Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoge3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnoge3 42286
Description: Each Fermat number is greater than or equal to 3. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoge3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ (ℤ‘3))

Proof of Theorem fmtnoge3
StepHypRef Expression
1 fmtno 42285 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
2 3z 11745 . . . 4 3 ∈ ℤ
32a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℤ)
4 2nn0 11644 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
6 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
75, 6nn0expcld 13334 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
85, 7nn0expcld 13334 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
9 peano2nn0 11667 . . . . 5 ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
1110nn0zd 11815 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
12 3m1e2 11493 . . . . 5 (3 − 1) = 2
13 2cn 11433 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
14 exp1 13167 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 (2↑1) = 2
16 2re 11432 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
18 1le2 11574 . . . . . . . . 9 1 ≤ 2
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ 2)
2017, 6, 19expge1d 13328 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (2↑𝑁))
21 1zzd 11743 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
227nn0zd 11815 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
23 1lt2 11536 . . . . . . . . 9 1 < 2
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
2517, 21, 22, 24leexp2d 13342 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ (2↑𝑁) ↔ (2↑1) ≤ (2↑(2↑𝑁))))
2620, 25mpbid 224 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑1) ≤ (2↑(2↑𝑁)))
2715, 26syl5eqbrr 4911 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ (2↑(2↑𝑁)))
2812, 27syl5eqbr 4910 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 − 1) ≤ (2↑(2↑𝑁)))
29 3re 11438 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℝ)
31 1red 10364 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
328nn0red 11686 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
3330, 31, 32lesubaddd 10956 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((3 − 1) ≤ (2↑(2↑𝑁)) ↔ 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
3428, 33mpbid 224 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
35 eluz2 11981 . . 3 (((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
363, 11, 34, 35syl3anbrc 1447 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (ℤ‘3))
371, 36eqeltrd 2906 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ (ℤ‘3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1656  wcel 2164   class class class wbr 4875  cfv 6127  (class class class)co 6910  cc 10257  cr 10258  1c1 10260   + caddc 10262   < clt 10398  cle 10399  cmin 10592  2c2 11413  3c3 11414  0cn0 11625  cz 11711  cuz 11975  cexp 13161  FermatNocfmtno 42283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-seq 13103  df-exp 13162  df-fmtno 42284
This theorem is referenced by:  fmtnonn  42287  prmdvdsfmtnof  42342  prmdvdsfmtnof1  42343
  Copyright terms: Public domain W3C validator