Theorem fmtnorec1 47411

Description: The first recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties, 22-Jul-2021. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnorec1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 + 1)) = ((((FermatNo‘𝑁) − 1)↑2) + 1))

Proof of Theorem fmtnorec1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 12593	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2		fmtno 47403	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1))
4		2nn0 12570	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		nn0expcl 14126	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
6	4, 5	mpan 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
7		nn0expcl 14126	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 12615	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
9	4, 6, 8	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
10		pncan1 11714	. . . . . 6 ⊢ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1) = (2↑(2↑𝑁)))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1) = (2↑(2↑𝑁)))
12	11	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
13		2cnne0 12503	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
14	6	nn0zd 12665	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
15		2z 12675	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	14, 15	jctir 520	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
17		expmulz 14159	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)) → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
18	13, 16, 17	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
19		2cn 12368	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
20		2ne0 12397	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
21		nn0z 12664	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
22		expp1z 14162	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
23	19, 20, 21, 22	mp3an12i 1465	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
24	23	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) · 2) = (2↑(𝑁 + 1)))
25	24	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
26	12, 18, 25	3eqtr2rd 2787	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑(𝑁 + 1))) = ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2))
27	26	oveq1d 7463	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1) = (((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2) + 1))
28		fmtno 47403	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
29	28	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) = (FermatNo‘𝑁))
30	29	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1) = ((FermatNo‘𝑁) − 1))
31	30	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2) = (((FermatNo‘𝑁) − 1)↑2))
32	31	oveq1d 7463	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2) + 1) = ((((FermatNo‘𝑁) − 1)↑2) + 1))
33	3, 27, 32	3eqtrd 2784	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 + 1)) = ((((FermatNo‘𝑁) − 1)↑2) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   − cmin 11520  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ↑cexp 14112  FermatNocfmtno 47401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fmtno 47402

This theorem is referenced by:  fmtnorec3  47422  fmtno5  47431