Theorem fmtno 47403

Description: The 𝑁 th Fermat number. (Contributed by AV, 13-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))

Proof of Theorem fmtno

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fmtno 47402	. 2 ⊢ FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
2		oveq2 7456	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2↑𝑛) = (2↑𝑁))
3	2	oveq2d 7464	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑁)))
4	3	oveq1d 7463	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
5		id 22	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		ovexd 7483	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ V)
7	1, 4, 5, 6	fvmptd3 7052	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1c1 11185   + caddc 11187  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  ↑cexp 14112  FermatNocfmtno 47401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-ov 7451  df-fmtno 47402

This theorem is referenced by:  fmtnoge3  47404  fmtnom1nn  47406  fmtnoodd  47407  fmtnof1  47409  fmtnorec1  47411  fmtnosqrt  47413  fmtno0  47414  fmtno1  47415  fmtnorec2lem  47416  fmtnorec3  47422  fmtnorec4  47423  fmtno2  47424  fmtno3  47425  fmtno4  47426  fmtnoprmfac1lem  47438  fmtno4prm  47449  2pwp1prmfmtno  47464