Theorem fmtnoodd 48726

Description: Each Fermat number is odd. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoodd	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))

Proof of Theorem fmtnoodd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12423	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
3		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	nnexpcld 14396	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
5		nnm1nn0 12654	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝑁) ∈ ℕ → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
7	2, 6	nnexpcld 14396	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12726	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
9		oveq2 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (2↑((2↑𝑁) − 1)) → (2 · 𝑘) = (2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))))
10	9	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (2↑((2↑𝑁) − 1)) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) + 1))
11		fmtno 48722	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
12	10, 11	eqeqan12rd 2775	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 = (2↑((2↑𝑁) − 1))) → (((2 · 𝑘) + 1) = (FermatNo‘𝑁) ↔ ((2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
13		2cnd 12428	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
14	7	nncnd 12358	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
15	13, 14	mulcomd 11337	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) = ((2↑((2↑𝑁) − 1)) · 2))
16		expm1t 14240	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ) → (2↑(2↑𝑁)) = ((2↑((2↑𝑁) − 1)) · 2))
17	13, 4, 16	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) = ((2↑((2↑𝑁) − 1)) · 2))
18	15, 17	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) = (2↑(2↑𝑁)))
19	18	oveq1d 7439	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
20	8, 12, 19	rspcedvd 3578	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (FermatNo‘𝑁))
21		fmtnonn 48724	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ)
22	21	nnzd 12726	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
23		odd2np1 16520	. . 3 ⊢ ((FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (FermatNo‘𝑁)))
24	22, 23	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (FermatNo‘𝑁)))
25	20, 24	mpbird 260	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212   − cmin 11548  ℕcn 12342  2c2 12404  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700  ↑cexp 14211   ∥ cdvds 16431  FermatNocfmtno 48720

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-seq 14152  df-exp 14212  df-dvds 16432  df-fmtno 48721

This theorem is used by:  goldbachthlem2  48739  fmtnoprmfac1  48758  fmtnoprmfac2  48760