Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnof1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnof1 44660
Description: The enumeration of the Fermat numbers is a one-one function into the positive integers. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnof1 FermatNo:ℕ01-1→ℕ

Proof of Theorem fmtnof1
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fmtno 44653 . . 3 FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
2 2nn 11903 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
4 2nn0 12107 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
6 id 22 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
75, 6nn0expcld 13813 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
83, 7nnexpcld 13812 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ)
98peano2nnd 11847 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℕ)
101, 9fmpti 6929 . 2 FermatNo:ℕ0⟶ℕ
11 fmtno 44654 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
12 fmtno 44654 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑚) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1))
1311, 12eqeqan12d 2751 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) ↔ ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1)))
145, 7nn0expcld 13813 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 12152 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℂ)
1615adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℂ)
174a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
18 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0)
1917, 18nn0expcld 13813 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℕ0)
2017, 19nn0expcld 13813 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℕ0)
2120nn0cnd 12152 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℂ)
2221adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℂ)
23 1cnd 10828 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
2416, 22, 23addcan2d 11036 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) ↔ (2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚))))
25 2re 11904 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
277nn0zd 12280 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
2827adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
2919nn0zd 12280 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
3029adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
31 1lt2 12001 . . . . . . . 8 1 < 2
3231a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → 1 < 2)
33 expcan 13739 . . . . . . 7 (((2 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑛) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚)) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
3426, 28, 30, 32, 33syl31anc 1375 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚)) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
3524, 34bitrd 282 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
36 nn0z 12200 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
3736adantr 484 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
38 nn0z 12200 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℤ)
3938adantl 485 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℤ)
40 expcan 13739 . . . . . . 7 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) ↔ 𝑛 = 𝑚))
4140biimpd 232 . . . . . 6 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
4226, 37, 39, 32, 41syl31anc 1375 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
4335, 42sylbid 243 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) → 𝑛 = 𝑚))
4413, 43sylbid 243 . . 3 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
4544rgen2 3124 . 2 𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0 ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚)
46 dff13 7067 . 2 (FermatNo:ℕ01-1→ℕ ↔ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0 ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚)))
4710, 45, 46mpbir2an 711 1 FermatNo:ℕ01-1→ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061   class class class wbr 5053  wf 6376  1-1wf1 6377  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  cr 10728  1c1 10730   + caddc 10732   < clt 10867  cn 11830  2c2 11885  0cn0 12090  cz 12176  cexp 13635  FermatNocfmtno 44652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fmtno 44653
This theorem is referenced by:  fmtnoinf  44661
  Copyright terms: Public domain W3C validator