Theorem fmtnoprmfac1lem 48854

Description: Lemma for fmtnoprmfac1 48855: The order of 2 modulo a prime that divides the n-th Fermat number is 2^(n+1). (Contributed by AV, 25-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 18-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoprmfac1lem	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem fmtnoprmfac1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
5		nnnn0 12640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		fmtno 48819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
8	7	breq2d 5118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
10	9	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
11		dvdsmod0 16457	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)) → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0)
12	4, 10, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0)
13	12	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0))
14		2nn 12443	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
16		2nn0 12650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
18	17, 5	nn0expcld 14417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
19	15, 18	nnexpcld 14416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ)
20	19	nnzd 12746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ)
21	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ)
22		1zzd 12754	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 1 ∈ ℤ)
23	3	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℕ)
24		summodnegmod 16485	. . . . . 6 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 ↔ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)))
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 ↔ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)))
26		neg1z 12759	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℤ
27	21, 26	jctir 530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ))
28	27	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ))
29	2	nnrpd 13189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
30	1, 29	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ+)
31	17, 30	anim12i 625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
32	31	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
33		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃))
34		modexp 14409	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = (( -1↑2) mod 𝑃))
35	28, 32, 33, 34	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = (( -1↑2) mod 𝑃))
36	35	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) → (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = (( -1↑2) mod 𝑃)))
37		2cnd 12448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
38	37, 18, 17	3jca 1146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0))
39	38	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0))
40		expmul 14277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
41	39, 40	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
42		2cnd 12448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ∈ ℂ)
43	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑁 ∈ ℕ0)
44	42, 43	expp1d 14317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
45	44	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑𝑁) · 2) = (2↑(𝑁 + 1)))
46	45	oveq2d 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
47	41, 46	eqtr3d 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑(2↑𝑁))↑2) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
48	47	oveq1d 7458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃))
49		neg1sqe1 14366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( -1↑2) = 1
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ( -1↑2) = 1)
51	50	oveq1d 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (( -1↑2) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
52	3	nnred 12377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ)
53		prmgt1 16902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
54	1, 53	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 < 𝑃)
55		1mod 14070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
56	52, 54, 55	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1 mod 𝑃) = 1)
57	56	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (1 mod 𝑃) = 1)
58	51, 57	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (( -1↑2) mod 𝑃) = 1)
59	48, 58	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = (( -1↑2) mod 𝑃) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1))
60		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})))
61	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ)
62		1zzd 12754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
63	2	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
64	61, 62, 63	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
65	1, 64	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
66	65	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
67	66, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 ↔ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)))
68		m1modnnsub1 14087	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ( -1 mod 𝑃) = (𝑃 − 1))
69	23, 68	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ( -1 mod 𝑃) = (𝑃 − 1))
70		eldifsni 4753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
71	70	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ≠ 2)
72	71	necomd 3014	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ≠ 𝑃)
73	3	nncnd 12378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℂ)
74	73	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℂ)
75		1cnd 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 1 ∈ ℂ)
76	74, 75, 75	subadd2d 11715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = 𝑃))
77		1p1e2 12493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 + 1) = 2
78	77	eqeq1i 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 + 1) = 𝑃 ↔ 2 = 𝑃)
79	76, 78	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) = 1 ↔ 2 = 𝑃))
80	79	necon3bid 3003	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) ≠ 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
81	72, 80	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 − 1) ≠ 1)
82	69, 81	eqnetrd 3026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ( -1 mod 𝑃) ≠ 1)
83	82	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → ( -1 mod 𝑃) ≠ 1)
84	83	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → ( -1 mod 𝑃) ≠ 1)
85		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ ( -1 mod 𝑃) = 1))
86	85	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ ( -1 mod 𝑃) = 1))
87	86	necon3bid 3003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ↔ ( -1 mod 𝑃) ≠ 1))
88	84, 87	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)) → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1)
89	88	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1))
90	67, 89	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1))
91	90	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1)
92		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)
93		odz2prm2pw 48853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
94	60, 91, 92, 93	syl12anc 850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
95	94	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
96	95	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
97	59, 96	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = (( -1↑2) mod 𝑃) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
98	36, 97	syld 48	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
99	25, 98	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
100	99	pm2.43d 54	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
101	13, 100	syld 48	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
102	101	3impia 1135	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   < clt 11370   − cmin 11568   -cneg 11569  ℕcn 12362  2c2 12424  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ℝ⁺crp 13147   mod cmo 14036  ↑cexp 14231   ∥ cdvds 16451  ℙcprime 16875  od_ℤcodz 16969  FermatNocfmtno 48817

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-dvds 16452  df-gcd 16694  df-prm 16876  df-odz 16971  df-phi 16972  df-pc 17044  df-fmtno 48818

This theorem is used by:  fmtnoprmfac1  48855  fmtnoprmfac2  48857