MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcestrclem9 18058
Description: Lemma 9 for funcsetcestrc 18059. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
funcsetcestrc.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
funcsetcestrc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩}))
funcsetcestrc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
funcsetcestrc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
funcsetcestrc.e 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜π‘†)𝑍))) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘†)𝑍)𝐻)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   𝑦,𝐢,π‘₯   𝑦,𝑋   π‘₯,π‘Œ,𝑦   πœ‘,𝑦   π‘₯,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)   𝐻(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem9
StepHypRef Expression
1 funcsetcestrc.s . . . . . 6 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
2 funcsetcestrc.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
32adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
4 eqid 2737 . . . . . 6 (Hom β€˜π‘†) = (Hom β€˜π‘†)
5 funcsetcestrc.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
61, 2setcbas 17971 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘†))
75, 6eqtr4id 2796 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 = π‘ˆ)
87eleq2d 2824 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐢 ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
98biimpcd 249 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
1093ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
1110impcom 409 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
127eleq2d 2824 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐢 ↔ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
1312biimpcd 249 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
14133ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
1514impcom 409 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
161, 3, 4, 11, 15setchom 17973 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ) = (π‘Œ ↑m 𝑋))
1716eleq2d 2824 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ) ↔ 𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋)))
187eleq2d 2824 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ 𝐢 ↔ 𝑍 ∈ π‘ˆ))
1918biimpcd 249 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ 𝐢 β†’ (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ))
20193ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ))
2120impcom 409 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
221, 3, 4, 15, 21setchom 17973 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (π‘Œ(Hom β€˜π‘†)𝑍) = (𝑍 ↑m π‘Œ))
2322eleq2d 2824 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (𝐾 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜π‘†)𝑍) ↔ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ)))
2417, 23anbi12d 632 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ ((𝐻 ∈ (𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜π‘†)𝑍)) ↔ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))))
25 elmapi 8794 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ) β†’ 𝐾:π‘ŒβŸΆπ‘)
26 elmapi 8794 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) β†’ 𝐻:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
27 fco 6697 . . . . . . . . 9 ((𝐾:π‘ŒβŸΆπ‘ ∧ 𝐻:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (𝐾 ∘ 𝐻):π‘‹βŸΆπ‘)
2825, 26, 27syl2anr 598 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ)) β†’ (𝐾 ∘ 𝐻):π‘‹βŸΆπ‘)
2928adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (𝐾 ∘ 𝐻):π‘‹βŸΆπ‘)
30 elmapg 8785 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):π‘‹βŸΆπ‘))
3130ancoms 460 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):π‘‹βŸΆπ‘))
32313adant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):π‘‹βŸΆπ‘))
3332ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):π‘‹βŸΆπ‘))
3429, 33mpbird 257 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋))
35 fvresi 7124 . . . . . 6 ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) β†’ (( I β†Ύ (𝑍 ↑m 𝑋))β€˜(𝐾 ∘ 𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
3634, 35syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (( I β†Ύ (𝑍 ↑m 𝑋))β€˜(𝐾 ∘ 𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
37 funcsetcestrc.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩}))
38 funcsetcestrc.o . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
39 funcsetcestrc.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
401, 5, 37, 2, 38, 39funcsetcestrclem5 18054 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋𝐺𝑍) = ( I β†Ύ (𝑍 ↑m 𝑋)))
41403adantr2 1171 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋𝐺𝑍) = ( I β†Ύ (𝑍 ↑m 𝑋)))
4241adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (𝑋𝐺𝑍) = ( I β†Ύ (𝑍 ↑m 𝑋)))
433adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
44 eqid 2737 . . . . . . 7 (compβ€˜π‘†) = (compβ€˜π‘†)
4511adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
4615adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
4721adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
4826ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ 𝐻:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
4925ad2antll 728 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ 𝐾:π‘ŒβŸΆπ‘)
501, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49setcco 17976 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘†)𝑍)𝐻) = (𝐾 ∘ 𝐻))
5142, 50fveq12d 6854 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘†)𝑍)𝐻)) = (( I β†Ύ (𝑍 ↑m 𝑋))β€˜(𝐾 ∘ 𝐻)))
52 funcsetcestrc.e . . . . . . 7 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
53 eqid 2737 . . . . . . 7 (compβ€˜πΈ) = (compβ€˜πΈ)
541, 5, 37, 2, 38funcsetcestrclem2 18050 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
55543ad2antr1 1189 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
5655adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
571, 5, 37, 2, 38funcsetcestrclem2 18050 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
58573ad2antr2 1190 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
5958adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
601, 5, 37, 2, 38funcsetcestrclem2 18050 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
61603ad2antr3 1191 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
6261adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
63 eqid 2737 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))
64 eqid 2737 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ))
65 eqid 2737 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘))
66 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ πœ‘)
67 3simpa 1149 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢))
6867ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢))
69 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ 𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋))
701, 5, 37, 2, 38, 39funcsetcestrclem6 18055 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ 𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋)) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π») = 𝐻)
7166, 68, 69, 70syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π») = 𝐻)
721, 5, 37funcsetcestrclem1 18049 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©})
73723ad2antr1 1189 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©})
7473fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}))
75 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©} = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}
76751strbas 17107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}))
7776eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}) = 𝑋)
78773ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}) = 𝑋)
7978adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}) = 𝑋)
8074, 79eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
8180adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
821, 5, 37funcsetcestrclem1 18049 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©})
83823ad2antr2 1190 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©})
8483fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}))
85 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©} = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}
86851strbas 17107 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ π‘Œ = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}))
8786eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}) = π‘Œ)
88873ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}) = π‘Œ)
8988adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}) = π‘Œ)
9084, 89eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
9190adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
9271, 81, 91feq123d 6662 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»):(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))⟢(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝐻:π‘‹βŸΆπ‘Œ))
9348, 92mpbird 257 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»):(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))⟢(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)))
94 3simpc 1151 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢))
9594ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢))
96 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))
971, 5, 37, 2, 38, 39funcsetcestrclem6 18055 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ)) β†’ ((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ) = 𝐾)
9866, 95, 96, 97syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ ((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ) = 𝐾)
991, 5, 37funcsetcestrclem1 18049 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©})
100993ad2antr3 1191 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©})
101100fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}))
102 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©} = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}
1031021strbas 17107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 ∈ 𝐢 β†’ 𝑍 = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}))
104103eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ 𝐢 β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}) = 𝑍)
1051043ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}) = 𝑍)
106105adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}) = 𝑍)
107101, 106eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = 𝑍)
108107adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = 𝑍)
10998, 91, 108feq123d 6662 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ):(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ))⟢(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ↔ 𝐾:π‘ŒβŸΆπ‘))
11049, 109mpbird 257 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ ((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ):(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ))⟢(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)))
11152, 43, 53, 56, 59, 62, 63, 64, 65, 93, 110estrcco 18024 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ) ∘ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)))
11298, 71coeq12d 5825 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ) ∘ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
113111, 112eqtrd 2777 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
11436, 51, 1133eqtr4d 2787 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘†)𝑍)𝐻)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)))
115114ex 414 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ ((𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ)) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘†)𝑍)𝐻)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»))))
11624, 115sylbid 239 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ ((𝐻 ∈ (𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜π‘†)𝑍)) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘†)𝑍)𝐻)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»))))
1171163impia 1118 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜π‘†)𝑍))) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘†)𝑍)𝐻)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4591  βŸ¨cop 4597   ↦ cmpt 5193   I cid 5535   β†Ύ cres 5640   ∘ ccom 5642  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  Ο‰com 7807   ↑m cmap 8772  WUnicwun 10643  ndxcnx 17072  Basecbs 17090  Hom chom 17151  compcco 17152  SetCatcsetc 17968  ExtStrCatcestrc 18016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-wun 10645  df-ni 10815  df-pli 10816  df-mi 10817  df-lti 10818  df-plpq 10851  df-mpq 10852  df-ltpq 10853  df-enq 10854  df-nq 10855  df-erq 10856  df-plq 10857  df-mq 10858  df-1nq 10859  df-rq 10860  df-ltnq 10861  df-np 10924  df-plp 10926  df-ltp 10928  df-enr 10998  df-nr 10999  df-c 11064  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-hom 17164  df-cco 17165  df-setc 17969  df-estrc 18017
This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  18059
  Copyright terms: Public domain W3C validator