Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoge3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnoge3 43978
 Description: Each Fermat number is greater than or equal to 3. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoge3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ (ℤ‘3))

Proof of Theorem fmtnoge3
StepHypRef Expression
1 fmtno 43977 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
2 3z 12012 . . . 4 3 ∈ ℤ
32a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℤ)
4 2nn0 11911 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
6 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
75, 6nn0expcld 13612 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
85, 7nn0expcld 13612 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
9 peano2nn0 11934 . . . . 5 ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
1110nn0zd 12082 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
12 3m1e2 11762 . . . . 5 (3 − 1) = 2
13 2cn 11709 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
14 exp1 13440 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 (2↑1) = 2
16 2re 11708 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
18 1le2 11843 . . . . . . . . 9 1 ≤ 2
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ 2)
2017, 6, 19expge1d 13534 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (2↑𝑁))
21 1zzd 12010 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
227nn0zd 12082 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
23 1lt2 11805 . . . . . . . . 9 1 < 2
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
2517, 21, 22, 24leexp2d 13620 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ (2↑𝑁) ↔ (2↑1) ≤ (2↑(2↑𝑁))))
2620, 25mpbid 235 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑1) ≤ (2↑(2↑𝑁)))
2715, 26eqbrtrrid 5088 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ (2↑(2↑𝑁)))
2812, 27eqbrtrid 5087 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 − 1) ≤ (2↑(2↑𝑁)))
29 3re 11714 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℝ)
31 1red 10640 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
328nn0red 11953 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
3330, 31, 32lesubaddd 11235 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((3 − 1) ≤ (2↑(2↑𝑁)) ↔ 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
3428, 33mpbid 235 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
35 eluz2 12246 . . 3 (((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
363, 11, 34, 35syl3anbrc 1340 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (ℤ‘3))
371, 36eqeltrd 2916 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ (ℤ‘3))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  ℂcc 10533  ℝcr 10534  1c1 10536   + caddc 10538   < clt 10673   ≤ cle 10674   − cmin 10868  2c2 11689  3c3 11690  ℕ0cn0 11894  ℤcz 11978  ℤ≥cuz 12240  ↑cexp 13434  FermatNocfmtno 43975 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-seq 13374  df-exp 13435  df-fmtno 43976 This theorem is referenced by:  fmtnonn  43979  prmdvdsfmtnof  44034  prmdvdsfmtnof1  44035
 Copyright terms: Public domain W3C validator