Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoge3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnoge3 46770
Description: Each Fermat number is greater than or equal to 3. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoge3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) ∈ (β„€β‰₯β€˜3))

Proof of Theorem fmtnoge3
StepHypRef Expression
1 fmtno 46769 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
2 3z 12599 . . . 4 3 ∈ β„€
32a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 3 ∈ β„€)
4 2nn0 12493 . . . . . . 7 2 ∈ β„•0
54a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„•0)
6 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
75, 6nn0expcld 14214 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•0)
85, 7nn0expcld 14214 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ β„•0)
9 peano2nn0 12516 . . . . 5 ((2↑(2↑𝑁)) ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ β„•0)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ β„•0)
1110nn0zd 12588 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ β„€)
12 3m1e2 12344 . . . . 5 (3 βˆ’ 1) = 2
13 2cn 12291 . . . . . . 7 2 ∈ β„‚
14 exp1 14038 . . . . . . 7 (2 ∈ β„‚ β†’ (2↑1) = 2)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 (2↑1) = 2
16 2re 12290 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ ℝ)
18 1le2 12425 . . . . . . . . 9 1 ≀ 2
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ≀ 2)
2017, 6, 19expge1d 14135 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ≀ (2↑𝑁))
21 1zzd 12597 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„€)
227nn0zd 12588 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑁) ∈ β„€)
23 1lt2 12387 . . . . . . . . 9 1 < 2
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 < 2)
2517, 21, 22, 24leexp2d 14220 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (1 ≀ (2↑𝑁) ↔ (2↑1) ≀ (2↑(2↑𝑁))))
2620, 25mpbid 231 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑1) ≀ (2↑(2↑𝑁)))
2715, 26eqbrtrrid 5177 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ≀ (2↑(2↑𝑁)))
2812, 27eqbrtrid 5176 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (3 βˆ’ 1) ≀ (2↑(2↑𝑁)))
29 3re 12296 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 3 ∈ ℝ)
31 1red 11219 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ ℝ)
328nn0red 12537 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
3330, 31, 32lesubaddd 11815 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((3 βˆ’ 1) ≀ (2↑(2↑𝑁)) ↔ 3 ≀ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
3428, 33mpbid 231 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 3 ≀ ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
35 eluz2 12832 . . 3 (((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ↔ (3 ∈ β„€ ∧ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ β„€ ∧ 3 ≀ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
363, 11, 34, 35syl3anbrc 1340 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
371, 36eqeltrd 2827 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  2c2 12271  3c3 12272  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β†‘cexp 14032  FermatNocfmtno 46767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fmtno 46768
This theorem is referenced by:  fmtnonn  46771  prmdvdsfmtnof  46826  prmdvdsfmtnof1  46827
  Copyright terms: Public domain W3C validator