Theorem fmtnorec1 48317

Description: The first recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties, 22-Jul-2021. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnorec1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 + 1)) = ((((FermatNo‘𝑁) − 1)↑2) + 1))

Proof of Theorem fmtnorec1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 12550	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2		fmtno 48309	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1))
4		2nn0 12527	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		nn0expcl 14118	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
6	4, 5	mpan 702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
7		nn0expcl 14118	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 12573	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
9	4, 6, 8	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
10		pncan1 11644	. . . . . 6 ⊢ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1) = (2↑(2↑𝑁)))
11	9, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1) = (2↑(2↑𝑁)))
12	11	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
13		2cnne0 12459	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
14	6	nn0zd 12622	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
15		2z 12632	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	14, 15	jctir 529	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
17		expmulz 14151	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)) → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
18	13, 16, 17	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
19		2cn 12322	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
20		2ne0 12353	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
21		nn0z 12621	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
22		expp1z 14154	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
23	19, 20, 21, 22	mp3an12i 1493	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
24	23	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) · 2) = (2↑(𝑁 + 1)))
25	24	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
26	12, 18, 25	3eqtr2rd 2804	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑(𝑁 + 1))) = ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2))
27	26	oveq1d 7427	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1) = (((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2) + 1))
28		fmtno 48309	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
29	28	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) = (FermatNo‘𝑁))
30	29	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1) = ((FermatNo‘𝑁) − 1))
31	30	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2) = (((FermatNo‘𝑁) − 1)↑2))
32	31	oveq1d 7427	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2) + 1) = ((((FermatNo‘𝑁) − 1)↑2) + 1))
33	3, 27, 32	3eqtrd 2801	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 + 1)) = ((((FermatNo‘𝑁) − 1)↑2) + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11447  2c2 12301  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597  ↑cexp 14104  FermatNocfmtno 48307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fmtno 48308

This theorem is used by:  fmtnorec3  48328  fmtno5  48337