Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnorec1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fmtnorec1 46777
Description: The first recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties, 22-Jul-2021. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnorec1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 + 1)) = ((((FermatNoβ€˜π‘) βˆ’ 1)↑2) + 1))
Proof of Theorem fmtnorec1
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 12516 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
2 fmtno 46769 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1))
4 2nn0 12493 . . . . . . 7 2 ∈ β„•0
5 nn0expcl 14046 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•0)
64, 5mpan 687 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•0)
7 nn0expcl 14046 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„•0 ∧ (2↑𝑁) ∈ β„•0) β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ β„•0)
87nn0cnd 12538 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„•0 ∧ (2↑𝑁) ∈ β„•0) β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ β„‚)
94, 6, 8sylancr 586 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ β„‚)
10 pncan1 11642 . . . . . 6 ((2↑(2↑𝑁)) ∈ β„‚ β†’ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1) = (2↑(2↑𝑁)))
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1) = (2↑(2↑𝑁)))
1211oveq1d 7420 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1)↑2) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
13 2cnne0 12426 . . . . 5 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
146nn0zd 12588 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑁) ∈ β„€)
15 2z 12598 . . . . . 6 2 ∈ β„€
1614, 15jctir 520 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑𝑁) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€))
17 expmulz 14079 . . . . 5 (((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) ∧ ((2↑𝑁) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€)) β†’ (2↑((2↑𝑁) Β· 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
1813, 16, 17sylancr 586 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑((2↑𝑁) Β· 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
19 2cn 12291 . . . . . . 7 2 ∈ β„‚
20 2ne0 12320 . . . . . . 7 2 β‰  0
21 nn0z 12587 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
22 expp1z 14082 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) Β· 2))
2319, 20, 21, 22mp3an12i 1461 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) Β· 2))
2423eqcomd 2732 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑𝑁) Β· 2) = (2↑(𝑁 + 1)))
2524oveq2d 7421 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑((2↑𝑁) Β· 2)) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
2612, 18, 253eqtr2rd 2773 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑(𝑁 + 1))) = ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1)↑2))
2726oveq1d 7420 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1) = (((((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1)↑2) + 1))
28 fmtno 46769 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
2928eqcomd 2732 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) = (FermatNoβ€˜π‘))
3029oveq1d 7420 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1) = ((FermatNoβ€˜π‘) βˆ’ 1))
3130oveq1d 7420 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1)↑2) = (((FermatNoβ€˜π‘) βˆ’ 1)↑2))
3231oveq1d 7420 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1)↑2) + 1) = ((((FermatNoβ€˜π‘) βˆ’ 1)↑2) + 1))
333, 27, 323eqtrd 2770 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 + 1)) = ((((FermatNoβ€˜π‘) βˆ’ 1)↑2) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β†‘cexp 14032  FermatNocfmtno 46767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fmtno 46768
This theorem is referenced by:  fmtnorec3  46788  fmtno5  46797
  Copyright terms: Public domain W3C validator