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Theorem istrkg2ld 26725

Description: Property of fulfilling the lower dimension 2 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
istrkg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
istrkg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
istrkg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
istrkg2ld	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺Dim_TarskiG≥2 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦,𝑧,𝐼 𝑥,𝑃,𝑦,𝑧 𝑥, − ,𝑦,𝑧 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧) 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem istrkg2ld Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12282	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		uzid 12526	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ_≥‘2))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 2 ∈ (ℤ_≥‘2)
4		istrkg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5		istrkg.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
6		istrkg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
7	4, 5, 6	istrkgld 26724	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝐺Dim_TarskiG≥2 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
8	3, 7	mpan2 687	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺Dim_TarskiG≥2 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
9		r19.41v 3273	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃))
10		ancom 460	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
11	10	rexbii 3177	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
12		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
13	9, 11, 12	3bitr3ri 301	. . . 4 ⊢ ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
14	13	exbii 1851	. . 3 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
15		rexcom4 3179	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
16		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
17	16	reximi 3174	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
18	17	reximi 3174	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
19	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
20	19	exlimiv 1934	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
21	20	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
22		1ex 10902	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
23		vex 3426	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
24	22, 23	f1osn 6739	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑥}
25		f1of1 6699	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑥} → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→{𝑥})
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→{𝑥})
27		snssi 4738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → {𝑥} ⊆ 𝑃)
28		f1ss 6660	. . . . . . . 8 ⊢ (({⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→{𝑥} ∧ {𝑥} ⊆ 𝑃) → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→𝑃)
29	26, 27, 28	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→𝑃)
30		fzo12sn 13398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1..^2) = {1}
31	30	mpteq1i 5166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥)
32		fmptsn 7021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {⟨1, 𝑥⟩} = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥))
33	22, 23, 32	mp2an 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {⟨1, 𝑥⟩} = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥)
34	31, 33	eqtr4i 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = {⟨1, 𝑥⟩}
35	34	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = {⟨1, 𝑥⟩})
36	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (1..^2) = {1})
37		eqidd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 𝑃 = 𝑃)
38	35, 36, 37	f1eq123d 6692	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→𝑃))
39	38	mptru 1546	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→𝑃)
40	29, 39	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃)
41		ral0 4440	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑗 ∈ ∅ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))
42		fzo0 13339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2..^2) = ∅
43	42	raleqi 3337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ ∅ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)))
44	41, 43	mpbir 230	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))
45	44	jctl 523	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
46	45	reximi 3174	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
47	46	reximi 3174	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
48		ovex 7288	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^2) ∈ V
49	48	mptex 7081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∈ V
50		f1eq1 6649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) → (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃))
51		nfmpt1 5178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)
52	51	nfeq2 2923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)
53		nfv 1918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)
54	52, 53	nfan 1903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃))
55		simpll 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → 𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥))
56	55	fveq1d 6758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (𝑓‘1) = ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1))
57	56	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥))
58	55	fveq1d 6758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (𝑓‘𝑗) = ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗))
59	58	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥))
60	57, 59	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥)))
61	56	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦))
62	58	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦))
63	61, 62	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦)))
64	56	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧))
65	58	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘𝑗) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))
66	64, 65	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)))
67	60, 63, 66	3anbi123d 1434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))))
68	54, 67	ralbida 3156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧))))
69	68	anbi1d 629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) → ((∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
70	69	2rexbidva 3227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
71	50, 70	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) → ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
72	49, 71	spcev 3535	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) − 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
73	40, 47, 72	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
74	21, 73	impbida 797	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
75	74	rexbiia 3176	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
76	14, 15, 75	3bitr2i 298	. 2 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
77	8, 76	bitrdi 286	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺Dim_TarskiG≥2 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∨ w3o 1084 ∧ w3a 1085 = wceq 1539 ⊤wtru 1540 ∃wex 1783 ∈ wcel 2108 ∀wral 3063 ∃wrex 3064 Vcvv 3422 ⊆ wss 3883 ∅c0 4253 {csn 4558 ⟨cop 4564 class class class wbr 5070 ↦ cmpt 5153 –1-1→wf1 6415 –1-1-onto→wf1o 6417 ‘cfv 6418 (class class class)co 7255 1c1 10803 2c2 11958 ℤcz 12249 ℤ_≥cuz 12511 ..^cfzo 13311 Basecbs 16840 distcds 16897 Dim_TarskiG≥cstrkgld 26697 Itvcitv 26699

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-rep 5205 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-cnex 10858 ax-resscn 10859 ax-1cn 10860 ax-icn 10861 ax-addcl 10862 ax-addrcl 10863 ax-mulcl 10864 ax-mulrcl 10865 ax-mulcom 10866 ax-addass 10867 ax-mulass 10868 ax-distr 10869 ax-i2m1 10870 ax-1ne0 10871 ax-1rid 10872 ax-rnegex 10873 ax-rrecex 10874 ax-cnre 10875 ax-pre-lttri 10876 ax-pre-lttrn 10877 ax-pre-ltadd 10878 ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3902 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4837 df-iun 4923 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-tr 5188 df-id 5480 df-eprel 5486 df-po 5494 df-so 5495 df-fr 5535 df-we 5537 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-pred 6191 df-ord 6254 df-on 6255 df-lim 6256 df-suc 6257 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-om 7688 df-1st 7804 df-2nd 7805 df-frecs 8068 df-wrecs 8099 df-recs 8173 df-rdg 8212 df-er 8456 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-pnf 10942 df-mnf 10943 df-xr 10944 df-ltxr 10945 df-le 10946 df-sub 11137 df-neg 11138 df-nn 11904 df-2 11966 df-n0 12164 df-z 12250 df-uz 12512 df-fz 13169 df-fzo 13312 df-trkgld 26717

This theorem is referenced by: axtglowdim2 26735 tgdim01 26772

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