Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnorec3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnorec3 45730
Description: The third recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", 31-Jul-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties. (Contributed by AV, 2-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnorec3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘𝑁) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem fmtnorec3
StepHypRef Expression
1 fzfid 13878 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (0...(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
2 elfznn0 13534 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3 fmtnonn 45713 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℕ)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℕ)
54nncnd 12169 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2)) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
65adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))) → (FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
71, 6fprodcl 15835 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) ∈ ℂ)
8 2cn 12228 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
98a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
10 uznn0sub 12802 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
11 fmtnorec2 45725 . . . . . . 7 ((𝑁 − 2) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2))
1312eqcomd 2742 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) + 2) = (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)))
147, 9, 13mvlraddd 11565 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛) = ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))
1514oveq2d 7373 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)))
1615oveq2d 7373 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))))
17 2nn0 12430 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
19 eluz2nn 12809 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
20 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
2218, 21nn0expcld 14149 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
2318, 22nn0expcld 14149 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ0)
2423nn0cnd 12475 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
25 peano2nn0 12453 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ0)
2610, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ0)
27 fmtnonn 45713 . . . . . . 7 (((𝑁 − 2) + 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℕ)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℕ)
2928nncnd 12169 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) ∈ ℂ)
3024, 29, 9subdid 11611 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
31 eluzelcn 12775 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
32 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
34 subsub 11431 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
3534eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
3631, 9, 33, 35syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
37 2m1e1 12279 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
3837oveq2i 7368 . . . . . . . 8 (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
3936, 38eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
4039fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
4140oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
4241oveq1d 7372 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
4330, 42eqtrd 2776 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2)) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
4443oveq2d 7373 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ((FermatNo‘((𝑁 − 2) + 1)) − 2))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))))
45 fmtnonn 45713 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
4621, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
4746nncnd 12169 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
4847mulid2d 11173 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
4948eqcomd 2742 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = (1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
5049oveq1d 7372 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
5133, 24, 47adddird 11180 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((1 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
5233, 24addcomd 11357 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
53 fmtno 45711 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
5421, 53syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
5552, 54eqtr4d 2779 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = (FermatNo‘(𝑁 − 1)))
5655oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
5747sqvald 14048 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))
5856, 57eqtr4d 2779 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((1 + (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2))
5950, 51, 583eqtr2d 2782 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2))
6059oveq1d 7372 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
6124, 47mulcld 11175 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
6224, 9mulcld 11175 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2) ∈ ℂ)
6347, 61, 62addsubassd 11532 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))))
64 npcan1 11580 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6531, 64syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6665eqcomd 2742 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
6766fveq2d 6846 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)))
68 fmtnorec1 45719 . . . . 5 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1))
6921, 68syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1))
70 binom2sub1 14124 . . . . . . 7 ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1))
7147, 70syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1))
7271oveq1d 7372 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1) = (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1))
7346nnsqcld 14147 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) ∈ ℕ)
7473nncnd 12169 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) ∈ ℂ)
759, 47mulcld 11175 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
7674, 75subcld 11512 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) ∈ ℂ)
7776, 33, 33addassd 11177 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (1 + 1)))
78322timesi 12291 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = (1 + 1)
7978eqcomi 2745 . . . . . . . 8 (1 + 1) = (2 · 1)
8079a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 + 1) = (2 · 1))
8180oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (1 + 1)) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)))
8277, 81eqtrd 2776 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + 1) + 1) = ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)))
838, 32mulcli 11162 . . . . . . . 8 (2 · 1) ∈ ℂ
8483a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 1) ∈ ℂ)
8574, 75, 84subadd23d 11534 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
869, 33, 47subdid 11611 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
8786eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
8887oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + ((2 · 1) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
8933, 47subcld 11512 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
909, 89mulneg2d 11609 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))))
9133, 47negsubdi2d 11528 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1))
92 fmtnom1nn 45714 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
9321, 92syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
9491, 93eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
9594oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · -(1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
9690, 95eqtr3d 2778 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
9796oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
989, 89mulcld 11175 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) ∈ ℂ)
9974, 98subnegd 11519 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − -(2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))))
1009, 24mulcomd 11176 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))
101100oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
10297, 99, 1013eqtr3d 2784 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) + (2 · (1 − (FermatNo‘(𝑁 − 1))))) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
10385, 88, 1023eqtrd 2780 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (FermatNo‘(𝑁 − 1)))) + (2 · 1)) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
10472, 82, 1033eqtrd 2780 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((FermatNo‘(𝑁 − 1)) − 1)↑2) + 1) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)))
10567, 69, 1043eqtrrd 2781 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2)) = (FermatNo‘𝑁))
10660, 63, 1053eqtr3d 2784 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · (FermatNo‘(𝑁 − 1))) − ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · 2))) = (FermatNo‘𝑁))
10716, 44, 1063eqtrrd 2781 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘𝑁) = ((FermatNo‘(𝑁 − 1)) + ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) · ∏𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 2))(FermatNo‘𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  -cneg 11386  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cuz 12763  ...cfz 13424  cexp 13967  cprod 15788  FermatNocfmtno 45709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-prod 15789  df-fmtno 45710
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator