Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnorec1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fmtnorec1 46195
Description: The first recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties, 22-Jul-2021. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnorec1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 + 1)) = ((((FermatNoβ€˜π‘) βˆ’ 1)↑2) + 1))
Proof of Theorem fmtnorec1
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 12511 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
2 fmtno 46187 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1))
4 2nn0 12488 . . . . . . 7 2 ∈ β„•0
5 nn0expcl 14040 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•0)
64, 5mpan 688 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•0)
7 nn0expcl 14040 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„•0 ∧ (2↑𝑁) ∈ β„•0) β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ β„•0)
87nn0cnd 12533 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„•0 ∧ (2↑𝑁) ∈ β„•0) β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ β„‚)
94, 6, 8sylancr 587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ β„‚)
10 pncan1 11637 . . . . . 6 ((2↑(2↑𝑁)) ∈ β„‚ β†’ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1) = (2↑(2↑𝑁)))
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1) = (2↑(2↑𝑁)))
1211oveq1d 7423 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1)↑2) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
13 2cnne0 12421 . . . . 5 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
146nn0zd 12583 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑁) ∈ β„€)
15 2z 12593 . . . . . 6 2 ∈ β„€
1614, 15jctir 521 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑𝑁) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€))
17 expmulz 14073 . . . . 5 (((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) ∧ ((2↑𝑁) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€)) β†’ (2↑((2↑𝑁) Β· 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
1813, 16, 17sylancr 587 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑((2↑𝑁) Β· 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
19 2cn 12286 . . . . . . 7 2 ∈ β„‚
20 2ne0 12315 . . . . . . 7 2 β‰  0
21 nn0z 12582 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
22 expp1z 14076 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) Β· 2))
2319, 20, 21, 22mp3an12i 1465 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) Β· 2))
2423eqcomd 2738 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑𝑁) Β· 2) = (2↑(𝑁 + 1)))
2524oveq2d 7424 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑((2↑𝑁) Β· 2)) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
2612, 18, 253eqtr2rd 2779 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑(𝑁 + 1))) = ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1)↑2))
2726oveq1d 7423 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1) = (((((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1)↑2) + 1))
28 fmtno 46187 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
2928eqcomd 2738 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) = (FermatNoβ€˜π‘))
3029oveq1d 7423 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1) = ((FermatNoβ€˜π‘) βˆ’ 1))
3130oveq1d 7423 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1)↑2) = (((FermatNoβ€˜π‘) βˆ’ 1)↑2))
3231oveq1d 7423 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1)↑2) + 1) = ((((FermatNoβ€˜π‘) βˆ’ 1)↑2) + 1))
333, 27, 323eqtrd 2776 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 + 1)) = ((((FermatNoβ€˜π‘) βˆ’ 1)↑2) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   βˆ’ cmin 11443  2c2 12266  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557  β†‘cexp 14026  FermatNocfmtno 46185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fmtno 46186
This theorem is referenced by:  fmtnorec3  46206  fmtno5  46215
  Copyright terms: Public domain W3C validator