Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnof1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnof1 47107
Description: The enumeration of the Fermat numbers is a one-one function into the positive integers. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnof1 FermatNo:ℕ01-1→ℕ

Proof of Theorem fmtnof1
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fmtno 47100 . . 3 FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
2 2nn 12337 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
4 2nn0 12541 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
6 id 22 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
75, 6nn0expcld 14263 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
83, 7nnexpcld 14262 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ)
98peano2nnd 12281 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℕ)
101, 9fmpti 7126 . 2 FermatNo:ℕ0⟶ℕ
11 fmtno 47101 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
12 fmtno 47101 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑚) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1))
1311, 12eqeqan12d 2740 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) ↔ ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1)))
145, 7nn0expcld 14263 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 12586 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℂ)
1615adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℂ)
174a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
18 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0)
1917, 18nn0expcld 14263 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℕ0)
2017, 19nn0expcld 14263 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℕ0)
2120nn0cnd 12586 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℂ)
2221adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℂ)
23 1cnd 11259 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
2416, 22, 23addcan2d 11468 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) ↔ (2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚))))
25 2re 12338 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
277nn0zd 12636 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
2827adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
2919nn0zd 12636 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
3029adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
31 1lt2 12435 . . . . . . . 8 1 < 2
3231a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → 1 < 2)
33 expcan 14188 . . . . . . 7 (((2 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑛) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚)) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
3426, 28, 30, 32, 33syl31anc 1370 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚)) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
3524, 34bitrd 278 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
36 nn0z 12635 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
3736adantr 479 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
38 nn0z 12635 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℤ)
3938adantl 480 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℤ)
40 expcan 14188 . . . . . . 7 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) ↔ 𝑛 = 𝑚))
4140biimpd 228 . . . . . 6 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
4226, 37, 39, 32, 41syl31anc 1370 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
4335, 42sylbid 239 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) → 𝑛 = 𝑚))
4413, 43sylbid 239 . . 3 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
4544rgen2 3188 . 2 𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0 ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚)
46 dff13 7270 . 2 (FermatNo:ℕ01-1→ℕ ↔ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0 ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚)))
4710, 45, 46mpbir2an 709 1 FermatNo:ℕ01-1→ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051   class class class wbr 5153  wf 6550  1-1wf1 6551  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  cr 11157  1c1 11159   + caddc 11161   < clt 11298  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12610  cexp 14081  FermatNocfmtno 47099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fmtno 47100
This theorem is referenced by:  fmtnoinf  47108
  Copyright terms: Public domain W3C validator