Theorem funcsetcestrclem8 18068

Description: Lemma 8 for funcsetcestrc 18070. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
funcsetcestrc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem8	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem8

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6802	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)–1-1-onto→(𝑌 ↑m 𝑋)
2		f1of 6764	. . . 4 ⊢ (( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)–1-1-onto→(𝑌 ↑m 𝑋) → ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)⟶(𝑌 ↑m 𝑋))
3	1, 2	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)⟶(𝑌 ↑m 𝑋))
4		elmapi 8776	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) → 𝑓:𝑋⟶𝑌)
5		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶))
6	5	ancomd 461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶))
7		elmapg 8766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ↔ 𝑓:𝑋⟶𝑌))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ↔ 𝑓:𝑋⟶𝑌))
9	8	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → 𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋))
10		funcsetcestrc.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
11		funcsetcestrc.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
12		funcsetcestrc.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
13	10, 11, 12	funcsetcestrclem1 18060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑌) = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩})
14	13	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
15		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}
16	15	1strbas 17135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑌 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
17	16	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
19	14, 18	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
20	19	adantrl 716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
21	10, 11, 12	funcsetcestrclem1 18060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
22	21	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
23		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
24	23	1strbas 17135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
26	22, 25	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
27	26	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
28	20, 27	oveq12d 7367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))) = (𝑌 ↑m 𝑋))
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))) = (𝑌 ↑m 𝑋))
30	9, 29	eleqtrrd 2831	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → 𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))))
31	30	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑓:𝑋⟶𝑌 → 𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋)))))
32	4, 31	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑓 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) → 𝑓 ∈ ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋)))))
33	32	ssrdv 3941	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑌 ↑m 𝑋) ⊆ ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))))
34	3, 33	fssd 6669	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)⟶((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))))
35		funcsetcestrc.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
36		funcsetcestrc.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
37		funcsetcestrc.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
38	10, 11, 12, 35, 36, 37	funcsetcestrclem5 18065	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌) = ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)))
39	35	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑈 ∈ WUni)
40		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
41	10, 35	setcbas 17985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
42	11, 41	eqtr4id 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝑈)
43	42	eleq2d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
44	43	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 ∈ 𝑈))
45	44	adantrd 491	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝑈))
46	45	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
47	42	eleq2d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 ↔ 𝑌 ∈ 𝑈))
48	47	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑌 ∈ 𝑈))
49	48	adantld 490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ∈ 𝑈))
50	49	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
51	10, 39, 40, 46, 50	setchom 17987	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) = (𝑌 ↑m 𝑋))
52		funcsetcestrc.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
53		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
54	10, 11, 12, 35, 36	funcsetcestrclem2 18061	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
55	54	adantrr 717	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
56	10, 11, 12, 35, 36	funcsetcestrclem2 18061	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
57	56	adantrl 716	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
58		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑋)) = (Base‘(𝐹‘𝑋))
59		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑌)) = (Base‘(𝐹‘𝑌))
60	52, 39, 53, 55, 57, 58, 59	estrchom 18033	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑌)) = ((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋))))
61	38, 51, 60	feq123d 6641	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ((𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑌)) ↔ ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)):(𝑌 ↑m 𝑋)⟶((Base‘(𝐹‘𝑌)) ↑m (Base‘(𝐹‘𝑋)))))
62	34, 61	mpbird 257	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌)⟶((𝐹‘𝑋)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4577  ⟨cop 4583   ↦ cmpt 5173   I cid 5513   ↾ cres 5621  ⟶wf 6478  –1-1-onto→wf1o 6481  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351  ωcom 7799   ↑_m cmap 8753  WUnicwun 10594  ndxcnx 17104  Basecbs 17120  Hom chom 17172  SetCatcsetc 17982  ExtStrCatcestrc 18028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-er 8625  df-ec 8627  df-qs 8631  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-wun 10596  df-ni 10766  df-pli 10767  df-mi 10768  df-lti 10769  df-plpq 10802  df-mpq 10803  df-ltpq 10804  df-enq 10805  df-nq 10806  df-erq 10807  df-plq 10808  df-mq 10809  df-1nq 10810  df-rq 10811  df-ltnq 10812  df-np 10875  df-plp 10877  df-ltp 10879  df-enr 10949  df-nr 10950  df-c 11015  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-hom 17185  df-cco 17186  df-setc 17983  df-estrc 18029

This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  18070  fthsetcestrc  18071  fullsetcestrc  18072