Theorem fmtnof1 48013

Description: The enumeration of the Fermat numbers is a one-one function into the positive integers. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnof1	⊢ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ

Proof of Theorem fmtnof1

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fmtno 48006	. . 3 ⊢ FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
2		2nn 12245	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
4		2nn0 12445	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
7	5, 6	nn0expcld 14199	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
8	3, 7	nnexpcld 14198	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ)
9	8	peano2nnd 12182	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℕ)
10	1, 9	fmpti 7053	. 2 ⊢ FermatNo:ℕ0⟶ℕ
11		fmtno 48007	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
12		fmtno 48007	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑚) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1))
13	11, 12	eqeqan12d 2753	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) ↔ ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1)))
14	5, 7	nn0expcld 14199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℂ)
16	15	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℂ)
17	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
18		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℕ0)
19	17, 18	nn0expcld 14199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℕ0)
20	17, 19	nn0expcld 14199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℕ0)
21	20	nn0cnd 12491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℂ)
22	21	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℂ)
23		1cnd 11130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
24	16, 22, 23	addcan2d 11341	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) ↔ (2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚))))
25		2re 12246	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
27	7	nn0zd 12540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
28	27	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
29	19	nn0zd 12540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
30	29	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
31		1lt2 12338	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 < 2)
33		expcan 14122	. . . . . . 7 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑛) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚)) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
34	26, 28, 30, 32, 33	syl31anc 1381	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚)) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
35	24, 34	bitrd 280	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
36		nn0z 12539	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
37	36	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
38		nn0z 12539	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℤ)
39	38	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℤ)
40		expcan 14122	. . . . . . 7 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) ↔ 𝑛 = 𝑚))
41	40	biimpd 230	. . . . . 6 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
42	26, 37, 39, 32, 41	syl31anc 1381	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
43	35, 42	sylbid 241	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) → 𝑛 = 𝑚))
44	13, 43	sylbid 241	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
45	44	rgen2 3179	. 2 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚)
46		dff13 7198	. 2 ⊢ (FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ ↔ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚)))
47	10, 45, 46	mpbir2an 717	1 ⊢ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   class class class wbr 5072  ⟶wf 6481  –1-1→wf1 6482  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ↑cexp 14014  FermatNocfmtno 48005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fmtno 48006

This theorem is referenced by:  fmtnoinf  48014