fmtnorec3 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem fmtnorec3 46202

Description: The third recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", 31-Jul-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties. (Contributed by AV, 2-Aug-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
fmtnorec3	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))))

Distinct variable group: 𝑛,𝑁

**Proof of Theorem fmtnorec3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13934	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (0...(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
2		elfznn0 13590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
3		fmtnonn 46185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℕ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℕ)
5	4	nncnd 12224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
6	5	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
7	1, 6	fprodcl 15892	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
8		2cn 12283	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
10		uznn0sub 12857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
11		fmtnorec2 46197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2))
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2))
13	12	eqcomd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2) = (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)))
14	7, 9, 13	mvlraddd 11620	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) = ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))
15	14	oveq2d 7421	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)))
16	15	oveq2d 7421	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))))
17		2nn0 12485	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ∈ ℕ₀)
19		eluz2nn 12864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
20		nnm1nn0 12509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
22	18, 21	nn0expcld 14205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ₀)
23	18, 22	nn0expcld 14205	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ₀)
24	23	nn0cnd 12530	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
25		peano2nn0 12508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ₀ → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ₀)
26	10, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ₀)
27		fmtnonn 46185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℕ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℕ)
29	28	nncnd 12224	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℂ)
30	24, 29, 9	subdid 11666	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
31		eluzelcn 12830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
32		ax-1cn 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
34		subsub 11486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
35	34	eqcomd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
36	31, 9, 33, 35	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
37		2m1e1 12334	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
38	37	oveq2i 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
39	36, 38	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
40	39	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
41	40	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
42	41	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
43	30, 42	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
44	43	oveq2d 7421	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))))
45		fmtnonn 46185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
46	21, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
47	46	nncnd 12224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
48	47	mullidd 11228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
49	48	eqcomd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = (1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
50	49	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
51	33, 24, 47	adddird 11235	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
52	33, 24	addcomd 11412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
53		fmtno 46183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
54	21, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
55	52, 54	eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
56	55	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
57	47	sqvald 14104	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
58	56, 57	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2))
59	50, 51, 58	3eqtr2d 2778	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2))
60	59	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
61	24, 47	mulcld 11230	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
62	24, 9	mulcld 11230	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2) ∈ ℂ)
63	47, 61, 62	addsubassd 11587	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))))
64		npcan1 11635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
65	31, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
66	65	eqcomd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
67	66	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)))
68		fmtnorec1 46191	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1))
69	21, 68	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1))
70		binom2sub1 14180	. . . . . . 7 ⊢ ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1))
71	47, 70	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1))
72	71	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1) = (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1))
73	46	nnsqcld 14203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) ∈ ℕ)
74	73	nncnd 12224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) ∈ ℂ)
75	9, 47	mulcld 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
76	74, 75	subcld 11567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) ∈ ℂ)
77	76, 33, 33	addassd 11232	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (1 + 1)))
78	32	2timesi 12346	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
79	78	eqcomi 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = (2 · 1)
80	79	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 + 1) = (2 · 1))
81	80	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (1 + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)))
82	77, 81	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)))
83	8, 32	mulcli 11217	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) ∈ ℂ
84	83	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · 1) ∈ ℂ)
85	74, 75, 84	subadd23d 11589	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
86	9, 33, 47	subdid 11666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
87	86	eqcomd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
88	87	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
89	33, 47	subcld 11567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
90	9, 89	mulneg2d 11664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
91	33, 47	negsubdi2d 11583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1))
92		fmtnom1nn 46186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
93	21, 92	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
94	91, 93	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
95	94	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
96	90, 95	eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
97	96	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
98	9, 89	mulcld 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) ∈ ℂ)
99	74, 98	subnegd 11574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
100	9, 24	mulcomd 11231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))
101	100	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
102	97, 99, 101	3eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
103	85, 88, 102	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
104	72, 82, 103	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
105	67, 69, 104	3eqtrrd 2777	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (FermatNo‘𝑁))
106	60, 63, 105	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))) = (FermatNo‘𝑁))
107	16, 44, 106	3eqtrrd 2777	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ‘cfv 6540 (class class class)co 7405 ℂcc 11104 0cc0 11106 1c1 11107 + caddc 11109 · cmul 11111 − cmin 11440 -cneg 11441 ℕcn 12208 2c2 12263 ℕ₀cn0 12468 ℤ_≥cuz 12818 ...cfz 13480 ↑cexp 14023 ∏cprod 15845 FermatNocfmtno 46181

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-inf2 9632 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-se 5631 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-sup 9433 df-oi 9501 df-card 9930 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-nn 12209 df-2 12271 df-3 12272 df-4 12273 df-5 12274 df-n0 12469 df-z 12555 df-uz 12819 df-rp 12971 df-fz 13481 df-fzo 13624 df-seq 13963 df-exp 14024 df-hash 14287 df-cj 15042 df-re 15043 df-im 15044 df-sqrt 15178 df-abs 15179 df-clim 15428 df-prod 15846 df-fmtno 46182

This theorem is referenced by: (None)

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