Theorem umgrun 26913

Description: The union 𝑈 of two multigraphs 𝐺 and 𝐻 with the same vertex set 𝑉 is a multigraph with the vertex 𝑉 and the union (𝐸 ∪ 𝐹) of the (indexed) edges. (Contributed by AV, 25-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrun.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
umgrun.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UMGraph)
umgrun.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
umgrun.f	⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
umgrun.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
umgrun.vh	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
umgrun.i	⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
umgrun.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
umgrun.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
umgrun.un	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸 ∪ 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
umgrun	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ UMGraph)

Proof of Theorem umgrun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrun.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
2		umgrun.vg	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		umgrun.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	umgrf 26891	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
6		umgrun.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UMGraph)
7		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
8		umgrun.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
9	7, 8	umgrf 26891	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ UMGraph → 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11		umgrun.vh	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
12	11	eqcomd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Vtx‘𝐻))
13	12	pweqd 4516	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑉 = 𝒫 (Vtx‘𝐻))
14	13	rabeqdv 3432	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
15	14	feq3d 6474	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
16	10, 15	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
17		umgrun.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
18	5, 16, 17	fun2d 6516	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹):(dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
19		umgrun.un	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸 ∪ 𝐹))
20	19	dmeqd 5738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑈) = dom (𝐸 ∪ 𝐹))
21		dmun 5743	. . . . 5 ⊢ dom (𝐸 ∪ 𝐹) = (dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)
22	20, 21	eqtrdi 2849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑈) = (dom 𝐸 ∪ dom 𝐹))
23		umgrun.v	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
24	23	pweqd 4516	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘𝑈) = 𝒫 𝑉)
25	24	rabeqdv 3432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
26	19, 22, 25	feq123d 6476	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ (𝐸 ∪ 𝐹):(dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
27	18, 26	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
28		umgrun.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
29		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝑈) = (Vtx‘𝑈)
30		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝑈) = (iEdg‘𝑈)
31	29, 30	isumgrs 26889	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑊 → (𝑈 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
32	28, 31	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
33	27, 32	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ UMGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497  dom cdm 5519  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  2c2 11680  ♯chash 13686  Vtxcvtx 26789  iEdgciedg 26790  UMGraphcumgr 26874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687  df-umgr 26876

This theorem is referenced by:  umgrunop  26914  usgrun  26980