Theorem fmtnorec1 43692

Description: The first recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties, 22-Jul-2021. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnorec1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 + 1)) = ((((FermatNo‘𝑁) − 1)↑2) + 1))

Proof of Theorem fmtnorec1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 11931	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2		fmtno 43684	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1))
4		2nn0 11908	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		nn0expcl 13437	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
6	4, 5	mpan 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
7		nn0expcl 13437	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 11951	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
9	4, 6, 8	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
10		pncan1 11058	. . . . . 6 ⊢ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1) = (2↑(2↑𝑁)))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1) = (2↑(2↑𝑁)))
12	11	oveq1d 7165	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
13		2cnne0 11841	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
14	6	nn0zd 12079	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
15		2z 12008	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	14, 15	jctir 523	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
17		expmulz 13469	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)) → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
18	13, 16, 17	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
19		2cn 11706	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
20		2ne0 11735	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
21		nn0z 11999	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
22		expp1z 13472	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
23	19, 20, 21, 22	mp3an12i 1461	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
24	23	eqcomd 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) · 2) = (2↑(𝑁 + 1)))
25	24	oveq2d 7166	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
26	12, 18, 25	3eqtr2rd 2863	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑(𝑁 + 1))) = ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2))
27	26	oveq1d 7165	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1) = (((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2) + 1))
28		fmtno 43684	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
29	28	eqcomd 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) = (FermatNo‘𝑁))
30	29	oveq1d 7165	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1) = ((FermatNo‘𝑁) − 1))
31	30	oveq1d 7165	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2) = (((FermatNo‘𝑁) − 1)↑2))
32	31	oveq1d 7165	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2) + 1) = ((((FermatNo‘𝑁) − 1)↑2) + 1))
33	3, 27, 32	3eqtrd 2860	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 + 1)) = ((((FermatNo‘𝑁) − 1)↑2) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   − cmin 10864  2c2 11686  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ↑cexp 13423  FermatNocfmtno 43682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fmtno 43683

This theorem is referenced by:  fmtnorec3  43703  fmtno5  43712