Theorem fmtnof1 47536

Description: The enumeration of the Fermat numbers is a one-one function into the positive integers. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnof1	⊢ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ

Proof of Theorem fmtnof1

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fmtno 47529	. . 3 ⊢ FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
2		2nn 12259	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
4		2nn0 12459	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
7	5, 6	nn0expcld 14211	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
8	3, 7	nnexpcld 14210	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ)
9	8	peano2nnd 12203	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℕ)
10	1, 9	fmpti 7084	. 2 ⊢ FermatNo:ℕ0⟶ℕ
11		fmtno 47530	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
12		fmtno 47530	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑚) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1))
13	11, 12	eqeqan12d 2743	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) ↔ ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1)))
14	5, 7	nn0expcld 14211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℂ)
17	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
18		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℕ0)
19	17, 18	nn0expcld 14211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℕ0)
20	17, 19	nn0expcld 14211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℕ0)
21	20	nn0cnd 12505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℂ)
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℂ)
23		1cnd 11169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
24	16, 22, 23	addcan2d 11378	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) ↔ (2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚))))
25		2re 12260	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
27	7	nn0zd 12555	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
29	19	nn0zd 12555	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
30	29	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
31		1lt2 12352	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 < 2)
33		expcan 14134	. . . . . . 7 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑛) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚)) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
34	26, 28, 30, 32, 33	syl31anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚)) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
35	24, 34	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
36		nn0z 12554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
38		nn0z 12554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℤ)
39	38	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℤ)
40		expcan 14134	. . . . . . 7 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) ↔ 𝑛 = 𝑚))
41	40	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
42	26, 37, 39, 32, 41	syl31anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
43	35, 42	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) → 𝑛 = 𝑚))
44	13, 43	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
45	44	rgen2 3177	. 2 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚)
46		dff13 7229	. 2 ⊢ (FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ ↔ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚)))
47	10, 45, 46	mpbir2an 711	1 ⊢ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   class class class wbr 5107  ⟶wf 6507  –1-1→wf1 6508  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208  ℕcn 12186  2c2 12241  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ↑cexp 14026  FermatNocfmtno 47528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fmtno 47529

This theorem is referenced by:  fmtnoinf  47537