Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnoodd 44942
Description: Each Fermat number is odd. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoodd (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))

Proof of Theorem fmtnoodd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 12035 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
21a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
3 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
42, 3nnexpcld 13949 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
5 nnm1nn0 12263 . . . . . 6 ((2↑𝑁) ∈ ℕ → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
72, 6nnexpcld 13949 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
87nnzd 12414 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
9 oveq2 7277 . . . . 5 (𝑘 = (2↑((2↑𝑁) − 1)) → (2 · 𝑘) = (2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))))
109oveq1d 7284 . . . 4 (𝑘 = (2↑((2↑𝑁) − 1)) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) + 1))
11 fmtno 44938 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
1210, 11eqeqan12rd 2753 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 = (2↑((2↑𝑁) − 1))) → (((2 · 𝑘) + 1) = (FermatNo‘𝑁) ↔ ((2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
13 2cnd 12040 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
147nncnd 11978 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
1513, 14mulcomd 10985 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) = ((2↑((2↑𝑁) − 1)) · 2))
16 expm1t 13800 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ) → (2↑(2↑𝑁)) = ((2↑((2↑𝑁) − 1)) · 2))
1713, 4, 16syl2anc 584 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) = ((2↑((2↑𝑁) − 1)) · 2))
1815, 17eqtr4d 2781 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) = (2↑(2↑𝑁)))
1918oveq1d 7284 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
208, 12, 19rspcedvd 3564 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (FermatNo‘𝑁))
21 fmtnonn 44940 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ)
2221nnzd 12414 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
23 odd2np1 16039 . . 3 ((FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (FermatNo‘𝑁)))
2422, 23syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (FermatNo‘𝑁)))
2520, 24mpbird 256 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205   = wceq 1539  wcel 2106  wrex 3065   class class class wbr 5075  cfv 6428  (class class class)co 7269  cc 10858  1c1 10861   + caddc 10863   · cmul 10865  cmin 11194  cn 11962  2c2 12017  0cn0 12222  cz 12308  cexp 13771  cdvds 15952  FermatNocfmtno 44936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-pre-mulgt0 10937
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5486  df-eprel 5492  df-po 5500  df-so 5501  df-fr 5541  df-we 5543  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-pred 6197  df-ord 6264  df-on 6265  df-lim 6266  df-suc 6267  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8487  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004  df-sub 11196  df-neg 11197  df-div 11622  df-nn 11963  df-2 12025  df-3 12026  df-n0 12223  df-z 12309  df-uz 12572  df-rp 12720  df-seq 13711  df-exp 13772  df-dvds 15953  df-fmtno 44937
This theorem is referenced by:  goldbachthlem2  44955  fmtnoprmfac1  44974  fmtnoprmfac2  44976
  Copyright terms: Public domain W3C validator