MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcestrclem9 18111
Description: Lemma 9 for funcsetcestrc 18112. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
funcsetcestrc.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
funcsetcestrc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩}))
funcsetcestrc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
funcsetcestrc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
funcsetcestrc.e 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜π‘†)𝑍))) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘†)𝑍)𝐻)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   𝑦,𝐢,π‘₯   𝑦,𝑋   π‘₯,π‘Œ,𝑦   πœ‘,𝑦   π‘₯,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)   𝐻(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem9
StepHypRef Expression
1 funcsetcestrc.s . . . . . 6 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
2 funcsetcestrc.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
32adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
4 eqid 2732 . . . . . 6 (Hom β€˜π‘†) = (Hom β€˜π‘†)
5 funcsetcestrc.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
61, 2setcbas 18024 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘†))
75, 6eqtr4id 2791 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 = π‘ˆ)
87eleq2d 2819 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐢 ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
98biimpcd 248 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
1093ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
1110impcom 408 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
127eleq2d 2819 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐢 ↔ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
1312biimpcd 248 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
14133ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
1514impcom 408 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
161, 3, 4, 11, 15setchom 18026 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ) = (π‘Œ ↑m 𝑋))
1716eleq2d 2819 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ) ↔ 𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋)))
187eleq2d 2819 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ 𝐢 ↔ 𝑍 ∈ π‘ˆ))
1918biimpcd 248 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ 𝐢 β†’ (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ))
20193ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ))
2120impcom 408 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
221, 3, 4, 15, 21setchom 18026 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (π‘Œ(Hom β€˜π‘†)𝑍) = (𝑍 ↑m π‘Œ))
2322eleq2d 2819 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (𝐾 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜π‘†)𝑍) ↔ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ)))
2417, 23anbi12d 631 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ ((𝐻 ∈ (𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜π‘†)𝑍)) ↔ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))))
25 elmapi 8839 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ) β†’ 𝐾:π‘ŒβŸΆπ‘)
26 elmapi 8839 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) β†’ 𝐻:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
27 fco 6738 . . . . . . . . 9 ((𝐾:π‘ŒβŸΆπ‘ ∧ 𝐻:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (𝐾 ∘ 𝐻):π‘‹βŸΆπ‘)
2825, 26, 27syl2anr 597 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ)) β†’ (𝐾 ∘ 𝐻):π‘‹βŸΆπ‘)
2928adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (𝐾 ∘ 𝐻):π‘‹βŸΆπ‘)
30 elmapg 8829 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):π‘‹βŸΆπ‘))
3130ancoms 459 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):π‘‹βŸΆπ‘))
32313adant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):π‘‹βŸΆπ‘))
3332ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):π‘‹βŸΆπ‘))
3429, 33mpbird 256 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋))
35 fvresi 7167 . . . . . 6 ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) β†’ (( I β†Ύ (𝑍 ↑m 𝑋))β€˜(𝐾 ∘ 𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
3634, 35syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (( I β†Ύ (𝑍 ↑m 𝑋))β€˜(𝐾 ∘ 𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
37 funcsetcestrc.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩}))
38 funcsetcestrc.o . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
39 funcsetcestrc.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
401, 5, 37, 2, 38, 39funcsetcestrclem5 18107 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋𝐺𝑍) = ( I β†Ύ (𝑍 ↑m 𝑋)))
41403adantr2 1170 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋𝐺𝑍) = ( I β†Ύ (𝑍 ↑m 𝑋)))
4241adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (𝑋𝐺𝑍) = ( I β†Ύ (𝑍 ↑m 𝑋)))
433adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
44 eqid 2732 . . . . . . 7 (compβ€˜π‘†) = (compβ€˜π‘†)
4511adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
4615adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
4721adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
4826ad2antrl 726 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ 𝐻:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
4925ad2antll 727 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ 𝐾:π‘ŒβŸΆπ‘)
501, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49setcco 18029 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘†)𝑍)𝐻) = (𝐾 ∘ 𝐻))
5142, 50fveq12d 6895 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘†)𝑍)𝐻)) = (( I β†Ύ (𝑍 ↑m 𝑋))β€˜(𝐾 ∘ 𝐻)))
52 funcsetcestrc.e . . . . . . 7 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
53 eqid 2732 . . . . . . 7 (compβ€˜πΈ) = (compβ€˜πΈ)
541, 5, 37, 2, 38funcsetcestrclem2 18103 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
55543ad2antr1 1188 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
5655adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
571, 5, 37, 2, 38funcsetcestrclem2 18103 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
58573ad2antr2 1189 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
5958adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
601, 5, 37, 2, 38funcsetcestrclem2 18103 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
61603ad2antr3 1190 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
6261adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
63 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))
64 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ))
65 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘))
66 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ πœ‘)
67 3simpa 1148 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢))
6867ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢))
69 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ 𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋))
701, 5, 37, 2, 38, 39funcsetcestrclem6 18108 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ 𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋)) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π») = 𝐻)
7166, 68, 69, 70syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π») = 𝐻)
721, 5, 37funcsetcestrclem1 18102 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©})
73723ad2antr1 1188 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©})
7473fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}))
75 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©} = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}
76751strbas 17157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}))
7776eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}) = 𝑋)
78773ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}) = 𝑋)
7978adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}) = 𝑋)
8074, 79eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
8180adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
821, 5, 37funcsetcestrclem1 18102 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©})
83823ad2antr2 1189 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©})
8483fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}))
85 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©} = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}
86851strbas 17157 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ π‘Œ = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}))
8786eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}) = π‘Œ)
88873ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}) = π‘Œ)
8988adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}) = π‘Œ)
9084, 89eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
9190adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
9271, 81, 91feq123d 6703 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»):(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))⟢(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝐻:π‘‹βŸΆπ‘Œ))
9348, 92mpbird 256 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»):(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))⟢(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)))
94 3simpc 1150 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢))
9594ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢))
96 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))
971, 5, 37, 2, 38, 39funcsetcestrclem6 18108 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ)) β†’ ((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ) = 𝐾)
9866, 95, 96, 97syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ ((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ) = 𝐾)
991, 5, 37funcsetcestrclem1 18102 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©})
100993ad2antr3 1190 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©})
101100fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}))
102 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©} = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}
1031021strbas 17157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 ∈ 𝐢 β†’ 𝑍 = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}))
104103eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ 𝐢 β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}) = 𝑍)
1051043ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}) = 𝑍)
106105adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}) = 𝑍)
107101, 106eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = 𝑍)
108107adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = 𝑍)
10998, 91, 108feq123d 6703 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ):(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ))⟢(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ↔ 𝐾:π‘ŒβŸΆπ‘))
11049, 109mpbird 256 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ ((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ):(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ))⟢(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)))
11152, 43, 53, 56, 59, 62, 63, 64, 65, 93, 110estrcco 18077 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ) ∘ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)))
11298, 71coeq12d 5862 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ) ∘ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
113111, 112eqtrd 2772 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
11436, 51, 1133eqtr4d 2782 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘†)𝑍)𝐻)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)))
115114ex 413 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ ((𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ)) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘†)𝑍)𝐻)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»))))
11624, 115sylbid 239 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ ((𝐻 ∈ (𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜π‘†)𝑍)) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘†)𝑍)𝐻)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»))))
1171163impia 1117 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜π‘†)𝑍))) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘†)𝑍)𝐻)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4627  βŸ¨cop 4633   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Ο‰com 7851   ↑m cmap 8816  WUnicwun 10691  ndxcnx 17122  Basecbs 17140  Hom chom 17204  compcco 17205  SetCatcsetc 18021  ExtStrCatcestrc 18069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-wun 10693  df-ni 10863  df-pli 10864  df-mi 10865  df-lti 10866  df-plpq 10899  df-mpq 10900  df-ltpq 10901  df-enq 10902  df-nq 10903  df-erq 10904  df-plq 10905  df-mq 10906  df-1nq 10907  df-rq 10908  df-ltnq 10909  df-np 10972  df-plp 10974  df-ltp 10976  df-enr 11046  df-nr 11047  df-c 11112  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-hom 17217  df-cco 17218  df-setc 18022  df-estrc 18070
This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  18112
  Copyright terms: Public domain W3C validator