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Theorem istrkg2ld 28833

Description: Property of fulfilling the lower dimension 2 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.) Avoid ax-rep 5232. (Revised by GG, 2-Apr-2026.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
istrkg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
istrkg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
istrkg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
istrkg2ld	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺Dim_TarskiG≥2 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦,𝑧,𝐼 𝑥,𝑃,𝑦,𝑧 𝑥, − ,𝑦,𝑧 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem istrkg2ld Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12675	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		uzid 12927	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ_≥‘2))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 2 ∈ (ℤ_≥‘2)
4		istrkg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5		istrkg.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
6		istrkg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
7	4, 5, 6	istrkgld 28832	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝐺Dim_TarskiG≥2 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
8	3, 7	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺Dim_TarskiG≥2 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
9		r19.41v 3192	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃))
10		ancom 466	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
11	10	rexbii 3109	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
12		ancom 466	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
13	9, 11, 12	3bitr3ri 305	. . . 4 ⊢ ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
14	13	exbii 1881	. . 3 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
15		rexcom4 3289	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
16		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
17	16	reximi 3100	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
18	17	reximi 3100	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
19	18	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
20	19	exlimiv 1963	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
21	20	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
22		1ex 11252	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
23		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
24	22, 23	f1osn 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑥}
25		f1of1 6819	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑥} → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→{𝑥})
26	24, 25	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→{𝑥})
27		snssi 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → {𝑥} ⊆ 𝑃)
28		f1ss 6781	. . . . . . . 8 ⊢ (({⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→{𝑥} ∧ {𝑥} ⊆ 𝑃) → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→𝑃)
29	26, 27, 28	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→𝑃)
30		fzo12sn 13829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1..^2) = {1}
31	30	mpteq1i 5196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥)
32		fmptsn 7168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {⟨1, 𝑥⟩} = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥))
33	22, 23, 32	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {⟨1, 𝑥⟩} = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥)
34	31, 33	eqtr4i 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = {⟨1, 𝑥⟩}
35	34	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = {⟨1, 𝑥⟩})
36	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (1..^2) = {1})
37		eqidd 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝑃 = 𝑃)
38	35, 36, 37	f1eq123d 6812	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→𝑃))
39	38	mptru 1577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→𝑃)
40	29, 39	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃)
41		ral0 4454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑗 ∈ ∅ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))
42		fzo0 13764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2..^2) = ∅
43	42	raleqi 3317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ ∅ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)))
44	41, 43	mpbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))
45	44	jctl 533	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
46	45	reximi 3100	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
47	46	reximi 3100	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
48		fconstmpt 5717	. . . . . . . 8 ⊢ ((1..^2) × {𝑥}) = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)
49		ovex 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^2) ∈ V
50		vsnex 5400	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥} ∈ V
51	49, 50	xpex 7758	. . . . . . . 8 ⊢ ((1..^2) × {𝑥}) ∈ V
52	48, 51	eqeltrri 2857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∈ V
53		f1eq1 6769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) → (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃))
54		nfmpt1 5204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)
55	54	nfeq2 2939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)
56		nfv 1947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)
57	55, 56	nfan 1932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃))
58		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → 𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥))
59	58	fveq1d 6883	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (𝑓‘1) = ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1))
60	59	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥))
61	58	fveq1d 6883	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (𝑓‘𝑗) = ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗))
62	61	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥))
63	60, 62	eqeq12d 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥)))
64	59	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦))
65	61	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦))
66	64, 65	eqeq12d 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦)))
67	59	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧))
68	61	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘𝑗) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))
69	67, 68	eqeq12d 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)))
70	63, 66, 69	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))))
71	57, 70	ralbida 3273	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))))
72	71	anbi1d 643	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → ((∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
73	72	2rexbidva 3225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
74	53, 73	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) → ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
75	52, 74	spcev 3560	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
76	40, 47, 75	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
77	21, 76	impbida 813	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
78	77	rexbiia 3107	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
79	14, 15, 78	3bitr2i 302	. 2 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
80	8, 79	bitrdi 290	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺Dim_TarskiG≥2 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ w3o 1102 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ⊤wtru 1571 ∃wex 1812 ∈ wcel 2145 ∀wral 3076 ∃wrex 3086 Vcvv 3450 ⊆ wss 3899 ∅c0 4279 {csn 4584 ⟨cop 4590 class class class wbr 5103 ↦ cmpt 5186 × cxp 5653 –1-1→wf1 6532 –1-1-onto→wf1o 6534 ‘cfv 6535 (class class class)co 7416 1c1 11150 2c2 12344 ℤcz 12640 ℤ_≥cuz 12912 ..^cfzo 13734 Basecbs 17326 distcds 17376 Dim_TarskiG≥cstrkgld 28804 Itvcitv 28806

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2732 ax-sep 5251 ax-nul 5263 ax-pow 5330 ax-pr 5398 ax-un 7742 ax-cnex 11205 ax-resscn 11206 ax-1cn 11207 ax-icn 11208 ax-addcl 11209 ax-addrcl 11210 ax-mulcl 11211 ax-mulrcl 11212 ax-mulcom 11213 ax-addass 11214 ax-mulass 11215 ax-distr 11216 ax-i2m1 11217 ax-1ne0 11218 ax-1rid 11219 ax-rnegex 11220 ax-rrecex 11221 ax-cnre 11222 ax-pre-lttri 11223 ax-pre-lttrn 11224 ax-pre-ltadd 11225 ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5550 df-eprel 5555 df-po 5563 df-so 5564 df-fr 5608 df-we 5610 df-xp 5661 df-rel 5662 df-cnv 5663 df-co 5664 df-dm 5665 df-rn 5666 df-res 5667 df-ima 5668 df-pred 6301 df-ord 6362 df-on 6363 df-lim 6364 df-suc 6365 df-iota 6491 df-fun 6537 df-fn 6538 df-f 6539 df-f1 6540 df-fo 6541 df-f1o 6542 df-fv 6543 df-riota 7373 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-om 7869 df-1st 7992 df-2nd 7993 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8365 df-rdg 8404 df-er 8703 df-en 8960 df-dom 8961 df-sdom 8962 df-pnf 11294 df-mnf 11295 df-xr 11296 df-ltxr 11297 df-le 11298 df-sub 11492 df-neg 11493 df-nn 12283 df-2 12352 df-n0 12554 df-z 12641 df-uz 12913 df-fz 13587 df-fzo 13735 df-trkgld 28825

This theorem is used by: axtglowdim2 28843 tgdim01 28881

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