Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstf0 33579
Description: Sign of a single letter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
signsv.w π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstf0 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (π‘‡β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) = βŸ¨β€œ(sgnβ€˜πΎ)β€βŸ©)
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,π‘Š   𝑓,𝐾,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   𝐾(𝑗,π‘Ž,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   π‘Š(𝑗,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem signstf0
StepHypRef Expression
1 s1len 14556 . . . . . 6 (β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) = 1
21oveq2i 7420 . . . . 5 (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = (0..^1)
3 fzo01 13714 . . . . 5 (0..^1) = {0}
42, 3eqtri 2761 . . . 4 (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = {0}
54a1i 11 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = {0})
6 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))) β†’ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)))
76, 4eleqtrdi 2844 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))) β†’ 𝑛 ∈ {0})
8 velsn 4645 . . . . 5 (𝑛 ∈ {0} ↔ 𝑛 = 0)
97, 8sylib 217 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))) β†’ 𝑛 = 0)
10 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 β†’ (0...𝑛) = (0...0))
11 0z 12569 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„€
12 fzsn 13543 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ β„€ β†’ (0...0) = {0})
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0...0) = {0}
1410, 13eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 β†’ (0...𝑛) = {0})
1514mpteq1d 5244 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–))) = (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–))))
1615oveq2d 7425 . . . . . 6 (𝑛 = 0 β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–)))) = (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–)))))
1716adantl 483 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–)))) = (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–)))))
18 signsv.p . . . . . . . . 9 ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
19 signsv.w . . . . . . . . 9 π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
2018, 19signswmnd 33568 . . . . . . . 8 π‘Š ∈ Mnd
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ β†’ π‘Š ∈ Mnd)
22 0re 11216 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ β†’ 0 ∈ ℝ)
24 s1fv 14560 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0) = 𝐾)
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℝ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
2624, 25eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0) ∈ ℝ)
2726rexrd 11264 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0) ∈ ℝ*)
28 sgncl 33537 . . . . . . . 8 ((βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0) ∈ ℝ* β†’ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0)) ∈ {-1, 0, 1})
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0)) ∈ {-1, 0, 1})
3018, 19signswbase 33565 . . . . . . . 8 {-1, 0, 1} = (Baseβ€˜π‘Š)
31 2fveq3 6897 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 β†’ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–)) = (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0)))
3230, 31gsumsn 19822 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0)) ∈ {-1, 0, 1}) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–)))) = (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0)))
3321, 23, 29, 32syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–)))) = (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0)))
3433adantr 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–)))) = (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0)))
3524fveq2d 6896 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0)) = (sgnβ€˜πΎ))
3635adantr 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) β†’ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0)) = (sgnβ€˜πΎ))
3717, 34, 363eqtrd 2777 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–)))) = (sgnβ€˜πΎ))
389, 37syldan 592 . . 3 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–)))) = (sgnβ€˜πΎ))
395, 38mpteq12dva 5238 . 2 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–))))) = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgnβ€˜πΎ)))
40 s1cl 14552 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ β†’ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ© ∈ Word ℝ)
41 signsv.t . . . 4 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
42 signsv.v . . . 4 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
4318, 19, 41, 42signstfv 33574 . . 3 (βŸ¨β€œπΎβ€βŸ© ∈ Word ℝ β†’ (π‘‡β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) = (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–))))))
4440, 43syl 17 . 2 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (π‘‡β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) = (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–))))))
45 sgnclre 33538 . . . 4 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (sgnβ€˜πΎ) ∈ ℝ)
46 s1val 14548 . . . 4 ((sgnβ€˜πΎ) ∈ ℝ β†’ βŸ¨β€œ(sgnβ€˜πΎ)β€βŸ© = {⟨0, (sgnβ€˜πΎ)⟩})
4745, 46syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ β†’ βŸ¨β€œ(sgnβ€˜πΎ)β€βŸ© = {⟨0, (sgnβ€˜πΎ)⟩})
48 fmptsn 7165 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (sgnβ€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ {⟨0, (sgnβ€˜πΎ)⟩} = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgnβ€˜πΎ)))
4922, 45, 48sylancr 588 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ β†’ {⟨0, (sgnβ€˜πΎ)⟩} = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgnβ€˜πΎ)))
5047, 49eqtrd 2773 . 2 (𝐾 ∈ ℝ β†’ βŸ¨β€œ(sgnβ€˜πΎ)β€βŸ© = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgnβ€˜πΎ)))
5139, 44, 503eqtr4d 2783 1 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (π‘‡β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) = βŸ¨β€œ(sgnβ€˜πΎ)β€βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  ifcif 4529  {csn 4629  {cpr 4631  {ctp 4633  βŸ¨cop 4635   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  β„*cxr 11247   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  β„€cz 12558  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  β™―chash 14290  Word cword 14464  βŸ¨β€œcs1 14545  sgncsgn 15033  Ξ£csu 15632  ndxcnx 17126  Basecbs 17144  +gcplusg 17197   Ξ£g cgsu 17386  Mndcmnd 18625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-word 14465  df-s1 14546  df-sgn 15034  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mulg 18951  df-cntz 19181
This theorem is referenced by:  signsvtn0  33581  signstfvneq0  33583
  Copyright terms: Public domain W3C validator