Theorem ofcs1 34728

Description: Letterwise operations on a single letter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ofcs1	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴”⟩ ∘f/c 𝑅𝐵) = ⟨“(𝐴𝑅𝐵)”⟩)

Proof of Theorem ofcs1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5368	. . . 4 ⊢ {0} ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → {0} ∈ V)
3		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → 𝐵 ∈ 𝑇)
4		simpll 772	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ {0}) → 𝐴 ∈ 𝑆)
5		s1val 14552	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
6		0nn0 12443	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		fmptsn 7111	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → {⟨0, 𝐴⟩} = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐴))
8	6, 7	mpan 696	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → {⟨0, 𝐴⟩} = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐴))
9	5, 8	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ⟨“𝐴”⟩ = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐴))
10	9	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → ⟨“𝐴”⟩ = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐴))
11	2, 3, 4, 10	ofcfval2 34288	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴”⟩ ∘f/c 𝑅𝐵) = (𝑖 ∈ {0} ↦ (𝐴𝑅𝐵)))
12		ovex 7389	. . . 4 ⊢ (𝐴𝑅𝐵) ∈ V
13		s1val 14552	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵) ∈ V → ⟨“(𝐴𝑅𝐵)”⟩ = {⟨0, (𝐴𝑅𝐵)⟩})
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ⟨“(𝐴𝑅𝐵)”⟩ = {⟨0, (𝐴𝑅𝐵)⟩}
15		fmptsn 7111	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑅𝐵) ∈ V) → {⟨0, (𝐴𝑅𝐵)⟩} = (𝑖 ∈ {0} ↦ (𝐴𝑅𝐵)))
16	6, 12, 15	mp2an 698	. . 3 ⊢ {⟨0, (𝐴𝑅𝐵)⟩} = (𝑖 ∈ {0} ↦ (𝐴𝑅𝐵))
17	14, 16	eqtri 2762	. 2 ⊢ ⟨“(𝐴𝑅𝐵)”⟩ = (𝑖 ∈ {0} ↦ (𝐴𝑅𝐵))
18	11, 17	eqtr4di 2792	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴”⟩ ∘f/c 𝑅𝐵) = ⟨“(𝐴𝑅𝐵)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  {csn 4555  ⟨cop 4561   ↦ cmpt 5153  (class class class)co 7356  0cc0 11029  ℕ₀cn0 12428  ⟨“cs1 14549   ∘_f/c cofc 34279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-mulcl 11091  ax-i2m1 11097

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-n0 12429  df-s1 14550  df-ofc 34280

This theorem is referenced by:  ofcs2  34729