Theorem fmtnoge3 47561

Description: Each Fermat number is greater than or equal to 3. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoge3	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘3))

Proof of Theorem fmtnoge3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmtno 47560	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
2		3z 12500	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℤ)
4		2nn0 12393	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
6		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	5, 6	nn0expcld 14148	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
8	5, 7	nn0expcld 14148	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
9		peano2nn0 12416	. . . . 5 ⊢ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 12489	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
12		3m1e2 12243	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
13		2cn 12195	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		exp1 13969	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2↑1) = 2
16		2re 12194	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
18		1le2 12324	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ 2)
20	17, 6, 19	expge1d 14067	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (2↑𝑁))
21		1zzd 12498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
22	7	nn0zd 12489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
23		1lt2 12286	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
25	17, 21, 22, 24	leexp2d 14154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ (2↑𝑁) ↔ (2↑1) ≤ (2↑(2↑𝑁))))
26	20, 25	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑1) ≤ (2↑(2↑𝑁)))
27	15, 26	eqbrtrrid 5122	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ (2↑(2↑𝑁)))
28	12, 27	eqbrtrid 5121	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 − 1) ≤ (2↑(2↑𝑁)))
29		3re 12200	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℝ)
31		1red 11108	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
32	8	nn0red 12438	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
33	30, 31, 32	lesubaddd 11709	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((3 − 1) ≤ (2↑(2↑𝑁)) ↔ 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
34	28, 33	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
35		eluz2 12733	. . 3 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
36	3, 11, 34, 35	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (ℤ≥‘3))
37	1, 36	eqeltrd 2831	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘3))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  ℝcr 11000  1c1 11002   + caddc 11004   < clt 11141   ≤ cle 11142   − cmin 11339  2c2 12175  3c3 12176  ℕ₀cn0 12376  ℤcz 12463  ℤ_≥cuz 12727  ↑cexp 13963  FermatNocfmtno 47558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-seq 13904  df-exp 13964  df-fmtno 47559

This theorem is referenced by:  fmtnonn  47562  prmdvdsfmtnof  47617  prmdvdsfmtnof1  47618