fmtnorec3 - Mathbox for Alexander van der Vekens

	Mathbox for Alexander van der Vekens		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > fmtnorec3		Structured version Visualization version GIF version

Theorem fmtnorec3 46295

Description: The third recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", 31-Jul-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties. (Contributed by AV, 2-Aug-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
fmtnorec3	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))))

Distinct variable group: 𝑛,𝑁

**Proof of Theorem fmtnorec3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13940	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (0...(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
2		elfznn0 13596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
3		fmtnonn 46278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℕ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℕ)
5	4	nncnd 12230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
6	5	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
7	1, 6	fprodcl 15898	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
8		2cn 12289	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
10		uznn0sub 12863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
11		fmtnorec2 46290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2))
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2))
13	12	eqcomd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2) = (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)))
14	7, 9, 13	mvlraddd 11626	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) = ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))
15	14	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)))
16	15	oveq2d 7427	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))))
17		2nn0 12491	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ∈ ℕ₀)
19		eluz2nn 12870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
20		nnm1nn0 12515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
22	18, 21	nn0expcld 14211	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ₀)
23	18, 22	nn0expcld 14211	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ₀)
24	23	nn0cnd 12536	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
25		peano2nn0 12514	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ₀ → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ₀)
26	10, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ₀)
27		fmtnonn 46278	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℕ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℕ)
29	28	nncnd 12230	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℂ)
30	24, 29, 9	subdid 11672	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
31		eluzelcn 12836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
32		ax-1cn 11170	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
34		subsub 11492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
35	34	eqcomd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
36	31, 9, 33, 35	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
37		2m1e1 12340	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
38	37	oveq2i 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
39	36, 38	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
40	39	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
41	40	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
42	41	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
43	30, 42	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
44	43	oveq2d 7427	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))))
45		fmtnonn 46278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
46	21, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
47	46	nncnd 12230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
48	47	mullidd 11234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
49	48	eqcomd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = (1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
50	49	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
51	33, 24, 47	adddird 11241	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
52	33, 24	addcomd 11418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
53		fmtno 46276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
54	21, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
55	52, 54	eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
56	55	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
57	47	sqvald 14110	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
58	56, 57	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2))
59	50, 51, 58	3eqtr2d 2778	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2))
60	59	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
61	24, 47	mulcld 11236	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
62	24, 9	mulcld 11236	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2) ∈ ℂ)
63	47, 61, 62	addsubassd 11593	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))))
64		npcan1 11641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
65	31, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
66	65	eqcomd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
67	66	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)))
68		fmtnorec1 46284	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1))
69	21, 68	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1))
70		binom2sub1 14186	. . . . . . 7 ⊢ ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1))
71	47, 70	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1))
72	71	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1) = (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1))
73	46	nnsqcld 14209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) ∈ ℕ)
74	73	nncnd 12230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) ∈ ℂ)
75	9, 47	mulcld 11236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
76	74, 75	subcld 11573	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) ∈ ℂ)
77	76, 33, 33	addassd 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (1 + 1)))
78	32	2timesi 12352	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
79	78	eqcomi 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = (2 · 1)
80	79	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 + 1) = (2 · 1))
81	80	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (1 + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)))
82	77, 81	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)))
83	8, 32	mulcli 11223	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) ∈ ℂ
84	83	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · 1) ∈ ℂ)
85	74, 75, 84	subadd23d 11595	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
86	9, 33, 47	subdid 11672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
87	86	eqcomd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
88	87	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
89	33, 47	subcld 11573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
90	9, 89	mulneg2d 11670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
91	33, 47	negsubdi2d 11589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1))
92		fmtnom1nn 46279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
93	21, 92	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
94	91, 93	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
95	94	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
96	90, 95	eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
97	96	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
98	9, 89	mulcld 11236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) ∈ ℂ)
99	74, 98	subnegd 11580	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
100	9, 24	mulcomd 11237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))
101	100	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
102	97, 99, 101	3eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
103	85, 88, 102	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
104	72, 82, 103	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
105	67, 69, 104	3eqtrrd 2777	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (FermatNo‘𝑁))
106	60, 63, 105	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))) = (FermatNo‘𝑁))
107	16, 44, 106	3eqtrrd 2777	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ‘cfv 6543 (class class class)co 7411 ℂcc 11110 0cc0 11112 1c1 11113 + caddc 11115 · cmul 11117 − cmin 11446 -cneg 11447 ℕcn 12214 2c2 12269 ℕ₀cn0 12474 ℤ_≥cuz 12824 ...cfz 13486 ↑cexp 14029 ∏cprod 15851 FermatNocfmtno 46274

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7727 ax-inf2 9638 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7858 df-1st 7977 df-2nd 7978 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-1o 8468 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-sup 9439 df-oi 9507 df-card 9936 df-pnf 11252 df-mnf 11253 df-xr 11254 df-ltxr 11255 df-le 11256 df-sub 11448 df-neg 11449 df-div 11874 df-nn 12215 df-2 12277 df-3 12278 df-4 12279 df-5 12280 df-n0 12475 df-z 12561 df-uz 12825 df-rp 12977 df-fz 13487 df-fzo 13630 df-seq 13969 df-exp 14030 df-hash 14293 df-cj 15048 df-re 15049 df-im 15050 df-sqrt 15184 df-abs 15185 df-clim 15434 df-prod 15852 df-fmtno 46275

This theorem is referenced by: (None)

W3C validator