Theorem fmtnoge3 48433

Description: Each Fermat number is greater than or equal to 3. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoge3	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘3))

Proof of Theorem fmtnoge3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmtno 48432	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
2		3z 12651	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℤ)
4		2nn0 12545	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
6		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	5, 6	nn0expcld 14310	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
8	5, 7	nn0expcld 14310	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
9		peano2nn0 12568	. . . . 5 ⊢ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 12640	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
12		3m1e2 12392	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
13		2cn 12340	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		exp1 14131	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2↑1) = 2
16		2re 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
18		1le2 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ 2)
20	17, 6, 19	expge1d 14229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (2↑𝑁))
21		1zzd 12649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
22	7	nn0zd 12640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
23		1lt2 12437	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
25	17, 21, 22, 24	leexp2d 14316	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ (2↑𝑁) ↔ (2↑1) ≤ (2↑(2↑𝑁))))
26	20, 25	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑1) ≤ (2↑(2↑𝑁)))
27	15, 26	eqbrtrrid 5141	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ (2↑(2↑𝑁)))
28	12, 27	eqbrtrid 5140	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 − 1) ≤ (2↑(2↑𝑁)))
29		3re 12345	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℝ)
31		1red 11233	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
32	8	nn0red 12590	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
33	30, 31, 32	lesubaddd 11835	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((3 − 1) ≤ (2↑(2↑𝑁)) ↔ 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
34	28, 33	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
35		eluz2 12893	. . 3 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
36	3, 11, 34, 35	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (ℤ≥‘3))
37	1, 36	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘3))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465  2c2 12319  3c3 12320  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887  ↑cexp 14125  FermatNocfmtno 48430

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fmtno 48431

This theorem is used by:  fmtnonn  48434  prmdvdsfmtnof  48489  prmdvdsfmtnof1  48490