Theorem fmtnorec1 44877

Description: The first recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties, 22-Jul-2021. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnorec1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 + 1)) = ((((FermatNo‘𝑁) − 1)↑2) + 1))

Proof of Theorem fmtnorec1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 12203	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2		fmtno 44869	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1))
4		2nn0 12180	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		nn0expcl 13724	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
6	4, 5	mpan 686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
7		nn0expcl 13724	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 12225	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0) → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
9	4, 6, 8	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ)
10		pncan1 11329	. . . . . 6 ⊢ ((2↑(2↑𝑁)) ∈ ℂ → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1) = (2↑(2↑𝑁)))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1) = (2↑(2↑𝑁)))
12	11	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
13		2cnne0 12113	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
14	6	nn0zd 12353	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
15		2z 12282	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	14, 15	jctir 520	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
17		expmulz 13757	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((2↑𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)) → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
18	13, 16, 17	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
19		2cn 11978	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
20		2ne0 12007	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
21		nn0z 12273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
22		expp1z 13760	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
23	19, 20, 21, 22	mp3an12i 1463	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
24	23	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) · 2) = (2↑(𝑁 + 1)))
25	24	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑((2↑𝑁) · 2)) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
26	12, 18, 25	3eqtr2rd 2785	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑(2↑(𝑁 + 1))) = ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2))
27	26	oveq1d 7270	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1) = (((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2) + 1))
28		fmtno 44869	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑁) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
29	28	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑(2↑𝑁)) + 1) = (FermatNo‘𝑁))
30	29	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1) = ((FermatNo‘𝑁) − 1))
31	30	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2) = (((FermatNo‘𝑁) − 1)↑2))
32	31	oveq1d 7270	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((((2↑(2↑𝑁)) + 1) − 1)↑2) + 1) = ((((FermatNo‘𝑁) − 1)↑2) + 1))
33	3, 27, 32	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘(𝑁 + 1)) = ((((FermatNo‘𝑁) − 1)↑2) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ↑cexp 13710  FermatNocfmtno 44867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fmtno 44868

This theorem is referenced by:  fmtnorec3  44888  fmtno5  44897