Theorem 2pwp1prmfmtno 47515

Description: Every prime number of the form ((2↑𝑘) + 1) must be a Fermat number. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2pwp1prmfmtno	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑃 = (FermatNo‘𝑛))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑃,𝑛

Proof of Theorem 2pwp1prmfmtno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ)
2		eleq1 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) → (𝑃 ∈ ℙ ↔ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ))
3	2	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ)
4	3	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ)
5		2pwp1prm 47514	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
6	1, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
7		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝐾 = (2↑𝑛)) → 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1))
8		oveq2 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = (2↑𝑛) → (2↑𝐾) = (2↑(2↑𝑛)))
9	8	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = (2↑𝑛) → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
10	9	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝐾 = (2↑𝑛)) → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
11	7, 10	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝐾 = (2↑𝑛)) → 𝑃 = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
12		fmtno 47454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
13	12	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = (FermatNo‘𝑛))
14	11, 13	sylan9eqr 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝐾 = (2↑𝑛))) → 𝑃 = (FermatNo‘𝑛))
15	14	exp32 420	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) → (𝐾 = (2↑𝑛) → 𝑃 = (FermatNo‘𝑛))))
16	15	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐾 = (2↑𝑛) → 𝑃 = (FermatNo‘𝑛))))
17	16	3ad2ant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐾 = (2↑𝑛) → 𝑃 = (FermatNo‘𝑛))))
18	17	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐾 = (2↑𝑛) → 𝑃 = (FermatNo‘𝑛)))
19	18	reximdva 3166	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑃 = (FermatNo‘𝑛)))
20	6, 19	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑃 = (FermatNo‘𝑛))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156  ℕcn 12264  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ↑cexp 14099  ℙcprime 16705  FermatNocfmtno 47452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-pc 16871  df-fmtno 47453

This theorem is referenced by: (None)