Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoodd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fmtnoodd 46908
Description: Each Fermat number is odd. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoodd (𝑁 ∈ β„•0 β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
Proof of Theorem fmtnoodd
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 12313 . . . . . 6 2 ∈ β„•
21a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„•)
3 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
42, 3nnexpcld 14237 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•)
5 nnm1nn0 12541 . . . . . 6 ((2↑𝑁) ∈ β„• β†’ ((2↑𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
72, 6nnexpcld 14237 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„•)
87nnzd 12613 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„€)
9 oveq2 7422 . . . . 5 (π‘˜ = (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1)) β†’ (2 Β· π‘˜) = (2 Β· (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1))))
109oveq1d 7429 . . . 4 (π‘˜ = (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1)) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) = ((2 Β· (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1))) + 1))
11 fmtno 46904 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
1210, 11eqeqan12rd 2740 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ = (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1))) β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) = (FermatNoβ€˜π‘) ↔ ((2 Β· (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1))) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
13 2cnd 12318 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„‚)
147nncnd 12256 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
1513, 14mulcomd 11263 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2 Β· (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1))) = ((2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1)) Β· 2))
16 expm1t 14085 . . . . . 6 ((2 ∈ β„‚ ∧ (2↑𝑁) ∈ β„•) β†’ (2↑(2↑𝑁)) = ((2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1)) Β· 2))
1713, 4, 16syl2anc 582 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑𝑁)) = ((2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1)) Β· 2))
1815, 17eqtr4d 2768 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2 Β· (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1))) = (2↑(2↑𝑁)))
1918oveq1d 7429 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1))) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
208, 12, 19rspcedvd 3603 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((2 Β· π‘˜) + 1) = (FermatNoβ€˜π‘))
21 fmtnonn 46906 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) ∈ β„•)
2221nnzd 12613 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) ∈ β„€)
23 odd2np1 16315 . . 3 ((FermatNoβ€˜π‘) ∈ β„€ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((2 Β· π‘˜) + 1) = (FermatNoβ€˜π‘)))
2422, 23syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((2 Β· π‘˜) + 1) = (FermatNoβ€˜π‘)))
2520, 24mpbird 256 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  β„‚cc 11134  1c1 11137   + caddc 11139   Β· cmul 11141   βˆ’ cmin 11472  β„•cn 12240  2c2 12295  β„•0cn0 12500  β„€cz 12586  β†‘cexp 14056   βˆ₯ cdvds 16228  FermatNocfmtno 46902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 13997  df-exp 14057  df-dvds 16229  df-fmtno 46903
This theorem is referenced by:  goldbachthlem2  46921  fmtnoprmfac1  46940  fmtnoprmfac2  46942
  Copyright terms: Public domain W3C validator