Theorem signstf0 32447

Description: Sign of a single letter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signstf0	⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝑊   𝑓,𝐾,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstf0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1len 14239	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐾”⟩) = 1
2	1	oveq2i 7266	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) = (0..^1)
3		fzo01 13397	. . . . 5 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) = {0}
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) = {0})
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)))
7	6, 4	eleqtrdi 2849	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 ∈ {0})
8		velsn 4574	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ {0} ↔ 𝑛 = 0)
9	7, 8	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 = 0)
10		oveq2 7263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (0...𝑛) = (0...0))
11		0z 12260	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		fzsn 13227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...0) = {0}
14	10, 13	eqtrdi 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (0...𝑛) = {0})
15	14	mpteq1d 5165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))) = (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))
16	15	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))))
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))))
18		signsv.p	. . . . . . . . 9 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
19		signsv.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
20	18, 19	signswmnd 32436	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 ∈ Mnd
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → 𝑊 ∈ Mnd)
22		0re 10908	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
24		s1fv 14243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) = 𝐾)
25		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → 𝐾 ∈ ℝ)
26	24, 25	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ)
27	26	rexrd 10956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ*)
28		sgncl 32405	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ* → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1})
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1})
30	18, 19	signswbase 32433	. . . . . . . 8 ⊢ {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
31		2fveq3 6761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
32	30, 31	gsumsn 19470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
33	21, 23, 29, 32	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
34	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
35	24	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) = (sgn‘𝐾))
36	35	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) = (sgn‘𝐾))
37	17, 34, 36	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘𝐾))
38	9, 37	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘𝐾))
39	5, 38	mpteq12dva 5159	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))) = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
40		s1cl 14235	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
41		signsv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
42		signsv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
43	18, 19, 41, 42	signstfv 32442	. . 3 ⊢ (⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))))
44	40, 43	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))))
45		sgnclre 32406	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘𝐾) ∈ ℝ)
46		s1val 14231	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐾) ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩})
47	45, 46	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩})
48		fmptsn 7021	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (sgn‘𝐾) ∈ ℝ) → {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩} = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
49	22, 45, 48	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩} = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
50	47, 49	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
51	39, 44, 50	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ifcif 4456  {csn 4558  {cpr 4560  {ctp 4562  ⟨cop 4564   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  ℝ^*cxr 10939   − cmin 11135  -cneg 11136  ℤcz 12249  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145  ⟨“cs1 14228  sgncsgn 14725  Σcsu 15325  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888   Σ_g cgsu 17068  Mndcmnd 18300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-word 14146  df-s1 14229  df-sgn 14726  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mulg 18616  df-cntz 18838

This theorem is referenced by:  signsvtn0  32449  signstfvneq0  32451