MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrun 26821
Description: The union 𝑈 of two multigraphs 𝐺 and 𝐻 with the same vertex set 𝑉 is a multigraph with the vertex 𝑉 and the union (𝐸𝐹) of the (indexed) edges. (Contributed by AV, 25-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
umgrun.g (𝜑𝐺 ∈ UMGraph)
umgrun.h (𝜑𝐻 ∈ UMGraph)
umgrun.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
umgrun.f 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
umgrun.vg 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
umgrun.vh (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
umgrun.i (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
umgrun.u (𝜑𝑈𝑊)
umgrun.v (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
umgrun.un (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸𝐹))
Assertion
Ref Expression
umgrun (𝜑𝑈 ∈ UMGraph)

Proof of Theorem umgrun
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 umgrun.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ UMGraph)
2 umgrun.vg . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 umgrun.e . . . . . 6 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
42, 3umgrf 26799 . . . . 5 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
6 umgrun.h . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ UMGraph)
7 eqid 2825 . . . . . . 7 (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
8 umgrun.f . . . . . . 7 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
97, 8umgrf 26799 . . . . . 6 (𝐻 ∈ UMGraph → 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
106, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11 umgrun.vh . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
1211eqcomd 2831 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 = (Vtx‘𝐻))
1312pweqd 4546 . . . . . . 7 (𝜑 → 𝒫 𝑉 = 𝒫 (Vtx‘𝐻))
1413rabeqdv 3489 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
1514feq3d 6497 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
1610, 15mpbird 258 . . . 4 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
17 umgrun.i . . . 4 (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
185, 16, 17fun2d 6538 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐹):(dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
19 umgrun.un . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸𝐹))
2019dmeqd 5772 . . . . 5 (𝜑 → dom (iEdg‘𝑈) = dom (𝐸𝐹))
21 dmun 5777 . . . . 5 dom (𝐸𝐹) = (dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)
2220, 21syl6eq 2876 . . . 4 (𝜑 → dom (iEdg‘𝑈) = (dom 𝐸 ∪ dom 𝐹))
23 umgrun.v . . . . . 6 (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
2423pweqd 4546 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘𝑈) = 𝒫 𝑉)
2524rabeqdv 3489 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
2619, 22, 25feq123d 6499 . . 3 (𝜑 → ((iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ (𝐸𝐹):(dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
2718, 26mpbird 258 . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
28 umgrun.u . . 3 (𝜑𝑈𝑊)
29 eqid 2825 . . . 4 (Vtx‘𝑈) = (Vtx‘𝑈)
30 eqid 2825 . . . 4 (iEdg‘𝑈) = (iEdg‘𝑈)
3129, 30isumgrs 26797 . . 3 (𝑈𝑊 → (𝑈 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
3228, 31syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
3327, 32mpbird 258 1 (𝜑𝑈 ∈ UMGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1530  wcel 2107  {crab 3146  cun 3937  cin 3938  c0 4294  𝒫 cpw 4541  dom cdm 5553  wf 6347  cfv 6351  2c2 11684  chash 13683  Vtxcvtx 26697  iEdgciedg 26698  UMGraphcumgr 26782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-hash 13684  df-umgr 26784
This theorem is referenced by:  umgrunop  26822  usgrun  26888
  Copyright terms: Public domain W3C validator