Theorem fmtno4prm 47560

Description: The 4-th Fermat number (65537) is a prime (the fifth Fermat prime). (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4prm	⊢ (FermatNo‘4) ∈ ℙ

Proof of Theorem fmtno4prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12421	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		fmtno 47514	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1)
4		2nn 12219	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5		2nn0 12419	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	5, 1	nn0expcli 14013	. . . . . 6 ⊢ (2↑4) ∈ ℕ0
7		nnexpcl 13999	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (2↑4) ∈ ℕ0) → (2↑(2↑4)) ∈ ℕ)
8	4, 6, 7	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (2↑(2↑4)) ∈ ℕ
9		2re 12220	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
10		nnexpcl 13999	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
11	4, 1, 10	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (2↑4) ∈ ℕ
12		1lt2 12312	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
13		expgt1 14025	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (2↑4) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(2↑4)))
14	9, 11, 12, 13	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ 1 < (2↑(2↑4))
15		eluz2b2 12840	. . . . 5 ⊢ ((2↑(2↑4)) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((2↑(2↑4)) ∈ ℕ ∧ 1 < (2↑(2↑4))))
16	8, 14, 15	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ (2↑(2↑4)) ∈ (ℤ≥‘2)
17		peano2uz 12820	. . . 4 ⊢ ((2↑(2↑4)) ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
18	16, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘2)
19	3, 18	eqeltri 2824	. 2 ⊢ (FermatNo‘4) ∈ (ℤ≥‘2)
20		elinel2 4155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ∈ ℙ)
22		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
23		elinel1 4154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ (2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))))
24		elfzle2 13449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
27		fmtno4prmfac193 47558	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑝 = ;;193)
28	21, 22, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 = ;;193)
29		fmtno4nprmfac193 47559	. . . . . 6 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)
30		breq1 5098	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ;;193 → (𝑝 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)))
31	29, 30	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ;;193 → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
32	28, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
33	32	pm2.01da 798	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
34	33	rgen 3046	. 2 ⊢ ∀𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)
35		isprm7 16637	. 2 ⊢ ((FermatNo‘4) ∈ ℙ ↔ ((FermatNo‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)))
36	19, 34, 35	mpbir2an 711	1 ⊢ (FermatNo‘4) ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∩ cin 3904   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  1c1 11029   + caddc 11031   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℕcn 12146  2c2 12201  3c3 12202  4c4 12203  9c9 12208  ℕ₀cn0 12402  ;cdc 12609  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13428  ⌊cfl 13712  ↑cexp 13986  √csqrt 15158   ∥ cdvds 16181  ℙcprime 16600  FermatNocfmtno 47512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-ioo 13270  df-ico 13272  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-prod 15829  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-prm 16601  df-odz 16694  df-phi 16695  df-pc 16767  df-lgs 27222  df-fmtno 47513

This theorem is referenced by:  65537prm  47561  fmtnofz04prm  47562