Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnosqrt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnosqrt 46942
Description: The floor of the square root of a Fermat number. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnosqrt (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜π‘))) = (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))))

Proof of Theorem fmtnosqrt
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12509 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 fmtno 46932 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
43fveq2d 6896 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜π‘)) = (βˆšβ€˜((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
54fveq2d 6896 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜π‘))) = (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜((2↑(2↑𝑁)) + 1))))
6 id 22 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•)
7 1nn0 12518 . . . . 5 1 ∈ β„•0
87a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„•0)
9 2nn 12315 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•)
11 2nn0 12519 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•0)
13 nnm1nn0 12543 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
1412, 13nn0expcld 14240 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
15 peano2nn0 12542 . . . . . . . 8 ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„•0 β†’ ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1) ∈ β„•0)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1) ∈ β„•0)
1710, 16nnexpcld 14239 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ∈ β„•)
18 nngt0 12273 . . . . . 6 ((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ∈ β„• β†’ 0 < (2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 < (2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)))
2012, 16nn0expcld 14240 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ∈ β„•0)
2120nn0red 12563 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ∈ ℝ)
22 1re 11244 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
2421, 23jca 510 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
25 ltaddpos2 11735 . . . . . 6 (((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (0 < (2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ↔ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) + 1)))
2624, 25syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0 < (2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ↔ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) + 1)))
2719, 26mpbid 231 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) + 1))
286, 8, 273jca 1125 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 ∈ β„•0 ∧ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) + 1)))
29 sqrtpwpw2p 46941 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 1 ∈ β„•0 ∧ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) + 1)) β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜((2↑(2↑𝑁)) + 1))) = (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))))
3028, 29syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜((2↑(2↑𝑁)) + 1))) = (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))))
315, 30eqtrd 2765 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜π‘))) = (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278   βˆ’ cmin 11474  β„•cn 12242  2c2 12297  β„•0cn0 12502  βŒŠcfl 13787  β†‘cexp 14058  βˆšcsqrt 15212  FermatNocfmtno 46930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-fmtno 46931
This theorem is referenced by:  fmtno4sqrt  46974
  Copyright terms: Public domain W3C validator