Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4 46155
Description: The 4 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 13-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4 (FermatNo‘4) = 65537

Proof of Theorem fmtno4
StepHypRef Expression
1 4nn0 12487 . . 3 4 ∈ ℕ0
2 fmtno 46132 . . 3 (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1))
31, 2ax-mp 5 . 2 (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1)
4 2exp4 17014 . . . . 5 (2↑4) = 16
54oveq2i 7415 . . . 4 (2↑(2↑4)) = (2↑16)
65oveq1i 7414 . . 3 ((2↑(2↑4)) + 1) = ((2↑16) + 1)
7 2exp16 17020 . . . 4 (2↑16) = 65536
87oveq1i 7414 . . 3 ((2↑16) + 1) = (65536 + 1)
9 6nn0 12489 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
10 5nn0 12488 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
119, 10deccl 12688 . . . . . 6 65 ∈ ℕ0
1211, 10deccl 12688 . . . . 5 655 ∈ ℕ0
13 3nn0 12486 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 12688 . . . 4 6553 ∈ ℕ0
15 6p1e7 12356 . . . 4 (6 + 1) = 7
16 eqid 2733 . . . 4 65536 = 65536
1714, 9, 15, 16decsuc 12704 . . 3 (65536 + 1) = 65537
186, 8, 173eqtri 2765 . 2 ((2↑(2↑4)) + 1) = 65537
193, 18eqtri 2761 1 (FermatNo‘4) = 65537
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6540  (class class class)co 7404  1c1 11107   + caddc 11109  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  5c5 12266  6c6 12267  7c7 12268  0cn0 12468  cdc 12673  cexp 14023  FermatNocfmtno 46130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fmtno 46131
This theorem is referenced by:  fmtno5  46160  fmtno4nprmfac193  46177  65537prm  46179
  Copyright terms: Public domain W3C validator