Theorem funcsetcestrclem9 17405

Description: Lemma 9 for funcsetcestrc 17406. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
funcsetcestrc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem9	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2		funcsetcestrc.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
3	2	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → 𝑈 ∈ WUni)
4		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
5		funcsetcestrc.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
6	1, 2	setcbas 17330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
7	5, 6	eqtr4id 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝑈)
8	7	eleq2d 2875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
9	8	biimpcd 252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈))
10	9	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈))
11	10	impcom 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
12	7	eleq2d 2875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 ↔ 𝑌 ∈ 𝑈))
13	12	biimpcd 252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈))
14	13	3ad2ant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈))
15	14	impcom 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
16	1, 3, 4, 11, 15	setchom 17332	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) = (𝑌 ↑m 𝑋))
17	16	eleq2d 2875	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ↔ 𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋)))
18	7	eleq2d 2875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ 𝐶 ↔ 𝑍 ∈ 𝑈))
19	18	biimpcd 252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐶 → (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈))
20	19	3ad2ant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈))
21	20	impcom 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → 𝑍 ∈ 𝑈)
22	1, 3, 4, 15, 21	setchom 17332	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍) = (𝑍 ↑m 𝑌))
23	22	eleq2d 2875	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍) ↔ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌)))
24	17, 23	anbi12d 633	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → ((𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍)) ↔ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))))
25		elmapi 8411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌) → 𝐾:𝑌⟶𝑍)
26		elmapi 8411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) → 𝐻:𝑋⟶𝑌)
27		fco 6505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾:𝑌⟶𝑍 ∧ 𝐻:𝑋⟶𝑌) → (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍)
28	25, 26, 27	syl2anr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌)) → (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍)
29	28	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍)
30		elmapg 8402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍))
31	30	ancoms 462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍))
32	31	3adant2 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍))
33	32	ad2antlr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍))
34	29, 33	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋))
35		fvresi 6912	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) → (( I ↾ (𝑍 ↑m 𝑋))‘(𝐾 ∘ 𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (( I ↾ (𝑍 ↑m 𝑋))‘(𝐾 ∘ 𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
37		funcsetcestrc.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
38		funcsetcestrc.o	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
39		funcsetcestrc.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
40	1, 5, 37, 2, 38, 39	funcsetcestrclem5 17401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑍) = ( I ↾ (𝑍 ↑m 𝑋)))
41	40	3adantr2 1167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑍) = ( I ↾ (𝑍 ↑m 𝑋)))
42	41	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝑋𝐺𝑍) = ( I ↾ (𝑍 ↑m 𝑋)))
43	3	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝑈 ∈ WUni)
44		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (comp‘𝑆) = (comp‘𝑆)
45	11	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝑈)
46	15	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝑈)
47	21	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝑍 ∈ 𝑈)
48	26	ad2antrl 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝐻:𝑋⟶𝑌)
49	25	ad2antll 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝐾:𝑌⟶𝑍)
50	1, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49	setcco 17335	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻) = (𝐾 ∘ 𝐻))
51	42, 50	fveq12d 6652	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (( I ↾ (𝑍 ↑m 𝑋))‘(𝐾 ∘ 𝐻)))
52		funcsetcestrc.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
53		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
54	1, 5, 37, 2, 38	funcsetcestrclem2 17397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
55	54	3ad2antr1 1185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
56	55	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
57	1, 5, 37, 2, 38	funcsetcestrclem2 17397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
58	57	3ad2antr2 1186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
59	58	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
60	1, 5, 37, 2, 38	funcsetcestrclem2 17397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑍) ∈ 𝑈)
61	60	3ad2antr3 1187	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑍) ∈ 𝑈)
62	61	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝐹‘𝑍) ∈ 𝑈)
63		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑋)) = (Base‘(𝐹‘𝑋))
64		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑌)) = (Base‘(𝐹‘𝑌))
65		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑍)) = (Base‘(𝐹‘𝑍))
66		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝜑)
67		3simpa 1145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶))
68	67	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶))
69		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋))
70	1, 5, 37, 2, 38, 39	funcsetcestrclem6 17402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻) = 𝐻)
71	66, 68, 69, 70	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻) = 𝐻)
72	1, 5, 37	funcsetcestrclem1 17396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
73	72	3ad2antr1 1185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
74	73	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
75		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
76	75	1strbas 16591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
77	76	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = 𝑋)
78	77	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = 𝑋)
79	78	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = 𝑋)
80	74, 79	eqtrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
81	80	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
82	1, 5, 37	funcsetcestrclem1 17396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑌) = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩})
83	82	3ad2antr2 1186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑌) = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩})
84	83	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
85		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}
86	85	1strbas 16591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑌 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
87	86	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
88	87	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
89	88	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
90	84, 89	eqtrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
91	90	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
92	71, 81, 91	feq123d 6476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻):(Base‘(𝐹‘𝑋))⟶(Base‘(𝐹‘𝑌)) ↔ 𝐻:𝑋⟶𝑌))
93	48, 92	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻):(Base‘(𝐹‘𝑋))⟶(Base‘(𝐹‘𝑌)))
94		3simpc 1147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶))
95	94	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶))
96		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))
97	1, 5, 37, 2, 38, 39	funcsetcestrclem6 17402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌)) → ((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) = 𝐾)
98	66, 95, 96, 97	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → ((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) = 𝐾)
99	1, 5, 37	funcsetcestrclem1 17396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑍) = {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩})
100	99	3ad2antr3 1187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑍) = {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩})
101	100	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑍)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}))
102		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}
103	102	1strbas 16591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐶 → 𝑍 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}))
104	103	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}) = 𝑍)
105	104	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}) = 𝑍)
106	105	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}) = 𝑍)
107	101, 106	eqtrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑍)) = 𝑍)
108	107	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (Base‘(𝐹‘𝑍)) = 𝑍)
109	98, 91, 108	feq123d 6476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾):(Base‘(𝐹‘𝑌))⟶(Base‘(𝐹‘𝑍)) ↔ 𝐾:𝑌⟶𝑍))
110	49, 109	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → ((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾):(Base‘(𝐹‘𝑌))⟶(Base‘(𝐹‘𝑍)))
111	52, 43, 53, 56, 59, 62, 63, 64, 65, 93, 110	estrcco 17372	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) ∘ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))
112	98, 71	coeq12d 5699	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) ∘ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
113	111, 112	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
114	36, 51, 113	3eqtr4d 2843	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))
115	114	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → ((𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌)) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻))))
116	24, 115	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → ((𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍)) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻))))
117	116	3impia 1114	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {csn 4525  ⟨cop 4531   ↦ cmpt 5110   I cid 5424   ↾ cres 5521   ∘ ccom 5523  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137  ωcom 7560   ↑_m cmap 8389  WUnicwun 10111  ndxcnx 16472  Basecbs 16475  Hom chom 16568  compcco 16569  SetCatcsetc 17327  ExtStrCatcestrc 17364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-ec 8274  df-qs 8278  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-wun 10113  df-ni 10283  df-pli 10284  df-mi 10285  df-lti 10286  df-plpq 10319  df-mpq 10320  df-ltpq 10321  df-enq 10322  df-nq 10323  df-erq 10324  df-plq 10325  df-mq 10326  df-1nq 10327  df-rq 10328  df-ltnq 10329  df-np 10392  df-plp 10394  df-ltp 10396  df-enr 10466  df-nr 10467  df-c 10532  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-hom 16581  df-cco 16582  df-setc 17328  df-estrc 17365

This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  17406