Theorem fmtnosqrt 48014

Description: The floor of the square root of a Fermat number. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnosqrt	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(√‘(FermatNo‘𝑁))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem fmtnosqrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12435	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		fmtno 48004	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
4	3	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(FermatNo‘𝑁)) = (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
5	4	fveq2d 6838	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(√‘(FermatNo‘𝑁))) = (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 1))))
6		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
7		1nn0 12444	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
9		2nn 12245	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
11		2nn0 12445	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
13		nnm1nn0 12469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
14	12, 13	nn0expcld 14199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
15		peano2nn0 12468	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ0)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ0)
17	10, 16	nnexpcld 14198	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ)
18		nngt0 12199	. . . . . 6 ⊢ ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ → 0 < (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)))
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)))
20	12, 16	nn0expcld 14199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ0)
21	20	nn0red 12490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℝ)
22		1re 11135	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
24	21, 23	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
25		ltaddpos2 11632	. . . . . 6 ⊢ (((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ↔ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ↔ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
27	19, 26	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1))
28	6, 8, 27	3jca 1129	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
29		sqrtpwpw2p 48013	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 1))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
30	28, 29	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 1))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
31	5, 30	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(√‘(FermatNo‘𝑁))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   − cmin 11368  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ⌊cfl 13740  ↑cexp 14014  √csqrt 15186  FermatNocfmtno 48002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-fmtno 48003

This theorem is referenced by:  fmtno4sqrt  48046