Theorem fmtnorec3 44673

Description: The third recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", 31-Jul-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties. (Contributed by AV, 2-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnorec3	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem fmtnorec3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13546	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (0...(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
2		elfznn0 13205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3		fmtnonn 44656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℕ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℕ)
5	4	nncnd 11846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
6	5	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
7	1, 6	fprodcl 15514	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
8		2cn 11905	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
10		uznn0sub 12473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
11		fmtnorec2 44668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2))
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2))
13	12	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2) = (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)))
14	7, 9, 13	mvlraddd 11242	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) = ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))
15	14	oveq2d 7229	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)))
16	15	oveq2d 7229	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))))
17		2nn0 12107	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ0)
19		eluz2nn 12480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
20		nnm1nn0 12131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
22	18, 21	nn0expcld 13813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
23	18, 22	nn0expcld 13813	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0)
24	23	nn0cnd 12152	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
25		peano2nn0 12130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ0)
26	10, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ0)
27		fmtnonn 44656	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℕ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℕ)
29	28	nncnd 11846	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℂ)
30	24, 29, 9	subdid 11288	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
31		eluzelcn 12450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
32		ax-1cn 10787	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
34		subsub 11108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
35	34	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
36	31, 9, 33, 35	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
37		2m1e1 11956	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
38	37	oveq2i 7224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
39	36, 38	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
40	39	fveq2d 6721	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
41	40	oveq2d 7229	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
42	41	oveq1d 7228	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
43	30, 42	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
44	43	oveq2d 7229	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))))
45		fmtnonn 44656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
46	21, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
47	46	nncnd 11846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
48	47	mulid2d 10851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
49	48	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = (1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
50	49	oveq1d 7228	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
51	33, 24, 47	adddird 10858	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
52	33, 24	addcomd 11034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
53		fmtno 44654	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
54	21, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
55	52, 54	eqtr4d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
56	55	oveq1d 7228	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
57	47	sqvald 13713	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
58	56, 57	eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2))
59	50, 51, 58	3eqtr2d 2783	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2))
60	59	oveq1d 7228	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
61	24, 47	mulcld 10853	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
62	24, 9	mulcld 10853	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2) ∈ ℂ)
63	47, 61, 62	addsubassd 11209	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))))
64		npcan1 11257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
65	31, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
66	65	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
67	66	fveq2d 6721	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)))
68		fmtnorec1 44662	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1))
69	21, 68	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1))
70		binom2sub1 13788	. . . . . . 7 ⊢ ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1))
71	47, 70	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1))
72	71	oveq1d 7228	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1) = (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1))
73	46	nnsqcld 13811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) ∈ ℕ)
74	73	nncnd 11846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) ∈ ℂ)
75	9, 47	mulcld 10853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
76	74, 75	subcld 11189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) ∈ ℂ)
77	76, 33, 33	addassd 10855	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (1 + 1)))
78	32	2timesi 11968	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = (1 + 1)
79	78	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = (2 · 1)
80	79	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + 1) = (2 · 1))
81	80	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (1 + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)))
82	77, 81	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)))
83	8, 32	mulcli 10840	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) ∈ ℂ
84	83	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 1) ∈ ℂ)
85	74, 75, 84	subadd23d 11211	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
86	9, 33, 47	subdid 11288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
87	86	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
88	87	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
89	33, 47	subcld 11189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
90	9, 89	mulneg2d 11286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
91	33, 47	negsubdi2d 11205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1))
92		fmtnom1nn 44657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
93	21, 92	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
94	91, 93	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
95	94	oveq2d 7229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
96	90, 95	eqtr3d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
97	96	oveq2d 7229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
98	9, 89	mulcld 10853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) ∈ ℂ)
99	74, 98	subnegd 11196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
100	9, 24	mulcomd 10854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))
101	100	oveq2d 7229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
102	97, 99, 101	3eqtr3d 2785	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
103	85, 88, 102	3eqtrd 2781	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
104	72, 82, 103	3eqtrd 2781	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
105	67, 69, 104	3eqtrrd 2782	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (FermatNo‘𝑁))
106	60, 63, 105	3eqtr3d 2785	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))) = (FermatNo‘𝑁))
107	16, 44, 106	3eqtrrd 2782	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734   − cmin 11062  -cneg 11063  ℕcn 11830  2c2 11885  ℕ₀cn0 12090  ℤ_≥cuz 12438  ...cfz 13095  ↑cexp 13635  ∏cprod 15467  FermatNocfmtno 44652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-prod 15468  df-fmtno 44653

This theorem is referenced by: (None)