Theorem fmtno3 42139

Description: The 3 rd Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 13-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno3	⊢ (FermatNo‘3) = ;;257

Proof of Theorem fmtno3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 11558	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		fmtno 42117	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘3) = ((2↑(2↑3)) + 1))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (FermatNo‘3) = ((2↑(2↑3)) + 1)
4		cu2 13170	. . . . 5 ⊢ (2↑3) = 8
5	4	oveq2i 6853	. . . 4 ⊢ (2↑(2↑3)) = (2↑8)
6	5	oveq1i 6852	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑3)) + 1) = ((2↑8) + 1)
7		2exp8 16070	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
8	7	oveq1i 6852	. . 3 ⊢ ((2↑8) + 1) = (;;256 + 1)
9		2nn0 11557	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10		5nn0 11560	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 11755	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
12		6nn0 11561	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		6p1e7 11426	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
14		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
15	11, 12, 13, 14	decsuc 11772	. . 3 ⊢ (;;256 + 1) = ;;257
16	6, 8, 15	3eqtri 2791	. 2 ⊢ ((2↑(2↑3)) + 1) = ;;257
17	3, 16	eqtri 2787	1 ⊢ (FermatNo‘3) = ;;257

Syntax hints:   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842  1c1 10190   + caddc 10192  2c2 11327  3c3 11328  5c5 11330  6c6 11331  7c7 11332  8c8 11333  ℕ₀cn0 11538  ;cdc 11740  ↑cexp 13067  FermatNocfmtno 42115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fmtno 42116

This theorem is referenced by:  fmtno3prm  42150