Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnorec1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fmtnorec1 46940
Description: The first recurrence relation for Fermat numbers, see Wikipedia "Fermat number", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Basic_properties, 22-Jul-2021. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnorec1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 + 1)) = ((((FermatNoβ€˜π‘) βˆ’ 1)↑2) + 1))
Proof of Theorem fmtnorec1
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 12542 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
2 fmtno 46932 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 + 1)) = ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1))
4 2nn0 12519 . . . . . . 7 2 ∈ β„•0
5 nn0expcl 14072 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•0)
64, 5mpan 688 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•0)
7 nn0expcl 14072 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„•0 ∧ (2↑𝑁) ∈ β„•0) β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ β„•0)
87nn0cnd 12564 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„•0 ∧ (2↑𝑁) ∈ β„•0) β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ β„‚)
94, 6, 8sylancr 585 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑𝑁)) ∈ β„‚)
10 pncan1 11668 . . . . . 6 ((2↑(2↑𝑁)) ∈ β„‚ β†’ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1) = (2↑(2↑𝑁)))
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1) = (2↑(2↑𝑁)))
1211oveq1d 7431 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1)↑2) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
13 2cnne0 12452 . . . . 5 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
146nn0zd 12614 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑𝑁) ∈ β„€)
15 2z 12624 . . . . . 6 2 ∈ β„€
1614, 15jctir 519 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑𝑁) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€))
17 expmulz 14105 . . . . 5 (((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) ∧ ((2↑𝑁) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€)) β†’ (2↑((2↑𝑁) Β· 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
1813, 16, 17sylancr 585 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑((2↑𝑁) Β· 2)) = ((2↑(2↑𝑁))↑2))
19 2cn 12317 . . . . . . 7 2 ∈ β„‚
20 2ne0 12346 . . . . . . 7 2 β‰  0
21 nn0z 12613 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
22 expp1z 14108 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) Β· 2))
2319, 20, 21, 22mp3an12i 1461 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) Β· 2))
2423eqcomd 2731 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑𝑁) Β· 2) = (2↑(𝑁 + 1)))
2524oveq2d 7432 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑((2↑𝑁) Β· 2)) = (2↑(2↑(𝑁 + 1))))
2612, 18, 253eqtr2rd 2772 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2↑(𝑁 + 1))) = ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1)↑2))
2726oveq1d 7431 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) + 1) = (((((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1)↑2) + 1))
28 fmtno 46932 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜π‘) = ((2↑(2↑𝑁)) + 1))
2928eqcomd 2731 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2↑(2↑𝑁)) + 1) = (FermatNoβ€˜π‘))
3029oveq1d 7431 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1) = ((FermatNoβ€˜π‘) βˆ’ 1))
3130oveq1d 7431 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1)↑2) = (((FermatNoβ€˜π‘) βˆ’ 1)↑2))
3231oveq1d 7431 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((((2↑(2↑𝑁)) + 1) βˆ’ 1)↑2) + 1) = ((((FermatNoβ€˜π‘) βˆ’ 1)↑2) + 1))
333, 27, 323eqtrd 2769 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (FermatNoβ€˜(𝑁 + 1)) = ((((FermatNoβ€˜π‘) βˆ’ 1)↑2) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143   βˆ’ cmin 11474  2c2 12297  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  β†‘cexp 14058  FermatNocfmtno 46930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fmtno 46931
This theorem is referenced by:  fmtnorec3  46951  fmtno5  46960
  Copyright terms: Public domain W3C validator