MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcestrclem9 18115
Description: Lemma 9 for funcsetcestrc 18116. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
funcsetcestrc.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
funcsetcestrc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩}))
funcsetcestrc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
funcsetcestrc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
funcsetcestrc.e 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜π‘†)𝑍))) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘†)𝑍)𝐻)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   𝑦,𝐢,π‘₯   𝑦,𝑋   π‘₯,π‘Œ,𝑦   πœ‘,𝑦   π‘₯,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)   𝐻(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem9
StepHypRef Expression
1 funcsetcestrc.s . . . . . 6 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
2 funcsetcestrc.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
32adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
4 eqid 2733 . . . . . 6 (Hom β€˜π‘†) = (Hom β€˜π‘†)
5 funcsetcestrc.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
61, 2setcbas 18028 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘†))
75, 6eqtr4id 2792 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 = π‘ˆ)
87eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐢 ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
98biimpcd 248 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
1093ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
1110impcom 409 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
127eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐢 ↔ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
1312biimpcd 248 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
14133ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
1514impcom 409 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
161, 3, 4, 11, 15setchom 18030 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ) = (π‘Œ ↑m 𝑋))
1716eleq2d 2820 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ) ↔ 𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋)))
187eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ 𝐢 ↔ 𝑍 ∈ π‘ˆ))
1918biimpcd 248 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ 𝐢 β†’ (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ))
20193ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ))
2120impcom 409 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
221, 3, 4, 15, 21setchom 18030 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (π‘Œ(Hom β€˜π‘†)𝑍) = (𝑍 ↑m π‘Œ))
2322eleq2d 2820 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (𝐾 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜π‘†)𝑍) ↔ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ)))
2417, 23anbi12d 632 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ ((𝐻 ∈ (𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜π‘†)𝑍)) ↔ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))))
25 elmapi 8843 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ) β†’ 𝐾:π‘ŒβŸΆπ‘)
26 elmapi 8843 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) β†’ 𝐻:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
27 fco 6742 . . . . . . . . 9 ((𝐾:π‘ŒβŸΆπ‘ ∧ 𝐻:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (𝐾 ∘ 𝐻):π‘‹βŸΆπ‘)
2825, 26, 27syl2anr 598 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ)) β†’ (𝐾 ∘ 𝐻):π‘‹βŸΆπ‘)
2928adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (𝐾 ∘ 𝐻):π‘‹βŸΆπ‘)
30 elmapg 8833 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ 𝐢 ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):π‘‹βŸΆπ‘))
3130ancoms 460 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):π‘‹βŸΆπ‘))
32313adant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):π‘‹βŸΆπ‘))
3332ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):π‘‹βŸΆπ‘))
3429, 33mpbird 257 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋))
35 fvresi 7171 . . . . . 6 ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) β†’ (( I β†Ύ (𝑍 ↑m 𝑋))β€˜(𝐾 ∘ 𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
3634, 35syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (( I β†Ύ (𝑍 ↑m 𝑋))β€˜(𝐾 ∘ 𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
37 funcsetcestrc.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩}))
38 funcsetcestrc.o . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
39 funcsetcestrc.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
401, 5, 37, 2, 38, 39funcsetcestrclem5 18111 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋𝐺𝑍) = ( I β†Ύ (𝑍 ↑m 𝑋)))
41403adantr2 1171 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋𝐺𝑍) = ( I β†Ύ (𝑍 ↑m 𝑋)))
4241adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (𝑋𝐺𝑍) = ( I β†Ύ (𝑍 ↑m 𝑋)))
433adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
44 eqid 2733 . . . . . . 7 (compβ€˜π‘†) = (compβ€˜π‘†)
4511adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
4615adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
4721adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
4826ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ 𝐻:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
4925ad2antll 728 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ 𝐾:π‘ŒβŸΆπ‘)
501, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49setcco 18033 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘†)𝑍)𝐻) = (𝐾 ∘ 𝐻))
5142, 50fveq12d 6899 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘†)𝑍)𝐻)) = (( I β†Ύ (𝑍 ↑m 𝑋))β€˜(𝐾 ∘ 𝐻)))
52 funcsetcestrc.e . . . . . . 7 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
53 eqid 2733 . . . . . . 7 (compβ€˜πΈ) = (compβ€˜πΈ)
541, 5, 37, 2, 38funcsetcestrclem2 18107 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
55543ad2antr1 1189 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
5655adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
571, 5, 37, 2, 38funcsetcestrclem2 18107 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
58573ad2antr2 1190 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
5958adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
601, 5, 37, 2, 38funcsetcestrclem2 18107 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
61603ad2antr3 1191 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
6261adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
63 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))
64 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ))
65 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘))
66 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ πœ‘)
67 3simpa 1149 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢))
6867ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢))
69 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ 𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋))
701, 5, 37, 2, 38, 39funcsetcestrclem6 18112 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) ∧ 𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋)) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π») = 𝐻)
7166, 68, 69, 70syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π») = 𝐻)
721, 5, 37funcsetcestrclem1 18106 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©})
73723ad2antr1 1189 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©})
7473fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}))
75 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©} = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}
76751strbas 17161 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}))
7776eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝐢 β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}) = 𝑋)
78773ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}) = 𝑋)
7978adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©}) = 𝑋)
8074, 79eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
8180adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
821, 5, 37funcsetcestrclem1 18106 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©})
83823ad2antr2 1190 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©})
8483fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}))
85 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©} = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}
86851strbas 17161 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ π‘Œ = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}))
8786eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ 𝐢 β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}) = π‘Œ)
88873ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}) = π‘Œ)
8988adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŒβŸ©}) = π‘Œ)
9084, 89eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
9190adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
9271, 81, 91feq123d 6707 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»):(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))⟢(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ 𝐻:π‘‹βŸΆπ‘Œ))
9348, 92mpbird 257 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»):(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))⟢(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)))
94 3simpc 1151 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢))
9594ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢))
96 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))
971, 5, 37, 2, 38, 39funcsetcestrclem6 18112 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ)) β†’ ((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ) = 𝐾)
9866, 95, 96, 97syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ ((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ) = 𝐾)
991, 5, 37funcsetcestrclem1 18106 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©})
100993ad2antr3 1191 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©})
101100fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}))
102 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©} = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}
1031021strbas 17161 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 ∈ 𝐢 β†’ 𝑍 = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}))
104103eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ 𝐢 β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}) = 𝑍)
1051043ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}) = 𝑍)
106105adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}) = 𝑍)
107101, 106eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = 𝑍)
108107adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = 𝑍)
10998, 91, 108feq123d 6707 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ):(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ))⟢(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ↔ 𝐾:π‘ŒβŸΆπ‘))
11049, 109mpbird 257 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ ((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ):(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ))⟢(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)))
11152, 43, 53, 56, 59, 62, 63, 64, 65, 93, 110estrcco 18081 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ) ∘ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)))
11298, 71coeq12d 5865 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ) ∘ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
113111, 112eqtrd 2773 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
11436, 51, 1133eqtr4d 2783 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) ∧ (𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ))) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘†)𝑍)𝐻)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)))
115114ex 414 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ ((𝐻 ∈ (π‘Œ ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m π‘Œ)) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘†)𝑍)𝐻)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»))))
11624, 115sylbid 239 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢)) β†’ ((𝐻 ∈ (𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜π‘†)𝑍)) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘†)𝑍)𝐻)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»))))
1171163impia 1118 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐢 ∧ π‘Œ ∈ 𝐢 ∧ 𝑍 ∈ 𝐢) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom β€˜π‘†)π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜π‘†)𝑍))) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘†)𝑍)𝐻)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4629  βŸ¨cop 4635   ↦ cmpt 5232   I cid 5574   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  Ο‰com 7855   ↑m cmap 8820  WUnicwun 10695  ndxcnx 17126  Basecbs 17144  Hom chom 17208  compcco 17209  SetCatcsetc 18025  ExtStrCatcestrc 18073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-wun 10697  df-ni 10867  df-pli 10868  df-mi 10869  df-lti 10870  df-plpq 10903  df-mpq 10904  df-ltpq 10905  df-enq 10906  df-nq 10907  df-erq 10908  df-plq 10909  df-mq 10910  df-1nq 10911  df-rq 10912  df-ltnq 10913  df-np 10976  df-plp 10978  df-ltp 10980  df-enr 11050  df-nr 11051  df-c 11116  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-hom 17221  df-cco 17222  df-setc 18026  df-estrc 18074
This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  18116
  Copyright terms: Public domain W3C validator