Theorem fmtno4prm 48865

Description: The 4-th Fermat number (65537) is a prime (the fifth Fermat prime). (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4prm	⊢ (FermatNo‘4) ∈ ℙ

Proof of Theorem fmtno4prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12652	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		fmtno 48819	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1)
4		2nn 12443	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5		2nn0 12650	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	5, 1	nn0expcli 14258	. . . . . 6 ⊢ (2↑4) ∈ ℕ0
7		nnexpcl 14244	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (2↑4) ∈ ℕ0) → (2↑(2↑4)) ∈ ℕ)
8	4, 6, 7	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (2↑(2↑4)) ∈ ℕ
9		2re 12444	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
10		nnexpcl 14244	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
11	4, 1, 10	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (2↑4) ∈ ℕ
12		1lt2 12542	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
13		expgt1 14270	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (2↑4) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(2↑4)))
14	9, 11, 12, 13	mp3an 1491	. . . . 5 ⊢ 1 < (2↑(2↑4))
15		eluz2b2 13075	. . . . 5 ⊢ ((2↑(2↑4)) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((2↑(2↑4)) ∈ ℕ ∧ 1 < (2↑(2↑4))))
16	8, 14, 15	mpbir2an 724	. . . 4 ⊢ (2↑(2↑4)) ∈ (ℤ≥‘2)
17		peano2uz 13055	. . . 4 ⊢ ((2↑(2↑4)) ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
18	16, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘2)
19	3, 18	eqeltri 2860	. 2 ⊢ (FermatNo‘4) ∈ (ℤ≥‘2)
20		elinel2 4102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
21	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ∈ ℙ)
22		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
23		elinel1 4101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ (2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))))
24		elfzle2 13688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
25	23, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
26	25	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
27		fmtno4prmfac193 48863	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑝 = ;;193)
28	21, 22, 26, 27	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 = ;;193)
29		fmtno4nprmfac193 48864	. . . . . 6 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)
30		breq1 5109	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ;;193 → (𝑝 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)))
31	29, 30	mtbiri 330	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ;;193 → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
32	28, 31	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
33	32	pm2.01da 811	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
34	33	rgen 3082	. 2 ⊢ ∀𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)
35		isprm7 16913	. 2 ⊢ ((FermatNo‘4) ∈ ℙ ↔ ((FermatNo‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)))
36	19, 34, 35	mpbir2an 724	1 ⊢ (FermatNo‘4) ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ∩ cin 4092   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  1c1 11228   + caddc 11230   < clt 11370   ≤ cle 11371  ℕcn 12362  2c2 12424  3c3 12425  4c4 12426  9c9 12431  ℕ₀cn0 12633  ;cdc 12841  ℤ_≥cuz 12992  ...cfz 13666  ⌊cfl 13957  ↑cexp 14231  √csqrt 15429   ∥ cdvds 16451  ℙcprime 16875  FermatNocfmtno 48817

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-ioo 13507  df-ico 13509  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-prod 16102  df-dvds 16452  df-gcd 16694  df-prm 16876  df-odz 16971  df-phi 16972  df-pc 17044  df-lgs 27652  df-fmtno 48818

This theorem is used by:  65537prm  48866  fmtnofz04prm  48867