Theorem fmtnoge3 47517

Description: Each Fermat number is greater than or equal to 3. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoge3	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘3))

Proof of Theorem fmtnoge3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmtno 47516	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
2		3z 12650	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℤ)
4		2nn0 12543	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
6		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	5, 6	nn0expcld 14285	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
8	5, 7	nn0expcld 14285	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
9		peano2nn0 12566	. . . . 5 ⊢ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 12639	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
12		3m1e2 12394	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
13		2cn 12341	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		exp1 14108	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (2↑1) = 2
16		2re 12340	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
18		1le2 12475	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ 2)
20	17, 6, 19	expge1d 14205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (2↑𝑁))
21		1zzd 12648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
22	7	nn0zd 12639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
23		1lt2 12437	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
25	17, 21, 22, 24	leexp2d 14291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ (2↑𝑁) ↔ (2↑1) ≤ (2↑(2↑𝑁))))
26	20, 25	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑1) ≤ (2↑(2↑𝑁)))
27	15, 26	eqbrtrrid 5179	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ (2↑(2↑𝑁)))
28	12, 27	eqbrtrid 5178	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 − 1) ≤ (2↑(2↑𝑁)))
29		3re 12346	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℝ)
31		1red 11262	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
32	8	nn0red 12588	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℝ)
33	30, 31, 32	lesubaddd 11860	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((3 − 1) ≤ (2↑(2↑𝑁)) ↔ 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
34	28, 33	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
35		eluz2 12884	. . 3 ⊢ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
36	3, 11, 34, 35	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) ∈ (ℤ≥‘3))
37	1, 36	eqeltrd 2841	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘3))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  2c2 12321  3c3 12322  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ↑cexp 14102  FermatNocfmtno 47514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fmtno 47515

This theorem is referenced by:  fmtnonn  47518  prmdvdsfmtnof  47573  prmdvdsfmtnof1  47574