Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnosqrt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fmtnosqrt 46779
Description: The floor of the square root of a Fermat number. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnosqrt (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜π‘))) = (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))))
Proof of Theorem fmtnosqrt
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12483 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 fmtno 46769 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
43fveq2d 6889 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜π‘)) = (βˆšβ€˜((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
54fveq2d 6889 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜π‘))) = (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜((2↑(2↑𝑁)) + 1))))
6 id 22 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•)
7 1nn0 12492 . . . . 5 1 ∈ β„•0
87a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„•0)
9 2nn 12289 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•)
11 2nn0 12493 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„•0)
13 nnm1nn0 12517 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
1412, 13nn0expcld 14214 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
15 peano2nn0 12516 . . . . . . . 8 ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„•0 β†’ ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1) ∈ β„•0)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1) ∈ β„•0)
1710, 16nnexpcld 14213 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ∈ β„•)
18 nngt0 12247 . . . . . 6 ((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ∈ β„• β†’ 0 < (2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 < (2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)))
2012, 16nn0expcld 14214 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ∈ β„•0)
2120nn0red 12537 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ∈ ℝ)
22 1re 11218 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
2421, 23jca 511 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
25 ltaddpos2 11709 . . . . . 6 (((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (0 < (2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ↔ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) + 1)))
2624, 25syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0 < (2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) ↔ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) + 1)))
2719, 26mpbid 231 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) + 1))
286, 8, 273jca 1125 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 ∈ β„•0 ∧ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) + 1)))
29 sqrtpwpw2p 46778 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 1 ∈ β„•0 ∧ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) + 1)) + 1)) β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜((2↑(2↑𝑁)) + 1))) = (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))))
3028, 29syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜((2↑(2↑𝑁)) + 1))) = (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))))
315, 30eqtrd 2766 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜π‘))) = (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  βŒŠcfl 13761  β†‘cexp 14032  βˆšcsqrt 15186  FermatNocfmtno 46767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-fmtno 46768
This theorem is referenced by:  fmtno4sqrt  46811
  Copyright terms: Public domain W3C validator