Theorem fmtnorec3 47579

Description: The third recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", 31-Jul-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties. (Contributed by AV, 2-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnorec3	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem fmtnorec3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13875	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (0...(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
2		elfznn0 13515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3		fmtnonn 47562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℕ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℕ)
5	4	nncnd 12136	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
7	1, 6	fprodcl 15854	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
8		2cn 12195	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
10		uznn0sub 12766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
11		fmtnorec2 47574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2))
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2))
13	12	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2) = (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)))
14	7, 9, 13	mvlraddd 11522	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) = ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))
15	14	oveq2d 7357	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)))
16	15	oveq2d 7357	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))))
17		2nn0 12393	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ0)
19		eluz2nn 12781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
20		nnm1nn0 12417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
22	18, 21	nn0expcld 14148	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
23	18, 22	nn0expcld 14148	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0)
24	23	nn0cnd 12439	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
25		peano2nn0 12416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ0)
26	10, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ0)
27		fmtnonn 47562	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℕ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℕ)
29	28	nncnd 12136	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℂ)
30	24, 29, 9	subdid 11568	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
31		eluzelcn 12739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
32		ax-1cn 11059	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
34		subsub 11386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
35	34	eqcomd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
36	31, 9, 33, 35	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
37		2m1e1 12241	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
38	37	oveq2i 7352	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
39	36, 38	eqtrdi 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
40	39	fveq2d 6821	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
41	40	oveq2d 7357	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
42	41	oveq1d 7356	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
43	30, 42	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
44	43	oveq2d 7357	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))))
45		fmtnonn 47562	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
46	21, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
47	46	nncnd 12136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
48	47	mullidd 11125	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
49	48	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = (1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
50	49	oveq1d 7356	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
51	33, 24, 47	adddird 11132	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
52	33, 24	addcomd 11310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
53		fmtno 47560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
54	21, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
55	52, 54	eqtr4d 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
56	55	oveq1d 7356	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
57	47	sqvald 14045	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
58	56, 57	eqtr4d 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2))
59	50, 51, 58	3eqtr2d 2772	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2))
60	59	oveq1d 7356	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
61	24, 47	mulcld 11127	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
62	24, 9	mulcld 11127	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2) ∈ ℂ)
63	47, 61, 62	addsubassd 11487	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))))
64		npcan1 11537	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
65	31, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
66	65	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
67	66	fveq2d 6821	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)))
68		fmtnorec1 47568	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1))
69	21, 68	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1))
70		binom2sub1 14123	. . . . . . 7 ⊢ ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1))
71	47, 70	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1))
72	71	oveq1d 7356	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1) = (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1))
73	46	nnsqcld 14146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) ∈ ℕ)
74	73	nncnd 12136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) ∈ ℂ)
75	9, 47	mulcld 11127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
76	74, 75	subcld 11467	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) ∈ ℂ)
77	76, 33, 33	addassd 11129	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (1 + 1)))
78	32	2timesi 12253	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
79	78	eqcomi 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = (2 · 1)
80	79	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + 1) = (2 · 1))
81	80	oveq2d 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (1 + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)))
82	77, 81	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)))
83	8, 32	mulcli 11114	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) ∈ ℂ
84	83	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 1) ∈ ℂ)
85	74, 75, 84	subadd23d 11489	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
86	9, 33, 47	subdid 11568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
87	86	eqcomd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
88	87	oveq2d 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
89	33, 47	subcld 11467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
90	9, 89	mulneg2d 11566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
91	33, 47	negsubdi2d 11483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1))
92		fmtnom1nn 47563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
93	21, 92	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
94	91, 93	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
95	94	oveq2d 7357	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
96	90, 95	eqtr3d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
97	96	oveq2d 7357	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
98	9, 89	mulcld 11127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) ∈ ℂ)
99	74, 98	subnegd 11474	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
100	9, 24	mulcomd 11128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))
101	100	oveq2d 7357	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
102	97, 99, 101	3eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
103	85, 88, 102	3eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
104	72, 82, 103	3eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
105	67, 69, 104	3eqtrrd 2771	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (FermatNo‘𝑁))
106	60, 63, 105	3eqtr3d 2774	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))) = (FermatNo‘𝑁))
107	16, 44, 106	3eqtrrd 2771	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004   · cmul 11006   − cmin 11339  -cneg 11340  ℕcn 12120  2c2 12175  ℕ₀cn0 12376  ℤ_≥cuz 12727  ...cfz 13402  ↑cexp 13963  ∏cprod 15805  FermatNocfmtno 47558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-clim 15390  df-prod 15806  df-fmtno 47559

This theorem is referenced by: (None)