Theorem fmtnorec3 45000

Description: The third recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", 31-Jul-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties. (Contributed by AV, 2-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnorec3	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem fmtnorec3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13693	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (0...(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
2		elfznn0 13349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3		fmtnonn 44983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℕ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℕ)
5	4	nncnd 11989	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
6	5	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
7	1, 6	fprodcl 15662	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
8		2cn 12048	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
10		uznn0sub 12617	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
11		fmtnorec2 44995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2))
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2))
13	12	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2) = (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)))
14	7, 9, 13	mvlraddd 11385	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) = ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))
15	14	oveq2d 7291	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)))
16	15	oveq2d 7291	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))))
17		2nn0 12250	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ0)
19		eluz2nn 12624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
20		nnm1nn0 12274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
22	18, 21	nn0expcld 13961	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
23	18, 22	nn0expcld 13961	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0)
24	23	nn0cnd 12295	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
25		peano2nn0 12273	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ0)
26	10, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ0)
27		fmtnonn 44983	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℕ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℕ)
29	28	nncnd 11989	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℂ)
30	24, 29, 9	subdid 11431	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
31		eluzelcn 12594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
32		ax-1cn 10929	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
34		subsub 11251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
35	34	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
36	31, 9, 33, 35	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
37		2m1e1 12099	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
38	37	oveq2i 7286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
39	36, 38	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
40	39	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
41	40	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
42	41	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
43	30, 42	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
44	43	oveq2d 7291	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))))
45		fmtnonn 44983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
46	21, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
47	46	nncnd 11989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
48	47	mulid2d 10993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
49	48	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = (1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
50	49	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
51	33, 24, 47	adddird 11000	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
52	33, 24	addcomd 11177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
53		fmtno 44981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
54	21, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
55	52, 54	eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
56	55	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
57	47	sqvald 13861	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
58	56, 57	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2))
59	50, 51, 58	3eqtr2d 2784	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2))
60	59	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
61	24, 47	mulcld 10995	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
62	24, 9	mulcld 10995	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2) ∈ ℂ)
63	47, 61, 62	addsubassd 11352	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))))
64		npcan1 11400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
65	31, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
66	65	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
67	66	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)))
68		fmtnorec1 44989	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1))
69	21, 68	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1))
70		binom2sub1 13936	. . . . . . 7 ⊢ ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1))
71	47, 70	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1))
72	71	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1) = (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1))
73	46	nnsqcld 13959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) ∈ ℕ)
74	73	nncnd 11989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) ∈ ℂ)
75	9, 47	mulcld 10995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
76	74, 75	subcld 11332	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) ∈ ℂ)
77	76, 33, 33	addassd 10997	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (1 + 1)))
78	32	2timesi 12111	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
79	78	eqcomi 2747	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = (2 · 1)
80	79	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + 1) = (2 · 1))
81	80	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (1 + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)))
82	77, 81	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)))
83	8, 32	mulcli 10982	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) ∈ ℂ
84	83	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 1) ∈ ℂ)
85	74, 75, 84	subadd23d 11354	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
86	9, 33, 47	subdid 11431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
87	86	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
88	87	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
89	33, 47	subcld 11332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
90	9, 89	mulneg2d 11429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
91	33, 47	negsubdi2d 11348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1))
92		fmtnom1nn 44984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
93	21, 92	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
94	91, 93	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
95	94	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
96	90, 95	eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
97	96	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
98	9, 89	mulcld 10995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) ∈ ℂ)
99	74, 98	subnegd 11339	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
100	9, 24	mulcomd 10996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))
101	100	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
102	97, 99, 101	3eqtr3d 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
103	85, 88, 102	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
104	72, 82, 103	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
105	67, 69, 104	3eqtrrd 2783	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (FermatNo‘𝑁))
106	60, 63, 105	3eqtr3d 2786	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))) = (FermatNo‘𝑁))
107	16, 44, 106	3eqtrrd 2783	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  -cneg 11206  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  ↑cexp 13782  ∏cprod 15615  FermatNocfmtno 44979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-prod 15616  df-fmtno 44980

This theorem is referenced by: (None)