Theorem fmtnoprmfac1lem 47489

Description: Lemma for fmtnoprmfac1 47490: The order of 2 modulo a prime that divides the n-th Fermat number is 2^(n+1). (Contributed by AV, 25-Jul-2021.) (Proof shortened by AV, 18-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoprmfac1lem	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem fmtnoprmfac1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 16708	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
5		nnnn0 12531	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		fmtno 47454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
8	7	breq2d 5160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
10	9	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
11		dvdsmod0 16293	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)) → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0)
12	4, 10, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0)
13	12	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0))
14		2nn 12337	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
16		2nn0 12541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
18	17, 5	nn0expcld 14282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
19	15, 18	nnexpcld 14281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ)
20	19	nnzd 12638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ)
22		1zzd 12646	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 1 ∈ ℤ)
23	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℕ)
24		summodnegmod 16321	. . . . . 6 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 ↔ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 ↔ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
26		neg1z 12651	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℤ
27	21, 26	jctir 520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ))
28	27	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ))
29	2	nnrpd 13073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
30	1, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ+)
31	17, 30	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
33		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
34		modexp 14274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃))
35	28, 32, 33, 34	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃))
36	35	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃)))
37		2cnd 12342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
38	37, 18, 17	3jca 1127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0))
40		expmul 14145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
42		2cnd 12342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ∈ ℂ)
43	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑁 ∈ ℕ0)
44	42, 43	expp1d 14184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
45	44	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑𝑁) · 2) = (2↑(𝑁 + 1)))
46	45	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
47	41, 46	eqtr3d 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑(2↑𝑁))↑2) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
48	47	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃))
49		neg1sqe1 14232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1↑2) = 1
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (-1↑2) = 1)
51	50	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((-1↑2) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
52	3	nnred 12279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ)
53		prmgt1 16731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
54	1, 53	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 < 𝑃)
55		1mod 13940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
56	52, 54, 55	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1 mod 𝑃) = 1)
57	56	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (1 mod 𝑃) = 1)
58	51, 57	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((-1↑2) mod 𝑃) = 1)
59	48, 58	eqeq12d 2751	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃) ↔ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1))
60		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})))
61	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ)
62		1zzd 12646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
63	2	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
64	61, 62, 63	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
65	1, 64	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
67	66, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 ↔ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
68		m1modnnsub1 13955	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑃) = (𝑃 − 1))
69	23, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (-1 mod 𝑃) = (𝑃 − 1))
70		eldifsni 4795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
71	70	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ≠ 2)
72	71	necomd 2994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ≠ 𝑃)
73	3	nncnd 12280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℂ)
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℂ)
75		1cnd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 1 ∈ ℂ)
76	74, 75, 75	subadd2d 11637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) = 1 ↔ (1 + 1) = 𝑃))
77		1p1e2 12389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 + 1) = 2
78	77	eqeq1i 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 + 1) = 𝑃 ↔ 2 = 𝑃)
79	76, 78	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) = 1 ↔ 2 = 𝑃))
80	79	necon3bid 2983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) ≠ 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
81	72, 80	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 − 1) ≠ 1)
82	69, 81	eqnetrd 3006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (-1 mod 𝑃) ≠ 1)
83	82	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → (-1 mod 𝑃) ≠ 1)
84	83	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (-1 mod 𝑃) ≠ 1)
85		eqeq1 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ (-1 mod 𝑃) = 1))
86	85	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ (-1 mod 𝑃) = 1))
87	86	necon3bid 2983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ↔ (-1 mod 𝑃) ≠ 1))
88	84, 87	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1)
89	88	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1))
90	67, 89	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1))
91	90	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1)
92		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)
93		odz2prm2pw 47488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
94	60, 91, 92, 93	syl12anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
95	94	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
96	95	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
97	59, 96	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁))↑2) mod 𝑃) = ((-1↑2) mod 𝑃) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
98	36, 97	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
99	25, 98	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
100	99	pm2.43d 53	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
101	13, 100	syld 47	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
102	101	3impia 1116	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3960  {csn 4631   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293   − cmin 11490  -cneg 11491  ℕcn 12264  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℝ⁺crp 13032   mod cmo 13906  ↑cexp 14099   ∥ cdvds 16287  ℙcprime 16705  od_ℤcodz 16797  FermatNocfmtno 47452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-odz 16799  df-phi 16800  df-pc 16871  df-fmtno 47453

This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac1  47490  fmtnoprmfac2  47492