Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoge3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnoge3 45808
Description: Each Fermat number is greater than or equal to 3. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoge3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) ∈ (β„€β‰₯β€˜3))

Proof of Theorem fmtnoge3
StepHypRef Expression
1 fmtno 45807 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
2 3z 12541 . . . 4 3 ∈ β„€
32a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 3 ∈ β„€)
4 2nn0 12435 . . . . . . 7 2 ∈ β„•0
54a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„•0)
6 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
75, 6nn0expcld 14155 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•0)
85, 7nn0expcld 14155 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ β„•0)
9 peano2nn0 12458 . . . . 5 ((2↑(2↑𝑁)) ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ β„•0)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ β„•0)
1110nn0zd 12530 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ β„€)
12 3m1e2 12286 . . . . 5 (3 βˆ’ 1) = 2
13 2cn 12233 . . . . . . 7 2 ∈ β„‚
14 exp1 13979 . . . . . . 7 (2 ∈ β„‚ β†’ (2↑1) = 2)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 (2↑1) = 2
16 2re 12232 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ ℝ)
18 1le2 12367 . . . . . . . . 9 1 ≀ 2
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ≀ 2)
2017, 6, 19expge1d 14076 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ≀ (2↑𝑁))
21 1zzd 12539 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„€)
227nn0zd 12530 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑁) ∈ β„€)
23 1lt2 12329 . . . . . . . . 9 1 < 2
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 < 2)
2517, 21, 22, 24leexp2d 14161 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (1 ≀ (2↑𝑁) ↔ (2↑1) ≀ (2↑(2↑𝑁))))
2620, 25mpbid 231 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑1) ≀ (2↑(2↑𝑁)))
2715, 26eqbrtrrid 5142 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ≀ (2↑(2↑𝑁)))
2812, 27eqbrtrid 5141 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (3 βˆ’ 1) ≀ (2↑(2↑𝑁)))
29 3re 12238 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 3 ∈ ℝ)
31 1red 11161 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ ℝ)
328nn0red 12479 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
3330, 31, 32lesubaddd 11757 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((3 βˆ’ 1) ≀ (2↑(2↑𝑁)) ↔ 3 ≀ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
3428, 33mpbid 231 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 3 ≀ ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
35 eluz2 12774 . . 3 (((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ↔ (3 ∈ β„€ ∧ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ β„€ ∧ 3 ≀ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
363, 11, 34, 35syl3anbrc 1344 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
371, 36eqeltrd 2834 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  2c2 12213  3c3 12214  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  β†‘cexp 13973  FermatNocfmtno 45805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fmtno 45806
This theorem is referenced by:  fmtnonn  45809  prmdvdsfmtnof  45864  prmdvdsfmtnof1  45865
  Copyright terms: Public domain W3C validator