Theorem 2pwp1prmfmtno 47574

Description: Every prime number of the form ((2↑𝑘) + 1) must be a Fermat number. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2pwp1prmfmtno	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑃 = (FermatNo‘𝑛))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑃,𝑛

Proof of Theorem 2pwp1prmfmtno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ)
2		eleq1 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) → (𝑃 ∈ ℙ ↔ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ))
3	2	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ)
4	3	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ)
5		2pwp1prm 47573	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
6	1, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
7		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝐾 = (2↑𝑛)) → 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1))
8		oveq2 7357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = (2↑𝑛) → (2↑𝐾) = (2↑(2↑𝑛)))
9	8	oveq1d 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 = (2↑𝑛) → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
10	9	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝐾 = (2↑𝑛)) → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
11	7, 10	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝐾 = (2↑𝑛)) → 𝑃 = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
12		fmtno 47513	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
13	12	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = (FermatNo‘𝑛))
14	11, 13	sylan9eqr 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝐾 = (2↑𝑛))) → 𝑃 = (FermatNo‘𝑛))
15	14	exp32 420	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) → (𝐾 = (2↑𝑛) → 𝑃 = (FermatNo‘𝑛))))
16	15	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐾 = (2↑𝑛) → 𝑃 = (FermatNo‘𝑛))))
17	16	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐾 = (2↑𝑛) → 𝑃 = (FermatNo‘𝑛))))
18	17	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐾 = (2↑𝑛) → 𝑃 = (FermatNo‘𝑛)))
19	18	reximdva 3142	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑃 = (FermatNo‘𝑛)))
20	6, 19	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑃 = ((2↑𝐾) + 1) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑃 = (FermatNo‘𝑛))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  1c1 11010   + caddc 11012  ℕcn 12128  2c2 12183  ℕ₀cn0 12384  ↑cexp 13968  ℙcprime 16582  FermatNocfmtno 47511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583  df-pc 16749  df-fmtno 47512

This theorem is referenced by: (None)