MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcestrclem9 17072
Description: Lemma 9 for funcsetcestrc 17073. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥))))
funcsetcestrc.e 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹𝑋), (𝐹𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem9
StepHypRef Expression
1 funcsetcestrc.s . . . . . 6 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2 funcsetcestrc.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
32adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → 𝑈 ∈ WUni)
4 eqid 2765 . . . . . 6 (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
51, 2setcbas 16996 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 = (Base‘𝑆))
6 funcsetcestrc.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (Base‘𝑆)
75, 6syl6reqr 2818 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 = 𝑈)
87eleq2d 2830 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑋𝑈))
98biimpcd 240 . . . . . . . 8 (𝑋𝐶 → (𝜑𝑋𝑈))
1093ad2ant1 1163 . . . . . . 7 ((𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) → (𝜑𝑋𝑈))
1110impcom 396 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → 𝑋𝑈)
127eleq2d 2830 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝐶𝑌𝑈))
1312biimpcd 240 . . . . . . . 8 (𝑌𝐶 → (𝜑𝑌𝑈))
14133ad2ant2 1164 . . . . . . 7 ((𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) → (𝜑𝑌𝑈))
1514impcom 396 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → 𝑌𝑈)
161, 3, 4, 11, 15setchom 16998 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) = (𝑌𝑚 𝑋))
1716eleq2d 2830 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ↔ 𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋)))
187eleq2d 2830 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑍𝐶𝑍𝑈))
1918biimpcd 240 . . . . . . . 8 (𝑍𝐶 → (𝜑𝑍𝑈))
20193ad2ant3 1165 . . . . . . 7 ((𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) → (𝜑𝑍𝑈))
2120impcom 396 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → 𝑍𝑈)
221, 3, 4, 15, 21setchom 16998 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍) = (𝑍𝑚 𝑌))
2322eleq2d 2830 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍) ↔ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌)))
2417, 23anbi12d 624 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → ((𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍)) ↔ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))))
25 elmapi 8084 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌) → 𝐾:𝑌𝑍)
26 elmapi 8084 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) → 𝐻:𝑋𝑌)
27 fco 6242 . . . . . . . . 9 ((𝐾:𝑌𝑍𝐻:𝑋𝑌) → (𝐾𝐻):𝑋𝑍)
2825, 26, 27syl2anr 590 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌)) → (𝐾𝐻):𝑋𝑍)
2928adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (𝐾𝐻):𝑋𝑍)
30 elmapg 8075 . . . . . . . . . 10 ((𝑍𝐶𝑋𝐶) → ((𝐾𝐻) ∈ (𝑍𝑚 𝑋) ↔ (𝐾𝐻):𝑋𝑍))
3130ancoms 450 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐶𝑍𝐶) → ((𝐾𝐻) ∈ (𝑍𝑚 𝑋) ↔ (𝐾𝐻):𝑋𝑍))
32313adant2 1161 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) → ((𝐾𝐻) ∈ (𝑍𝑚 𝑋) ↔ (𝐾𝐻):𝑋𝑍))
3332ad2antlr 718 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → ((𝐾𝐻) ∈ (𝑍𝑚 𝑋) ↔ (𝐾𝐻):𝑋𝑍))
3429, 33mpbird 248 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (𝐾𝐻) ∈ (𝑍𝑚 𝑋))
35 fvresi 6634 . . . . . 6 ((𝐾𝐻) ∈ (𝑍𝑚 𝑋) → (( I ↾ (𝑍𝑚 𝑋))‘(𝐾𝐻)) = (𝐾𝐻))
3634, 35syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (( I ↾ (𝑍𝑚 𝑋))‘(𝐾𝐻)) = (𝐾𝐻))
37 funcsetcestrc.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
38 funcsetcestrc.o . . . . . . . . 9 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
39 funcsetcestrc.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥))))
401, 6, 37, 2, 38, 39funcsetcestrclem5 17068 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑍𝐶)) → (𝑋𝐺𝑍) = ( I ↾ (𝑍𝑚 𝑋)))
41403adantr2 1211 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝑋𝐺𝑍) = ( I ↾ (𝑍𝑚 𝑋)))
4241adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (𝑋𝐺𝑍) = ( I ↾ (𝑍𝑚 𝑋)))
433adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → 𝑈 ∈ WUni)
44 eqid 2765 . . . . . . 7 (comp‘𝑆) = (comp‘𝑆)
4511adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → 𝑋𝑈)
4615adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → 𝑌𝑈)
4721adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → 𝑍𝑈)
4826ad2antrl 719 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → 𝐻:𝑋𝑌)
4925ad2antll 720 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → 𝐾:𝑌𝑍)
501, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49setcco 17001 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻) = (𝐾𝐻))
5142, 50fveq12d 6384 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (( I ↾ (𝑍𝑚 𝑋))‘(𝐾𝐻)))
52 funcsetcestrc.e . . . . . . 7 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
53 eqid 2765 . . . . . . 7 (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
541, 6, 37, 2, 38funcsetcestrclem2 17064 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)
55543ad2antr1 1239 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)
5655adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)
571, 6, 37, 2, 38funcsetcestrclem2 17064 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌𝐶) → (𝐹𝑌) ∈ 𝑈)
58573ad2antr2 1240 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝐹𝑌) ∈ 𝑈)
5958adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (𝐹𝑌) ∈ 𝑈)
601, 6, 37, 2, 38funcsetcestrclem2 17064 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑍𝐶) → (𝐹𝑍) ∈ 𝑈)
61603ad2antr3 1241 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝐹𝑍) ∈ 𝑈)
6261adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (𝐹𝑍) ∈ 𝑈)
63 eqid 2765 . . . . . . 7 (Base‘(𝐹𝑋)) = (Base‘(𝐹𝑋))
64 eqid 2765 . . . . . . 7 (Base‘(𝐹𝑌)) = (Base‘(𝐹𝑌))
65 eqid 2765 . . . . . . 7 (Base‘(𝐹𝑍)) = (Base‘(𝐹𝑍))
66 simpll 783 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → 𝜑)
67 3simpa 1178 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) → (𝑋𝐶𝑌𝐶))
6867ad2antlr 718 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (𝑋𝐶𝑌𝐶))
69 simprl 787 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → 𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋))
701, 6, 37, 2, 38, 39funcsetcestrclem6 17069 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻) = 𝐻)
7166, 68, 69, 70syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻) = 𝐻)
721, 6, 37funcsetcestrclem1 17063 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐹𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
73723ad2antr1 1239 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝐹𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
7473fveq2d 6381 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (Base‘(𝐹𝑋)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
75 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
76751strbas 16255 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝐶𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
7776eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = 𝑋)
78773ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = 𝑋)
7978adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = 𝑋)
8074, 79eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (Base‘(𝐹𝑋)) = 𝑋)
8180adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (Base‘(𝐹𝑋)) = 𝑋)
821, 6, 37funcsetcestrclem1 17063 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌𝐶) → (𝐹𝑌) = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩})
83823ad2antr2 1240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝐹𝑌) = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩})
8483fveq2d 6381 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (Base‘(𝐹𝑌)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
85 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}
86851strbas 16255 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝐶𝑌 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
8786eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
88873ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
8988adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
9084, 89eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (Base‘(𝐹𝑌)) = 𝑌)
9190adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (Base‘(𝐹𝑌)) = 𝑌)
9271, 81, 91feq123d 6214 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻):(Base‘(𝐹𝑋))⟶(Base‘(𝐹𝑌)) ↔ 𝐻:𝑋𝑌))
9348, 92mpbird 248 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻):(Base‘(𝐹𝑋))⟶(Base‘(𝐹𝑌)))
94 3simpc 1182 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) → (𝑌𝐶𝑍𝐶))
9594ad2antlr 718 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (𝑌𝐶𝑍𝐶))
96 simprr 789 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))
971, 6, 37, 2, 38, 39funcsetcestrclem6 17069 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐶𝑍𝐶) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌)) → ((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) = 𝐾)
9866, 95, 96, 97syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → ((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) = 𝐾)
991, 6, 37funcsetcestrclem1 17063 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑍𝐶) → (𝐹𝑍) = {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩})
100993ad2antr3 1241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝐹𝑍) = {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩})
101100fveq2d 6381 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (Base‘(𝐹𝑍)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}))
102 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}
1031021strbas 16255 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍𝐶𝑍 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}))
104103eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}) = 𝑍)
1051043ad2ant3 1165 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}) = 𝑍)
106105adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}) = 𝑍)
107101, 106eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (Base‘(𝐹𝑍)) = 𝑍)
108107adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (Base‘(𝐹𝑍)) = 𝑍)
10998, 91, 108feq123d 6214 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾):(Base‘(𝐹𝑌))⟶(Base‘(𝐹𝑍)) ↔ 𝐾:𝑌𝑍))
11049, 109mpbird 248 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → ((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾):(Base‘(𝐹𝑌))⟶(Base‘(𝐹𝑍)))
11152, 43, 53, 56, 59, 62, 63, 64, 65, 93, 110estrcco 17038 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹𝑋), (𝐹𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) ∘ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))
11298, 71coeq12d 5457 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) ∘ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)) = (𝐾𝐻))
113111, 112eqtrd 2799 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹𝑋), (𝐹𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)) = (𝐾𝐻))
11436, 51, 1133eqtr4d 2809 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹𝑋), (𝐹𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))
115114ex 401 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → ((𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌)) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹𝑋), (𝐹𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻))))
11624, 115sylbid 231 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → ((𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍)) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹𝑋), (𝐹𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻))))
1171163impia 1145 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹𝑋), (𝐹𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  {csn 4336  cop 4342  cmpt 4890   I cid 5186  cres 5281  ccom 5283  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6844  cmpt2 6846  ωcom 7265  𝑚 cmap 8062  WUnicwun 9777  ndxcnx 16130  Basecbs 16133  Hom chom 16228  compcco 16229  SetCatcsetc 16993  ExtStrCatcestrc 17030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-omul 7771  df-er 7949  df-ec 7951  df-qs 7955  df-map 8064  df-pm 8065  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-wun 9779  df-ni 9949  df-pli 9950  df-mi 9951  df-lti 9952  df-plpq 9985  df-mpq 9986  df-ltpq 9987  df-enq 9988  df-nq 9989  df-erq 9990  df-plq 9991  df-mq 9992  df-1nq 9993  df-rq 9994  df-ltnq 9995  df-np 10058  df-plp 10060  df-ltp 10062  df-enr 10132  df-nr 10133  df-c 10197  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-z 11627  df-dec 11744  df-uz 11890  df-fz 12537  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-hom 16241  df-cco 16242  df-setc 16994  df-estrc 17031
This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  17073
  Copyright terms: Public domain W3C validator