Theorem fmtnorec1 48621

Description: The first recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties, 22-Jul-2021. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnorec1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 + 1)) = ((((FermatNo‘𝑁) − 1)↑2) + 1))

Proof of Theorem fmtnorec1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 12646	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2		fmtno 48613	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1))
4		2nn0 12623	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		nn0expcl 14218	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
6	4, 5	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
7		nn0expcl 14218	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 12669	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
9	4, 6, 8	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
10		pncan1 11740	. . . . . 6 ⊢ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1) = (2↑(2↑𝑁)))
11	9, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1) = (2↑(2↑𝑁)))
12	11	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
13		2cnne0 12555	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
14	6	nn0zd 12718	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
15		2z 12728	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	14, 15	jctir 530	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
17		expmulz 14251	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)) → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
18	13, 16, 17	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
19		2cn 12418	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
20		2ne0 12449	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
21		nn0z 12717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
22		expp1z 14254	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
23	19, 20, 21, 22	mp3an12i 1494	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
24	23	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) · 2) = (2↑(𝑁 + 1)))
25	24	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
26	12, 18, 25	3eqtr2rd 2803	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑(𝑁 + 1))) = ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2))
27	26	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1) = (((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2) + 1))
28		fmtno 48613	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
29	28	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) = (FermatNo‘𝑁))
30	29	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1) = ((FermatNo‘𝑁) − 1))
31	30	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2) = (((FermatNo‘𝑁) − 1)↑2))
32	31	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2) + 1) = ((((FermatNo‘𝑁) − 1)↑2) + 1))
33	3, 27, 32	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 + 1)) = ((((FermatNo‘𝑁) − 1)↑2) + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   − cmin 11541  2c2 12397  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ↑cexp 14204  FermatNocfmtno 48611

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fmtno 48612

This theorem is used by:  fmtnorec3  48632  fmtno5  48641