Theorem fmtnosqrt 44607

Description: The floor of the square root of a Fermat number. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnosqrt	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(√‘(FermatNo‘𝑁))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem fmtnosqrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12062	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		fmtno 44597	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
4	3	fveq2d 6699	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(FermatNo‘𝑁)) = (√‘((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
5	4	fveq2d 6699	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(√‘(FermatNo‘𝑁))) = (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 1))))
6		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
7		1nn0 12071	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
9		2nn 11868	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
11		2nn0 12072	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
13		nnm1nn0 12096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
14	12, 13	nn0expcld 13778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
15		peano2nn0 12095	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0 → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ0)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑(𝑁 − 1)) + 1) ∈ ℕ0)
17	10, 16	nnexpcld 13777	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ)
18		nngt0 11826	. . . . . 6 ⊢ ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ → 0 < (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)))
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)))
20	12, 16	nn0expcld 13778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℕ0)
21	20	nn0red 12116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℝ)
22		1re 10798	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
24	21, 23	jca 515	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
25		ltaddpos2 11288	. . . . . 6 ⊢ (((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ↔ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < (2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) ↔ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
27	19, 26	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1))
28	6, 8, 27	3jca 1130	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)))
29		sqrtpwpw2p 44606	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((2↑((2↑(𝑁 − 1)) + 1)) + 1)) → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 1))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
30	28, 29	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(√‘((2↑(2↑𝑁)) + 1))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
31	5, 30	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(√‘(FermatNo‘𝑁))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℝcr 10693  0cc0 10694  1c1 10695   + caddc 10697   < clt 10832   − cmin 11027  ℕcn 11795  2c2 11850  ℕ₀cn0 12055  ⌊cfl 13330  ↑cexp 13600  √csqrt 14761  FermatNocfmtno 44595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-sup 9036  df-inf 9037  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-rp 12552  df-fl 13332  df-seq 13540  df-exp 13601  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-fmtno 44596

This theorem is referenced by:  fmtno4sqrt  44639