Theorem fmtnof1 44875

Description: The enumeration of the Fermat numbers is a one-one function into the positive integers. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnof1	⊢ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ

Proof of Theorem fmtnof1

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fmtno 44868	. . 3 ⊢ FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
2		2nn 11976	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
4		2nn0 12180	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
7	5, 6	nn0expcld 13889	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
8	3, 7	nnexpcld 13888	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ)
9	8	peano2nnd 11920	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℕ)
10	1, 9	fmpti 6968	. 2 ⊢ FermatNo:ℕ0⟶ℕ
11		fmtno 44869	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
12		fmtno 44869	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑚) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1))
13	11, 12	eqeqan12d 2752	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) ↔ ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1)))
14	5, 7	nn0expcld 13889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℂ)
17	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
18		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℕ0)
19	17, 18	nn0expcld 13889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℕ0)
20	17, 19	nn0expcld 13889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℕ0)
21	20	nn0cnd 12225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℂ)
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℂ)
23		1cnd 10901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
24	16, 22, 23	addcan2d 11109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) ↔ (2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚))))
25		2re 11977	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
27	7	nn0zd 12353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
29	19	nn0zd 12353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
30	29	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
31		1lt2 12074	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 < 2)
33		expcan 13815	. . . . . . 7 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑛) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚)) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
34	26, 28, 30, 32, 33	syl31anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚)) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
35	24, 34	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
36		nn0z 12273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
38		nn0z 12273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℤ)
39	38	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℤ)
40		expcan 13815	. . . . . . 7 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) ↔ 𝑛 = 𝑚))
41	40	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
42	26, 37, 39, 32, 41	syl31anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
43	35, 42	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) → 𝑛 = 𝑚))
44	13, 43	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
45	44	rgen2 3126	. 2 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚)
46		dff13 7109	. 2 ⊢ (FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ ↔ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚)))
47	10, 45, 46	mpbir2an 707	1 ⊢ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  –1-1→wf1 6415  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ↑cexp 13710  FermatNocfmtno 44867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fmtno 44868

This theorem is referenced by:  fmtnoinf  44876