MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  istrkg2ld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem istrkg2ld 25928
Description: Property of fulfilling the lower dimension 2 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
istrkg.d = (dist‘𝐺)
istrkg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
istrkg2ld (𝐺𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥2 ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧   𝑥, ,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem istrkg2ld
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 11863 . . . 4 2 ∈ ℤ
2 uzid 12108 . . . 4 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
31, 2ax-mp 5 . . 3 2 ∈ (ℤ‘2)
4 istrkg.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
5 istrkg.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
6 istrkg.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
74, 5, 6istrkgld 25927 . . 3 ((𝐺𝑉 ∧ 2 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐺DimTarskiG≥2 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
83, 7mpan2 687 . 2 (𝐺𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥2 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
9 r19.41v 3308 . . . . 5 (∃𝑥𝑃 (∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1𝑃) ↔ (∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1𝑃))
10 ancom 461 . . . . . 6 ((∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1𝑃) ↔ (𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
1110rexbii 3211 . . . . 5 (∃𝑥𝑃 (∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1𝑃) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
12 ancom 461 . . . . 5 ((∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1𝑃) ↔ (𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
139, 11, 123bitr3ri 303 . . . 4 ((𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
1413exbii 1829 . . 3 (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓𝑥𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
15 rexcom4 3213 . . 3 (∃𝑥𝑃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓𝑥𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
16 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
1716reximi 3207 . . . . . . . . 9 (∃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
1817reximi 3207 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
1918adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
2019exlimiv 1908 . . . . . 6 (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
2120adantl 482 . . . . 5 ((𝑥𝑃 ∧ ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))) → ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
22 1ex 10483 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
23 vex 3440 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
2422, 23f1osn 6522 . . . . . . . . 9 {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑥}
25 f1of1 6482 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑥} → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→{𝑥})
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑥𝑃 → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→{𝑥})
27 snssi 4648 . . . . . . . 8 (𝑥𝑃 → {𝑥} ⊆ 𝑃)
28 f1ss 6448 . . . . . . . 8 (({⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→{𝑥} ∧ {𝑥} ⊆ 𝑃) → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1𝑃)
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑥𝑃 → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1𝑃)
30 fzo12sn 12970 . . . . . . . . . . . 12 (1..^2) = {1}
3130mpteq1i 5050 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥)
32 fmptsn 6792 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {⟨1, 𝑥⟩} = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥))
3322, 23, 32mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 {⟨1, 𝑥⟩} = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥)
3431, 33eqtr4i 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = {⟨1, 𝑥⟩}
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = {⟨1, 𝑥⟩})
3630a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (1..^2) = {1})
37 eqidd 2796 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝑃 = 𝑃)
3835, 36, 37f1eq123d 6476 . . . . . . . 8 (⊤ → ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1𝑃 ↔ {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1𝑃))
3938mptru 1529 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1𝑃 ↔ {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1𝑃)
4029, 39sylibr 235 . . . . . 6 (𝑥𝑃 → (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1𝑃)
41 ral0 4370 . . . . . . . . . 10 𝑗 ∈ ∅ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧))
42 fzo0 12911 . . . . . . . . . . 11 (2..^2) = ∅
4342raleqi 3373 . . . . . . . . . 10 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ ∅ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧)))
4441, 43mpbir 232 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧))
4544jctl 524 . . . . . . . 8 (¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
4645reximi 3207 . . . . . . 7 (∃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → ∃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
4746reximi 3207 . . . . . 6 (∃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
48 ovex 7048 . . . . . . . 8 (1..^2) ∈ V
4948mptex 6852 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∈ V
50 f1eq1 6438 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) → (𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ↔ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1𝑃))
51 nfmpt1 5058 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗(𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)
5251nfeq2 2964 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)
53 nfv 1892 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝑦𝑃𝑧𝑃)
5452, 53nfan 1881 . . . . . . . . . . 11 𝑗(𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃))
55 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → 𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥))
5655fveq1d 6540 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (𝑓‘1) = ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1))
5756oveq1d 7031 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥))
5855fveq1d 6540 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (𝑓𝑗) = ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗))
5958oveq1d 7031 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓𝑗) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥))
6057, 59eqeq12d 2810 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥)))
6156oveq1d 7031 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦))
6258oveq1d 7031 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓𝑗) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦))
6361, 62eqeq12d 2810 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦)))
6456oveq1d 7031 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧))
6558oveq1d 7031 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓𝑗) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧))
6664, 65eqeq12d 2810 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧)))
6760, 63, 663anbi123d 1428 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ↔ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧))))
6854, 67ralbida 3194 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) → (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧))))
6968anbi1d 629 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) → ((∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
70692rexbidva 3262 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) → (∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
7150, 70anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) → ((𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
7249, 71spcev 3549 . . . . . 6 (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
7340, 47, 72syl2an 595 . . . . 5 ((𝑥𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
7421, 73impbida 797 . . . 4 (𝑥𝑃 → (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
7574rexbiia 3210 . . 3 (∃𝑥𝑃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
7614, 15, 753bitr2i 300 . 2 (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
778, 76syl6bb 288 1 (𝐺𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥2 ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3o 1079  w3a 1080   = wceq 1522  wtru 1523  wex 1761  wcel 2081  wral 3105  wrex 3106  Vcvv 3437  wss 3859  c0 4211  {csn 4472  cop 4478   class class class wbr 4962  cmpt 5041  1-1wf1 6222  1-1-ontowf1o 6224  cfv 6225  (class class class)co 7016  1c1 10384  2c2 11540  cz 11829  cuz 12093  ..^cfzo 12883  Basecbs 16312  distcds 16403  DimTarskiGcstrkgld 25902  Itvcitv 25904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-trkgld 25920
This theorem is referenced by:  axtglowdim2  25938  tgdim01  25975
  Copyright terms: Public domain W3C validator