MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  istrkg2ld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem istrkg2ld 28308
Description: Property of fulfilling the lower dimension 2 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
istrkg.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
istrkg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
istrkg2ld (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯2 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐼   π‘₯,𝑃,𝑦,𝑧   π‘₯, βˆ’ ,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem istrkg2ld
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12624 . . . 4 2 ∈ β„€
2 uzid 12867 . . . 4 (2 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
31, 2ax-mp 5 . . 3 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)
4 istrkg.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
5 istrkg.d . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
6 istrkg.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
74, 5, 6istrkgld 28307 . . 3 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯2 ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
83, 7mpan2 689 . 2 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯2 ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
9 r19.41v 3179 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃))
10 ancom 459 . . . . . 6 ((βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
1110rexbii 3084 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
12 ancom 459 . . . . 5 ((βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃) ↔ (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
139, 11, 123bitr3ri 301 . . . 4 ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
1413exbii 1842 . . 3 (βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
15 rexcom4 3276 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
16 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) β†’ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
1716reximi 3074 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
1817reximi 3074 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
1918adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
2019exlimiv 1925 . . . . . 6 (βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
2120adantl 480 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
22 1ex 11240 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
23 vex 3467 . . . . . . . . . 10 π‘₯ ∈ V
2422, 23f1osn 6874 . . . . . . . . 9 {⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1-ontoβ†’{π‘₯}
25 f1of1 6833 . . . . . . . . 9 ({⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1-ontoβ†’{π‘₯} β†’ {⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1β†’{π‘₯})
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ {⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1β†’{π‘₯})
27 snssi 4807 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ {π‘₯} βŠ† 𝑃)
28 f1ss 6794 . . . . . . . 8 (({⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1β†’{π‘₯} ∧ {π‘₯} βŠ† 𝑃) β†’ {⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1→𝑃)
2926, 27, 28syl2anc 582 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ {⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1→𝑃)
30 fzo12sn 13747 . . . . . . . . . . . 12 (1..^2) = {1}
3130mpteq1i 5239 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) = (𝑗 ∈ {1} ↦ π‘₯)
32 fmptsn 7172 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ V ∧ π‘₯ ∈ V) β†’ {⟨1, π‘₯⟩} = (𝑗 ∈ {1} ↦ π‘₯))
3322, 23, 32mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 {⟨1, π‘₯⟩} = (𝑗 ∈ {1} ↦ π‘₯)
3431, 33eqtr4i 2756 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) = {⟨1, π‘₯⟩}
3534a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) = {⟨1, π‘₯⟩})
3630a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (1..^2) = {1})
37 eqidd 2726 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ 𝑃 = 𝑃)
3835, 36, 37f1eq123d 6826 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯):(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ {⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1→𝑃))
3938mptru 1540 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯):(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ {⟨1, π‘₯⟩}:{1}–1-1→𝑃)
4029, 39sylibr 233 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯):(1..^2)–1-1→𝑃)
41 ral0 4508 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘— ∈ βˆ… ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧))
42 fzo0 13688 . . . . . . . . . . 11 (2..^2) = βˆ…
4342raleqi 3313 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ↔ βˆ€π‘— ∈ βˆ… ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)))
4441, 43mpbir 230 . . . . . . . . 9 βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧))
4544jctl 522 . . . . . . . 8 (Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
4645reximi 3074 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
4746reximi 3074 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
48 ovex 7449 . . . . . . . 8 (1..^2) ∈ V
4948mptex 7231 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∈ V
50 f1eq1 6783 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) β†’ (𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ↔ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯):(1..^2)–1-1→𝑃))
51 nfmpt1 5251 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)
5251nfeq2 2910 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗 𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)
53 nfv 1909 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗(𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)
5452, 53nfan 1894 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗(𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃))
55 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ 𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯))
5655fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ (π‘“β€˜1) = ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1))
5756oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ ((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯))
5855fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ (π‘“β€˜π‘—) = ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—))
5958oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯))
6057, 59eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯)))
6156oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦))
6258oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦))
6361, 62eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦)))
6456oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧))
6558oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧))
6664, 65eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)))
6760, 63, 663anbi123d 1432 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) β†’ ((((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ↔ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧))))
6854, 67ralbida 3258 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) β†’ (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ↔ βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧))))
6968anbi1d 629 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑧 ∈ 𝑃)) β†’ ((βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
70692rexbidva 3208 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
7150, 70anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯) β†’ ((𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯):(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
7249, 71spcev 3585 . . . . . 6 (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯):(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ π‘₯)β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
7340, 47, 72syl2an 594 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
7421, 73impbida 799 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
7574rexbiia 3082 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
7614, 15, 753bitr2i 298 . 2 (βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^2)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^2)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
778, 76bitrdi 286 1 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯2 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318  {csn 4624  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  1c1 11139  2c2 12297  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  ..^cfzo 13659  Basecbs 17179  distcds 17241  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 28279  Itvcitv 28281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-trkgld 28300
This theorem is referenced by:  axtglowdim2  28318  tgdim01  28355
  Copyright terms: Public domain W3C validator