Theorem fmtnoge3 43699

Description: Each Fermat number is greater than or equal to 3. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoge3	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘3))

Proof of Theorem fmtnoge3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmtno 43698	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
2		3z 12018	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℤ)
4		2nn0 11917	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
6		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	5, 6	nn0expcld 13610	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
8	5, 7	nn0expcld 13610	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
9		peano2nn0 11940	. . . . 5 ⊢ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 12088	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
12		3m1e2 11768	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
13		2cn 11715	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		exp1 13438	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2↑1) = 2
16		2re 11714	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
18		1le2 11849	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ 2)
20	17, 6, 19	expge1d 13532	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (2↑𝑁))
21		1zzd 12016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
22	7	nn0zd 12088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
23		1lt2 11811	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
25	17, 21, 22, 24	leexp2d 13618	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ (2↑𝑁) ↔ (2↑1) ≤ (2↑(2↑𝑁))))
26	20, 25	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑1) ≤ (2↑(2↑𝑁)))
27	15, 26	eqbrtrrid 5105	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ (2↑(2↑𝑁)))
28	12, 27	eqbrtrid 5104	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 − 1) ≤ (2↑(2↑𝑁)))
29		3re 11720	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℝ)
31		1red 10645	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
32	8	nn0red 11959	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
33	30, 31, 32	lesubaddd 11240	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((3 − 1) ≤ (2↑(2↑𝑁)) ↔ 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
34	28, 33	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
35		eluz2 12252	. . 3 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
36	3, 11, 34, 35	syl3anbrc 1339	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (ℤ≥‘3))
37	1, 36	eqeltrd 2916	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘3))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℂcc 10538  ℝcr 10539  1c1 10541   + caddc 10543   < clt 10678   ≤ cle 10679   − cmin 10873  2c2 11695  3c3 11696  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ↑cexp 13432  FermatNocfmtno 43696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fmtno 43697

This theorem is referenced by:  fmtnonn  43700  prmdvdsfmtnof  43755  prmdvdsfmtnof1  43756