Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrun 27017
 Description: The union 𝑈 of two multigraphs 𝐺 and 𝐻 with the same vertex set 𝑉 is a multigraph with the vertex 𝑉 and the union (𝐸 ∪ 𝐹) of the (indexed) edges. (Contributed by AV, 25-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
umgrun.g (𝜑𝐺 ∈ UMGraph)
umgrun.h (𝜑𝐻 ∈ UMGraph)
umgrun.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
umgrun.f 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
umgrun.vg 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
umgrun.vh (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
umgrun.i (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
umgrun.u (𝜑𝑈𝑊)
umgrun.v (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
umgrun.un (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸𝐹))
Assertion
Ref Expression
umgrun (𝜑𝑈 ∈ UMGraph)

Proof of Theorem umgrun
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 umgrun.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ UMGraph)
2 umgrun.vg . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 umgrun.e . . . . . 6 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
42, 3umgrf 26995 . . . . 5 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
6 umgrun.h . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ UMGraph)
7 eqid 2758 . . . . . . 7 (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
8 umgrun.f . . . . . . 7 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
97, 8umgrf 26995 . . . . . 6 (𝐻 ∈ UMGraph → 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
106, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11 umgrun.vh . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
1211eqcomd 2764 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 = (Vtx‘𝐻))
1312pweqd 4516 . . . . . . 7 (𝜑 → 𝒫 𝑉 = 𝒫 (Vtx‘𝐻))
1413rabeqdv 3397 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
1514feq3d 6489 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
1610, 15mpbird 260 . . . 4 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
17 umgrun.i . . . 4 (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
185, 16, 17fun2d 6531 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐹):(dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
19 umgrun.un . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸𝐹))
2019dmeqd 5750 . . . . 5 (𝜑 → dom (iEdg‘𝑈) = dom (𝐸𝐹))
21 dmun 5755 . . . . 5 dom (𝐸𝐹) = (dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)
2220, 21eqtrdi 2809 . . . 4 (𝜑 → dom (iEdg‘𝑈) = (dom 𝐸 ∪ dom 𝐹))
23 umgrun.v . . . . . 6 (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
2423pweqd 4516 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘𝑈) = 𝒫 𝑉)
2524rabeqdv 3397 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
2619, 22, 25feq123d 6491 . . 3 (𝜑 → ((iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ (𝐸𝐹):(dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
2718, 26mpbird 260 . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
28 umgrun.u . . 3 (𝜑𝑈𝑊)
29 eqid 2758 . . . 4 (Vtx‘𝑈) = (Vtx‘𝑈)
30 eqid 2758 . . . 4 (iEdg‘𝑈) = (iEdg‘𝑈)
3129, 30isumgrs 26993 . . 3 (𝑈𝑊 → (𝑈 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
3228, 31syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
3327, 32mpbird 260 1 (𝜑𝑈 ∈ UMGraph)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074   ∪ cun 3858   ∩ cin 3859  ∅c0 4227  𝒫 cpw 4497  dom cdm 5527  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  2c2 11734  ♯chash 13745  Vtxcvtx 26893  iEdgciedg 26894  UMGraphcumgr 26978 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-hash 13746  df-umgr 26980 This theorem is referenced by:  umgrunop  27018  usgrun  27084
 Copyright terms: Public domain W3C validator