Theorem fmtno4prm 47605

Description: The 4-th Fermat number (65537) is a prime (the fifth Fermat prime). (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4prm	⊢ (FermatNo‘4) ∈ ℙ

Proof of Theorem fmtno4prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12397	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		fmtno 47559	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1)
4		2nn 12195	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5		2nn0 12395	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6	5, 1	nn0expcli 13992	. . . . . 6 ⊢ (2↑4) ∈ ℕ0
7		nnexpcl 13978	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (2↑4) ∈ ℕ0) → (2↑(2↑4)) ∈ ℕ)
8	4, 6, 7	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (2↑(2↑4)) ∈ ℕ
9		2re 12196	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
10		nnexpcl 13978	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
11	4, 1, 10	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (2↑4) ∈ ℕ
12		1lt2 12288	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
13		expgt1 14004	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (2↑4) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(2↑4)))
14	9, 11, 12, 13	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ 1 < (2↑(2↑4))
15		eluz2b2 12816	. . . . 5 ⊢ ((2↑(2↑4)) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((2↑(2↑4)) ∈ ℕ ∧ 1 < (2↑(2↑4))))
16	8, 14, 15	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ (2↑(2↑4)) ∈ (ℤ≥‘2)
17		peano2uz 12796	. . . 4 ⊢ ((2↑(2↑4)) ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(2↑4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
18	16, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑4)) + 1) ∈ (ℤ≥‘2)
19	3, 18	eqeltri 2827	. 2 ⊢ (FermatNo‘4) ∈ (ℤ≥‘2)
20		elinel2 4152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ∈ ℙ)
22		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
23		elinel1 4151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ (2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))))
24		elfzle2 13425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
26	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
27		fmtno4prmfac193 47603	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑝 = ;;193)
28	21, 22, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 = ;;193)
29		fmtno4nprmfac193 47604	. . . . . 6 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)
30		breq1 5094	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ;;193 → (𝑝 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)))
31	29, 30	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ;;193 → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
32	28, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
33	32	pm2.01da 798	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
34	33	rgen 3049	. 2 ⊢ ∀𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)
35		isprm7 16616	. 2 ⊢ ((FermatNo‘4) ∈ ℙ ↔ ((FermatNo‘4) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)))
36	19, 34, 35	mpbir2an 711	1 ⊢ (FermatNo‘4) ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ∩ cin 3901   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11002  1c1 11004   + caddc 11006   < clt 11143   ≤ cle 11144  ℕcn 12122  2c2 12177  3c3 12178  4c4 12179  9c9 12184  ℕ₀cn0 12378  ;cdc 12585  ℤ_≥cuz 12729  ...cfz 13404  ⌊cfl 13691  ↑cexp 13965  √csqrt 15137   ∥ cdvds 16160  ℙcprime 16579  FermatNocfmtno 47557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9791  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-xnn0 12452  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-ioo 13246  df-ico 13248  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-mod 13771  df-seq 13906  df-exp 13966  df-fac 14178  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-clim 15392  df-prod 15808  df-dvds 16161  df-gcd 16403  df-prm 16580  df-odz 16673  df-phi 16674  df-pc 16746  df-lgs 27231  df-fmtno 47558

This theorem is referenced by:  65537prm  47606  fmtnofz04prm  47607