Theorem funcsetcestrclem9 18218

Description: Lemma 9 for funcsetcestrc 18219. (Contributed by AV, 28-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
funcsetcestrc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem9	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2		funcsetcestrc.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
3	2	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → 𝑈 ∈ WUni)
4		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
5		funcsetcestrc.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
6	1, 2	setcbas 18134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
7	5, 6	eqtr4id 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝑈)
8	7	eleq2d 2855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
9	8	biimpcd 252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈))
10	9	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈))
11	10	impcom 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
12	7	eleq2d 2855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝐶 ↔ 𝑌 ∈ 𝑈))
13	12	biimpcd 252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈))
14	13	3ad2ant2 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈))
15	14	impcom 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
16	1, 3, 4, 11, 15	setchom 18136	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) = (𝑌 ↑m 𝑋))
17	16	eleq2d 2855	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ↔ 𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋)))
18	7	eleq2d 2855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ 𝐶 ↔ 𝑍 ∈ 𝑈))
19	18	biimpcd 252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐶 → (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈))
20	19	3ad2ant3 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈))
21	20	impcom 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → 𝑍 ∈ 𝑈)
22	1, 3, 4, 15, 21	setchom 18136	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍) = (𝑍 ↑m 𝑌))
23	22	eleq2d 2855	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍) ↔ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌)))
24	17, 23	anbi12d 643	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → ((𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍)) ↔ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))))
25		elmapi 8845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌) → 𝐾:𝑌⟶𝑍)
26		elmapi 8845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) → 𝐻:𝑋⟶𝑌)
27		fco 6731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾:𝑌⟶𝑍 ∧ 𝐻:𝑋⟶𝑌) → (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍)
28	25, 26, 27	syl2anr 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌)) → (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍)
29	28	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍)
30		elmapg 8835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍))
31	30	ancoms 463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍))
32	31	3adant2 1147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍))
33	32	ad2antlr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) ↔ (𝐾 ∘ 𝐻):𝑋⟶𝑍))
34	29, 33	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋))
35		fvresi 7172	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑍 ↑m 𝑋) → (( I ↾ (𝑍 ↑m 𝑋))‘(𝐾 ∘ 𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
36	34, 35	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (( I ↾ (𝑍 ↑m 𝑋))‘(𝐾 ∘ 𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
37		funcsetcestrc.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
38		funcsetcestrc.o	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
39		funcsetcestrc.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
40	1, 5, 37, 2, 38, 39	funcsetcestrclem5 18214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑍) = ( I ↾ (𝑍 ↑m 𝑋)))
41	40	3adantr2 1187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑍) = ( I ↾ (𝑍 ↑m 𝑋)))
42	41	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝑋𝐺𝑍) = ( I ↾ (𝑍 ↑m 𝑋)))
43	3	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝑈 ∈ WUni)
44		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (comp‘𝑆) = (comp‘𝑆)
45	11	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝑈)
46	15	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝑈)
47	21	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝑍 ∈ 𝑈)
48	26	ad2antrl 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝐻:𝑋⟶𝑌)
49	25	ad2antll 741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝐾:𝑌⟶𝑍)
50	1, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49	setcco 18139	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻) = (𝐾 ∘ 𝐻))
51	42, 50	fveq12d 6889	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (( I ↾ (𝑍 ↑m 𝑋))‘(𝐾 ∘ 𝐻)))
52		funcsetcestrc.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
53		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (comp‘𝐸) = (comp‘𝐸)
54	1, 5, 37, 2, 38	funcsetcestrclem2 18210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
55	54	3ad2antr1 1205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
56	55	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
57	1, 5, 37, 2, 38	funcsetcestrclem2 18210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
58	57	3ad2antr2 1206	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
59	58	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑈)
60	1, 5, 37, 2, 38	funcsetcestrclem2 18210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑍) ∈ 𝑈)
61	60	3ad2antr3 1207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑍) ∈ 𝑈)
62	61	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝐹‘𝑍) ∈ 𝑈)
63		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑋)) = (Base‘(𝐹‘𝑋))
64		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑌)) = (Base‘(𝐹‘𝑌))
65		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑍)) = (Base‘(𝐹‘𝑍))
66		simpll 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝜑)
67		3simpa 1164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶))
68	67	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶))
69		simprl 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋))
70	1, 5, 37, 2, 38, 39	funcsetcestrclem6 18215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻) = 𝐻)
71	66, 68, 69, 70	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻) = 𝐻)
72	1, 5, 37	funcsetcestrclem1 18209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
73	72	3ad2antr1 1205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
74	73	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
75		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
76	75	1strbas 17283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
77	76	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = 𝑋)
78	77	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = 𝑋)
79	78	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = 𝑋)
80	74, 79	eqtrd 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
81	80	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (Base‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
82	1, 5, 37	funcsetcestrclem1 18209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑌) = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩})
83	82	3ad2antr2 1206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑌) = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩})
84	83	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
85		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}
86	85	1strbas 17283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → 𝑌 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}))
87	86	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
88	87	3ad2ant2 1150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
89	88	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑌⟩}) = 𝑌)
90	84, 89	eqtrd 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
91	90	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (Base‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
92	71, 81, 91	feq123d 6695	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻):(Base‘(𝐹‘𝑋))⟶(Base‘(𝐹‘𝑌)) ↔ 𝐻:𝑋⟶𝑌))
93	48, 92	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻):(Base‘(𝐹‘𝑋))⟶(Base‘(𝐹‘𝑌)))
94		3simpc 1166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶))
95	94	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶))
96		simprr 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))
97	1, 5, 37, 2, 38, 39	funcsetcestrclem6 18215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌)) → ((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) = 𝐾)
98	66, 95, 96, 97	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → ((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) = 𝐾)
99	1, 5, 37	funcsetcestrclem1 18209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑍) = {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩})
100	99	3ad2antr3 1207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑍) = {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩})
101	100	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑍)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}))
102		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}
103	102	1strbas 17283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐶 → 𝑍 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}))
104	103	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐶 → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}) = 𝑍)
105	104	3ad2ant3 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}) = 𝑍)
106	105	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑍⟩}) = 𝑍)
107	101, 106	eqtrd 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑍)) = 𝑍)
108	107	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (Base‘(𝐹‘𝑍)) = 𝑍)
109	98, 91, 108	feq123d 6695	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾):(Base‘(𝐹‘𝑌))⟶(Base‘(𝐹‘𝑍)) ↔ 𝐾:𝑌⟶𝑍))
110	49, 109	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → ((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾):(Base‘(𝐹‘𝑌))⟶(Base‘(𝐹‘𝑍)))
111	52, 43, 53, 56, 59, 62, 63, 64, 65, 93, 110	estrcco 18185	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) ∘ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))
112	98, 71	coeq12d 5851	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾) ∘ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
113	111, 112	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
114	36, 51, 113	3eqtr4d 2814	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))
115	114	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → ((𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (𝑍 ↑m 𝑌)) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻))))
116	24, 115	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶)) → ((𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍)) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻))))
117	116	3impia 1133	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑍 ∈ 𝐶) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom ‘𝑆)𝑌) ∧ 𝐾 ∈ (𝑌(Hom ‘𝑆)𝑍))) → ((𝑋𝐺𝑍)‘(𝐾(⟨𝑋, 𝑌⟩(comp‘𝑆)𝑍)𝐻)) = (((𝑌𝐺𝑍)‘𝐾)(⟨(𝐹‘𝑋), (𝐹‘𝑌)⟩(comp‘𝐸)(𝐹‘𝑍))((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4594  ⟨cop 4600   ↦ cmpt 5196   I cid 5556   ↾ cres 5664   ∘ ccom 5666  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  ωcom 7861   ↑_m cmap 8823  WUnicwun 10684  ndxcnx 17252  Basecbs 17268  Hom chom 17320  compcco 17321  SetCatcsetc 18131  ExtStrCatcestrc 18177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-ec 8695  df-qs 8699  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-wun 10686  df-ni 10856  df-pli 10857  df-mi 10858  df-lti 10859  df-plpq 10892  df-mpq 10893  df-ltpq 10894  df-enq 10895  df-nq 10896  df-erq 10897  df-plq 10898  df-mq 10899  df-1nq 10900  df-rq 10901  df-ltnq 10902  df-np 10965  df-plp 10967  df-ltp 10969  df-enr 11039  df-nr 11040  df-c 11105  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-hom 17333  df-cco 17334  df-setc 18132  df-estrc 18178

This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  18219