Theorem fmtno4prm 47699

Description: The 4-th Fermat number (65537) is a prime (the fifth Fermat prime). (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4prm	⊢ (FermatNo‘4) ∈ ℙ

Proof of Theorem fmtno4prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12407	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		fmtno 47653	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1)
4		2nn 12205	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5		2nn0 12405	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	5, 1	nn0expcli 13997	. . . . . 6 ⊢ (2↑4) ∈ ℕ0
7		nnexpcl 13983	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (2↑4) ∈ ℕ0) → (2↑(2↑4)) ∈ ℕ)
8	4, 6, 7	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (2↑(2↑4)) ∈ ℕ
9		2re 12206	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
10		nnexpcl 13983	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
11	4, 1, 10	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (2↑4) ∈ ℕ
12		1lt2 12298	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
13		expgt1 14009	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (2↑4) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(2↑4)))
14	9, 11, 12, 13	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ 1 < (2↑(2↑4))
15		eluz2b2 12821	. . . . 5 ⊢ ((2↑(2↑4)) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((2↑(2↑4)) ∈ ℕ ∧ 1 < (2↑(2↑4))))
16	8, 14, 15	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ (2↑(2↑4)) ∈ (ℤ≥‘2)
17		peano2uz 12801	. . . 4 ⊢ ((2↑(2↑4)) ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
18	16, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘2)
19	3, 18	eqeltri 2829	. 2 ⊢ (FermatNo‘4) ∈ (ℤ≥‘2)
20		elinel2 4151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ∈ ℙ)
22		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
23		elinel1 4150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ (2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))))
24		elfzle2 13430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
27		fmtno4prmfac193 47697	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑝 = ;;193)
28	21, 22, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 = ;;193)
29		fmtno4nprmfac193 47698	. . . . . 6 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)
30		breq1 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ;;193 → (𝑝 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)))
31	29, 30	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ;;193 → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
32	28, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
33	32	pm2.01da 798	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
34	33	rgen 3050	. 2 ⊢ ∀𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)
35		isprm7 16621	. 2 ⊢ ((FermatNo‘4) ∈ ℙ ↔ ((FermatNo‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)))
36	19, 34, 35	mpbir2an 711	1 ⊢ (FermatNo‘4) ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   ∩ cin 3897   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  1c1 11014   + caddc 11016   < clt 11153   ≤ cle 11154  ℕcn 12132  2c2 12187  3c3 12188  4c4 12189  9c9 12194  ℕ₀cn0 12388  ;cdc 12594  ℤ_≥cuz 12738  ...cfz 13409  ⌊cfl 13696  ↑cexp 13970  √csqrt 15142   ∥ cdvds 16165  ℙcprime 16584  FermatNocfmtno 47651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-dju 9801  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-ioo 13251  df-ico 13253  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-fac 14183  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-prod 15813  df-dvds 16166  df-gcd 16408  df-prm 16585  df-odz 16678  df-phi 16679  df-pc 16751  df-lgs 27234  df-fmtno 47652

This theorem is referenced by:  65537prm  47700  fmtnofz04prm  47701