Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoprmfac1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnoprmfac1lem 46827
Description: Lemma for fmtnoprmfac1 46828: The order of 2 modulo a prime that divides the n-th Fermat number is 2^(n+1). (Contributed by AV, 25-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 18-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoprmfac1lem ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem fmtnoprmfac1lem
StepHypRef Expression
1 eldifi 4122 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
2 prmnn 16636 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
43ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
5 nnnn0 12501 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6 fmtno 46792 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
87breq2d 5154 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
109biimpa 476 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ 𝑃 βˆ₯ ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
11 dvdsmod0 16228 . . . . 5 ((𝑃 ∈ β„• ∧ 𝑃 βˆ₯ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)) β†’ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0)
124, 10, 11syl2anc 583 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0)
1312ex 412 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0))
14 2nn 12307 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•)
16 2nn0 12511 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„•0
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•0)
1817, 5nn0expcld 14232 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•0)
1915, 18nnexpcld 14231 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ β„•)
2019nnzd 12607 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ β„€)
2120adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ β„€)
22 1zzd 12615 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ 1 ∈ β„€)
233adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
24 summodnegmod 16255 . . . . . 6 (((2↑(2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„•) β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 ↔ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
2521, 22, 23, 24syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 ↔ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
26 neg1z 12620 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ β„€
2721, 26jctir 520 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ -1 ∈ β„€))
2827adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) β†’ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ -1 ∈ β„€))
292nnrpd 13038 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
301, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
3117, 30anim12i 612 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (2 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
3231adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) β†’ (2 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
33 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) β†’ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
34 modexp 14224 . . . . . . . 8 ((((2↑(2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ -1 ∈ β„€) ∧ (2 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) β†’ (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃))
3528, 32, 33, 34syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) β†’ (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃))
3635ex 412 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) β†’ (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃)))
37 2cnd 12312 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
3837, 18, 173jca 1126 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 ∈ β„‚ ∧ (2↑𝑁) ∈ β„•0 ∧ 2 ∈ β„•0))
3938adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (2 ∈ β„‚ ∧ (2↑𝑁) ∈ β„•0 ∧ 2 ∈ β„•0))
40 expmul 14096 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„‚ ∧ (2↑𝑁) ∈ β„•0 ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ (2↑((2↑𝑁) Β· 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (2↑((2↑𝑁) Β· 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
42 2cnd 12312 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ 2 ∈ β„‚)
435adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4442, 43expp1d 14135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) Β· 2))
4544eqcomd 2733 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((2↑𝑁) Β· 2) = (2↑(𝑁 + 1)))
4645oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (2↑((2↑𝑁) Β· 2)) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
4741, 46eqtr3d 2769 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((2↑(2↑𝑁))↑2) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
4847oveq1d 7429 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃))
49 neg1sqe1 14183 . . . . . . . . . . 11 (-1↑2) = 1
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (-1↑2) = 1)
5150oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((-1↑2) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
523nnred 12249 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
53 prmgt1 16659 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 1 < 𝑃)
541, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ 1 < 𝑃)
55 1mod 13892 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
5652, 54, 55syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
5756adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
5851, 57eqtrd 2767 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((-1↑2) mod 𝑃) = 1)
5948, 58eqeq12d 2743 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1))
60 simpll 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})))
6120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ β„€)
62 1zzd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ 1 ∈ β„€)
632adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
6461, 62, 633jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„•))
651, 64sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„•))
6665adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) β†’ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ β„•))
6766, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 ↔ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
68 m1modnnsub1 13906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ β„• β†’ (-1 mod 𝑃) = (𝑃 βˆ’ 1))
6923, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (-1 mod 𝑃) = (𝑃 βˆ’ 1))
70 eldifsni 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ 𝑃 β‰  2)
7170adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ 𝑃 β‰  2)
7271necomd 2991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ 2 β‰  𝑃)
733nncnd 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
75 1cnd 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ 1 ∈ β„‚)
7674, 75, 75subadd2d 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) = 1 ↔ (1 + 1) = 𝑃))
77 1p1e2 12359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 + 1) = 2
7877eqeq1i 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 + 1) = 𝑃 ↔ 2 = 𝑃)
7976, 78bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) = 1 ↔ 2 = 𝑃))
8079necon3bid 2980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) β‰  1 ↔ 2 β‰  𝑃))
8172, 80mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) β‰  1)
8269, 81eqnetrd 3003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (-1 mod 𝑃) β‰  1)
8382adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) β†’ (-1 mod 𝑃) β‰  1)
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) β†’ (-1 mod 𝑃) β‰  1)
85 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) β†’ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ (-1 mod 𝑃) = 1))
8685adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) β†’ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ (-1 mod 𝑃) = 1))
8786necon3bid 2980 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) β†’ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) β‰  1 ↔ (-1 mod 𝑃) β‰  1))
8884, 87mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) β†’ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) β‰  1)
8988ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) β†’ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) β†’ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) β‰  1))
9067, 89sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 β†’ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) β‰  1))
9190imp 406 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) β†’ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) β‰  1)
92 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) β†’ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)
93 odz2prm2pw 46826 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) β‰  1 ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)) β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))
9460, 91, 92, 93syl12anc 836 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))
9594ex 412 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1))))
9695ex 412 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9759, 96sylbid 239 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃) β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9836, 97syld 47 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9925, 98sylbid 239 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
10099pm2.43d 53 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1))))
10113, 100syld 47 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1))))
1021013impia 1115 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((odβ„€β€˜π‘ƒ)β€˜2) = (2↑(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   βˆ– cdif 3941  {csn 4624   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135   < clt 11270   βˆ’ cmin 11466  -cneg 11467  β„•cn 12234  2c2 12289  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  β„+crp 12998   mod cmo 13858  β†‘cexp 14050   βˆ₯ cdvds 16222  β„™cprime 16633  odβ„€codz 16723  FermatNocfmtno 46790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634  df-odz 16725  df-phi 16726  df-pc 16797  df-fmtno 46791
This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac1  46828  fmtnoprmfac2  46830
  Copyright terms: Public domain W3C validator