Theorem signstf0 34728

Description: Sign of a single letter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signstf0	⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝑊   𝑓,𝐾,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstf0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1len 14560	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐾”⟩) = 1
2	1	oveq2i 7371	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) = (0..^1)
3		fzo01 13693	. . . . 5 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) = {0}
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) = {0})
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)))
7	6, 4	eleqtrdi 2847	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 ∈ {0})
8		velsn 4584	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ {0} ↔ 𝑛 = 0)
9	7, 8	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 = 0)
10		oveq2 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (0...𝑛) = (0...0))
11		0z 12526	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		fzsn 13511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...0) = {0}
14	10, 13	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (0...𝑛) = {0})
15	14	mpteq1d 5176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))) = (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))
16	15	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))))
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))))
18		signsv.p	. . . . . . . . 9 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
19		signsv.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
20	18, 19	signswmnd 34717	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 ∈ Mnd
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → 𝑊 ∈ Mnd)
22		0re 11137	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
24		s1fv 14564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) = 𝐾)
25		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → 𝐾 ∈ ℝ)
26	24, 25	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ)
27	26	rexrd 11186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ*)
28		sgncl 32919	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ* → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1})
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1})
30	18, 19	signswbase 34714	. . . . . . . 8 ⊢ {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
31		2fveq3 6839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
32	30, 31	gsumsn 19920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
33	21, 23, 29, 32	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
34	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
35	24	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) = (sgn‘𝐾))
36	35	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) = (sgn‘𝐾))
37	17, 34, 36	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘𝐾))
38	9, 37	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘𝐾))
39	5, 38	mpteq12dva 5172	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))) = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
40		s1cl 14556	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
41		signsv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
42		signsv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
43	18, 19, 41, 42	signstfv 34723	. . 3 ⊢ (⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))))
44	40, 43	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))))
45		sgnclre 32920	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘𝐾) ∈ ℝ)
46		s1val 14552	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐾) ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩})
47	45, 46	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩})
48		fmptsn 7115	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (sgn‘𝐾) ∈ ℝ) → {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩} = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
49	22, 45, 48	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩} = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
50	47, 49	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
51	39, 44, 50	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ifcif 4467  {csn 4568  {cpr 4570  {ctp 4572  ⟨cop 4574   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030  ℝ^*cxr 11169   − cmin 11368  -cneg 11369  ℤcz 12515  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466  ⟨“cs1 14549  sgncsgn 15039  Σcsu 15639  ndxcnx 17154  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211   Σ_g cgsu 17394  Mndcmnd 18693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-word 14467  df-s1 14550  df-sgn 15040  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mulg 19035  df-cntz 19283

This theorem is referenced by:  signsvtn0  34730  signstfvneq0  34732