Theorem fmtno4prm 47562

Description: The 4-th Fermat number (65537) is a prime (the fifth Fermat prime). (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4prm	⊢ (FermatNo‘4) ∈ ℙ

Proof of Theorem fmtno4prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12545	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		fmtno 47516	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1)
4		2nn 12339	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5		2nn0 12543	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	5, 1	nn0expcli 14129	. . . . . 6 ⊢ (2↑4) ∈ ℕ0
7		nnexpcl 14115	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (2↑4) ∈ ℕ0) → (2↑(2↑4)) ∈ ℕ)
8	4, 6, 7	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (2↑(2↑4)) ∈ ℕ
9		2re 12340	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
10		nnexpcl 14115	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
11	4, 1, 10	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (2↑4) ∈ ℕ
12		1lt2 12437	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
13		expgt1 14141	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (2↑4) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(2↑4)))
14	9, 11, 12, 13	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ 1 < (2↑(2↑4))
15		eluz2b2 12963	. . . . 5 ⊢ ((2↑(2↑4)) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((2↑(2↑4)) ∈ ℕ ∧ 1 < (2↑(2↑4))))
16	8, 14, 15	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ (2↑(2↑4)) ∈ (ℤ≥‘2)
17		peano2uz 12943	. . . 4 ⊢ ((2↑(2↑4)) ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
18	16, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘2)
19	3, 18	eqeltri 2837	. 2 ⊢ (FermatNo‘4) ∈ (ℤ≥‘2)
20		elinel2 4202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ∈ ℙ)
22		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
23		elinel1 4201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ (2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))))
24		elfzle2 13568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
27		fmtno4prmfac193 47560	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑝 = ;;193)
28	21, 22, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 = ;;193)
29		fmtno4nprmfac193 47561	. . . . . 6 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)
30		breq1 5146	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ;;193 → (𝑝 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)))
31	29, 30	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ;;193 → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
32	28, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
33	32	pm2.01da 799	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
34	33	rgen 3063	. 2 ⊢ ∀𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)
35		isprm7 16745	. 2 ⊢ ((FermatNo‘4) ∈ ℙ ↔ ((FermatNo‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)))
36	19, 34, 35	mpbir2an 711	1 ⊢ (FermatNo‘4) ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ∩ cin 3950   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℕcn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  9c9 12328  ℕ₀cn0 12526  ;cdc 12733  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  ⌊cfl 13830  ↑cexp 14102  √csqrt 15272   ∥ cdvds 16290  ℙcprime 16708  FermatNocfmtno 47514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-prod 15940  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-odz 16802  df-phi 16803  df-pc 16875  df-lgs 27339  df-fmtno 47515

This theorem is referenced by:  65537prm  47563  fmtnofz04prm  47564