Theorem fmtnof1 46502

Description: The enumeration of the Fermat numbers is a one-one function into the positive integers. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnof1	⊢ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ

Proof of Theorem fmtnof1

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fmtno 46495	. . 3 ⊢ FermatNo = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
2		2nn 12289	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
4		2nn0 12493	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
7	5, 6	nn0expcld 14213	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℕ0)
8	3, 7	nnexpcld 14212	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ)
9	8	peano2nnd 12233	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑛)) + 1) ∈ ℕ)
10	1, 9	fmpti 7113	. 2 ⊢ FermatNo:ℕ0⟶ℕ
11		fmtno 46496	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) = ((2↑(2↑𝑛)) + 1))
12		fmtno 46496	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑚) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1))
13	11, 12	eqeqan12d 2746	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) ↔ ((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1)))
14	5, 7	nn0expcld 14213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℂ)
16	15	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑛)) ∈ ℂ)
17	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
18		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℕ0)
19	17, 18	nn0expcld 14213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℕ0)
20	17, 19	nn0expcld 14213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℕ0)
21	20	nn0cnd 12538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℂ)
22	21	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑚)) ∈ ℂ)
23		1cnd 11213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
24	16, 22, 23	addcan2d 11422	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) ↔ (2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚))))
25		2re 12290	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
27	7	nn0zd 12588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
28	27	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℤ)
29	19	nn0zd 12588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
30	29	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
31		1lt2 12387	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 < 2)
33		expcan 14138	. . . . . . 7 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑛) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚)) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
34	26, 28, 30, 32, 33	syl31anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑(2↑𝑛)) = (2↑(2↑𝑚)) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
35	24, 34	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) ↔ (2↑𝑛) = (2↑𝑚)))
36		nn0z 12587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
37	36	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
38		nn0z 12587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℤ)
39	38	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℤ)
40		expcan 14138	. . . . . . 7 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) ↔ 𝑛 = 𝑚))
41	40	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ 1 < 2) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
42	26, 37, 39, 32, 41	syl31anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑛) = (2↑𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
43	35, 42	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑(2↑𝑛)) + 1) = ((2↑(2↑𝑚)) + 1) → 𝑛 = 𝑚))
44	13, 43	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚))
45	44	rgen2 3197	. 2 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚)
46		dff13 7256	. 2 ⊢ (FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ ↔ (FermatNo:ℕ0⟶ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((FermatNo‘𝑛) = (FermatNo‘𝑚) → 𝑛 = 𝑚)))
47	10, 45, 46	mpbir2an 709	1 ⊢ FermatNo:ℕ0–1-1→ℕ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   class class class wbr 5148  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252  ℕcn 12216  2c2 12271  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ↑cexp 14031  FermatNocfmtno 46494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fmtno 46495

This theorem is referenced by:  fmtnoinf  46503