Theorem fmtno 44436

Description: The 𝑁 th Fermat number. (Contributed by AV, 13-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))

Proof of Theorem fmtno

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fmtno 44435	. 2 ⊢ FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
2		oveq2 7158	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2↑𝑛) = (2↑𝑁))
3	2	oveq2d 7166	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑁)))
4	3	oveq1d 7165	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
5		id 22	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		ovexd 7185	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ V)
7	1, 4, 5, 6	fvmptd3 6782	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  1c1 10576   + caddc 10578  2c2 11729  ℕ₀cn0 11934  ↑cexp 13479  FermatNocfmtno 44434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pr 5298

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ral 3075  df-rex 3076  df-v 3411  df-sbc 3697  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fv 6343  df-ov 7153  df-fmtno 44435

This theorem is referenced by:  fmtnoge3  44437  fmtnom1nn  44439  fmtnoodd  44440  fmtnof1  44442  fmtnorec1  44444  fmtnosqrt  44446  fmtno0  44447  fmtno1  44448  fmtnorec2lem  44449  fmtnorec3  44455  fmtnorec4  44456  fmtno2  44457  fmtno3  44458  fmtno4  44459  fmtnoprmfac1lem  44471  fmtno4prm  44482  2pwp1prmfmtno  44497