Theorem ofcs1 34878

Description: Letterwise operations on a single letter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ofcs1	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴”⟩ ∘f/c 𝑅𝐵) = ⟨“(𝐴𝑅𝐵)”⟩)

Proof of Theorem ofcs1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5411	. . . 4 ⊢ {0} ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → {0} ∈ V)
3		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → 𝐵 ∈ 𝑇)
4		simpll 778	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ {0}) → 𝐴 ∈ 𝑆)
5		s1val 14635	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
6		0nn0 12518	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		fmptsn 7166	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → {⟨0, 𝐴⟩} = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐴))
8	6, 7	mpan 702	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → {⟨0, 𝐴⟩} = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐴))
9	5, 8	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ⟨“𝐴”⟩ = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐴))
10	9	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → ⟨“𝐴”⟩ = (𝑖 ∈ {0} ↦ 𝐴))
11	2, 3, 4, 10	ofcfval2 34438	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴”⟩ ∘f/c 𝑅𝐵) = (𝑖 ∈ {0} ↦ (𝐴𝑅𝐵)))
12		ovex 7444	. . . 4 ⊢ (𝐴𝑅𝐵) ∈ V
13		s1val 14635	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵) ∈ V → ⟨“(𝐴𝑅𝐵)”⟩ = {⟨0, (𝐴𝑅𝐵)⟩})
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ⟨“(𝐴𝑅𝐵)”⟩ = {⟨0, (𝐴𝑅𝐵)⟩}
15		fmptsn 7166	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑅𝐵) ∈ V) → {⟨0, (𝐴𝑅𝐵)⟩} = (𝑖 ∈ {0} ↦ (𝐴𝑅𝐵)))
16	6, 12, 15	mp2an 704	. . 3 ⊢ {⟨0, (𝐴𝑅𝐵)⟩} = (𝑖 ∈ {0} ↦ (𝐴𝑅𝐵))
17	14, 16	eqtri 2792	. 2 ⊢ ⟨“(𝐴𝑅𝐵)”⟩ = (𝑖 ∈ {0} ↦ (𝐴𝑅𝐵))
18	11, 17	eqtr4di 2822	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴”⟩ ∘f/c 𝑅𝐵) = ⟨“(𝐴𝑅𝐵)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  {csn 4594  ⟨cop 4600   ↦ cmpt 5196  (class class class)co 7411  0cc0 11099  ℕ₀cn0 12503  ⟨“cs1 14632   ∘_f/c cofc 34429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-mulcl 11161  ax-i2m1 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-n0 12504  df-s1 14633  df-ofc 34430

This theorem is referenced by:  ofcs2  34879