Theorem fmtnoodd 44942

Description: Each Fermat number is odd. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoodd	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))

Proof of Theorem fmtnoodd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12035	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
3		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	nnexpcld 13949	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
5		nnm1nn0 12263	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝑁) ∈ ℕ → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
7	2, 6	nnexpcld 13949	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12414	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
9		oveq2 7277	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (2↑((2↑𝑁) − 1)) → (2 · 𝑘) = (2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))))
10	9	oveq1d 7284	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (2↑((2↑𝑁) − 1)) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) + 1))
11		fmtno 44938	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
12	10, 11	eqeqan12rd 2753	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 = (2↑((2↑𝑁) − 1))) → (((2 · 𝑘) + 1) = (FermatNo‘𝑁) ↔ ((2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1)))
13		2cnd 12040	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
14	7	nncnd 11978	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
15	13, 14	mulcomd 10985	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) = ((2↑((2↑𝑁) − 1)) · 2))
16		expm1t 13800	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ) → (2↑(2↑𝑁)) = ((2↑((2↑𝑁) − 1)) · 2))
17	13, 4, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) = ((2↑((2↑𝑁) − 1)) · 2))
18	15, 17	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) = (2↑(2↑𝑁)))
19	18	oveq1d 7284	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · (2↑((2↑𝑁) − 1))) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
20	8, 12, 19	rspcedvd 3564	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (FermatNo‘𝑁))
21		fmtnonn 44940	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℕ)
22	21	nnzd 12414	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ)
23		odd2np1 16039	. . 3 ⊢ ((FermatNo‘𝑁) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (FermatNo‘𝑁)))
24	22, 23	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (FermatNo‘𝑁)))
25	20, 24	mpbird 256	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ (FermatNo‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   class class class wbr 5075  ‘cfv 6428  (class class class)co 7269  ℂcc 10858  1c1 10861   + caddc 10863   · cmul 10865   − cmin 11194  ℕcn 11962  2c2 12017  ℕ₀cn0 12222  ℤcz 12308  ↑cexp 13771   ∥ cdvds 15952  FermatNocfmtno 44936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-pre-mulgt0 10937

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5486  df-eprel 5492  df-po 5500  df-so 5501  df-fr 5541  df-we 5543  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-pred 6197  df-ord 6264  df-on 6265  df-lim 6266  df-suc 6267  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8487  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004  df-sub 11196  df-neg 11197  df-div 11622  df-nn 11963  df-2 12025  df-3 12026  df-n0 12223  df-z 12309  df-uz 12572  df-rp 12720  df-seq 13711  df-exp 13772  df-dvds 15953  df-fmtno 44937

This theorem is referenced by:  goldbachthlem2  44955  fmtnoprmfac1  44974  fmtnoprmfac2  44976