Theorem umgrun 29096

Description: The union 𝑈 of two multigraphs 𝐺 and 𝐻 with the same vertex set 𝑉 is a multigraph with the vertex 𝑉 and the union (𝐸 ∪ 𝐹) of the (indexed) edges. (Contributed by AV, 25-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrun.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
umgrun.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UMGraph)
umgrun.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
umgrun.f	⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
umgrun.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
umgrun.vh	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
umgrun.i	⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
umgrun.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
umgrun.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
umgrun.un	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸 ∪ 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
umgrun	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ UMGraph)

Proof of Theorem umgrun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrun.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
2		umgrun.vg	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		umgrun.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	umgrf 29074	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
6		umgrun.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UMGraph)
7		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
8		umgrun.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
9	7, 8	umgrf 29074	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ UMGraph → 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11		umgrun.vh	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
12	11	eqcomd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Vtx‘𝐻))
13	12	pweqd 4567	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑉 = 𝒫 (Vtx‘𝐻))
14	13	rabeqdv 3410	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
15	14	feq3d 6636	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
16	10, 15	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
17		umgrun.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
18	5, 16, 17	fun2d 6687	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹):(dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
19		umgrun.un	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸 ∪ 𝐹))
20	19	dmeqd 5845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑈) = dom (𝐸 ∪ 𝐹))
21		dmun 5850	. . . . 5 ⊢ dom (𝐸 ∪ 𝐹) = (dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)
22	20, 21	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑈) = (dom 𝐸 ∪ dom 𝐹))
23		umgrun.v	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
24	23	pweqd 4567	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘𝑈) = 𝒫 𝑉)
25	24	rabeqdv 3410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
26	19, 22, 25	feq123d 6640	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ (𝐸 ∪ 𝐹):(dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
27	18, 26	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
28		umgrun.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
29		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝑈) = (Vtx‘𝑈)
30		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝑈) = (iEdg‘𝑈)
31	29, 30	isumgrs 29072	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑊 → (𝑈 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
32	28, 31	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
33	27, 32	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ UMGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4550  dom cdm 5616  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  2c2 12177  ♯chash 14234  Vtxcvtx 28972  iEdgciedg 28973  UMGraphcumgr 29057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-hash 14235  df-umgr 29059

This theorem is referenced by:  umgrunop  29097  usgrun  29166