MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcestrclem8 18050
Description: Lemma 8 for funcsetcestrc 18052. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦m 𝑥))))
funcsetcestrc.e 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem8
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 6822 . . . 4 ( I ↾ (𝑌m 𝑋)):(𝑌m 𝑋)–1-1-onto→(𝑌m 𝑋)
2 f1of 6784 . . . 4 (( I ↾ (𝑌m 𝑋)):(𝑌m 𝑋)–1-1-onto→(𝑌m 𝑋) → ( I ↾ (𝑌m 𝑋)):(𝑌m 𝑋)⟶(𝑌m 𝑋))
31, 2mp1i 13 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → ( I ↾ (𝑌m 𝑋)):(𝑌m 𝑋)⟶(𝑌m 𝑋))
4 elmapi 8787 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑌m 𝑋) → 𝑓:𝑋𝑌)
5 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋𝐶𝑌𝐶))
65ancomd 462 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑌𝐶𝑋𝐶))
7 elmapg 8778 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝐶𝑋𝐶) → (𝑓 ∈ (𝑌m 𝑋) ↔ 𝑓:𝑋𝑌))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝑌m 𝑋) ↔ 𝑓:𝑋𝑌))
98biimpar 478 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑌m 𝑋))
10 funcsetcestrc.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
11 funcsetcestrc.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 = (Base‘𝑆)
12 funcsetcestrc.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
1310, 11, 12funcsetcestrclem1 18042 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌𝐶) → (𝐹𝑌) = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩})
1413fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌𝐶) → (Base‘(𝐹𝑌)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
15 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}
16151strbas 17100 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌𝐶𝑌 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
1716eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
1817adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
1914, 18eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌𝐶) → (Base‘(𝐹𝑌)) = 𝑌)
2019adantrl 714 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (Base‘(𝐹𝑌)) = 𝑌)
2110, 11, 12funcsetcestrclem1 18042 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐹𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
2221fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → (Base‘(𝐹𝑋)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
23 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
24231strbas 17100 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝐶𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
2524adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
2622, 25eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝐶) → (Base‘(𝐹𝑋)) = 𝑋)
2726adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (Base‘(𝐹𝑋)) = 𝑋)
2820, 27oveq12d 7375 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → ((Base‘(𝐹𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹𝑋))) = (𝑌m 𝑋))
2928adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋𝑌) → ((Base‘(𝐹𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹𝑋))) = (𝑌m 𝑋))
309, 29eleqtrrd 2841 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋𝑌) → 𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹𝑋))))
3130ex 413 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑓:𝑋𝑌𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹𝑋)))))
324, 31syl5 34 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝑌m 𝑋) → 𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹𝑋)))))
3332ssrdv 3950 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑌m 𝑋) ⊆ ((Base‘(𝐹𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹𝑋))))
343, 33fssd 6686 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → ( I ↾ (𝑌m 𝑋)):(𝑌m 𝑋)⟶((Base‘(𝐹𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹𝑋))))
35 funcsetcestrc.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
36 funcsetcestrc.o . . . 4 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
37 funcsetcestrc.g . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦m 𝑥))))
3810, 11, 12, 35, 36, 37funcsetcestrclem5 18047 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌) = ( I ↾ (𝑌m 𝑋)))
3935adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑈 ∈ WUni)
40 eqid 2736 . . . 4 (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
4110, 35setcbas 17964 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 = (Base‘𝑆))
4211, 41eqtr4id 2795 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 = 𝑈)
4342eleq2d 2823 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑋𝑈))
4443biimpd 228 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑋𝑈))
4544adantrd 492 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝑋𝑈))
4645imp 407 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑋𝑈)
4742eleq2d 2823 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌𝐶𝑌𝑈))
4847biimpd 228 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌𝐶𝑌𝑈))
4948adantld 491 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝐶𝑌𝐶) → 𝑌𝑈))
5049imp 407 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑌𝑈)
5110, 39, 40, 46, 50setchom 17966 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) = (𝑌m 𝑋))
52 funcsetcestrc.e . . . 4 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
53 eqid 2736 . . . 4 (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
5410, 11, 12, 35, 36funcsetcestrclem2 18043 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)
5554adantrr 715 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)
5610, 11, 12, 35, 36funcsetcestrclem2 18043 . . . . 5 ((𝜑𝑌𝐶) → (𝐹𝑌) ∈ 𝑈)
5756adantrl 714 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝐹𝑌) ∈ 𝑈)
58 eqid 2736 . . . 4 (Base‘(𝐹𝑋)) = (Base‘(𝐹𝑋))
59 eqid 2736 . . . 4 (Base‘(𝐹𝑌)) = (Base‘(𝐹𝑌))
6052, 39, 53, 55, 57, 58, 59estrchom 18014 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → ((𝐹𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑌)) = ((Base‘(𝐹𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹𝑋))))
6138, 51, 60feq123d 6657 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → ((𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑌)) ↔ ( I ↾ (𝑌m 𝑋)):(𝑌m 𝑋)⟶((Base‘(𝐹𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹𝑋)))))
6234, 61mpbird 256 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4586  cop 4592  cmpt 5188   I cid 5530  cres 5635  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  ωcom 7802  m cmap 8765  WUnicwun 10636  ndxcnx 17065  Basecbs 17083  Hom chom 17144  SetCatcsetc 17961  ExtStrCatcestrc 18009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-wun 10638  df-ni 10808  df-pli 10809  df-mi 10810  df-lti 10811  df-plpq 10844  df-mpq 10845  df-ltpq 10846  df-enq 10847  df-nq 10848  df-erq 10849  df-plq 10850  df-mq 10851  df-1nq 10852  df-rq 10853  df-ltnq 10854  df-np 10917  df-plp 10919  df-ltp 10921  df-enr 10991  df-nr 10992  df-c 11057  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-hom 17157  df-cco 17158  df-setc 17962  df-estrc 18010
This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  18052  fthsetcestrc  18053  fullsetcestrc  18054
  Copyright terms: Public domain W3C validator