Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnorec4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnorec4 43696
Description: The fourth recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", 31-Jul-2021, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties. (Contributed by AV, 31-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnorec4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘𝑁) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2))))

Proof of Theorem fmtnorec4
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12276 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 nnm1nn0 11930 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
4 fmtno 43676 . . . . . 6 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1))
65oveq1d 7163 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) = (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2))
7 2nn 11702 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ)
9 2nn0 11906 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
109a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
1110, 3nn0expcld 13599 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
128, 11nnexpcld 13598 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℕ)
1312nncnd 11646 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
14 binom21 13572 . . . . 5 ((2↑(2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
16 2cn 11704 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
1817, 10, 11expmuld 13505 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2))
1917, 3expp1d 13503 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
201nncnd 11646 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
21 npcan1 11057 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2322oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 − 1) + 1)) = (2↑𝑁))
2419, 23eqtr3d 2856 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) = (2↑𝑁))
2524oveq2d 7164 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = (2↑(2↑𝑁)))
2618, 25eqtr3d 2856 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) = (2↑(2↑𝑁)))
2726oveq1d 7163 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) = ((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
2827oveq1d 7163 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 1)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
296, 15, 283eqtrd 2858 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) = (((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1))
30 uznn0sub 12269 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
31 fmtno 43676 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 2) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 − 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘(𝑁 − 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))
3332oveq1d 7163 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1) = (((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) − 1))
3433oveq1d 7163 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) − 1)↑2))
3510, 30nn0expcld 13599 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 − 2)) ∈ ℕ0)
368, 35nnexpcld 13598 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 2))) ∈ ℕ)
3736nncnd 11646 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − 2))) ∈ ℂ)
38 peano2cn 10804 . . . . . . 7 ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) ∈ ℂ → ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) ∈ ℂ)
3937, 38syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) ∈ ℂ)
40 binom2sub1 13574 . . . . . 6 (((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) ∈ ℂ → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) − 1)↑2) = (((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))
4139, 40syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1) − 1)↑2) = (((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))
42 binom21 13572 . . . . . . . 8 ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) ∈ ℂ → (((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1))
4337, 42syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) = ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1))
4443oveq1d 7163 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) = (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))))
4544oveq1d 7163 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)↑2) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1) = ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))
4634, 41, 453eqtrd 2858 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2) = ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))
4746oveq2d 7164 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2)) = (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1)))
4829, 47oveq12d 7166 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2))) = ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))))
4936, 10nnexpcld 13598 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) ∈ ℕ)
5049nncnd 11646 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) ∈ ℂ)
5117, 37mulcld 10653 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) ∈ ℂ)
5250, 51addcld 10652 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) ∈ ℂ)
53 peano2cn 10804 . . . . . . 7 ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) ∈ ℂ → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) ∈ ℂ)
5452, 53syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) ∈ ℂ)
5517, 39mulcld 10653 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)) ∈ ℂ)
5654, 55subcld 10989 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) ∈ ℂ)
57 1cnd 10628 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
5817, 56, 57adddid 10657 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1)) = ((2 · (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) + (2 · 1)))
5952, 57addcld 10652 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) ∈ ℂ)
6017, 59, 55subdid 11088 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) = ((2 · ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1)) − (2 · (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))))
6117, 52, 57adddid 10657 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1)) = ((2 · (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) + (2 · 1)))
6217, 50, 51adddid 10657 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) = ((2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2)) + (2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))))
6317, 10, 35expmuld 13505 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((2↑(𝑁 − 2)) · 2)) = ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2))
6417, 30expp1d 13503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 − 2) + 1)) = ((2↑(𝑁 − 2)) · 2))
6520, 17, 57subsubd 11017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
6665eqcomd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
6766oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 − 2) + 1)) = (2↑(𝑁 − (2 − 1))))
6864, 67eqtr3d 2856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(𝑁 − 2)) · 2) = (2↑(𝑁 − (2 − 1))))
6968oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((2↑(𝑁 − 2)) · 2)) = (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1)))))
7063, 69eqtr3d 2856 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) = (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1)))))
7170oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2)) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1))))))
72 2m1e1 11755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 − 1) = 1
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 − 1) = 1)
7473oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
7574oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 − (2 − 1))) = (2↑(𝑁 − 1)))
7675oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1)))) = (2↑(2↑(𝑁 − 1))))
7776oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − (2 − 1))))) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
7871, 77eqtrd 2854 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2)) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
7917, 17, 37mulassd 10656 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) = (2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))))
8079eqcomd 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) = ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))
8178, 80oveq12d 7166 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2)) + (2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))))
8262, 81eqtrd 2854 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))))
83 2t1e2 11792 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
8483a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 1) = 2)
8582, 84oveq12d 7166 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · (((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))))) + (2 · 1)) = (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2))
8661, 85eqtrd 2854 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1)) = (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2))
8717, 37, 57adddid 10657 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + (2 · 1)))
8884oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + (2 · 1)) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 2))
8987, 88eqtrd 2854 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 2))
9089oveq2d 7164 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) = (2 · ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 2)))
9117, 51, 17adddid 10657 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 2)) = ((2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + (2 · 2)))
92 2t2e4 11793 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
9392a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 2) = 4)
9480, 93oveq12d 7166 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + (2 · 2)) = (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4))
9590, 91, 943eqtrd 2858 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) = (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4))
9686, 95oveq12d 7166 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · ((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1)) − (2 · (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) = ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
9760, 96eqtrd 2854 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) = ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
9897, 84oveq12d 7166 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · (((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1)))) + (2 · 1)) = (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2))
9958, 98eqtrd 2854 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1)) = (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2))
10099oveq2d 7164 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (2 · ((((((2↑(2↑(𝑁 − 2)))↑2) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 1) − (2 · ((2↑(2↑(𝑁 − 2))) + 1))) + 1))) = ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)))
10117, 13mulcld 10653 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) ∈ ℂ)
10216, 16mulcli 10640 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 2) ∈ ℂ
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 2) ∈ ℂ)
104103, 37mulcld 10653 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) ∈ ℂ)
105101, 104addcld 10652 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) ∈ ℂ)
106105, 17addcld 10652 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) ∈ ℂ)
107 4cn 11714 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
108107a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 4 ∈ ℂ)
109104, 108addcld 10652 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4) ∈ ℂ)
110105, 17, 17addassd 10655 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) + 2) = (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + (2 + 2)))
111 2p2e4 11764 . . . . . . . . . . . 12 (2 + 2) = 4
112111a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 + 2) = 4)
113112oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + (2 + 2)) = (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 4))
114101, 104, 108addassd 10655 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 4) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
115110, 113, 1143eqtrd 2858 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) + 2) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
116106, 17, 101, 109, 115subaddeqd 11047 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) = ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) − 2))
117116eqcomd 2825 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) − 2) = ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)))
118106, 109subcld 10989 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) ∈ ℂ)
119101, 17, 118subadd2d 11008 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) − 2) = ((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) ↔ (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
120117, 119mpbid 234 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2) = (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))
121120oveq2d 7164 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑𝑁)) + (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = ((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))))
122 eluzge2nn0 12279 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
12310, 122nn0expcld 13599 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
1248, 123nnexpcld 13598 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ)
125124nncnd 11646 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
126125, 101addcld 10652 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) ∈ ℂ)
127118, 17addcld 10652 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2) ∈ ℂ)
128126, 127, 125subadd2d 11008 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = (2↑(2↑𝑁)) ↔ ((2↑(2↑𝑁)) + (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = ((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))))))
129121, 128mpbird 259 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = (2↑(2↑𝑁)))
130129oveq1d 7163 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) + 1) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
131126, 57, 127addsubd 11010 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) + 1))
132 fmtno 43676 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
133122, 132syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
134130, 131, 1333eqtr4d 2864 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((((2↑(2↑𝑁)) + (2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1))))) + 1) − (((((2 · (2↑(2↑(𝑁 − 1)))) + ((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2))))) + 2) − (((2 · 2) · (2↑(2↑(𝑁 − 2)))) + 4)) + 2)) = (FermatNo‘𝑁))
13548, 100, 1343eqtrrd 2859 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (FermatNo‘𝑁) = (((FermatNo‘(𝑁 − 1))↑2) − (2 · (((FermatNo‘(𝑁 − 2)) − 1)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6348  (class class class)co 7148  cc 10527  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  cmin 10862  cn 11630  2c2 11684  4c4 11686  0cn0 11889  cuz 12235  cexp 13421  FermatNocfmtno 43674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-seq 13362  df-exp 13422  df-fmtno 43675
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator