Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoprmfac1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnoprmfac1lem 44007
Description: Lemma for fmtnoprmfac1 44008: The order of 2 modulo a prime that divides the n-th Fermat number is 2^(n+1). (Contributed by AV, 25-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 18-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoprmfac1lem ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem fmtnoprmfac1lem
StepHypRef Expression
1 eldifi 4089 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 prmnn 16016 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
43ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
5 nnnn0 11901 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 fmtno 43972 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
87breq2d 5064 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
98adantr 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
109biimpa 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
11 dvdsmod0 15613 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)) → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0)
124, 10, 11syl2anc 587 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0)
1312ex 416 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0))
14 2nn 11707 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
16 2nn0 11911 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
1817, 5nn0expcld 13612 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
1915, 18nnexpcld 13611 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ)
2019nnzd 12083 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ)
2120adantr 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ)
22 1zzd 12010 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 1 ∈ ℤ)
233adantl 485 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℕ)
24 summodnegmod 15640 . . . . . 6 (((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 ↔ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
2521, 22, 23, 24syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 ↔ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
26 neg1z 12015 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℤ
2721, 26jctir 524 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ))
2827adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ))
292nnrpd 12426 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
301, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ+)
3117, 30anim12i 615 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℝ+))
3231adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (2 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℝ+))
33 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
34 modexp 13604 . . . . . . . 8 ((((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃))
3528, 32, 33, 34syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃))
3635ex 416 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃)))
37 2cnd 11712 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
3837, 18, 173jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0))
3938adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0))
40 expmul 13479 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
42 2cnd 11712 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ∈ ℂ)
435adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4442, 43expp1d 13516 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
4544eqcomd 2830 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑𝑁) · 2) = (2↑(𝑁 + 1)))
4645oveq2d 7165 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
4741, 46eqtr3d 2861 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑(2↑𝑁))↑2) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
4847oveq1d 7164 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃))
49 neg1sqe1 13564 . . . . . . . . . . 11 (-1↑2) = 1
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (-1↑2) = 1)
5150oveq1d 7164 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((-1↑2) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
523nnred 11649 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ)
53 prmgt1 16039 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
541, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 < 𝑃)
55 1mod 13275 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
5652, 54, 55syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1 mod 𝑃) = 1)
5756adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (1 mod 𝑃) = 1)
5851, 57eqtrd 2859 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((-1↑2) mod 𝑃) = 1)
5948, 58eqeq12d 2840 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1))
60 simpll 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})))
6120adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ)
62 1zzd 12010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
632adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
6461, 62, 633jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
651, 64sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
6665adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
6766, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 ↔ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
68 m1modnnsub1 13289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑃) = (𝑃 − 1))
6923, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (-1 mod 𝑃) = (𝑃 − 1))
70 eldifsni 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
7170adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ≠ 2)
7271necomd 3069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ≠ 𝑃)
733nncnd 11650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℂ)
7473adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℂ)
75 1cnd 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 1 ∈ ℂ)
7674, 75, 75subadd2d 11014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = 𝑃))
77 1p1e2 11759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 + 1) = 2
7877eqeq1i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 + 1) = 𝑃 ↔ 2 = 𝑃)
7976, 78syl6bb 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) = 1 ↔ 2 = 𝑃))
8079necon3bid 3058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) ≠ 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
8172, 80mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 − 1) ≠ 1)
8269, 81eqnetrd 3081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (-1 mod 𝑃) ≠ 1)
8382adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → (-1 mod 𝑃) ≠ 1)
8483adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (-1 mod 𝑃) ≠ 1)
85 eqeq1 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ (-1 mod 𝑃) = 1))
8685adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ (-1 mod 𝑃) = 1))
8786necon3bid 3058 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ↔ (-1 mod 𝑃) ≠ 1))
8884, 87mpbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1)
8988ex 416 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1))
9067, 89sylbid 243 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1))
9190imp 410 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1)
92 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)
93 odz2prm2pw 44006 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
9460, 91, 92, 93syl12anc 835 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
9594ex 416 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
9695ex 416 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9759, 96sylbid 243 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9836, 97syld 47 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9925, 98sylbid 243 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
10099pm2.43d 53 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
10113, 100syld 47 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
1021013impia 1114 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  cdif 3916  {csn 4550   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  cr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   · cmul 10540   < clt 10673  cmin 10868  -cneg 10869  cn 11634  2c2 11689  0cn0 11894  cz 11978  +crp 12386   mod cmo 13241  cexp 13434  cdvds 15607  cprime 16013  odcodz 16098  FermatNocfmtno 43970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-gcd 15842  df-prm 16014  df-odz 16100  df-phi 16101  df-pc 16172  df-fmtno 43971
This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac1  44008  fmtnoprmfac2  44010
  Copyright terms: Public domain W3C validator