Theorem fmtnoge3 48722

Description: Each Fermat number is greater than or equal to 3. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoge3	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘3))

Proof of Theorem fmtnoge3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmtno 48721	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
2		3z 12734	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℤ)
4		2nn0 12628	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
6		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	5, 6	nn0expcld 14395	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
8	5, 7	nn0expcld 14395	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
9		peano2nn0 12651	. . . . 5 ⊢ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 12723	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
12		3m1e2 12475	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
13		2cn 12423	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		exp1 14215	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2↑1) = 2
16		2re 12422	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
18		1le2 12559	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ 2)
20	17, 6, 19	expge1d 14313	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (2↑𝑁))
21		1zzd 12732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
22	7	nn0zd 12723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
23		1lt2 12520	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
25	17, 21, 22, 24	leexp2d 14401	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ (2↑𝑁) ↔ (2↑1) ≤ (2↑(2↑𝑁))))
26	20, 25	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑1) ≤ (2↑(2↑𝑁)))
27	15, 26	eqbrtrrid 5140	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ (2↑(2↑𝑁)))
28	12, 27	eqbrtrid 5139	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 − 1) ≤ (2↑(2↑𝑁)))
29		3re 12428	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℝ)
31		1red 11314	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
32	8	nn0red 12673	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
33	30, 31, 32	lesubaddd 11918	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((3 − 1) ≤ (2↑(2↑𝑁)) ↔ 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
34	28, 33	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
35		eluz2 12976	. . 3 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
36	3, 11, 34, 35	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (ℤ≥‘3))
37	1, 36	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘3))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  ℝcr 11204  1c1 11206   + caddc 11208   < clt 11348   ≤ cle 11349   − cmin 11546  2c2 12402  3c3 12403  ℕ₀cn0 12611  ℤcz 12698  ℤ_≥cuz 12970  ↑cexp 14209  FermatNocfmtno 48719

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-rp 13126  df-seq 14150  df-exp 14210  df-fmtno 48720

This theorem is used by:  fmtnonn  48723  prmdvdsfmtnof  48778  prmdvdsfmtnof1  48779