Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2pwp1prmfmtno Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2pwp1prmfmtno 46557
Description: Every prime number of the form ((2β†‘π‘˜) + 1) must be a Fermat number. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
2pwp1prmfmtno ((𝐾 ∈ β„• ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑃 = (FermatNoβ€˜π‘›))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑃,𝑛
Proof of Theorem 2pwp1prmfmtno
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 ((𝐾 ∈ β„• ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ 𝐾 ∈ β„•)
2 eleq1 2820 . . . . 5 (𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) β†’ (𝑃 ∈ β„™ ↔ ((2↑𝐾) + 1) ∈ β„™))
32biimpa 476 . . . 4 ((𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ ((2↑𝐾) + 1) ∈ β„™)
433adant1 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ β„• ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ ((2↑𝐾) + 1) ∈ β„™)
5 2pwp1prm 46556 . . 3 ((𝐾 ∈ β„• ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ β„™) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝐾 = (2↑𝑛))
61, 4, 5syl2anc 583 . 2 ((𝐾 ∈ β„• ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝐾 = (2↑𝑛))
7 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝐾 = (2↑𝑛)) β†’ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1))
8 oveq2 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = (2↑𝑛) β†’ (2↑𝐾) = (2↑(2↑𝑛)))
98oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = (2↑𝑛) β†’ ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
109adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝐾 = (2↑𝑛)) β†’ ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
117, 10eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝐾 = (2↑𝑛)) β†’ 𝑃 = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
12 fmtno 46496 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘›) = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
1312eqcomd 2737 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = (FermatNoβ€˜π‘›))
1411, 13sylan9eqr 2793 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ (𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝐾 = (2↑𝑛))) β†’ 𝑃 = (FermatNoβ€˜π‘›))
1514exp32 420 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) β†’ (𝐾 = (2↑𝑛) β†’ 𝑃 = (FermatNoβ€˜π‘›))))
1615com12 32 . . . . 5 (𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝐾 = (2↑𝑛) β†’ 𝑃 = (FermatNoβ€˜π‘›))))
17163ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ β„• ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝐾 = (2↑𝑛) β†’ 𝑃 = (FermatNoβ€˜π‘›))))
1817imp 406 . . 3 (((𝐾 ∈ β„• ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ β„™) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 = (2↑𝑛) β†’ 𝑃 = (FermatNoβ€˜π‘›)))
1918reximdva 3167 . 2 ((𝐾 ∈ β„• ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝐾 = (2↑𝑛) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑃 = (FermatNoβ€˜π‘›)))
206, 19mpd 15 1 ((𝐾 ∈ β„• ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ β„™) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 𝑃 = (FermatNoβ€˜π‘›))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆƒwrex 3069  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  1c1 11115   + caddc 11117  β„•cn 12217  2c2 12272  β„•0cn0 12477  β†‘cexp 14032  β„™cprime 16613  FermatNocfmtno 46494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16775  df-fmtno 46495
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator