Theorem fmtno 47893

Description: The 𝑁 th Fermat number. (Contributed by AV, 13-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))

Proof of Theorem fmtno

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fmtno 47892	. 2 ⊢ FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
2		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2↑𝑛) = (2↑𝑁))
3	2	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑁)))
4	3	oveq1d 7383	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
5		id 22	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		ovexd 7403	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ V)
7	1, 4, 5, 6	fvmptd3 6973	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1c1 11039   + caddc 11041  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ↑cexp 13996  FermatNocfmtno 47891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7371  df-fmtno 47892

This theorem is referenced by:  fmtnoge3  47894  fmtnom1nn  47896  fmtnoodd  47897  fmtnof1  47899  fmtnorec1  47901  fmtnosqrt  47903  fmtno0  47904  fmtno1  47905  fmtnorec2lem  47906  fmtnorec3  47912  fmtnorec4  47913  fmtno2  47914  fmtno3  47915  fmtno4  47916  fmtnoprmfac1lem  47928  fmtno4prm  47939  2pwp1prmfmtno  47954