Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4prm 46978
Description: The 4-th Fermat number (65537) is a prime (the fifth Fermat prime). (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4prm (FermatNo‘4) ∈ ℙ

Proof of Theorem fmtno4prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 12521 . . . 4 4 ∈ ℕ0
2 fmtno 46932 . . . 4 (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1)
4 2nn 12315 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
5 2nn0 12519 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
65, 1nn0expcli 14085 . . . . . 6 (2↑4) ∈ ℕ0
7 nnexpcl 14071 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ (2↑4) ∈ ℕ0) → (2↑(2↑4)) ∈ ℕ)
84, 6, 7mp2an 690 . . . . 5 (2↑(2↑4)) ∈ ℕ
9 2re 12316 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
10 nnexpcl 14071 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
114, 1, 10mp2an 690 . . . . . 6 (2↑4) ∈ ℕ
12 1lt2 12413 . . . . . 6 1 < 2
13 expgt1 14097 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ (2↑4) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(2↑4)))
149, 11, 12, 13mp3an 1457 . . . . 5 1 < (2↑(2↑4))
15 eluz2b2 12935 . . . . 5 ((2↑(2↑4)) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((2↑(2↑4)) ∈ ℕ ∧ 1 < (2↑(2↑4))))
168, 14, 15mpbir2an 709 . . . 4 (2↑(2↑4)) ∈ (ℤ‘2)
17 peano2uz 12915 . . . 4 ((2↑(2↑4)) ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑4)) + 1) ∈ (ℤ‘2))
1816, 17ax-mp 5 . . 3 ((2↑(2↑4)) + 1) ∈ (ℤ‘2)
193, 18eqeltri 2821 . 2 (FermatNo‘4) ∈ (ℤ‘2)
20 elinel2 4190 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
2120adantr 479 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ∈ ℙ)
22 simpr 483 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
23 elinel1 4189 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ (2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))))
24 elfzle2 13537 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ (2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
2625adantr 479 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
27 fmtno4prmfac193 46976 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑝 = 193)
2821, 22, 26, 27syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 = 193)
29 fmtno4nprmfac193 46977 . . . . . 6 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)
30 breq1 5146 . . . . . 6 (𝑝 = 193 → (𝑝 ∥ (FermatNo‘4) ↔ 193 ∥ (FermatNo‘4)))
3129, 30mtbiri 326 . . . . 5 (𝑝 = 193 → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
3228, 31syl 17 . . . 4 ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
3332pm2.01da 797 . . 3 (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
3433rgen 3053 . 2 𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)
35 isprm7 16678 . 2 ((FermatNo‘4) ∈ ℙ ↔ ((FermatNo‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)))
3619, 34, 35mpbir2an 709 1 (FermatNo‘4) ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3051  cin 3938   class class class wbr 5143  cfv 6543  (class class class)co 7416  cr 11137  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278  cle 11279  cn 12242  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  9c9 12304  0cn0 12502  cdc 12707  cuz 12852  ...cfz 13516  cfl 13787  cexp 14058  csqrt 15212  cdvds 16230  cprime 16641  FermatNocfmtno 46930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-prod 15882  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-odz 16733  df-phi 16734  df-pc 16805  df-lgs 27246  df-fmtno 46931
This theorem is referenced by:  65537prm  46979  fmtnofz04prm  46980
  Copyright terms: Public domain W3C validator