Theorem fmtno3 48120

Description: The 3 rd Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 13-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno3	⊢ (FermatNo‘3) = ;;257

Proof of Theorem fmtno3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12492	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		fmtno 48098	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘3) = ((2↑(2↑3)) + 1))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (FermatNo‘3) = ((2↑(2↑3)) + 1)
4		cu2 14206	. . . . 5 ⊢ (2↑3) = 8
5	4	oveq2i 7401	. . . 4 ⊢ (2↑(2↑3)) = (2↑8)
6	5	oveq1i 7400	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑3)) + 1) = ((2↑8) + 1)
7		2exp8 17114	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
8	7	oveq1i 7400	. . 3 ⊢ ((2↑8) + 1) = (;;256 + 1)
9		2nn0 12491	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10		5nn0 12494	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12696	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
12		6nn0 12495	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		6p1e7 12358	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
14		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
15	11, 12, 13, 14	decsuc 12717	. . 3 ⊢ (;;256 + 1) = ;;257
16	6, 8, 15	3eqtri 2788	. 2 ⊢ ((2↑(2↑3)) + 1) = ;;257
17	3, 16	eqtri 2784	1 ⊢ (FermatNo‘3) = ;;257

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  1c1 11067   + caddc 11069  2c2 12265  3c3 12266  5c5 12268  6c6 12269  7c7 12270  8c8 12271  ℕ₀cn0 12474  ;cdc 12681  ↑cexp 14067  FermatNocfmtno 48096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-seq 14008  df-exp 14068  df-fmtno 48097

This theorem is referenced by:  fmtno3prm  48131