 11000  df-enr 11070  df-nr 11071  df-c 11136  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-hom 17248  df-cco 17249  df-setc 18056  df-estrc 18104
This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  18146  fthsetcestrc  18147  fullsetcestrc  18148
  Copyright terms: Public domain W3C validator