Theorem signstf0 34933

Description: Sign of a single letter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signstf0	⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝑊   𝑓,𝐾,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstf0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1len 14646	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐾”⟩) = 1
2	1	oveq2i 7423	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) = (0..^1)
3		fzo01 13778	. . . . 5 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) = {0}
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) = {0})
6		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)))
7	6, 4	eleqtrdi 2873	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 ∈ {0})
8		velsn 4606	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ {0} ↔ 𝑛 = 0)
9	7, 8	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 = 0)
10		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (0...𝑛) = (0...0))
11		0z 12603	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		fzsn 13596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...0) = {0}
14	10, 13	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (0...𝑛) = {0})
15	14	mpteq1d 5202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))) = (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))
16	15	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))))
17	16	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))))
18		signsv.p	. . . . . . . . 9 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
19		signsv.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
20	18, 19	signswmnd 34922	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 ∈ Mnd
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → 𝑊 ∈ Mnd)
22		0re 11211	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
24		s1fv 14650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) = 𝐾)
25		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → 𝐾 ∈ ℝ)
26	24, 25	eqeltrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ)
27	26	rexrd 11260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ*)
28		sgncl 15136	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ* → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1})
29	27, 28	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1})
30	18, 19	signswbase 34919	. . . . . . . 8 ⊢ {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
31		2fveq3 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
32	30, 31	gsumsn 20025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
33	21, 23, 29, 32	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
34	33	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
35	24	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) = (sgn‘𝐾))
36	35	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) = (sgn‘𝐾))
37	17, 34, 36	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘𝐾))
38	9, 37	syldan 602	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘𝐾))
39	5, 38	mpteq12dva 5198	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))) = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
40		s1cl 14642	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
41		signsv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
42		signsv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
43	18, 19, 41, 42	signstfv 34928	. . 3 ⊢ (⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))))
44	40, 43	syl 18	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))))
45		sgnclre 15141	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘𝐾) ∈ ℝ)
46		s1val 14638	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐾) ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩})
47	45, 46	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩})
48		fmptsn 7167	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (sgn‘𝐾) ∈ ℝ) → {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩} = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
49	22, 45, 48	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩} = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
50	47, 49	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
51	39, 44, 50	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ifcif 4488  {csn 4590  {cpr 4592  {ctp 4594  ⟨cop 4596   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102  ℝ^*cxr 11243   − cmin 11442  -cneg 11443  ℤcz 12592  ...cfz 13536  ..^cfzo 13684  ♯chash 14368  Word cword 14552  ⟨“cs1 14635  sgncsgn 15125  Σcsu 15739  ndxcnx 17254  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311   Σ_g cgsu 17494  Mndcmnd 18793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-word 14553  df-s1 14636  df-sgn 15126  df-struct 17208  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mulg 19135  df-cntz 19388

This theorem is referenced by:  signsvtn0  34935  signstfvneq0  34937