Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnosqrt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fmtnosqrt 46193
Description: The floor of the square root of a Fermat number. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnosqrt (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜π‘))) = (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))))
Proof of Theorem fmtnosqrt
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12475 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 fmtno 46183 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
43fveq2d 6892 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜π‘)) = (βˆšβ€˜((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
54fveq2d 6892 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜π‘))) = (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜((2↑(2↑𝑁)) + 1))))
6 id 22 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•)
7 1nn0 12484 . . . . 5 1 ∈ β„•0
87a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„•0)
9 2nn 12281 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•)
11 2nn0 12485 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•0)
13 nnm1nn0 12509 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
1412, 13nn0expcld 14205 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
15 peano2nn0 12508 . . . . . . . 8 ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„•0 β†’ ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1) ∈ β„•0)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1) ∈ β„•0)
1710, 16nnexpcld 14204 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ∈ β„•)
18 nngt0 12239 . . . . . 6 ((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ∈ β„• β†’ 0 < (2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 < (2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)))
2012, 16nn0expcld 14205 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ∈ β„•0)
2120nn0red 12529 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ∈ ℝ)
22 1re 11210 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
2421, 23jca 512 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
25 ltaddpos2 11701 . . . . . 6 (((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (0 < (2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ↔ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) + 1)))
2624, 25syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0 < (2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ↔ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) + 1)))
2719, 26mpbid 231 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) + 1))
286, 8, 273jca 1128 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 ∈ β„•0 ∧ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) + 1)))
29 sqrtpwpw2p 46192 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 1 ∈ β„•0 ∧ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) + 1)) β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜((2↑(2↑𝑁)) + 1))) = (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))))
3028, 29syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜((2↑(2↑𝑁)) + 1))) = (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))))
315, 30eqtrd 2772 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜π‘))) = (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  βŒŠcfl 13751  β†‘cexp 14023  βˆšcsqrt 15176  FermatNocfmtno 46181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-fmtno 46182
This theorem is referenced by:  fmtno4sqrt  46225
  Copyright terms: Public domain W3C validator