Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstf0 33648
Description: Sign of a single letter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
signsv.w π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstf0 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (π‘‡β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) = βŸ¨β€œ(sgnβ€˜πΎ)β€βŸ©)
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,π‘Š   𝑓,𝐾,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   𝐾(𝑗,π‘Ž,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   π‘Š(𝑗,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem signstf0
StepHypRef Expression
1 s1len 14558 . . . . . 6 (β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) = 1
21oveq2i 7422 . . . . 5 (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = (0..^1)
3 fzo01 13716 . . . . 5 (0..^1) = {0}
42, 3eqtri 2760 . . . 4 (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = {0}
54a1i 11 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = {0})
6 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))) β†’ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)))
76, 4eleqtrdi 2843 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))) β†’ 𝑛 ∈ {0})
8 velsn 4644 . . . . 5 (𝑛 ∈ {0} ↔ 𝑛 = 0)
97, 8sylib 217 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))) β†’ 𝑛 = 0)
10 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 β†’ (0...𝑛) = (0...0))
11 0z 12571 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„€
12 fzsn 13545 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ β„€ β†’ (0...0) = {0})
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0...0) = {0}
1410, 13eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 β†’ (0...𝑛) = {0})
1514mpteq1d 5243 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–))) = (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–))))
1615oveq2d 7427 . . . . . 6 (𝑛 = 0 β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–)))) = (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–)))))
1716adantl 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–)))) = (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–)))))
18 signsv.p . . . . . . . . 9 ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
19 signsv.w . . . . . . . . 9 π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
2018, 19signswmnd 33637 . . . . . . . 8 π‘Š ∈ Mnd
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ β†’ π‘Š ∈ Mnd)
22 0re 11218 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ β†’ 0 ∈ ℝ)
24 s1fv 14562 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0) = 𝐾)
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℝ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
2624, 25eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0) ∈ ℝ)
2726rexrd 11266 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0) ∈ ℝ*)
28 sgncl 33606 . . . . . . . 8 ((βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0) ∈ ℝ* β†’ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0)) ∈ {-1, 0, 1})
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0)) ∈ {-1, 0, 1})
3018, 19signswbase 33634 . . . . . . . 8 {-1, 0, 1} = (Baseβ€˜π‘Š)
31 2fveq3 6896 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 β†’ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–)) = (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0)))
3230, 31gsumsn 19824 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0)) ∈ {-1, 0, 1}) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–)))) = (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0)))
3321, 23, 29, 32syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–)))) = (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0)))
3433adantr 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–)))) = (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0)))
3524fveq2d 6895 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0)) = (sgnβ€˜πΎ))
3635adantr 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) β†’ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜0)) = (sgnβ€˜πΎ))
3717, 34, 363eqtrd 2776 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–)))) = (sgnβ€˜πΎ))
389, 37syldan 591 . . 3 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–)))) = (sgnβ€˜πΎ))
395, 38mpteq12dva 5237 . 2 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–))))) = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgnβ€˜πΎ)))
40 s1cl 14554 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ β†’ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ© ∈ Word ℝ)
41 signsv.t . . . 4 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
42 signsv.v . . . 4 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
4318, 19, 41, 42signstfv 33643 . . 3 (βŸ¨β€œπΎβ€βŸ© ∈ Word ℝ β†’ (π‘‡β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) = (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–))))))
4440, 43syl 17 . 2 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (π‘‡β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) = (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©β€˜π‘–))))))
45 sgnclre 33607 . . . 4 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (sgnβ€˜πΎ) ∈ ℝ)
46 s1val 14550 . . . 4 ((sgnβ€˜πΎ) ∈ ℝ β†’ βŸ¨β€œ(sgnβ€˜πΎ)β€βŸ© = {⟨0, (sgnβ€˜πΎ)⟩})
4745, 46syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ β†’ βŸ¨β€œ(sgnβ€˜πΎ)β€βŸ© = {⟨0, (sgnβ€˜πΎ)⟩})
48 fmptsn 7167 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (sgnβ€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ {⟨0, (sgnβ€˜πΎ)⟩} = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgnβ€˜πΎ)))
4922, 45, 48sylancr 587 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ β†’ {⟨0, (sgnβ€˜πΎ)⟩} = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgnβ€˜πΎ)))
5047, 49eqtrd 2772 . 2 (𝐾 ∈ ℝ β†’ βŸ¨β€œ(sgnβ€˜πΎ)β€βŸ© = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgnβ€˜πΎ)))
5139, 44, 503eqtr4d 2782 1 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (π‘‡β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) = βŸ¨β€œ(sgnβ€˜πΎ)β€βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  ifcif 4528  {csn 4628  {cpr 4630  {ctp 4632  βŸ¨cop 4634   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  β„*cxr 11249   βˆ’ cmin 11446  -cneg 11447  β„€cz 12560  ...cfz 13486  ..^cfzo 13629  β™―chash 14292  Word cword 14466  βŸ¨β€œcs1 14547  sgncsgn 15035  Ξ£csu 15634  ndxcnx 17128  Basecbs 17146  +gcplusg 17199   Ξ£g cgsu 17388  Mndcmnd 18627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-word 14467  df-s1 14548  df-sgn 15036  df-struct 17082  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mulg 18953  df-cntz 19183
This theorem is referenced by:  signsvtn0  33650  signstfvneq0  33652
  Copyright terms: Public domain W3C validator