Theorem fmtnof1 48213

Description: The enumeration of the Fermat numbers is a one-one function into the positive integers. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnof1	⊢ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ

Proof of Theorem fmtnof1

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fmtno 48206	. . 3 ⊢ FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
2		2nn 12316	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
4		2nn0 12523	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
6		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
7	5, 6	nn0expcld 14284	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
8	3, 7	nnexpcld 14283	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ)
9	8	peano2nnd 12252	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℕ)
10	1, 9	fmpti 7110	. 2 ⊢ FermatNo:ℕ0⟶ℕ
11		fmtno 48207	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
12		fmtno 48207	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑚) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1))
13	11, 12	eqeqan12d 2783	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) ↔ ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1)))
14	5, 7	nn0expcld 14284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℂ)
16	15	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℂ)
17	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
18		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℕ0)
19	17, 18	nn0expcld 14284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℕ0)
20	17, 19	nn0expcld 14284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℕ0)
21	20	nn0cnd 12569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℂ)
22	21	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℂ)
23		1cnd 11204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
24	16, 22, 23	addcan2d 11416	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) ↔ (2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚))))
25		2re 12317	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
27	7	nn0zd 12618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
28	27	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
29	19	nn0zd 12618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
30	29	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
31		1lt2 12415	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 < 2)
33		expcan 14207	. . . . . . 7 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑛) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚)) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
34	26, 28, 30, 32, 33	syl31anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚)) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
35	24, 34	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
36		nn0z 12617	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
37	36	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
38		nn0z 12617	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℤ)
39	38	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℤ)
40		expcan 14207	. . . . . . 7 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) ↔ 𝑛 = 𝑚))
41	40	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
42	26, 37, 39, 32, 41	syl31anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
43	35, 42	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) → 𝑛 = 𝑚))
44	13, 43	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
45	44	rgen2 3211	. 2 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚)
46		dff13 7255	. 2 ⊢ (FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ ↔ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚)))
47	10, 45, 46	mpbir2an 723	1 ⊢ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   class class class wbr 5113  ⟶wf 6535  –1-1→wf1 6536  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  ℂcc 11100  ℝcr 11101  1c1 11103   + caddc 11105   < clt 11245  ℕcn 12235  2c2 12297  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ↑cexp 14099  FermatNocfmtno 48205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-rp 13019  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fmtno 48206

This theorem is referenced by:  fmtnoinf  48214