Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoodd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fmtnoodd 46187
Description: Each Fermat number is odd. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoodd (𝑁 ∈ β„•0 β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
Proof of Theorem fmtnoodd
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 12281 . . . . . 6 2 ∈ β„•
21a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„•)
3 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
42, 3nnexpcld 14204 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•)
5 nnm1nn0 12509 . . . . . 6 ((2↑𝑁) ∈ β„• β†’ ((2↑𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
72, 6nnexpcld 14204 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„•)
87nnzd 12581 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„€)
9 oveq2 7413 . . . . 5 (π‘˜ = (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1)) β†’ (2 Β· π‘˜) = (2 Β· (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1))))
109oveq1d 7420 . . . 4 (π‘˜ = (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1)) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) = ((2 Β· (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1))) + 1))
11 fmtno 46183 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
1210, 11eqeqan12rd 2747 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ = (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1))) β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) = (FermatNoβ€˜π‘) ↔ ((2 Β· (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1))) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
13 2cnd 12286 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„‚)
147nncnd 12224 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
1513, 14mulcomd 11231 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2 Β· (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1))) = ((2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1)) Β· 2))
16 expm1t 14052 . . . . . 6 ((2 ∈ β„‚ ∧ (2↑𝑁) ∈ β„•) β†’ (2↑(2↑𝑁)) = ((2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1)) Β· 2))
1713, 4, 16syl2anc 584 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑𝑁)) = ((2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1)) Β· 2))
1815, 17eqtr4d 2775 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2 Β· (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1))) = (2↑(2↑𝑁)))
1918oveq1d 7420 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· (2↑((2↑𝑁) βˆ’ 1))) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
208, 12, 19rspcedvd 3614 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((2 Β· π‘˜) + 1) = (FermatNoβ€˜π‘))
21 fmtnonn 46185 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) ∈ β„•)
2221nnzd 12581 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) ∈ β„€)
23 odd2np1 16280 . . 3 ((FermatNoβ€˜π‘) ∈ β„€ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((2 Β· π‘˜) + 1) = (FermatNoβ€˜π‘)))
2422, 23syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ ((2 Β· π‘˜) + 1) = (FermatNoβ€˜π‘)))
2520, 24mpbird 256 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β†‘cexp 14023   βˆ₯ cdvds 16193  FermatNocfmtno 46181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-dvds 16194  df-fmtno 46182
This theorem is referenced by:  goldbachthlem2  46200  fmtnoprmfac1  46219  fmtnoprmfac2  46221
  Copyright terms: Public domain W3C validator