Theorem fmtno3 48159

Description: The 3 rd Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 13-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno3	⊢ (FermatNo‘3) = ;;257

Proof of Theorem fmtno3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12510	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		fmtno 48137	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘3) = ((2↑(2↑3)) + 1))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (FermatNo‘3) = ((2↑(2↑3)) + 1)
4		cu2 14224	. . . . 5 ⊢ (2↑3) = 8
5	4	oveq2i 7411	. . . 4 ⊢ (2↑(2↑3)) = (2↑8)
6	5	oveq1i 7410	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑3)) + 1) = ((2↑8) + 1)
7		2exp8 17136	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
8	7	oveq1i 7410	. . 3 ⊢ ((2↑8) + 1) = (;;256 + 1)
9		2nn0 12509	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10		5nn0 12512	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12714	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
12		6nn0 12513	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		6p1e7 12376	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
14		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
15	11, 12, 13, 14	decsuc 12735	. . 3 ⊢ (;;256 + 1) = ;;257
16	6, 8, 15	3eqtri 2792	. 2 ⊢ ((2↑(2↑3)) + 1) = ;;257
17	3, 16	eqtri 2788	1 ⊢ (FermatNo‘3) = ;;257

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1c1 11089   + caddc 11091  2c2 12283  3c3 12284  5c5 12286  6c6 12287  7c7 12288  8c8 12289  ℕ₀cn0 12492  ;cdc 12699  ↑cexp 14085  FermatNocfmtno 48135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-seq 14026  df-exp 14086  df-fmtno 48136

This theorem is referenced by:  fmtno3prm  48170