Theorem fmtnoprmfac1lem 47438

Description: Lemma for fmtnoprmfac1 47439: The order of 2 modulo a prime that divides the n-th Fermat number is 2^(n+1). (Contributed by AV, 25-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 18-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoprmfac1lem	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem fmtnoprmfac1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16721	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	ad2antlr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
5		nnnn0 12560	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		fmtno 47403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
8	7	breq2d 5178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
10	9	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
11		dvdsmod0 16308	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)) → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0)
12	4, 10, 11	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0)
13	12	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0))
14		2nn 12366	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
16		2nn0 12570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
18	17, 5	nn0expcld 14295	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
19	15, 18	nnexpcld 14294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ)
20	19	nnzd 12666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ)
22		1zzd 12674	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 1 ∈ ℤ)
23	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℕ)
24		summodnegmod 16335	. . . . . 6 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 ↔ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 ↔ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
26		neg1z 12679	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℤ
27	21, 26	jctir 520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ))
28	27	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ))
29	2	nnrpd 13097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
30	1, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ+)
31	17, 30	anim12i 612	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
33		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
34		modexp 14287	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃))
35	28, 32, 33, 34	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃))
36	35	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃)))
37		2cnd 12371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
38	37, 18, 17	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0))
40		expmul 14158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
42		2cnd 12371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ∈ ℂ)
43	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑁 ∈ ℕ0)
44	42, 43	expp1d 14197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
45	44	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑𝑁) · 2) = (2↑(𝑁 + 1)))
46	45	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
47	41, 46	eqtr3d 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑(2↑𝑁))↑2) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
48	47	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃))
49		neg1sqe1 14245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1↑2) = 1
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (-1↑2) = 1)
51	50	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((-1↑2) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
52	3	nnred 12308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ)
53		prmgt1 16744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
54	1, 53	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 < 𝑃)
55		1mod 13954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
56	52, 54, 55	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1 mod 𝑃) = 1)
57	56	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (1 mod 𝑃) = 1)
58	51, 57	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((-1↑2) mod 𝑃) = 1)
59	48, 58	eqeq12d 2756	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1))
60		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})))
61	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ)
62		1zzd 12674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
63	2	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
64	61, 62, 63	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
65	1, 64	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
67	66, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 ↔ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
68		m1modnnsub1 13968	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑃) = (𝑃 − 1))
69	23, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (-1 mod 𝑃) = (𝑃 − 1))
70		eldifsni 4815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
71	70	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ≠ 2)
72	71	necomd 3002	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ≠ 𝑃)
73	3	nncnd 12309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℂ)
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℂ)
75		1cnd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 1 ∈ ℂ)
76	74, 75, 75	subadd2d 11666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = 𝑃))
77		1p1e2 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 + 1) = 2
78	77	eqeq1i 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 + 1) = 𝑃 ↔ 2 = 𝑃)
79	76, 78	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) = 1 ↔ 2 = 𝑃))
80	79	necon3bid 2991	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) ≠ 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
81	72, 80	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 − 1) ≠ 1)
82	69, 81	eqnetrd 3014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (-1 mod 𝑃) ≠ 1)
83	82	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → (-1 mod 𝑃) ≠ 1)
84	83	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (-1 mod 𝑃) ≠ 1)
85		eqeq1 2744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ (-1 mod 𝑃) = 1))
86	85	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ (-1 mod 𝑃) = 1))
87	86	necon3bid 2991	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ↔ (-1 mod 𝑃) ≠ 1))
88	84, 87	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1)
89	88	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1))
90	67, 89	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1))
91	90	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1)
92		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)
93		odz2prm2pw 47437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
94	60, 91, 92, 93	syl12anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
95	94	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
96	95	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
97	59, 96	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
98	36, 97	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
99	25, 98	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
100	99	pm2.43d 53	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
101	13, 100	syld 47	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
102	101	3impia 1117	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   − cmin 11520  -cneg 11521  ℕcn 12293  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℝ⁺crp 13057   mod cmo 13920  ↑cexp 14112   ∥ cdvds 16302  ℙcprime 16718  od_ℤcodz 16810  FermatNocfmtno 47401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-odz 16812  df-phi 16813  df-pc 16884  df-fmtno 47402

This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac1  47439  fmtnoprmfac2  47441