Theorem fmtnosqrt 48839

Description: The floor of the square root of a Fermat number. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnosqrt	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(√‘(FermatNo‘𝑁))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem fmtnosqrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12643	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		fmtno 48829	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
4	3	fveq2d 6915	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(FermatNo‘𝑁)) = (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
5	4	fveq2d 6915	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(√‘(FermatNo‘𝑁))) = (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 1))))
6		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
7		1nn0 12652	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
9		2nn 12446	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
11		2nn0 12653	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
13		nnm1nn0 12677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
14	12, 13	nn0expcld 14420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
15		peano2nn0 12676	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ0)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ0)
17	10, 16	nnexpcld 14419	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ)
18		nngt0 12399	. . . . . 6 ⊢ ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ → 0 < (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)))
19	17, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)))
20	12, 16	nn0expcld 14420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ0)
21	20	nn0red 12698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℝ)
22		1re 11338	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
24	21, 23	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
25		ltaddpos2 11837	. . . . . 6 ⊢ (((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ↔ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
26	24, 25	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ↔ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
27	19, 26	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1))
28	6, 8, 27	3jca 1146	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
29		sqrtpwpw2p 48838	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 1))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
30	28, 29	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 1))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
31	5, 30	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(√‘(FermatNo‘𝑁))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233   < clt 11373   − cmin 11571  ℕcn 12365  2c2 12427  ℕ₀cn0 12636  ⌊cfl 13960  ↑cexp 14234  √csqrt 15432  FermatNocfmtno 48827

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fl 13962  df-seq 14175  df-exp 14235  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-fmtno 48828

This theorem is used by:  fmtno4sqrt  48871