Theorem fmtno4 47539

Description: The 4 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 13-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4	⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537

Proof of Theorem fmtno4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12545	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		fmtno 47516	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1)
4		2exp4 17122	. . . . 5 ⊢ (2↑4) = ;16
5	4	oveq2i 7442	. . . 4 ⊢ (2↑(2↑4)) = (2↑;16)
6	5	oveq1i 7441	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑4)) + 1) = ((2↑;16) + 1)
7		2exp16 17128	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
8	7	oveq1i 7441	. . 3 ⊢ ((2↑;16) + 1) = (;;;;65536 + 1)
9		6nn0 12547	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10		5nn0 12546	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12748	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
12	11, 10	deccl 12748	. . . . 5 ⊢ ;;655 ∈ ℕ0
13		3nn0 12544	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12748	. . . 4 ⊢ ;;;6553 ∈ ℕ0
15		6p1e7 12414	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
16		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;;;;65536 = ;;;;65536
17	14, 9, 15, 16	decsuc 12764	. . 3 ⊢ (;;;;65536 + 1) = ;;;;65537
18	6, 8, 17	3eqtri 2769	. 2 ⊢ ((2↑(2↑4)) + 1) = ;;;;65537
19	3, 18	eqtri 2765	1 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  ℕ₀cn0 12526  ;cdc 12733  ↑cexp 14102  FermatNocfmtno 47514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fmtno 47515

This theorem is referenced by:  fmtno5  47544  fmtno4nprmfac193  47561  65537prm  47563