Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoge3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnoge3 46917
Description: Each Fermat number is greater than or equal to 3. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoge3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) ∈ (β„€β‰₯β€˜3))

Proof of Theorem fmtnoge3
StepHypRef Expression
1 fmtno 46916 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
2 3z 12635 . . . 4 3 ∈ β„€
32a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 3 ∈ β„€)
4 2nn0 12529 . . . . . . 7 2 ∈ β„•0
54a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„•0)
6 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
75, 6nn0expcld 14250 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•0)
85, 7nn0expcld 14250 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ β„•0)
9 peano2nn0 12552 . . . . 5 ((2↑(2↑𝑁)) ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ β„•0)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ β„•0)
1110nn0zd 12624 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ β„€)
12 3m1e2 12380 . . . . 5 (3 βˆ’ 1) = 2
13 2cn 12327 . . . . . . 7 2 ∈ β„‚
14 exp1 14074 . . . . . . 7 (2 ∈ β„‚ β†’ (2↑1) = 2)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 (2↑1) = 2
16 2re 12326 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ ℝ)
18 1le2 12461 . . . . . . . . 9 1 ≀ 2
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ≀ 2)
2017, 6, 19expge1d 14171 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ≀ (2↑𝑁))
21 1zzd 12633 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„€)
227nn0zd 12624 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑁) ∈ β„€)
23 1lt2 12423 . . . . . . . . 9 1 < 2
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 < 2)
2517, 21, 22, 24leexp2d 14256 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (1 ≀ (2↑𝑁) ↔ (2↑1) ≀ (2↑(2↑𝑁))))
2620, 25mpbid 231 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑1) ≀ (2↑(2↑𝑁)))
2715, 26eqbrtrrid 5188 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ≀ (2↑(2↑𝑁)))
2812, 27eqbrtrid 5187 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (3 βˆ’ 1) ≀ (2↑(2↑𝑁)))
29 3re 12332 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 3 ∈ ℝ)
31 1red 11255 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ ℝ)
328nn0red 12573 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
3330, 31, 32lesubaddd 11851 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((3 βˆ’ 1) ≀ (2↑(2↑𝑁)) ↔ 3 ≀ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
3428, 33mpbid 231 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 3 ≀ ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
35 eluz2 12868 . . 3 (((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ↔ (3 ∈ β„€ ∧ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ β„€ ∧ 3 ≀ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
363, 11, 34, 35syl3anbrc 1340 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
371, 36eqeltrd 2829 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11146  β„cr 11147  1c1 11149   + caddc 11151   < clt 11288   ≀ cle 11289   βˆ’ cmin 11484  2c2 12307  3c3 12308  β„•0cn0 12512  β„€cz 12598  β„€β‰₯cuz 12862  β†‘cexp 14068  FermatNocfmtno 46914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fmtno 46915
This theorem is referenced by:  fmtnonn  46918  prmdvdsfmtnof  46973  prmdvdsfmtnof1  46974
  Copyright terms: Public domain W3C validator