fmtnorec4 - Mathbox for Alexander van der Vekens

	Mathbox for Alexander van der Vekens		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > fmtnorec4		Structured version Visualization version GIF version

Theorem fmtnorec4 45731

Description: The fourth recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", 31-Jul-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties. (Contributed by AV, 31-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
fmtnorec4	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2))))

**Proof of Theorem fmtnorec4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12809	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		nnm1nn0 12454	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
4		fmtno 45711	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
6	5	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2))
7		2nn 12226	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ∈ ℕ)
9		2nn0 12430	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ∈ ℕ₀)
11	10, 3	nn0expcld 14149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ₀)
12	8, 11	nnexpcld 14148	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ)
13	12	nncnd 12169	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
14		binom21 14122	. . . . 5 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
16		2cn 12228	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
18	17, 10, 11	expmuld 14054	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
19	17, 3	expp1d 14052	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
20	1	nncnd 12169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
21		npcan1 11580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
23	22	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = (2↑𝑁))
24	19, 23	eqtr3d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) = (2↑𝑁))
25	24	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = (2↑(2↑𝑁)))
26	18, 25	eqtr3d 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) = (2↑(2↑𝑁)))
27	26	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) = ((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
28	27	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
29	6, 15, 28	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
30		uznn0sub 12802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ₀)
31		fmtno 45711	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘(𝑁 − 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))
33	32	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1) = (((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) − 1))
34	33	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) − 1)↑2))
35	10, 30	nn0expcld 14149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(𝑁 − 2)) ∈ ℕ₀)
36	8, 35	nnexpcld 14148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 2))) ∈ ℕ)
37	36	nncnd 12169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 2))) ∈ ℂ)
38		peano2cn 11327	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) ∈ ℂ → ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) ∈ ℂ)
39	37, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) ∈ ℂ)
40		binom2sub1 14124	. . . . . 6 ⊢ (((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) ∈ ℂ → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) − 1)↑2) = (((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))
41	39, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) − 1)↑2) = (((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))
42		binom21 14122	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) ∈ ℂ → (((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1))
43	37, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1))
44	43	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) = (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))))
45	44	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1) = ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))
46	34, 41, 45	3eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2) = ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))
47	46	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2)) = (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1)))
48	29, 47	oveq12d 7375	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2))) = ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))))
49	36, 10	nnexpcld 14148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) ∈ ℕ)
50	49	nncnd 12169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) ∈ ℂ)
51	17, 37	mulcld 11175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) ∈ ℂ)
52	50, 51	addcld 11174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) ∈ ℂ)
53		peano2cn 11327	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) ∈ ℂ → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) ∈ ℂ)
54	52, 53	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) ∈ ℂ)
55	17, 39	mulcld 11175	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)) ∈ ℂ)
56	54, 55	subcld 11512	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) ∈ ℂ)
57		1cnd 11150	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
58	17, 56, 57	adddid 11179	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1)) = ((2 · (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) + (2 · 1)))
59	52, 57	addcld 11174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) ∈ ℂ)
60	17, 59, 55	subdid 11611	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) = ((2 · ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1)) − (2 · (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))))
61	17, 52, 57	adddid 11179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1)) = ((2 · (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) + (2 · 1)))
62	17, 50, 51	adddid 11179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) = ((2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2)) + (2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))))
63	17, 10, 35	expmuld 14054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((2↑(𝑁 − 2)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2))
64	17, 30	expp1d 14052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((𝑁 − 2) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 2)) · 2))
65	20, 17, 57	subsubd 11540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
66	65	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
67	66	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((𝑁 − 2) + 1)) = (2↑(𝑁 − (2 − 1))))
68	64, 67	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(𝑁 − 2)) · 2) = (2↑(𝑁 − (2 − 1))))
69	68	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑((2↑(𝑁 − 2)) · 2)) = (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1)))))
70	63, 69	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) = (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1)))))
71	70	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2)) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1))))))
72		2m1e1 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 − 1) = 1
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 − 1) = 1)
74	73	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
75	74	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(𝑁 − (2 − 1))) = (2↑(𝑁 − 1)))
76	75	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1)))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
77	76	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1))))) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
78	71, 77	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2)) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
79	17, 17, 37	mulassd 11178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) = (2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))))
80	79	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) = ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))
81	78, 80	oveq12d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2)) + (2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))))
82	62, 81	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))))
83		2t1e2 12316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) = 2
84	83	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · 1) = 2)
85	82, 84	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) + (2 · 1)) = (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2))
86	61, 85	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1)) = (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2))
87	17, 37, 57	adddid 11179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + (2 · 1)))
88	84	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + (2 · 1)) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 2))
89	87, 88	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 2))
90	89	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) = (2 · ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 2)))
91	17, 51, 17	adddid 11179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 2)) = ((2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + (2 · 2)))
92		2t2e4 12317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
93	92	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · 2) = 4)
94	80, 93	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + (2 · 2)) = (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4))
95	90, 91, 94	3eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) = (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4))
96	86, 95	oveq12d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1)) − (2 · (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) = ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
97	60, 96	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) = ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
98	97, 84	oveq12d 7375	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) + (2 · 1)) = (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2))
99	58, 98	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1)) = (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2))
100	99	oveq2d 7373	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))) = ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)))
101	17, 13	mulcld 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℂ)
102	16, 16	mulcli 11162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 2) ∈ ℂ
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 · 2) ∈ ℂ)
104	103, 37	mulcld 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) ∈ ℂ)
105	101, 104	addcld 11174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) ∈ ℂ)
106	105, 17	addcld 11174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) ∈ ℂ)
107		4cn 12238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 4 ∈ ℂ)
109	104, 108	addcld 11174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4) ∈ ℂ)
110	105, 17, 17	addassd 11177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) + 2) = (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + (2 + 2)))
111		2p2e4 12288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 + 2) = 4
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2 + 2) = 4)
113	112	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + (2 + 2)) = (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 4))
114	101, 104, 108	addassd 11177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 4) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
115	110, 113, 114	3eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) + 2) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
116	106, 17, 101, 109, 115	subaddeqd 11570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) − 2))
117	116	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) − 2) = ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
118	106, 109	subcld 11512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) ∈ ℂ)
119	101, 17, 118	subadd2d 11531	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) − 2) = ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) ↔ (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
120	117, 119	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
121	120	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑𝑁)) + (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = ((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
122		eluzge2nn0 12812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
123	10, 122	nn0expcld 14149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑𝑁) ∈ ℕ₀)
124	8, 123	nnexpcld 14148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ)
125	124	nncnd 12169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
126	125, 101	addcld 11174	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) ∈ ℂ)
127	118, 17	addcld 11174	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2) ∈ ℂ)
128	126, 127, 125	subadd2d 11531	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = (2↑(2↑𝑁)) ↔ ((2↑(2↑𝑁)) + (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = ((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))))
129	121, 128	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = (2↑(2↑𝑁)))
130	129	oveq1d 7372	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
131	126, 57, 127	addsubd 11533	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) + 1))
132		fmtno 45711	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
133	122, 132	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
134	130, 131, 133	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = (FermatNo‘𝑁))
135	48, 100, 134	3eqtrrd 2781	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → (FermatNo‘𝑁) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ‘cfv 6496 (class class class)co 7357 ℂcc 11049 1c1 11052 + caddc 11054 · cmul 11056 − cmin 11385 ℕcn 12153 2c2 12208 4c4 12210 ℕ₀cn0 12413 ℤ_≥cuz 12763 ↑cexp 13967 FermatNocfmtno 45709

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rmo 3353 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-op 4593 df-uni 4866 df-iun 4956 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-om 7803 df-2nd 7922 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-er 8648 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-div 11813 df-nn 12154 df-2 12216 df-3 12217 df-4 12218 df-n0 12414 df-z 12500 df-uz 12764 df-seq 13907 df-exp 13968 df-fmtno 45710

This theorem is referenced by: (None)

W3C validator