Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstf0 31737
Description: Sign of a single letter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstf0 (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝑊   𝑓,𝐾,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstf0
StepHypRef Expression
1 s1len 13948 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝐾”⟩) = 1
21oveq2i 7156 . . . . 5 (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) = (0..^1)
3 fzo01 13107 . . . . 5 (0..^1) = {0}
42, 3eqtri 2841 . . . 4 (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) = {0}
54a1i 11 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ → (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) = {0})
6 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)))
76, 4eleqtrdi 2920 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 ∈ {0})
8 velsn 4573 . . . . 5 (𝑛 ∈ {0} ↔ 𝑛 = 0)
97, 8sylib 219 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 = 0)
10 oveq2 7153 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 → (0...𝑛) = (0...0))
11 0z 11980 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
12 fzsn 12937 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0...0) = {0}
1410, 13syl6eq 2869 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (0...𝑛) = {0})
1514mpteq1d 5146 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))) = (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))
1615oveq2d 7161 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))))
1716adantl 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))))
18 signsv.p . . . . . . . . 9 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
19 signsv.w . . . . . . . . 9 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
2018, 19signswmnd 31726 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ Mnd
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ → 𝑊 ∈ Mnd)
22 0re 10631 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
24 s1fv 13952 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) = 𝐾)
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℝ → 𝐾 ∈ ℝ)
2624, 25eqeltrd 2910 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ)
2726rexrd 10679 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ*)
28 sgncl 31695 . . . . . . . 8 ((⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ* → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1})
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1})
3018, 19signswbase 31723 . . . . . . . 8 {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
31 2fveq3 6668 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
3230, 31gsumsn 19003 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
3321, 23, 29, 32syl3anc 1363 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℝ → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
3433adantr 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
3524fveq2d 6667 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) = (sgn‘𝐾))
3635adantr 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) = (sgn‘𝐾))
3717, 34, 363eqtrd 2857 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘𝐾))
389, 37syldan 591 . . 3 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘𝐾))
395, 38mpteq12dva 5141 . 2 (𝐾 ∈ ℝ → (𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))) = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
40 s1cl 13944 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
41 signsv.t . . . 4 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
42 signsv.v . . . 4 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
4318, 19, 41, 42signstfv 31732 . . 3 (⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))))
4440, 43syl 17 . 2 (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))))
45 sgnclre 31696 . . . 4 (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘𝐾) ∈ ℝ)
46 s1val 13940 . . . 4 ((sgn‘𝐾) ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩})
4745, 46syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩})
48 fmptsn 6921 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (sgn‘𝐾) ∈ ℝ) → {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩} = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
4922, 45, 48sylancr 587 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ → {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩} = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
5047, 49eqtrd 2853 . 2 (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
5139, 44, 503eqtr4d 2863 1 (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  ifcif 4463  {csn 4557  {cpr 4559  {ctp 4561  cop 4563  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526  *cxr 10662  cmin 10858  -cneg 10859  cz 11969  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021  chash 13678  Word cword 13849  ⟨“cs1 13937  sgncsgn 14433  Σcsu 15030  ndxcnx 16468  Basecbs 16471  +gcplusg 16553   Σg cgsu 16702  Mndcmnd 17899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-word 13850  df-s1 13938  df-sgn 14434  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mulg 18163  df-cntz 18385
This theorem is referenced by:  signsvtn0  31739  signstfvneq0  31741
  Copyright terms: Public domain W3C validator