Theorem fmtno4 45004

Description: The 4 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 13-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4	⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537

Proof of Theorem fmtno4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12252	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		fmtno 44981	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1)
4		2exp4 16786	. . . . 5 ⊢ (2↑4) = ;16
5	4	oveq2i 7286	. . . 4 ⊢ (2↑(2↑4)) = (2↑;16)
6	5	oveq1i 7285	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑4)) + 1) = ((2↑;16) + 1)
7		2exp16 16792	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
8	7	oveq1i 7285	. . 3 ⊢ ((2↑;16) + 1) = (;;;;65536 + 1)
9		6nn0 12254	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10		5nn0 12253	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12452	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
12	11, 10	deccl 12452	. . . . 5 ⊢ ;;655 ∈ ℕ0
13		3nn0 12251	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12452	. . . 4 ⊢ ;;;6553 ∈ ℕ0
15		6p1e7 12121	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
16		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;;;;65536 = ;;;;65536
17	14, 9, 15, 16	decsuc 12468	. . 3 ⊢ (;;;;65536 + 1) = ;;;;65537
18	6, 8, 17	3eqtri 2770	. 2 ⊢ ((2↑(2↑4)) + 1) = ;;;;65537
19	3, 18	eqtri 2766	1 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872   + caddc 10874  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  6c6 12032  7c7 12033  ℕ₀cn0 12233  ;cdc 12437  ↑cexp 13782  FermatNocfmtno 44979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fmtno 44980

This theorem is referenced by:  fmtno5  45009  fmtno4nprmfac193  45026  65537prm  45028