fmtnorec4 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem fmtnorec4 45001

Description: The fourth recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", 31-Jul-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties. (Contributed by AV, 31-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
fmtnorec4	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2))))

**Proof of Theorem fmtnorec4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		nnm1nn0 12274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
4		fmtno 44981	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
6	5	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2))
7		2nn 12046	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ∈ ℕ)
9		2nn0 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ∈ ℕ₀)
11	10, 3	nn0expcld 13961	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ₀)
12	8, 11	nnexpcld 13960	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ)
13	12	nncnd 11989	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
14		binom21 13934	. . . . 5 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
16		2cn 12048	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
18	17, 10, 11	expmuld 13867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
19	17, 3	expp1d 13865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
20	1	nncnd 11989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
21		npcan1 11400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
23	22	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = (2↑𝑁))
24	19, 23	eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) = (2↑𝑁))
25	24	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = (2↑(2↑𝑁)))
26	18, 25	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) = (2↑(2↑𝑁)))
27	26	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) = ((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
28	27	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
29	6, 15, 28	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
30		uznn0sub 12617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
31		fmtno 44981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘(𝑁 − 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))
33	32	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1) = (((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) − 1))
34	33	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) − 1)↑2))
35	10, 30	nn0expcld 13961	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(𝑁 − 2)) ∈ ℕ₀)
36	8, 35	nnexpcld 13960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 2))) ∈ ℕ)
37	36	nncnd 11989	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 2))) ∈ ℂ)
38		peano2cn 11147	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) ∈ ℂ → ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) ∈ ℂ)
39	37, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) ∈ ℂ)
40		binom2sub1 13936	. . . . . 6 ⊢ (((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) ∈ ℂ → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) − 1)↑2) = (((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))
41	39, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) − 1)↑2) = (((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))
42		binom21 13934	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) ∈ ℂ → (((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1))
43	37, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1))
44	43	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) = (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))))
45	44	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1) = ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))
46	34, 41, 45	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2) = ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))
47	46	oveq2d 7291	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2)) = (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1)))
48	29, 47	oveq12d 7293	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2))) = ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))))
49	36, 10	nnexpcld 13960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) ∈ ℕ)
50	49	nncnd 11989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) ∈ ℂ)
51	17, 37	mulcld 10995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) ∈ ℂ)
52	50, 51	addcld 10994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) ∈ ℂ)
53		peano2cn 11147	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) ∈ ℂ → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) ∈ ℂ)
54	52, 53	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) ∈ ℂ)
55	17, 39	mulcld 10995	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)) ∈ ℂ)
56	54, 55	subcld 11332	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) ∈ ℂ)
57		1cnd 10970	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
58	17, 56, 57	adddid 10999	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1)) = ((2 · (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) + (2 · 1)))
59	52, 57	addcld 10994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) ∈ ℂ)
60	17, 59, 55	subdid 11431	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) = ((2 · ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1)) − (2 · (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))))
61	17, 52, 57	adddid 10999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1)) = ((2 · (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) + (2 · 1)))
62	17, 50, 51	adddid 10999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) = ((2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2)) + (2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))))
63	17, 10, 35	expmuld 13867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((2↑(𝑁 − 2)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2))
64	17, 30	expp1d 13865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((𝑁 − 2) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 2)) · 2))
65	20, 17, 57	subsubd 11360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
66	65	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
67	66	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((𝑁 − 2) + 1)) = (2↑(𝑁 − (2 − 1))))
68	64, 67	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(𝑁 − 2)) · 2) = (2↑(𝑁 − (2 − 1))))
69	68	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((2↑(𝑁 − 2)) · 2)) = (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1)))))
70	63, 69	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) = (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1)))))
71	70	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2)) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1))))))
72		2m1e1 12099	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 − 1) = 1
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 − 1) = 1)
74	73	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
75	74	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(𝑁 − (2 − 1))) = (2↑(𝑁 − 1)))
76	75	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1)))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
77	76	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1))))) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
78	71, 77	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2)) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
79	17, 17, 37	mulassd 10998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) = (2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))))
80	79	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) = ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))
81	78, 80	oveq12d 7293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2)) + (2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))))
82	62, 81	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))))
83		2t1e2 12136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) = 2
84	83	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · 1) = 2)
85	82, 84	oveq12d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) + (2 · 1)) = (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2))
86	61, 85	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1)) = (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2))
87	17, 37, 57	adddid 10999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + (2 · 1)))
88	84	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + (2 · 1)) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 2))
89	87, 88	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 2))
90	89	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) = (2 · ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 2)))
91	17, 51, 17	adddid 10999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 2)) = ((2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + (2 · 2)))
92		2t2e4 12137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
93	92	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · 2) = 4)
94	80, 93	oveq12d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + (2 · 2)) = (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4))
95	90, 91, 94	3eqtrd 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) = (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4))
96	86, 95	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1)) − (2 · (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) = ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
97	60, 96	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) = ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
98	97, 84	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) + (2 · 1)) = (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2))
99	58, 98	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1)) = (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2))
100	99	oveq2d 7291	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))) = ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)))
101	17, 13	mulcld 10995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℂ)
102	16, 16	mulcli 10982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 2) ∈ ℂ
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · 2) ∈ ℂ)
104	103, 37	mulcld 10995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) ∈ ℂ)
105	101, 104	addcld 10994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) ∈ ℂ)
106	105, 17	addcld 10994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) ∈ ℂ)
107		4cn 12058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 4 ∈ ℂ)
109	104, 108	addcld 10994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4) ∈ ℂ)
110	105, 17, 17	addassd 10997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) + 2) = (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + (2 + 2)))
111		2p2e4 12108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 + 2) = 4
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 + 2) = 4)
113	112	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + (2 + 2)) = (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 4))
114	101, 104, 108	addassd 10997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 4) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
115	110, 113, 114	3eqtrd 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) + 2) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
116	106, 17, 101, 109, 115	subaddeqd 11390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) − 2))
117	116	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) − 2) = ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
118	106, 109	subcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) ∈ ℂ)
119	101, 17, 118	subadd2d 11351	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) − 2) = ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) ↔ (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
120	117, 119	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
121	120	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑𝑁)) + (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = ((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
122		eluzge2nn0 12627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
123	10, 122	nn0expcld 13961	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑𝑁) ∈ ℕ₀)
124	8, 123	nnexpcld 13960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ)
125	124	nncnd 11989	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
126	125, 101	addcld 10994	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) ∈ ℂ)
127	118, 17	addcld 10994	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2) ∈ ℂ)
128	126, 127, 125	subadd2d 11351	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = (2↑(2↑𝑁)) ↔ ((2↑(2↑𝑁)) + (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = ((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))))
129	121, 128	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = (2↑(2↑𝑁)))
130	129	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
131	126, 57, 127	addsubd 11353	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) + 1))
132		fmtno 44981	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
133	122, 132	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
134	130, 131, 133	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = (FermatNo‘𝑁))
135	48, 100, 134	3eqtrrd 2783	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 ℂcc 10869 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 − cmin 11205 ℕcn 11973 2c2 12028 4c4 12030 ℕ₀cn0 12233 ℤ_≥cuz 12582 ↑cexp 13782 FermatNocfmtno 44979

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-iun 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-om 7713 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-er 8498 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-4 12038 df-n0 12234 df-z 12320 df-uz 12583 df-seq 13722 df-exp 13783 df-fmtno 44980

This theorem is referenced by: (None)

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