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Theorem istrkg2ld 27402

Description: Property of fulfilling the lower dimension 2 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
istrkg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
istrkg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
istrkg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
istrkg2ld	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺Dim_TarskiG≥2 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦,𝑧,𝐼 𝑥,𝑃,𝑦,𝑧 𝑥, − ,𝑦,𝑧 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧) 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem istrkg2ld Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12535	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		uzid 12778	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ_≥‘2))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 2 ∈ (ℤ_≥‘2)
4		istrkg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5		istrkg.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
6		istrkg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
7	4, 5, 6	istrkgld 27401	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝐺Dim_TarskiG≥2 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
8	3, 7	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺Dim_TarskiG≥2 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
9		r19.41v 3185	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃))
10		ancom 461	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
11	10	rexbii 3097	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
12		ancom 461	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
13	9, 11, 12	3bitr3ri 301	. . . 4 ⊢ ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
14	13	exbii 1850	. . 3 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
15		rexcom4 3271	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
16		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
17	16	reximi 3087	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
18	17	reximi 3087	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
19	18	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
20	19	exlimiv 1933	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
21	20	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
22		1ex 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
23		vex 3449	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
24	22, 23	f1osn 6824	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑥}
25		f1of1 6783	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑥} → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→{𝑥})
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→{𝑥})
27		snssi 4768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → {𝑥} ⊆ 𝑃)
28		f1ss 6744	. . . . . . . 8 ⊢ (({⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→{𝑥} ∧ {𝑥} ⊆ 𝑃) → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→𝑃)
29	26, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→𝑃)
30		fzo12sn 13655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1..^2) = {1}
31	30	mpteq1i 5201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥)
32		fmptsn 7113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {⟨1, 𝑥⟩} = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥))
33	22, 23, 32	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {⟨1, 𝑥⟩} = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥)
34	31, 33	eqtr4i 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = {⟨1, 𝑥⟩}
35	34	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = {⟨1, 𝑥⟩})
36	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (1..^2) = {1})
37		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝑃 = 𝑃)
38	35, 36, 37	f1eq123d 6776	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→𝑃))
39	38	mptru 1548	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→𝑃)
40	29, 39	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃)
41		ral0 4470	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑗 ∈ ∅ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))
42		fzo0 13596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2..^2) = ∅
43	42	raleqi 3311	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ ∅ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)))
44	41, 43	mpbir 230	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))
45	44	jctl 524	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
46	45	reximi 3087	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
47	46	reximi 3087	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
48		ovex 7390	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^2) ∈ V
49	48	mptex 7173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∈ V
50		f1eq1 6733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) → (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃))
51		nfmpt1 5213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)
52	51	nfeq2 2924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)
53		nfv 1917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)
54	52, 53	nfan 1902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃))
55		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → 𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥))
56	55	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (𝑓‘1) = ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1))
57	56	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥))
58	55	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (𝑓‘𝑗) = ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗))
59	58	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥))
60	57, 59	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥)))
61	56	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦))
62	58	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦))
63	61, 62	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦)))
64	56	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧))
65	58	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘𝑗) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))
66	64, 65	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)))
67	60, 63, 66	3anbi123d 1436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))))
68	54, 67	ralbida 3253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))))
69	68	anbi1d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → ((∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
70	69	2rexbidva 3211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
71	50, 70	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) → ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
72	49, 71	spcev 3565	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
73	40, 47, 72	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
74	21, 73	impbida 799	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
75	74	rexbiia 3095	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
76	14, 15, 75	3bitr2i 298	. 2 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
77	8, 76	bitrdi 286	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺Dim_TarskiG≥2 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∨ w3o 1086 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ⊤wtru 1542 ∃wex 1781 ∈ wcel 2106 ∀wral 3064 ∃wrex 3073 Vcvv 3445 ⊆ wss 3910 ∅c0 4282 {csn 4586 ⟨cop 4592 class class class wbr 5105 ↦ cmpt 5188 –1-1→wf1 6493 –1-1-onto→wf1o 6495 ‘cfv 6496 (class class class)co 7357 1c1 11052 2c2 12208 ℤcz 12499 ℤ_≥cuz 12763 ..^cfzo 13567 Basecbs 17083 distcds 17142 Dim_TarskiG≥cstrkgld 27373 Itvcitv 27375

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-rep 5242 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-op 4593 df-uni 4866 df-iun 4956 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-om 7803 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-er 8648 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-nn 12154 df-2 12216 df-n0 12414 df-z 12500 df-uz 12764 df-fz 13425 df-fzo 13568 df-trkgld 27394

This theorem is referenced by: axtglowdim2 27412 tgdim01 27449

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