Theorem fmtno3 46891

Description: The 3 rd Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 13-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno3	⊢ (FermatNo‘3) = ;;257

Proof of Theorem fmtno3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12521	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		fmtno 46869	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘3) = ((2↑(2↑3)) + 1))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (FermatNo‘3) = ((2↑(2↑3)) + 1)
4		cu2 14196	. . . . 5 ⊢ (2↑3) = 8
5	4	oveq2i 7431	. . . 4 ⊢ (2↑(2↑3)) = (2↑8)
6	5	oveq1i 7430	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑3)) + 1) = ((2↑8) + 1)
7		2exp8 17058	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
8	7	oveq1i 7430	. . 3 ⊢ ((2↑8) + 1) = (;;256 + 1)
9		2nn0 12520	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10		5nn0 12523	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12723	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
12		6nn0 12524	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		6p1e7 12391	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
14		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
15	11, 12, 13, 14	decsuc 12739	. . 3 ⊢ (;;256 + 1) = ;;257
16	6, 8, 15	3eqtri 2760	. 2 ⊢ ((2↑(2↑3)) + 1) = ;;257
17	3, 16	eqtri 2756	1 ⊢ (FermatNo‘3) = ;;257

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  1c1 11140   + caddc 11142  2c2 12298  3c3 12299  5c5 12301  6c6 12302  7c7 12303  8c8 12304  ℕ₀cn0 12503  ;cdc 12708  ↑cexp 14059  FermatNocfmtno 46867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fmtno 46868

This theorem is referenced by:  fmtno3prm  46902