Theorem fmtnoprmfac1lem 47678

Description: Lemma for fmtnoprmfac1 47679: The order of 2 modulo a prime that divides the n-th Fermat number is 2^(n+1). (Contributed by AV, 25-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 18-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoprmfac1lem	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem fmtnoprmfac1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
5		nnnn0 12398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		fmtno 47643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
8	7	breq2d 5107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
10	9	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
11		dvdsmod0 16179	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)) → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0)
12	4, 10, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0)
13	12	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0))
14		2nn 12208	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
16		2nn0 12408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
18	17, 5	nn0expcld 14163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
19	15, 18	nnexpcld 14162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ)
20	19	nnzd 12505	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ)
22		1zzd 12513	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 1 ∈ ℤ)
23	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℕ)
24		summodnegmod 16207	. . . . . 6 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 ↔ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 ↔ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
26		neg1z 12518	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℤ
27	21, 26	jctir 520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ))
28	27	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ))
29	2	nnrpd 12942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
30	1, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ+)
31	17, 30	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
33		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
34		modexp 14155	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃))
35	28, 32, 33, 34	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃))
36	35	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃)))
37		2cnd 12213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
38	37, 18, 17	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0))
40		expmul 14024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
42		2cnd 12213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ∈ ℂ)
43	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑁 ∈ ℕ0)
44	42, 43	expp1d 14064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
45	44	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑𝑁) · 2) = (2↑(𝑁 + 1)))
46	45	oveq2d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
47	41, 46	eqtr3d 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑(2↑𝑁))↑2) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
48	47	oveq1d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃))
49		neg1sqe1 14113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1↑2) = 1
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (-1↑2) = 1)
51	50	oveq1d 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((-1↑2) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
52	3	nnred 12150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ)
53		prmgt1 16618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
54	1, 53	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 < 𝑃)
55		1mod 13817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
56	52, 54, 55	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1 mod 𝑃) = 1)
57	56	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (1 mod 𝑃) = 1)
58	51, 57	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((-1↑2) mod 𝑃) = 1)
59	48, 58	eqeq12d 2749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1))
60		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})))
61	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ)
62		1zzd 12513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
63	2	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
64	61, 62, 63	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
65	1, 64	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
67	66, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 ↔ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
68		m1modnnsub1 13834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑃) = (𝑃 − 1))
69	23, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (-1 mod 𝑃) = (𝑃 − 1))
70		eldifsni 4743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
71	70	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ≠ 2)
72	71	necomd 2985	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ≠ 𝑃)
73	3	nncnd 12151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℂ)
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℂ)
75		1cnd 11117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 1 ∈ ℂ)
76	74, 75, 75	subadd2d 11501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = 𝑃))
77		1p1e2 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 + 1) = 2
78	77	eqeq1i 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 + 1) = 𝑃 ↔ 2 = 𝑃)
79	76, 78	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) = 1 ↔ 2 = 𝑃))
80	79	necon3bid 2974	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) ≠ 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
81	72, 80	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 − 1) ≠ 1)
82	69, 81	eqnetrd 2997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (-1 mod 𝑃) ≠ 1)
83	82	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → (-1 mod 𝑃) ≠ 1)
84	83	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (-1 mod 𝑃) ≠ 1)
85		eqeq1 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ (-1 mod 𝑃) = 1))
86	85	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ (-1 mod 𝑃) = 1))
87	86	necon3bid 2974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ↔ (-1 mod 𝑃) ≠ 1))
88	84, 87	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1)
89	88	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1))
90	67, 89	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1))
91	90	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1)
92		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)
93		odz2prm2pw 47677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
94	60, 91, 92, 93	syl12anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
95	94	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
96	95	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
97	59, 96	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
98	36, 97	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
99	25, 98	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
100	99	pm2.43d 53	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
101	13, 100	syld 47	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
102	101	3impia 1117	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3896  {csn 4577   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  ℝcr 11015  0cc0 11016  1c1 11017   + caddc 11019   · cmul 11021   < clt 11156   − cmin 11354  -cneg 11355  ℕcn 12135  2c2 12190  ℕ₀cn0 12391  ℤcz 12478  ℝ⁺crp 12900   mod cmo 13783  ↑cexp 13978   ∥ cdvds 16173  ℙcprime 16592  od_ℤcodz 16684  FermatNocfmtno 47641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-sup 9336  df-inf 9337  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-n0 12392  df-xnn0 12465  df-z 12479  df-uz 12743  df-q 12857  df-rp 12901  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13919  df-exp 13979  df-hash 14248  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-dvds 16174  df-gcd 16416  df-prm 16593  df-odz 16686  df-phi 16687  df-pc 16759  df-fmtno 47642

This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac1  47679  fmtnoprmfac2  47681