Theorem fmtnoodd 48317

Description: Each Fermat number is odd. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoodd	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))

Proof of Theorem fmtnoodd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12324	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
3		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	nnexpcld 14292	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
5		nnm1nn0 12555	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝑁) ∈ ℕ → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
7	2, 6	nnexpcld 14292	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12627	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
9		oveq2 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (2↑((2↑𝑁) − 1)) → (2 · 𝑘) = (2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))))
10	9	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (2↑((2↑𝑁) − 1)) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) + 1))
11		fmtno 48313	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
12	10, 11	eqeqan12rd 2781	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 = (2↑((2↑𝑁) − 1))) → (((2 · 𝑘) + 1) = (FermatNo‘𝑁) ↔ ((2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
13		2cnd 12329	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
14	7	nncnd 12259	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
15	13, 14	mulcomd 11240	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) = ((2↑((2↑𝑁) − 1)) · 2))
16		expm1t 14137	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ) → (2↑(2↑𝑁)) = ((2↑((2↑𝑁) − 1)) · 2))
17	13, 4, 16	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) = ((2↑((2↑𝑁) − 1)) · 2))
18	15, 17	eqtr4d 2804	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) = (2↑(2↑𝑁)))
19	18	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
20	8, 12, 19	rspcedvd 3586	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (FermatNo‘𝑁))
21		fmtnonn 48315	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ)
22	21	nnzd 12627	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
23		odd2np1 16409	. . 3 ⊢ ((FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (FermatNo‘𝑁)))
24	22, 23	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (FermatNo‘𝑁)))
25	20, 24	mpbird 260	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092   class class class wbr 5112  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11108  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   − cmin 11451  ℕcn 12243  2c2 12305  ℕ₀cn0 12514  ℤcz 12601  ↑cexp 14108   ∥ cdvds 16320  FermatNocfmtno 48311

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-rp 13027  df-seq 14049  df-exp 14109  df-dvds 16321  df-fmtno 48312

This theorem is used by:  goldbachthlem2  48330  fmtnoprmfac1  48349  fmtnoprmfac2  48351