fmtnorec4 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem fmtnorec4 43731

Description: The fourth recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", 31-Jul-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties. (Contributed by AV, 31-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
fmtnorec4	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2))))

**Proof of Theorem fmtnorec4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		nnm1nn0 11939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
4		fmtno 43711	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
6	5	oveq1d 7171	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2))
7		2nn 11711	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ∈ ℕ)
9		2nn0 11915	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ∈ ℕ₀)
11	10, 3	nn0expcld 13608	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ₀)
12	8, 11	nnexpcld 13607	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ)
13	12	nncnd 11654	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
14		binom21 13581	. . . . 5 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
16		2cn 11713	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
18	17, 10, 11	expmuld 13514	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
19	17, 3	expp1d 13512	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
20	1	nncnd 11654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
21		npcan1 11065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
23	22	oveq2d 7172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = (2↑𝑁))
24	19, 23	eqtr3d 2858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) = (2↑𝑁))
25	24	oveq2d 7172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = (2↑(2↑𝑁)))
26	18, 25	eqtr3d 2858	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) = (2↑(2↑𝑁)))
27	26	oveq1d 7171	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) = ((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
28	27	oveq1d 7171	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
29	6, 15, 28	3eqtrd 2860	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
30		uznn0sub 12278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
31		fmtno 43711	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘(𝑁 − 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))
33	32	oveq1d 7171	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1) = (((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) − 1))
34	33	oveq1d 7171	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) − 1)↑2))
35	10, 30	nn0expcld 13608	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(𝑁 − 2)) ∈ ℕ₀)
36	8, 35	nnexpcld 13607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 2))) ∈ ℕ)
37	36	nncnd 11654	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 2))) ∈ ℂ)
38		peano2cn 10812	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) ∈ ℂ → ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) ∈ ℂ)
39	37, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) ∈ ℂ)
40		binom2sub1 13583	. . . . . 6 ⊢ (((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) ∈ ℂ → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) − 1)↑2) = (((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))
41	39, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) − 1)↑2) = (((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))
42		binom21 13581	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) ∈ ℂ → (((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1))
43	37, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1))
44	43	oveq1d 7171	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) = (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))))
45	44	oveq1d 7171	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1) = ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))
46	34, 41, 45	3eqtrd 2860	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2) = ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))
47	46	oveq2d 7172	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2)) = (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1)))
48	29, 47	oveq12d 7174	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2))) = ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))))
49	36, 10	nnexpcld 13607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) ∈ ℕ)
50	49	nncnd 11654	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) ∈ ℂ)
51	17, 37	mulcld 10661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) ∈ ℂ)
52	50, 51	addcld 10660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) ∈ ℂ)
53		peano2cn 10812	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) ∈ ℂ → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) ∈ ℂ)
54	52, 53	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) ∈ ℂ)
55	17, 39	mulcld 10661	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)) ∈ ℂ)
56	54, 55	subcld 10997	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) ∈ ℂ)
57		1cnd 10636	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
58	17, 56, 57	adddid 10665	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1)) = ((2 · (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) + (2 · 1)))
59	52, 57	addcld 10660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) ∈ ℂ)
60	17, 59, 55	subdid 11096	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) = ((2 · ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1)) − (2 · (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))))
61	17, 52, 57	adddid 10665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1)) = ((2 · (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) + (2 · 1)))
62	17, 50, 51	adddid 10665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) = ((2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2)) + (2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))))
63	17, 10, 35	expmuld 13514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((2↑(𝑁 − 2)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2))
64	17, 30	expp1d 13512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((𝑁 − 2) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 2)) · 2))
65	20, 17, 57	subsubd 11025	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
66	65	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
67	66	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((𝑁 − 2) + 1)) = (2↑(𝑁 − (2 − 1))))
68	64, 67	eqtr3d 2858	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(𝑁 − 2)) · 2) = (2↑(𝑁 − (2 − 1))))
69	68	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((2↑(𝑁 − 2)) · 2)) = (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1)))))
70	63, 69	eqtr3d 2858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) = (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1)))))
71	70	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2)) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1))))))
72		2m1e1 11764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 − 1) = 1
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 − 1) = 1)
74	73	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
75	74	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(𝑁 − (2 − 1))) = (2↑(𝑁 − 1)))
76	75	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1)))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
77	76	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1))))) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
78	71, 77	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2)) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
79	17, 17, 37	mulassd 10664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) = (2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))))
80	79	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) = ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))
81	78, 80	oveq12d 7174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2)) + (2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))))
82	62, 81	eqtrd 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))))
83		2t1e2 11801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) = 2
84	83	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · 1) = 2)
85	82, 84	oveq12d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) + (2 · 1)) = (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2))
86	61, 85	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1)) = (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2))
87	17, 37, 57	adddid 10665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + (2 · 1)))
88	84	oveq2d 7172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + (2 · 1)) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 2))
89	87, 88	eqtrd 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 2))
90	89	oveq2d 7172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) = (2 · ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 2)))
91	17, 51, 17	adddid 10665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 2)) = ((2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + (2 · 2)))
92		2t2e4 11802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
93	92	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · 2) = 4)
94	80, 93	oveq12d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + (2 · 2)) = (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4))
95	90, 91, 94	3eqtrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) = (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4))
96	86, 95	oveq12d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1)) − (2 · (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) = ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
97	60, 96	eqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) = ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
98	97, 84	oveq12d 7174	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) + (2 · 1)) = (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2))
99	58, 98	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1)) = (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2))
100	99	oveq2d 7172	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))) = ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)))
101	17, 13	mulcld 10661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℂ)
102	16, 16	mulcli 10648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 2) ∈ ℂ
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · 2) ∈ ℂ)
104	103, 37	mulcld 10661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) ∈ ℂ)
105	101, 104	addcld 10660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) ∈ ℂ)
106	105, 17	addcld 10660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) ∈ ℂ)
107		4cn 11723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 4 ∈ ℂ)
109	104, 108	addcld 10660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4) ∈ ℂ)
110	105, 17, 17	addassd 10663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) + 2) = (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + (2 + 2)))
111		2p2e4 11773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 + 2) = 4
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 + 2) = 4)
113	112	oveq2d 7172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + (2 + 2)) = (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 4))
114	101, 104, 108	addassd 10663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 4) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
115	110, 113, 114	3eqtrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) + 2) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
116	106, 17, 101, 109, 115	subaddeqd 11055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) − 2))
117	116	eqcomd 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) − 2) = ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
118	106, 109	subcld 10997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) ∈ ℂ)
119	101, 17, 118	subadd2d 11016	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) − 2) = ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) ↔ (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
120	117, 119	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
121	120	oveq2d 7172	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑𝑁)) + (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = ((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
122		eluzge2nn0 12288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
123	10, 122	nn0expcld 13608	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑𝑁) ∈ ℕ₀)
124	8, 123	nnexpcld 13607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ)
125	124	nncnd 11654	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
126	125, 101	addcld 10660	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) ∈ ℂ)
127	118, 17	addcld 10660	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2) ∈ ℂ)
128	126, 127, 125	subadd2d 11016	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = (2↑(2↑𝑁)) ↔ ((2↑(2↑𝑁)) + (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = ((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))))
129	121, 128	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = (2↑(2↑𝑁)))
130	129	oveq1d 7171	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
131	126, 57, 127	addsubd 11018	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) + 1))
132		fmtno 43711	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
133	122, 132	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
134	130, 131, 133	3eqtr4d 2866	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = (FermatNo‘𝑁))
135	48, 100, 134	3eqtrrd 2861	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 ‘cfv 6355 (class class class)co 7156 ℂcc 10535 1c1 10538 + caddc 10540 · cmul 10542 − cmin 10870 ℕcn 11638 2c2 11693 4c4 11695 ℕ₀cn0 11898 ℤ_≥cuz 12244 ↑cexp 13430 FermatNocfmtno 43709

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2793 ax-sep 5203 ax-nul 5210 ax-pow 5266 ax-pr 5330 ax-un 7461 ax-cnex 10593 ax-resscn 10594 ax-1cn 10595 ax-icn 10596 ax-addcl 10597 ax-addrcl 10598 ax-mulcl 10599 ax-mulrcl 10600 ax-mulcom 10601 ax-addass 10602 ax-mulass 10603 ax-distr 10604 ax-i2m1 10605 ax-1ne0 10606 ax-1rid 10607 ax-rnegex 10608 ax-rrecex 10609 ax-cnre 10610 ax-pre-lttri 10611 ax-pre-lttrn 10612 ax-pre-ltadd 10613 ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3496 df-sbc 3773 df-csb 3884 df-dif 3939 df-un 3941 df-in 3943 df-ss 3952 df-pss 3954 df-nul 4292 df-if 4468 df-pw 4541 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4839 df-iun 4921 df-br 5067 df-opab 5129 df-mpt 5147 df-tr 5173 df-id 5460 df-eprel 5465 df-po 5474 df-so 5475 df-fr 5514 df-we 5516 df-xp 5561 df-rel 5562 df-cnv 5563 df-co 5564 df-dm 5565 df-rn 5566 df-res 5567 df-ima 5568 df-pred 6148 df-ord 6194 df-on 6195 df-lim 6196 df-suc 6197 df-iota 6314 df-fun 6357 df-fn 6358 df-f 6359 df-f1 6360 df-fo 6361 df-f1o 6362 df-fv 6363 df-riota 7114 df-ov 7159 df-oprab 7160 df-mpo 7161 df-om 7581 df-2nd 7690 df-wrecs 7947 df-recs 8008 df-rdg 8046 df-er 8289 df-en 8510 df-dom 8511 df-sdom 8512 df-pnf 10677 df-mnf 10678 df-xr 10679 df-ltxr 10680 df-le 10681 df-sub 10872 df-neg 10873 df-div 11298 df-nn 11639 df-2 11701 df-3 11702 df-4 11703 df-n0 11899 df-z 11983 df-uz 12245 df-seq 13371 df-exp 13431 df-fmtno 43710

This theorem is referenced by: (None)

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