Theorem umgrun 29100

Description: The union 𝑈 of two multigraphs 𝐺 and 𝐻 with the same vertex set 𝑉 is a multigraph with the vertex 𝑉 and the union (𝐸 ∪ 𝐹) of the (indexed) edges. (Contributed by AV, 25-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrun.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
umgrun.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UMGraph)
umgrun.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
umgrun.f	⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
umgrun.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
umgrun.vh	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
umgrun.i	⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
umgrun.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
umgrun.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
umgrun.un	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸 ∪ 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
umgrun	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ UMGraph)

Proof of Theorem umgrun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrun.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
2		umgrun.vg	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		umgrun.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	umgrf 29078	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
6		umgrun.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UMGraph)
7		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
8		umgrun.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
9	7, 8	umgrf 29078	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ UMGraph → 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11		umgrun.vh	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
12	11	eqcomd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Vtx‘𝐻))
13	12	pweqd 4566	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑉 = 𝒫 (Vtx‘𝐻))
14	13	rabeqdv 3411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
15	14	feq3d 6641	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
16	10, 15	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
17		umgrun.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
18	5, 16, 17	fun2d 6692	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹):(dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
19		umgrun.un	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸 ∪ 𝐹))
20	19	dmeqd 5849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑈) = dom (𝐸 ∪ 𝐹))
21		dmun 5854	. . . . 5 ⊢ dom (𝐸 ∪ 𝐹) = (dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)
22	20, 21	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑈) = (dom 𝐸 ∪ dom 𝐹))
23		umgrun.v	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
24	23	pweqd 4566	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘𝑈) = 𝒫 𝑉)
25	24	rabeqdv 3411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
26	19, 22, 25	feq123d 6645	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ (𝐸 ∪ 𝐹):(dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
27	18, 26	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
28		umgrun.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
29		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝑈) = (Vtx‘𝑈)
30		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝑈) = (iEdg‘𝑈)
31	29, 30	isumgrs 29076	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑊 → (𝑈 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
32	28, 31	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
33	27, 32	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ UMGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396   ∪ cun 3896   ∩ cin 3897  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4549  dom cdm 5619  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  2c2 12187  ♯chash 14239  Vtxcvtx 28976  iEdgciedg 28977  UMGraphcumgr 29061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-hash 14240  df-umgr 29063

This theorem is referenced by:  umgrunop  29101  usgrun  29170