Theorem fmtno3 47123

Description: The 3 rd Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 13-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno3	⊢ (FermatNo‘3) = ;;257

Proof of Theorem fmtno3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12542	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		fmtno 47101	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘3) = ((2↑(2↑3)) + 1))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (FermatNo‘3) = ((2↑(2↑3)) + 1)
4		cu2 14218	. . . . 5 ⊢ (2↑3) = 8
5	4	oveq2i 7435	. . . 4 ⊢ (2↑(2↑3)) = (2↑8)
6	5	oveq1i 7434	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑3)) + 1) = ((2↑8) + 1)
7		2exp8 17091	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
8	7	oveq1i 7434	. . 3 ⊢ ((2↑8) + 1) = (;;256 + 1)
9		2nn0 12541	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10		5nn0 12544	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12744	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
12		6nn0 12545	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		6p1e7 12412	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
14		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
15	11, 12, 13, 14	decsuc 12760	. . 3 ⊢ (;;256 + 1) = ;;257
16	6, 8, 15	3eqtri 2758	. 2 ⊢ ((2↑(2↑3)) + 1) = ;;257
17	3, 16	eqtri 2754	1 ⊢ (FermatNo‘3) = ;;257

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  1c1 11159   + caddc 11161  2c2 12319  3c3 12320  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  ℕ₀cn0 12524  ;cdc 12729  ↑cexp 14081  FermatNocfmtno 47099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fmtno 47100

This theorem is referenced by:  fmtno3prm  47134