MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  istrkg2ld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem istrkg2ld 28219
Description: Property of fulfilling the lower dimension 2 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
istrkg.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
istrkg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
istrkg2ld (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯2 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐼   π‘₯,𝑃,𝑦,𝑧   π‘₯, βˆ’ ,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem istrkg2ld
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12598 . . . 4 2 ∈ β„€
2 uzid 12841 . . . 4 (2 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
31, 2ax-mp 5 . . 3 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)
4 istrkg.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
5 istrkg.d . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
6 istrkg.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
74, 5, 6istrkgld 28218 . . 3 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯2 ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
83, 7mpan2 688 . 2 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯2 ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
9 r19.41v 3182 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃))
10 ancom 460 . . . . . 6 ((βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
1110rexbii 3088 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
12 ancom 460 . . . . 5 ((βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
139, 11, 123bitr3ri 302 . . . 4 ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
1413exbii 1842 . . 3 (βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
15 rexcom4 3279 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
16 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) β†’ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
1716reximi 3078 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
1817reximi 3078 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
1918adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
2019exlimiv 1925 . . . . . 6 (βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
2120adantl 481 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
22 1ex 11214 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
23 vex 3472 . . . . . . . . . 10 π‘₯ ∈ V
2422, 23f1osn 6867 . . . . . . . . 9 {⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1-ontoβ†’{π‘₯}
25 f1of1 6826 . . . . . . . . 9 ({⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1-ontoβ†’{π‘₯} β†’ {⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1β†’{π‘₯})
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ {⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1β†’{π‘₯})
27 snssi 4806 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ {π‘₯} βŠ† 𝑃)
28 f1ss 6787 . . . . . . . 8 (({⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1β†’{π‘₯} ∧ {π‘₯} βŠ† 𝑃) β†’ {⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1→𝑃)
2926, 27, 28syl2anc 583 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ {⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1→𝑃)
30 fzo12sn 13721 . . . . . . . . . . . 12 (1..^2) = {1}
3130mpteq1i 5237 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) = (𝑗 ∈ {1} ↦ π‘₯)
32 fmptsn 7161 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ V) β†’ {⟨1, π‘₯⟩} = (𝑗 ∈ {1} ↦ π‘₯))
3322, 23, 32mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 {⟨1, π‘₯⟩} = (𝑗 ∈ {1} ↦ π‘₯)
3431, 33eqtr4i 2757 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) = {⟨1, π‘₯⟩}
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) = {⟨1, π‘₯⟩})
3630a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (1..^2) = {1})
37 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ 𝑃 = 𝑃)
3835, 36, 37f1eq123d 6819 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯):(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ {⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1→𝑃))
3938mptru 1540 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯):(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ {⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1→𝑃)
4029, 39sylibr 233 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯):(1..^2)–1-1→𝑃)
41 ral0 4507 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘— ∈ βˆ… ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧))
42 fzo0 13662 . . . . . . . . . . 11 (2..^2) = βˆ…
4342raleqi 3317 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ↔ βˆ€π‘— ∈ βˆ… ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)))
4441, 43mpbir 230 . . . . . . . . 9 βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧))
4544jctl 523 . . . . . . . 8 (Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
4645reximi 3078 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
4746reximi 3078 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
48 ovex 7438 . . . . . . . 8 (1..^2) ∈ V
4948mptex 7220 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∈ V
50 f1eq1 6776 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) β†’ (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯):(1..^2)–1-1→𝑃))
51 nfmpt1 5249 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)
5251nfeq2 2914 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗 𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)
53 nfv 1909 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗(𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)
5452, 53nfan 1894 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗(𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃))
55 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ 𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯))
5655fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ (π‘“β€˜1) = ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1))
5756oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ ((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯))
5855fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ (π‘“β€˜π‘—) = ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—))
5958oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯))
6057, 59eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯)))
6156oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦))
6258oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦))
6361, 62eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦)))
6456oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧))
6558oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧))
6664, 65eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)))
6760, 63, 663anbi123d 1432 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ ((((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ↔ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧))))
6854, 67ralbida 3261 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ↔ βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧))))
6968anbi1d 629 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) β†’ ((βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
70692rexbidva 3211 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
7150, 70anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) β†’ ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯):(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
7249, 71spcev 3590 . . . . . 6 (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯):(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
7340, 47, 72syl2an 595 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
7421, 73impbida 798 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
7574rexbiia 3086 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
7614, 15, 753bitr2i 299 . 2 (βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
778, 76bitrdi 287 1 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯2 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  {csn 4623  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€“1-1β†’wf1 6534  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113  2c2 12271  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ..^cfzo 13633  Basecbs 17153  distcds 17215  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 28190  Itvcitv 28192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-trkgld 28211
This theorem is referenced by:  axtglowdim2  28229  tgdim01  28266
  Copyright terms: Public domain W3C validator