Theorem fmtnosqrt 48717

Description: The floor of the square root of a Fermat number. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnosqrt	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(√‘(FermatNo‘𝑁))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem fmtnosqrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12616	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		fmtno 48707	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
4	3	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(FermatNo‘𝑁)) = (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
5	4	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(√‘(FermatNo‘𝑁))) = (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 1))))
6		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
7		1nn0 12625	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
9		2nn 12419	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
11		2nn0 12626	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
13		nnm1nn0 12650	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
14	12, 13	nn0expcld 14393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
15		peano2nn0 12649	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ0)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ0)
17	10, 16	nnexpcld 14392	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ)
18		nngt0 12372	. . . . . 6 ⊢ ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ → 0 < (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)))
19	17, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)))
20	12, 16	nn0expcld 14393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ0)
21	20	nn0red 12671	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℝ)
22		1re 11311	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
24	21, 23	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
25		ltaddpos2 11810	. . . . . 6 ⊢ (((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ↔ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
26	24, 25	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ↔ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
27	19, 26	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1))
28	6, 8, 27	3jca 1146	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
29		sqrtpwpw2p 48716	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 1))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
30	28, 29	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 1))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
31	5, 30	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(√‘(FermatNo‘𝑁))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   < clt 11346   − cmin 11544  ℕcn 12338  2c2 12400  ℕ₀cn0 12609  ⌊cfl 13933  ↑cexp 14207  √csqrt 15405  FermatNocfmtno 48705

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-fmtno 48706

This theorem is used by:  fmtno4sqrt  48749