Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4prm 43614
Description: The 4-th Fermat number (65537) is a prime (the fifth Fermat prime). (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4prm (FermatNo‘4) ∈ ℙ

Proof of Theorem fmtno4prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 11904 . . . 4 4 ∈ ℕ0
2 fmtno 43568 . . . 4 (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1)
4 2nn 11698 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
5 2nn0 11902 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
65, 1nn0expcli 13443 . . . . . 6 (2↑4) ∈ ℕ0
7 nnexpcl 13430 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ (2↑4) ∈ ℕ0) → (2↑(2↑4)) ∈ ℕ)
84, 6, 7mp2an 688 . . . . 5 (2↑(2↑4)) ∈ ℕ
9 2re 11699 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
10 nnexpcl 13430 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
114, 1, 10mp2an 688 . . . . . 6 (2↑4) ∈ ℕ
12 1lt2 11796 . . . . . 6 1 < 2
13 expgt1 13455 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ (2↑4) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(2↑4)))
149, 11, 12, 13mp3an 1452 . . . . 5 1 < (2↑(2↑4))
15 eluz2b2 12309 . . . . 5 ((2↑(2↑4)) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((2↑(2↑4)) ∈ ℕ ∧ 1 < (2↑(2↑4))))
168, 14, 15mpbir2an 707 . . . 4 (2↑(2↑4)) ∈ (ℤ‘2)
17 peano2uz 12289 . . . 4 ((2↑(2↑4)) ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑4)) + 1) ∈ (ℤ‘2))
1816, 17ax-mp 5 . . 3 ((2↑(2↑4)) + 1) ∈ (ℤ‘2)
193, 18eqeltri 2906 . 2 (FermatNo‘4) ∈ (ℤ‘2)
20 elinel2 4170 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
2120adantr 481 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ∈ ℙ)
22 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
23 elinel1 4169 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ (2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))))
24 elfzle2 12899 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ (2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
2625adantr 481 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
27 fmtno4prmfac193 43612 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑝 = 193)
2821, 22, 26, 27syl3anc 1363 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 = 193)
29 fmtno4nprmfac193 43613 . . . . . 6 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)
30 breq1 5060 . . . . . 6 (𝑝 = 193 → (𝑝 ∥ (FermatNo‘4) ↔ 193 ∥ (FermatNo‘4)))
3129, 30mtbiri 328 . . . . 5 (𝑝 = 193 → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
3228, 31syl 17 . . . 4 ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
3332pm2.01da 795 . . 3 (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
3433rgen 3145 . 2 𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)
35 isprm7 16040 . 2 ((FermatNo‘4) ∈ ℙ ↔ ((FermatNo‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)))
3619, 34, 35mpbir2an 707 1 (FermatNo‘4) ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  cin 3932   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  1c1 10526   + caddc 10528   < clt 10663  cle 10664  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  9c9 11687  0cn0 11885  cdc 12086  cuz 12231  ...cfz 12880  cfl 13148  cexp 13417  csqrt 14580  cdvds 15595  cprime 16003  FermatNocfmtno 43566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-prod 15248  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-odz 16090  df-phi 16091  df-pc 16162  df-lgs 25798  df-fmtno 43567
This theorem is referenced by:  65537prm  43615  fmtnofz04prm  43616
  Copyright terms: Public domain W3C validator