Theorem fmtnosqrt 48002

Description: The floor of the square root of a Fermat number. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnosqrt	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(√‘(FermatNo‘𝑁))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem fmtnosqrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12444	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		fmtno 47992	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
4	3	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(FermatNo‘𝑁)) = (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
5	4	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(√‘(FermatNo‘𝑁))) = (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 1))))
6		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
7		1nn0 12453	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
9		2nn 12254	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
11		2nn0 12454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
13		nnm1nn0 12478	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
14	12, 13	nn0expcld 14208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
15		peano2nn0 12477	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ0)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ0)
17	10, 16	nnexpcld 14207	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ)
18		nngt0 12208	. . . . . 6 ⊢ ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ → 0 < (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)))
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)))
20	12, 16	nn0expcld 14208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ0)
21	20	nn0red 12499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℝ)
22		1re 11144	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
24	21, 23	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
25		ltaddpos2 11641	. . . . . 6 ⊢ (((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ↔ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ↔ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
27	19, 26	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1))
28	6, 8, 27	3jca 1129	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
29		sqrtpwpw2p 48001	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 1))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
30	28, 29	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 1))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
31	5, 30	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(√‘(FermatNo‘𝑁))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11179   − cmin 11377  ℕcn 12174  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ⌊cfl 13749  ↑cexp 14023  √csqrt 15195  FermatNocfmtno 47990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-fmtno 47991

This theorem is referenced by:  fmtno4sqrt  48034