Theorem funcsetcestrclem9 18208

Description: Lemma 9 for funcsetcestrc 18209. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
funcsetcestrc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem9	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2		funcsetcestrc.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → 𝑈 ∈ WUni)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
5		funcsetcestrc.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
6	1, 2	setcbas 18123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
7	5, 6	eqtr4id 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝑈)
8	7	eleq2d 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
9	8	biimpcd 249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈))
10	9	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈))
11	10	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
12	7	eleq2d 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 ↔ 𝑌 ∈ 𝑈))
13	12	biimpcd 249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈))
14	13	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈))
15	14	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
16	1, 3, 4, 11, 15	setchom 18125	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) = (𝑌 ↑m 𝑋))
17	16	eleq2d 2827	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ↔ 𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋)))
18	7	eleq2d 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ 𝐶 ↔ 𝑍 ∈ 𝑈))
19	18	biimpcd 249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐶 → (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈))
20	19	3ad2ant3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈))
21	20	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → 𝑍 ∈ 𝑈)
22	1, 3, 4, 15, 21	setchom 18125	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍) = (𝑍 ↑m 𝑌))
23	22	eleq2d 2827	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍) ↔ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌)))
24	17, 23	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → ((𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍)) ↔ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))))
25		elmapi 8889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌) → 𝐾:𝑌⟶𝑍)
26		elmapi 8889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) → 𝐻:𝑋⟶𝑌)
27		fco 6760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾:𝑌⟶𝑍 ∧ 𝐻:𝑋⟶𝑌) → (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍)
28	25, 26, 27	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌)) → (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍)
29	28	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍)
30		elmapg 8879	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍))
31	30	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍))
32	31	3adant2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍))
33	32	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍))
34	29, 33	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋))
35		fvresi 7193	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) → (( I ↾ (𝑍 ↑m 𝑋))‘(𝐾 ∘ 𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (( I ↾ (𝑍 ↑m 𝑋))‘(𝐾 ∘ 𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
37		funcsetcestrc.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
38		funcsetcestrc.o	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
39		funcsetcestrc.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
40	1, 5, 37, 2, 38, 39	funcsetcestrclem5 18204	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑍) = ( I ↾ (𝑍 ↑m 𝑋)))
41	40	3adantr2 1171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑍) = ( I ↾ (𝑍 ↑m 𝑋)))
42	41	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝑋𝐺𝑍) = ( I ↾ (𝑍 ↑m 𝑋)))
43	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝑈 ∈ WUni)
44		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (comp‘𝑆) = (comp‘𝑆)
45	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝑈)
46	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝑈)
47	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝑍 ∈ 𝑈)
48	26	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝐻:𝑋⟶𝑌)
49	25	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝐾:𝑌⟶𝑍)
50	1, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49	setcco 18128	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻) = (𝐾 ∘ 𝐻))
51	42, 50	fveq12d 6913	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (( I ↾ (𝑍 ↑m 𝑋))‘(𝐾 ∘ 𝐻)))
52		funcsetcestrc.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
53		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
54	1, 5, 37, 2, 38	funcsetcestrclem2 18200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
55	54	3ad2antr1 1189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
56	55	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
57	1, 5, 37, 2, 38	funcsetcestrclem2 18200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
58	57	3ad2antr2 1190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
59	58	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
60	1, 5, 37, 2, 38	funcsetcestrclem2 18200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑍) ∈ 𝑈)
61	60	3ad2antr3 1191	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑍) ∈ 𝑈)
62	61	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝐹‘𝑍) ∈ 𝑈)
63		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑋)) = (Base‘(𝐹‘𝑋))
64		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑌)) = (Base‘(𝐹‘𝑌))
65		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑍)) = (Base‘(𝐹‘𝑍))
66		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝜑)
67		3simpa 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶))
68	67	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶))
69		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋))
70	1, 5, 37, 2, 38, 39	funcsetcestrclem6 18205	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻) = 𝐻)
71	66, 68, 69, 70	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻) = 𝐻)
72	1, 5, 37	funcsetcestrclem1 18199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
73	72	3ad2antr1 1189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
74	73	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
75		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
76	75	1strbas 17263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
77	76	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = 𝑋)
78	77	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = 𝑋)
79	78	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = 𝑋)
80	74, 79	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
81	80	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
82	1, 5, 37	funcsetcestrclem1 18199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑌) = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩})
83	82	3ad2antr2 1190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑌) = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩})
84	83	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
85		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}
86	85	1strbas 17263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑌 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
87	86	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
88	87	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
89	88	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
90	84, 89	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
91	90	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
92	71, 81, 91	feq123d 6725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻):(Base‘(𝐹‘𝑋))⟶(Base‘(𝐹‘𝑌)) ↔ 𝐻:𝑋⟶𝑌))
93	48, 92	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻):(Base‘(𝐹‘𝑋))⟶(Base‘(𝐹‘𝑌)))
94		3simpc 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶))
95	94	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶))
96		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))
97	1, 5, 37, 2, 38, 39	funcsetcestrclem6 18205	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌)) → ((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) = 𝐾)
98	66, 95, 96, 97	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → ((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) = 𝐾)
99	1, 5, 37	funcsetcestrclem1 18199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑍) = {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩})
100	99	3ad2antr3 1191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑍) = {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩})
101	100	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑍)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}))
102		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}
103	102	1strbas 17263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐶 → 𝑍 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}))
104	103	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}) = 𝑍)
105	104	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}) = 𝑍)
106	105	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}) = 𝑍)
107	101, 106	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑍)) = 𝑍)
108	107	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (Base‘(𝐹‘𝑍)) = 𝑍)
109	98, 91, 108	feq123d 6725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾):(Base‘(𝐹‘𝑌))⟶(Base‘(𝐹‘𝑍)) ↔ 𝐾:𝑌⟶𝑍))
110	49, 109	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → ((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾):(Base‘(𝐹‘𝑌))⟶(Base‘(𝐹‘𝑍)))
111	52, 43, 53, 56, 59, 62, 63, 64, 65, 93, 110	estrcco 18174	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) ∘ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))
112	98, 71	coeq12d 5875	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) ∘ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
113	111, 112	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
114	36, 51, 113	3eqtr4d 2787	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))
115	114	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → ((𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌)) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻))))
116	24, 115	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → ((𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍)) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻))))
117	116	3impia 1118	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4626  ⟨cop 4632   ↦ cmpt 5225   I cid 5577   ↾ cres 5687   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  ωcom 7887   ↑_m cmap 8866  WUnicwun 10740  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  Hom chom 17308  compcco 17309  SetCatcsetc 18120  ExtStrCatcestrc 18166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-wun 10742  df-ni 10912  df-pli 10913  df-mi 10914  df-lti 10915  df-plpq 10948  df-mpq 10949  df-ltpq 10950  df-enq 10951  df-nq 10952  df-erq 10953  df-plq 10954  df-mq 10955  df-1nq 10956  df-rq 10957  df-ltnq 10958  df-np 11021  df-plp 11023  df-ltp 11025  df-enr 11095  df-nr 11096  df-c 11161  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-hom 17321  df-cco 17322  df-setc 18121  df-estrc 18167

This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  18209