Theorem 2pwp1prmfmtno 44930

Description: Every prime number of the form ((2↑𝑘) + 1) must be a Fermat number. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2pwp1prmfmtno	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑃 = (FermatNo‘𝑛))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑃,𝑛

Proof of Theorem 2pwp1prmfmtno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ)
2		eleq1 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) → (𝑃 ∈ ℙ ↔ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ))
3	2	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ)
4	3	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ)
5		2pwp1prm 44929	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
6	1, 4, 5	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
7		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝐾 = (2↑𝑛)) → 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1))
8		oveq2 7263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = (2↑𝑛) → (2↑𝐾) = (2↑(2↑𝑛)))
9	8	oveq1d 7270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = (2↑𝑛) → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
10	9	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝐾 = (2↑𝑛)) → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
11	7, 10	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝐾 = (2↑𝑛)) → 𝑃 = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
12		fmtno 44869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
13	12	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = (FermatNo‘𝑛))
14	11, 13	sylan9eqr 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝐾 = (2↑𝑛))) → 𝑃 = (FermatNo‘𝑛))
15	14	exp32 420	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) → (𝐾 = (2↑𝑛) → 𝑃 = (FermatNo‘𝑛))))
16	15	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐾 = (2↑𝑛) → 𝑃 = (FermatNo‘𝑛))))
17	16	3ad2ant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐾 = (2↑𝑛) → 𝑃 = (FermatNo‘𝑛))))
18	17	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐾 = (2↑𝑛) → 𝑃 = (FermatNo‘𝑛)))
19	18	reximdva 3202	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑃 = (FermatNo‘𝑛)))
20	6, 19	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑃 = (FermatNo‘𝑛))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ↑cexp 13710  ℙcprime 16304  FermatNocfmtno 44867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305  df-pc 16466  df-fmtno 44868

This theorem is referenced by: (None)