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Theorem istrkg2ld 28797

Description: Property of fulfilling the lower dimension 2 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.) Avoid ax-rep 5236. (Revised by GG, 2-Apr-2026.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
istrkg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
istrkg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
istrkg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
istrkg2ld	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺Dim_TarskiG≥2 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦,𝑧,𝐼 𝑥,𝑃,𝑦,𝑧 𝑥, − ,𝑦,𝑧 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem istrkg2ld Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12651	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		uzid 12903	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ_≥‘2))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 2 ∈ (ℤ_≥‘2)
4		istrkg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5		istrkg.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
6		istrkg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
7	4, 5, 6	istrkgld 28796	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝐺Dim_TarskiG≥2 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
8	3, 7	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺Dim_TarskiG≥2 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
9		r19.41v 3194	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃))
10		ancom 466	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
11	10	rexbii 3111	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
12		ancom 466	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
13	9, 11, 12	3bitr3ri 305	. . . 4 ⊢ ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
14	13	exbii 1881	. . 3 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
15		rexcom4 3291	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
16		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
17	16	reximi 3102	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
18	17	reximi 3102	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
19	18	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
20	19	exlimiv 1963	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
21	20	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
22		1ex 11228	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
23		vex 3457	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
24	22, 23	f1osn 6863	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑥}
25		f1of1 6820	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑥} → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→{𝑥})
26	24, 25	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→{𝑥})
27		snssi 4749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → {𝑥} ⊆ 𝑃)
28		f1ss 6782	. . . . . . . 8 ⊢ (({⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→{𝑥} ∧ {𝑥} ⊆ 𝑃) → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→𝑃)
29	26, 27, 28	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→𝑃)
30		fzo12sn 13804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1..^2) = {1}
31	30	mpteq1i 5200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥)
32		fmptsn 7168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {⟨1, 𝑥⟩} = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥))
33	22, 23, 32	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {⟨1, 𝑥⟩} = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥)
34	31, 33	eqtr4i 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = {⟨1, 𝑥⟩}
35	34	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = {⟨1, 𝑥⟩})
36	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (1..^2) = {1})
37		eqidd 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝑃 = 𝑃)
38	35, 36, 37	f1eq123d 6813	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→𝑃))
39	38	mptru 1577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→𝑃)
40	29, 39	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃)
41		ral0 4457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑗 ∈ ∅ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))
42		fzo0 13739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2..^2) = ∅
43	42	raleqi 3319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ ∅ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)))
44	41, 43	mpbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))
45	44	jctl 533	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
46	45	reximi 3102	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
47	46	reximi 3102	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
48		fconstmpt 5721	. . . . . . . 8 ⊢ ((1..^2) × {𝑥}) = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)
49		ovex 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^2) ∈ V
50		vsnex 5404	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥} ∈ V
51	49, 50	xpex 7755	. . . . . . . 8 ⊢ ((1..^2) × {𝑥}) ∈ V
52	48, 51	eqeltrri 2859	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∈ V
53		f1eq1 6770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) → (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃))
54		nfmpt1 5208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)
55	54	nfeq2 2941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)
56		nfv 1947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)
57	55, 56	nfan 1932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃))
58		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → 𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥))
59	58	fveq1d 6884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (𝑓‘1) = ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1))
60	59	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥))
61	58	fveq1d 6884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (𝑓‘𝑗) = ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗))
62	61	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥))
63	60, 62	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥)))
64	59	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦))
65	61	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦))
66	64, 65	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦)))
67	59	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧))
68	61	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘𝑗) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))
69	67, 68	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)))
70	63, 66, 69	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))))
71	57, 70	ralbida 3275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))))
72	71	anbi1d 643	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → ((∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
73	72	2rexbidva 3227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
74	53, 73	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) → ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
75	52, 74	spcev 3563	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
76	40, 47, 75	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
77	21, 76	impbida 813	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
78	77	rexbiia 3109	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
79	14, 15, 78	3bitr2i 302	. 2 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
80	8, 79	bitrdi 290	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺Dim_TarskiG≥2 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ w3o 1102 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ⊤wtru 1571 ∃wex 1812 ∈ wcel 2145 ∀wral 3078 ∃wrex 3088 Vcvv 3453 ⊆ wss 3902 ∅c0 4282 {csn 4587 ⟨cop 4593 class class class wbr 5107 ↦ cmpt 5190 × cxp 5657 –1-1→wf1 6534 –1-1-onto→wf1o 6536 ‘cfv 6537 (class class class)co 7416 1c1 11126 2c2 12320 ℤcz 12616 ℤ_≥cuz 12888 ..^cfzo 13709 Basecbs 17303 distcds 17353 Dim_TarskiG≥cstrkgld 28768 Itvcitv 28770

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2215 ax-ext 2734 ax-sep 5255 ax-nul 5267 ax-pow 5334 ax-pr 5402 ax-un 7739 ax-cnex 11181 ax-resscn 11182 ax-1cn 11183 ax-icn 11184 ax-addcl 11185 ax-addrcl 11186 ax-mulcl 11187 ax-mulrcl 11188 ax-mulcom 11189 ax-addass 11190 ax-mulass 11191 ax-distr 11192 ax-i2m1 11193 ax-1ne0 11194 ax-1rid 11195 ax-rnegex 11196 ax-rrecex 11197 ax-cnre 11198 ax-pre-lttri 11199 ax-pre-lttrn 11200 ax-pre-ltadd 11201 ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3064 df-ral 3079 df-rex 3089 df-reu 3368 df-rab 3415 df-v 3455 df-sbc 3743 df-csb 3851 df-dif 3905 df-un 3907 df-in 3909 df-ss 3919 df-pss 3922 df-nul 4283 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4871 df-iun 4956 df-br 5108 df-opab 5172 df-mpt 5191 df-tr 5217 df-id 5554 df-eprel 5559 df-po 5567 df-so 5568 df-fr 5612 df-we 5614 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7373 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-om 7866 df-1st 7989 df-2nd 7990 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8363 df-rdg 8402 df-er 8699 df-en 8956 df-dom 8957 df-sdom 8958 df-pnf 11270 df-mnf 11271 df-xr 11272 df-ltxr 11273 df-le 11274 df-sub 11468 df-neg 11469 df-nn 12259 df-2 12328 df-n0 12530 df-z 12617 df-uz 12889 df-fz 13562 df-fzo 13710 df-trkgld 28789

This theorem is used by: axtglowdim2 28807 tgdim01 28845

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