Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoprmfac1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnoprmfac1lem 46532
Description: Lemma for fmtnoprmfac1 46533: The order of 2 modulo a prime that divides the n-th Fermat number is 2^(n+1). (Contributed by AV, 25-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 18-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoprmfac1lem ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem fmtnoprmfac1lem
StepHypRef Expression
1 eldifi 4127 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
2 prmnn 16617 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
43ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
5 nnnn0 12485 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6 fmtno 46497 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
87breq2d 5161 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
98adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
109biimpa 475 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ 𝑃 βˆ₯ ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
11 dvdsmod0 16209 . . . . 5 ((𝑃 ∈ β„• ∧ 𝑃 βˆ₯ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)) β†’ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0)
124, 10, 11syl2anc 582 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0)
1312ex 411 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0))
14 2nn 12291 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•)
16 2nn0 12495 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„•0
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•0)
1817, 5nn0expcld 14215 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•0)
1915, 18nnexpcld 14214 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ β„•)
2019nnzd 12591 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ β„€)
2120adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ β„€)
22 1zzd 12599 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ 1 ∈ β„€)
233adantl 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
24 summodnegmod 16236 . . . . . 6 (((2↑(2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„•) β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 ↔ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
2521, 22, 23, 24syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 ↔ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
26 neg1z 12604 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ β„€
2721, 26jctir 519 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ -1 ∈ β„€))
2827adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) β†’ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ -1 ∈ β„€))
292nnrpd 13020 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
301, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
3117, 30anim12i 611 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (2 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
3231adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) β†’ (2 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
33 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) β†’ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
34 modexp 14207 . . . . . . . 8 ((((2↑(2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ -1 ∈ β„€) ∧ (2 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) β†’ (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃))
3528, 32, 33, 34syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) β†’ (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃))
3635ex 411 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) β†’ (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃)))
37 2cnd 12296 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
3837, 18, 173jca 1126 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 ∈ β„‚ ∧ (2↑𝑁) ∈ β„•0 ∧ 2 ∈ β„•0))
3938adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (2 ∈ β„‚ ∧ (2↑𝑁) ∈ β„•0 ∧ 2 ∈ β„•0))
40 expmul 14079 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„‚ ∧ (2↑𝑁) ∈ β„•0 ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ (2↑((2↑𝑁) Β· 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (2↑((2↑𝑁) Β· 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
42 2cnd 12296 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ 2 ∈ β„‚)
435adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4442, 43expp1d 14118 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) Β· 2))
4544eqcomd 2736 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((2↑𝑁) Β· 2) = (2↑(𝑁 + 1)))
4645oveq2d 7429 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (2↑((2↑𝑁) Β· 2)) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
4741, 46eqtr3d 2772 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((2↑(2↑𝑁))↑2) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
4847oveq1d 7428 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃))
49 neg1sqe1 14166 . . . . . . . . . . 11 (-1↑2) = 1
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (-1↑2) = 1)
5150oveq1d 7428 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((-1↑2) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
523nnred 12233 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
53 prmgt1 16640 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 1 < 𝑃)
541, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ 1 < 𝑃)
55 1mod 13874 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
5652, 54, 55syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
5756adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
5851, 57eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((-1↑2) mod 𝑃) = 1)
5948, 58eqeq12d 2746 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1))
60 simpll 763 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})))
6120adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ β„€)
62 1zzd 12599 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ 1 ∈ β„€)
632adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
6461, 62, 633jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„•))
651, 64sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„•))
6665adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) β†’ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„•))
6766, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 ↔ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
68 m1modnnsub1 13888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ β„• β†’ (-1 mod 𝑃) = (𝑃 βˆ’ 1))
6923, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (-1 mod 𝑃) = (𝑃 βˆ’ 1))
70 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ 𝑃 β‰  2)
7170adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ 𝑃 β‰  2)
7271necomd 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ 2 β‰  𝑃)
733nncnd 12234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
7473adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
75 1cnd 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ 1 ∈ β„‚)
7674, 75, 75subadd2d 11596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) = 1 ↔ (1 + 1) = 𝑃))
77 1p1e2 12343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 + 1) = 2
7877eqeq1i 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 + 1) = 𝑃 ↔ 2 = 𝑃)
7976, 78bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) = 1 ↔ 2 = 𝑃))
8079necon3bid 2983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) β‰  1 ↔ 2 β‰  𝑃))
8172, 80mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) β‰  1)
8269, 81eqnetrd 3006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (-1 mod 𝑃) β‰  1)
8382adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) β†’ (-1 mod 𝑃) β‰  1)
8483adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) β†’ (-1 mod 𝑃) β‰  1)
85 eqeq1 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) β†’ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ (-1 mod 𝑃) = 1))
8685adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) β†’ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ (-1 mod 𝑃) = 1))
8786necon3bid 2983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) β†’ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) β‰  1 ↔ (-1 mod 𝑃) β‰  1))
8884, 87mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) β†’ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) β‰  1)
8988ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) β†’ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) β†’ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) β‰  1))
9067, 89sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 β†’ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) β‰  1))
9190imp 405 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) β†’ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) β‰  1)
92 simplr 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) β†’ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)
93 odz2prm2pw 46531 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) β‰  1 ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)) β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))
9460, 91, 92, 93syl12anc 833 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))
9594ex 411 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1))))
9695ex 411 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9759, 96sylbid 239 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃) β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9836, 97syld 47 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9925, 98sylbid 239 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
10099pm2.43d 53 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1))))
10113, 100syld 47 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1))))
1021013impia 1115 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   βˆ– cdif 3946  {csn 4629   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119   < clt 11254   βˆ’ cmin 11450  -cneg 11451  β„•cn 12218  2c2 12273  β„•0cn0 12478  β„€cz 12564  β„+crp 12980   mod cmo 13840  β†‘cexp 14033   βˆ₯ cdvds 16203  β„™cprime 16614  odβ„€codz 16702  FermatNocfmtno 46495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16204  df-gcd 16442  df-prm 16615  df-odz 16704  df-phi 16705  df-pc 16776  df-fmtno 46496
This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac1  46533  fmtnoprmfac2  46535
  Copyright terms: Public domain W3C validator