Theorem fmtno 48756

Description: The 𝑁 th Fermat number. (Contributed by AV, 13-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))

Proof of Theorem fmtno

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fmtno 48755	. 2 ⊢ FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
2		oveq2 7438	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2↑𝑛) = (2↑𝑁))
3	2	oveq2d 7446	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑁)))
4	3	oveq1d 7445	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
5		id 23	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		ovexd 7465	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ V)
7	1, 4, 5, 6	fvmptd3 7028	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  1c1 11214   + caddc 11216  2c2 12410  ℕ₀cn0 12619  ↑cexp 14217  FermatNocfmtno 48754

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fv 6555  df-ov 7433  df-fmtno 48755

This theorem is used by:  fmtnoge3  48757  fmtnom1nn  48759  fmtnoodd  48760  fmtnof1  48762  fmtnorec1  48764  fmtnosqrt  48766  fmtno0  48767  fmtno1  48768  fmtnorec2lem  48769  fmtnorec3  48775  fmtnorec4  48776  fmtno2  48777  fmtno3  48778  fmtno4  48779  fmtnoprmfac1lem  48791  fmtno4prm  48802  2pwp1prmfmtno  48817