MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcestrclem9 17010
Description: Lemma 9 for funcsetcestrc 17011. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥))))
funcsetcestrc.e 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹𝑋), (𝐹𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem9
StepHypRef Expression
1 funcsetcestrc.s . . . . . 6 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2 funcsetcestrc.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
32adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → 𝑈 ∈ WUni)
4 eqid 2771 . . . . . 6 (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
51, 2setcbas 16934 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 = (Base‘𝑆))
6 funcsetcestrc.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (Base‘𝑆)
75, 6syl6reqr 2824 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 = 𝑈)
87eleq2d 2836 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑋𝑈))
98biimpcd 239 . . . . . . . 8 (𝑋𝐶 → (𝜑𝑋𝑈))
1093ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) → (𝜑𝑋𝑈))
1110impcom 394 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → 𝑋𝑈)
127eleq2d 2836 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝐶𝑌𝑈))
1312biimpcd 239 . . . . . . . 8 (𝑌𝐶 → (𝜑𝑌𝑈))
14133ad2ant2 1128 . . . . . . 7 ((𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) → (𝜑𝑌𝑈))
1514impcom 394 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → 𝑌𝑈)
161, 3, 4, 11, 15setchom 16936 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) = (𝑌𝑚 𝑋))
1716eleq2d 2836 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ↔ 𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋)))
187eleq2d 2836 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑍𝐶𝑍𝑈))
1918biimpcd 239 . . . . . . . 8 (𝑍𝐶 → (𝜑𝑍𝑈))
20193ad2ant3 1129 . . . . . . 7 ((𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) → (𝜑𝑍𝑈))
2120impcom 394 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → 𝑍𝑈)
221, 3, 4, 15, 21setchom 16936 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍) = (𝑍𝑚 𝑌))
2322eleq2d 2836 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍) ↔ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌)))
2417, 23anbi12d 616 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → ((𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍)) ↔ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))))
25 elmapi 8034 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌) → 𝐾:𝑌𝑍)
26 elmapi 8034 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) → 𝐻:𝑋𝑌)
27 fco 6199 . . . . . . . . 9 ((𝐾:𝑌𝑍𝐻:𝑋𝑌) → (𝐾𝐻):𝑋𝑍)
2825, 26, 27syl2anr 584 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌)) → (𝐾𝐻):𝑋𝑍)
2928adantl 467 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (𝐾𝐻):𝑋𝑍)
30 elmapg 8025 . . . . . . . . . 10 ((𝑍𝐶𝑋𝐶) → ((𝐾𝐻) ∈ (𝑍𝑚 𝑋) ↔ (𝐾𝐻):𝑋𝑍))
3130ancoms 446 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐶𝑍𝐶) → ((𝐾𝐻) ∈ (𝑍𝑚 𝑋) ↔ (𝐾𝐻):𝑋𝑍))
32313adant2 1125 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) → ((𝐾𝐻) ∈ (𝑍𝑚 𝑋) ↔ (𝐾𝐻):𝑋𝑍))
3332ad2antlr 706 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → ((𝐾𝐻) ∈ (𝑍𝑚 𝑋) ↔ (𝐾𝐻):𝑋𝑍))
3429, 33mpbird 247 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (𝐾𝐻) ∈ (𝑍𝑚 𝑋))
35 fvresi 6585 . . . . . 6 ((𝐾𝐻) ∈ (𝑍𝑚 𝑋) → (( I ↾ (𝑍𝑚 𝑋))‘(𝐾𝐻)) = (𝐾𝐻))
3634, 35syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (( I ↾ (𝑍𝑚 𝑋))‘(𝐾𝐻)) = (𝐾𝐻))
37 funcsetcestrc.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
38 funcsetcestrc.o . . . . . . . . 9 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
39 funcsetcestrc.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥))))
401, 6, 37, 2, 38, 39funcsetcestrclem5 17006 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑍𝐶)) → (𝑋𝐺𝑍) = ( I ↾ (𝑍𝑚 𝑋)))
41403adantr2 1175 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝑋𝐺𝑍) = ( I ↾ (𝑍𝑚 𝑋)))
4241adantr 466 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (𝑋𝐺𝑍) = ( I ↾ (𝑍𝑚 𝑋)))
433adantr 466 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → 𝑈 ∈ WUni)
44 eqid 2771 . . . . . . 7 (comp‘𝑆) = (comp‘𝑆)
4511adantr 466 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → 𝑋𝑈)
4615adantr 466 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → 𝑌𝑈)
4721adantr 466 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → 𝑍𝑈)
4826ad2antrl 707 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → 𝐻:𝑋𝑌)
4925ad2antll 708 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → 𝐾:𝑌𝑍)
501, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49setcco 16939 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻) = (𝐾𝐻))
5142, 50fveq12d 6340 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (( I ↾ (𝑍𝑚 𝑋))‘(𝐾𝐻)))
52 funcsetcestrc.e . . . . . . 7 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
53 eqid 2771 . . . . . . 7 (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
541, 6, 37, 2, 38funcsetcestrclem2 17002 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)
55543ad2antr1 1203 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)
5655adantr 466 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)
571, 6, 37, 2, 38funcsetcestrclem2 17002 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌𝐶) → (𝐹𝑌) ∈ 𝑈)
58573ad2antr2 1204 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝐹𝑌) ∈ 𝑈)
5958adantr 466 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (𝐹𝑌) ∈ 𝑈)
601, 6, 37, 2, 38funcsetcestrclem2 17002 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑍𝐶) → (𝐹𝑍) ∈ 𝑈)
61603ad2antr3 1205 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝐹𝑍) ∈ 𝑈)
6261adantr 466 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (𝐹𝑍) ∈ 𝑈)
63 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘(𝐹𝑋)) = (Base‘(𝐹𝑋))
64 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘(𝐹𝑌)) = (Base‘(𝐹𝑌))
65 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘(𝐹𝑍)) = (Base‘(𝐹𝑍))
66 simpll 750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → 𝜑)
67 3simpa 1142 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) → (𝑋𝐶𝑌𝐶))
6867ad2antlr 706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (𝑋𝐶𝑌𝐶))
69 simprl 754 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → 𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋))
701, 6, 37, 2, 38, 39funcsetcestrclem6 17007 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶) ∧ 𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻) = 𝐻)
7166, 68, 69, 70syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻) = 𝐻)
721, 6, 37funcsetcestrclem1 17001 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐹𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
73723ad2antr1 1203 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝐹𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
7473fveq2d 6337 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (Base‘(𝐹𝑋)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
75 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
76751strbas 16187 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝐶𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
7776eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = 𝑋)
78773ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = 𝑋)
7978adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = 𝑋)
8074, 79eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (Base‘(𝐹𝑋)) = 𝑋)
8180adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (Base‘(𝐹𝑋)) = 𝑋)
821, 6, 37funcsetcestrclem1 17001 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌𝐶) → (𝐹𝑌) = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩})
83823ad2antr2 1204 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝐹𝑌) = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩})
8483fveq2d 6337 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (Base‘(𝐹𝑌)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
85 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}
86851strbas 16187 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝐶𝑌 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
8786eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
88873ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
8988adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
9084, 89eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (Base‘(𝐹𝑌)) = 𝑌)
9190adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (Base‘(𝐹𝑌)) = 𝑌)
9271, 81, 91feq123d 6173 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻):(Base‘(𝐹𝑋))⟶(Base‘(𝐹𝑌)) ↔ 𝐻:𝑋𝑌))
9348, 92mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻):(Base‘(𝐹𝑋))⟶(Base‘(𝐹𝑌)))
94 3simpc 1146 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) → (𝑌𝐶𝑍𝐶))
9594ad2antlr 706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (𝑌𝐶𝑍𝐶))
96 simprr 756 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))
971, 6, 37, 2, 38, 39funcsetcestrclem6 17007 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐶𝑍𝐶) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌)) → ((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) = 𝐾)
9866, 95, 96, 97syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → ((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) = 𝐾)
991, 6, 37funcsetcestrclem1 17001 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑍𝐶) → (𝐹𝑍) = {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩})
100993ad2antr3 1205 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (𝐹𝑍) = {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩})
101100fveq2d 6337 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (Base‘(𝐹𝑍)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}))
102 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}
1031021strbas 16187 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍𝐶𝑍 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}))
104103eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}) = 𝑍)
1051043ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}) = 𝑍)
106105adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}) = 𝑍)
107101, 106eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → (Base‘(𝐹𝑍)) = 𝑍)
108107adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (Base‘(𝐹𝑍)) = 𝑍)
10998, 91, 108feq123d 6173 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾):(Base‘(𝐹𝑌))⟶(Base‘(𝐹𝑍)) ↔ 𝐾:𝑌𝑍))
11049, 109mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → ((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾):(Base‘(𝐹𝑌))⟶(Base‘(𝐹𝑍)))
11152, 43, 53, 56, 59, 62, 63, 64, 65, 93, 110estrcco 16976 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹𝑋), (𝐹𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) ∘ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))
11298, 71coeq12d 5424 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) ∘ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)) = (𝐾𝐻))
113111, 112eqtrd 2805 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹𝑋), (𝐹𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)) = (𝐾𝐻))
11436, 51, 1133eqtr4d 2815 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹𝑋), (𝐹𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))
115114ex 397 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → ((𝐻 ∈ (𝑌𝑚 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍𝑚 𝑌)) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹𝑋), (𝐹𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻))))
11624, 115sylbid 230 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶)) → ((𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍)) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹𝑋), (𝐹𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻))))
1171163impia 1109 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶𝑍𝐶) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹𝑋), (𝐹𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  {csn 4317  cop 4323  cmpt 4864   I cid 5157  cres 5252  ccom 5254  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6795  cmpt2 6797  ωcom 7215  𝑚 cmap 8012  WUnicwun 9727  ndxcnx 16060  Basecbs 16063  Hom chom 16159  compcco 16160  SetCatcsetc 16931  ExtStrCatcestrc 16968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-oadd 7720  df-omul 7721  df-er 7899  df-ec 7901  df-qs 7905  df-map 8014  df-pm 8015  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-wun 9729  df-ni 9899  df-pli 9900  df-mi 9901  df-lti 9902  df-plpq 9935  df-mpq 9936  df-ltpq 9937  df-enq 9938  df-nq 9939  df-erq 9940  df-plq 9941  df-mq 9942  df-1nq 9943  df-rq 9944  df-ltnq 9945  df-np 10008  df-plp 10010  df-ltp 10012  df-enr 10082  df-nr 10083  df-c 10147  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-9 11291  df-n0 11499  df-z 11584  df-dec 11700  df-uz 11893  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-hom 16173  df-cco 16174  df-setc 16932  df-estrc 16969
This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  17011
  Copyright terms: Public domain W3C validator