MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  istrkg2ld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem istrkg2ld 27444
Description: Property of fulfilling the lower dimension 2 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
istrkg.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
istrkg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
istrkg2ld (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯2 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐼   π‘₯,𝑃,𝑦,𝑧   π‘₯, βˆ’ ,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem istrkg2ld
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12542 . . . 4 2 ∈ β„€
2 uzid 12785 . . . 4 (2 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
31, 2ax-mp 5 . . 3 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)
4 istrkg.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
5 istrkg.d . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
6 istrkg.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
74, 5, 6istrkgld 27443 . . 3 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯2 ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
83, 7mpan2 690 . 2 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯2 ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
9 r19.41v 3186 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃))
10 ancom 462 . . . . . 6 ((βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
1110rexbii 3098 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
12 ancom 462 . . . . 5 ((βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
139, 11, 123bitr3ri 302 . . . 4 ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
1413exbii 1851 . . 3 (βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
15 rexcom4 3274 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
16 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) β†’ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
1716reximi 3088 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
1817reximi 3088 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
1918adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
2019exlimiv 1934 . . . . . 6 (βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
2120adantl 483 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
22 1ex 11158 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
23 vex 3452 . . . . . . . . . 10 π‘₯ ∈ V
2422, 23f1osn 6829 . . . . . . . . 9 {⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1-ontoβ†’{π‘₯}
25 f1of1 6788 . . . . . . . . 9 ({⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1-ontoβ†’{π‘₯} β†’ {⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1β†’{π‘₯})
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ {⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1β†’{π‘₯})
27 snssi 4773 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ {π‘₯} βŠ† 𝑃)
28 f1ss 6749 . . . . . . . 8 (({⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1β†’{π‘₯} ∧ {π‘₯} βŠ† 𝑃) β†’ {⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1→𝑃)
2926, 27, 28syl2anc 585 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ {⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1→𝑃)
30 fzo12sn 13662 . . . . . . . . . . . 12 (1..^2) = {1}
3130mpteq1i 5206 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) = (𝑗 ∈ {1} ↦ π‘₯)
32 fmptsn 7118 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ V) β†’ {⟨1, π‘₯⟩} = (𝑗 ∈ {1} ↦ π‘₯))
3322, 23, 32mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 {⟨1, π‘₯⟩} = (𝑗 ∈ {1} ↦ π‘₯)
3431, 33eqtr4i 2768 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) = {⟨1, π‘₯⟩}
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) = {⟨1, π‘₯⟩})
3630a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (1..^2) = {1})
37 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ 𝑃 = 𝑃)
3835, 36, 37f1eq123d 6781 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯):(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ {⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1→𝑃))
3938mptru 1549 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯):(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ {⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1→𝑃)
4029, 39sylibr 233 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯):(1..^2)–1-1→𝑃)
41 ral0 4475 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘— ∈ βˆ… ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧))
42 fzo0 13603 . . . . . . . . . . 11 (2..^2) = βˆ…
4342raleqi 3314 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ↔ βˆ€π‘— ∈ βˆ… ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)))
4441, 43mpbir 230 . . . . . . . . 9 βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧))
4544jctl 525 . . . . . . . 8 (Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
4645reximi 3088 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
4746reximi 3088 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
48 ovex 7395 . . . . . . . 8 (1..^2) ∈ V
4948mptex 7178 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∈ V
50 f1eq1 6738 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) β†’ (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯):(1..^2)–1-1→𝑃))
51 nfmpt1 5218 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)
5251nfeq2 2925 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗 𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)
53 nfv 1918 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗(𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)
5452, 53nfan 1903 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗(𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃))
55 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ 𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯))
5655fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ (π‘“β€˜1) = ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1))
5756oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ ((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯))
5855fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ (π‘“β€˜π‘—) = ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—))
5958oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯))
6057, 59eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯)))
6156oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦))
6258oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦))
6361, 62eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦)))
6456oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧))
6558oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧))
6664, 65eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)))
6760, 63, 663anbi123d 1437 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ ((((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ↔ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧))))
6854, 67ralbida 3256 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ↔ βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧))))
6968anbi1d 631 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) β†’ ((βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
70692rexbidva 3212 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
7150, 70anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) β†’ ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯):(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
7249, 71spcev 3568 . . . . . 6 (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯):(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
7340, 47, 72syl2an 597 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
7421, 73impbida 800 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
7574rexbiia 3096 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
7614, 15, 753bitr2i 299 . 2 (βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
778, 76bitrdi 287 1 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯2 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {csn 4591  βŸ¨cop 4597   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€“1-1β†’wf1 6498  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1c1 11059  2c2 12215  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  ..^cfzo 13574  Basecbs 17090  distcds 17149  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 27415  Itvcitv 27417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-trkgld 27436
This theorem is referenced by:  axtglowdim2  27454  tgdim01  27491
  Copyright terms: Public domain W3C validator