Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnorec3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnorec3 46216
Description: The third recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", 31-Jul-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties. (Contributed by AV, 2-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnorec3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = ((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· βˆπ‘› ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 2))(FermatNoβ€˜π‘›))))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem fmtnorec3
StepHypRef Expression
1 fzfid 13938 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (0...(𝑁 βˆ’ 2)) ∈ Fin)
2 elfznn0 13594 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 2)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
3 fmtnonn 46199 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ β„•)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 2)) β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ β„•)
54nncnd 12228 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 2)) β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
65adantl 483 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 2))) β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
71, 6fprodcl 15896 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ βˆπ‘› ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 2))(FermatNoβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
8 2cn 12287 . . . . . 6 2 ∈ β„‚
98a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„‚)
10 uznn0sub 12861 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
11 fmtnorec2 46211 . . . . . . 7 ((𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1)) = (βˆπ‘› ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 2))(FermatNoβ€˜π‘›) + 2))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (FermatNoβ€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1)) = (βˆπ‘› ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 2))(FermatNoβ€˜π‘›) + 2))
1312eqcomd 2739 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (βˆπ‘› ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 2))(FermatNoβ€˜π‘›) + 2) = (FermatNoβ€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1)))
147, 9, 13mvlraddd 11624 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ βˆπ‘› ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 2))(FermatNoβ€˜π‘›) = ((FermatNoβ€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1)) βˆ’ 2))
1514oveq2d 7425 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· βˆπ‘› ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 2))(FermatNoβ€˜π‘›)) = ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· ((FermatNoβ€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1)) βˆ’ 2)))
1615oveq2d 7425 . 2 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· βˆπ‘› ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 2))(FermatNoβ€˜π‘›))) = ((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· ((FermatNoβ€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1)) βˆ’ 2))))
17 2nn0 12489 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•0
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„•0)
19 eluz2nn 12868 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
20 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
2218, 21nn0expcld 14209 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
2318, 22nn0expcld 14209 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) ∈ β„•0)
2423nn0cnd 12534 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
25 peano2nn0 12512 . . . . . . . 8 ((𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) + 1) ∈ β„•0)
2610, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) + 1) ∈ β„•0)
27 fmtnonn 46199 . . . . . . 7 (((𝑁 βˆ’ 2) + 1) ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1)) ∈ β„•)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (FermatNoβ€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1)) ∈ β„•)
2928nncnd 12228 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (FermatNoβ€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1)) ∈ β„‚)
3024, 29, 9subdid 11670 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· ((FermatNoβ€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1)) βˆ’ 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· (FermatNoβ€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1))) βˆ’ ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2)))
31 eluzelcn 12834 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
32 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 ∈ β„‚)
34 subsub 11490 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝑁 βˆ’ (2 βˆ’ 1)) = ((𝑁 βˆ’ 2) + 1))
3534eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) + 1) = (𝑁 βˆ’ (2 βˆ’ 1)))
3631, 9, 33, 35syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) + 1) = (𝑁 βˆ’ (2 βˆ’ 1)))
37 2m1e1 12338 . . . . . . . . 9 (2 βˆ’ 1) = 1
3837oveq2i 7420 . . . . . . . 8 (𝑁 βˆ’ (2 βˆ’ 1)) = (𝑁 βˆ’ 1)
3936, 38eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) + 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
4039fveq2d 6896 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (FermatNoβ€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1)) = (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
4140oveq2d 7425 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· (FermatNoβ€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1))) = ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))))
4241oveq1d 7424 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· (FermatNoβ€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1))) βˆ’ ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2)))
4330, 42eqtrd 2773 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· ((FermatNoβ€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1)) βˆ’ 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2)))
4443oveq2d 7425 . 2 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· ((FermatNoβ€˜((𝑁 βˆ’ 2) + 1)) βˆ’ 2))) = ((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2))))
45 fmtnonn 46199 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„•)
4621, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„•)
4746nncnd 12228 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
4847mullidd 11232 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (1 Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))) = (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
4948eqcomd 2739 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = (1 Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))))
5049oveq1d 7424 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) = ((1 Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))) + ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))))
5133, 24, 47adddird 11239 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((1 + (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1)))) Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))) = ((1 Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))) + ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))))
5233, 24addcomd 11416 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (1 + (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) + 1))
53 fmtno 46197 . . . . . . . . 9 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) + 1))
5421, 53syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) + 1))
5552, 54eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (1 + (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1)))) = (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
5655oveq1d 7424 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((1 + (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1)))) Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))) = ((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))))
5747sqvald 14108 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) = ((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))))
5856, 57eqtr4d 2776 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((1 + (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1)))) Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))) = ((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2))
5950, 51, 583eqtr2d 2779 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) = ((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2))
6059oveq1d 7424 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) βˆ’ ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2)) = (((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2)))
6124, 47mulcld 11234 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
6224, 9mulcld 11234 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2) ∈ β„‚)
6347, 61, 62addsubassd 11591 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) βˆ’ ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2)) = ((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2))))
64 npcan1 11639 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
6531, 64syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
6665eqcomd 2739 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 = ((𝑁 βˆ’ 1) + 1))
6766fveq2d 6896 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = (FermatNoβ€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
68 fmtnorec1 46205 . . . . 5 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = ((((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) βˆ’ 1)↑2) + 1))
6921, 68syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (FermatNoβ€˜((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = ((((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) βˆ’ 1)↑2) + 1))
70 binom2sub1 14184 . . . . . . 7 ((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„‚ β†’ (((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) βˆ’ 1)↑2) = ((((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ (2 Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) + 1))
7147, 70syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) βˆ’ 1)↑2) = ((((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ (2 Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) + 1))
7271oveq1d 7424 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) βˆ’ 1)↑2) + 1) = (((((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ (2 Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) + 1) + 1))
7346nnsqcld 14207 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) ∈ β„•)
7473nncnd 12228 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) ∈ β„‚)
759, 47mulcld 11234 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2 Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
7674, 75subcld 11571 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ (2 Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) ∈ β„‚)
7776, 33, 33addassd 11236 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ (2 Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) + 1) + 1) = ((((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ (2 Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) + (1 + 1)))
78322timesi 12350 . . . . . . . . 9 (2 Β· 1) = (1 + 1)
7978eqcomi 2742 . . . . . . . 8 (1 + 1) = (2 Β· 1)
8079a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (1 + 1) = (2 Β· 1))
8180oveq2d 7425 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ (2 Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) + (1 + 1)) = ((((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ (2 Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) + (2 Β· 1)))
8277, 81eqtrd 2773 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ (2 Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) + 1) + 1) = ((((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ (2 Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) + (2 Β· 1)))
838, 32mulcli 11221 . . . . . . . 8 (2 Β· 1) ∈ β„‚
8483a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2 Β· 1) ∈ β„‚)
8574, 75, 84subadd23d 11593 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ (2 Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) + (2 Β· 1)) = (((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) + ((2 Β· 1) βˆ’ (2 Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))))))
869, 33, 47subdid 11670 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2 Β· (1 βˆ’ (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) = ((2 Β· 1) βˆ’ (2 Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))))
8786eqcomd 2739 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2 Β· 1) βˆ’ (2 Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) = (2 Β· (1 βˆ’ (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))))
8887oveq2d 7425 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) + ((2 Β· 1) βˆ’ (2 Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))))) = (((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) + (2 Β· (1 βˆ’ (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))))))
8933, 47subcld 11571 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (1 βˆ’ (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
909, 89mulneg2d 11668 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2 Β· -(1 βˆ’ (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) = -(2 Β· (1 βˆ’ (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))))
9133, 47negsubdi2d 11587 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ -(1 βˆ’ (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))) = ((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) βˆ’ 1))
92 fmtnom1nn 46200 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ ((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) βˆ’ 1) = (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))))
9321, 92syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) βˆ’ 1) = (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))))
9491, 93eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ -(1 βˆ’ (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))) = (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))))
9594oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2 Β· -(1 βˆ’ (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) = (2 Β· (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
9690, 95eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ -(2 Β· (1 βˆ’ (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) = (2 Β· (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
9796oveq2d 7425 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ -(2 Β· (1 βˆ’ (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))))) = (((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ (2 Β· (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))))))
989, 89mulcld 11234 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2 Β· (1 βˆ’ (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) ∈ β„‚)
9974, 98subnegd 11578 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ -(2 Β· (1 βˆ’ (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))))) = (((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) + (2 Β· (1 βˆ’ (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))))))
1009, 24mulcomd 11235 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2 Β· (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2))
101100oveq2d 7425 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ (2 Β· (2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))))) = (((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2)))
10297, 99, 1013eqtr3d 2781 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) + (2 Β· (1 βˆ’ (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))))) = (((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2)))
10385, 88, 1023eqtrd 2777 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ (2 Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) + (2 Β· 1)) = (((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2)))
10472, 82, 1033eqtrd 2777 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) βˆ’ 1)↑2) + 1) = (((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2)))
10567, 69, 1043eqtrrd 2778 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))↑2) βˆ’ ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2)) = (FermatNoβ€˜π‘))
10660, 63, 1053eqtr3d 2781 . 2 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· (FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))) βˆ’ ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2))) = (FermatNoβ€˜π‘))
10716, 44, 1063eqtrrd 2778 1 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = ((FermatNoβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· βˆπ‘› ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 2))(FermatNoβ€˜π‘›))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  βˆcprod 15849  FermatNocfmtno 46195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850  df-fmtno 46196
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator