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Theorem istrkg2ld 28631

Description: Property of fulfilling the lower dimension 2 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.) Avoid ax-rep 5229. (Revised by GG, 2-Apr-2026.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
istrkg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
istrkg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
istrkg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
istrkg2ld	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺Dim_TarskiG≥2 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦,𝑧,𝐼 𝑥,𝑃,𝑦,𝑧 𝑥, − ,𝑦,𝑧 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧) 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem istrkg2ld Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12605	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		uzid 12856	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ_≥‘2))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 2 ∈ (ℤ_≥‘2)
4		istrkg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5		istrkg.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
6		istrkg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
7	4, 5, 6	istrkgld 28630	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝐺Dim_TarskiG≥2 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
8	3, 7	mpan2 701	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺Dim_TarskiG≥2 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
9		r19.41v 3194	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃))
10		ancom 464	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
11	10	rexbii 3111	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
12		ancom 464	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
13	9, 11, 12	3bitr3ri 304	. . . 4 ⊢ ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
14	13	exbii 1870	. . 3 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
15		rexcom4 3291	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
16		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
17	16	reximi 3102	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
18	17	reximi 3102	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
19	18	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
20	19	exlimiv 1952	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
21	20	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
22		1ex 11178	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
23		vex 3460	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
24	22, 23	f1osn 6850	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑥}
25		f1of1 6807	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑥} → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→{𝑥})
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→{𝑥})
27		snssi 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → {𝑥} ⊆ 𝑃)
28		f1ss 6769	. . . . . . . 8 ⊢ (({⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→{𝑥} ∧ {𝑥} ⊆ 𝑃) → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→𝑃)
29	26, 27, 28	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→𝑃)
30		fzo12sn 13756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1..^2) = {1}
31	30	mpteq1i 5193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥)
32		fmptsn 7153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {⟨1, 𝑥⟩} = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥))
33	22, 23, 32	mp2an 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {⟨1, 𝑥⟩} = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥)
34	31, 33	eqtr4i 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = {⟨1, 𝑥⟩}
35	34	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = {⟨1, 𝑥⟩})
36	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (1..^2) = {1})
37		eqidd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝑃 = 𝑃)
38	35, 36, 37	f1eq123d 6800	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→𝑃))
39	38	mptru 1569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→𝑃)
40	29, 39	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃)
41		ral0 4454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑗 ∈ ∅ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))
42		fzo0 13691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2..^2) = ∅
43	42	raleqi 3320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ ∅ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)))
44	41, 43	mpbir 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))
45	44	jctl 531	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
46	45	reximi 3102	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
47	46	reximi 3102	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
48		fconstmpt 5711	. . . . . . . 8 ⊢ ((1..^2) × {𝑥}) = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)
49		ovex 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^2) ∈ V
50		vsnex 5394	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥} ∈ V
51	49, 50	xpex 7738	. . . . . . . 8 ⊢ ((1..^2) × {𝑥}) ∈ V
52	48, 51	eqeltrri 2861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∈ V
53		f1eq1 6757	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) → (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃))
54		nfmpt1 5201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)
55	54	nfeq2 2943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)
56		nfv 1936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)
57	55, 56	nfan 1921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃))
58		simpll 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → 𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥))
59	58	fveq1d 6871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (𝑓‘1) = ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1))
60	59	oveq1d 7413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥))
61	58	fveq1d 6871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (𝑓‘𝑗) = ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗))
62	61	oveq1d 7413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥))
63	60, 62	eqeq12d 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥)))
64	59	oveq1d 7413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦))
65	61	oveq1d 7413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦))
66	64, 65	eqeq12d 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦)))
67	59	oveq1d 7413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧))
68	61	oveq1d 7413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘𝑗) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))
69	67, 68	eqeq12d 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)))
70	63, 66, 69	3anbi123d 1459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))))
71	57, 70	ralbida 3275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))))
72	71	anbi1d 640	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → ((∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
73	72	2rexbidva 3227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
74	53, 73	anbi12d 641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) → ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
75	52, 74	spcev 3567	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
76	40, 47, 75	syl2an 605	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
77	21, 76	impbida 810	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
78	77	rexbiia 3109	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
79	14, 15, 78	3bitr2i 301	. 2 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
80	8, 79	bitrdi 289	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺Dim_TarskiG≥2 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 399 ∨ w3o 1098 ∧ w3a 1099 = wceq 1562 ⊤wtru 1563 ∃wex 1801 ∈ wcel 2144 ∀wral 3078 ∃wrex 3088 Vcvv 3456 ⊆ wss 3906 ∅c0 4287 {csn 4584 ⟨cop 4590 class class class wbr 5102 ↦ cmpt 5183 × cxp 5647 –1-1→wf1 6520 –1-1-onto→wf1o 6522 ‘cfv 6523 (class class class)co 7398 1c1 11076 2c2 12274 ℤcz 12570 ℤ_≥cuz 12841 ..^cfzo 13661 Basecbs 17247 distcds 17297 Dim_TarskiG≥cstrkgld 28602 Itvcitv 28604

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1817 ax-4 1831 ax-5 1932 ax-6 1989 ax-7 2030 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2214 ax-ext 2736 ax-sep 5248 ax-nul 5258 ax-pow 5324 ax-pr 5392 ax-un 7720 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1100 df-3an 1101 df-tru 1565 df-fal 1575 df-ex 1802 df-nf 1806 df-sb 2093 df-mo 2568 df-eu 2598 df-clab 2743 df-cleq 2756 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3064 df-ral 3079 df-rex 3089 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3458 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4288 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5103 df-opab 5165 df-mpt 5184 df-tr 5210 df-id 5544 df-eprel 5549 df-po 5557 df-so 5558 df-fr 5602 df-we 5604 df-xp 5655 df-rel 5656 df-cnv 5657 df-co 5658 df-dm 5659 df-rn 5660 df-res 5661 df-ima 5662 df-pred 6290 df-ord 6351 df-on 6352 df-lim 6353 df-suc 6354 df-iota 6479 df-fun 6525 df-fn 6526 df-f 6527 df-f1 6528 df-fo 6529 df-f1o 6530 df-fv 6531 df-riota 7355 df-ov 7401 df-oprab 7402 df-mpo 7403 df-om 7849 df-1st 7972 df-2nd 7973 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8344 df-rdg 8383 df-er 8680 df-en 8930 df-dom 8931 df-sdom 8932 df-pnf 11220 df-mnf 11221 df-xr 11222 df-ltxr 11223 df-le 11224 df-sub 11418 df-neg 11419 df-nn 12213 df-2 12282 df-n0 12484 df-z 12571 df-uz 12842 df-fz 13515 df-fzo 13662 df-trkgld 28623

This theorem is referenced by: axtglowdim2 28641 tgdim01 28678

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