Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4 43715
Description: The 4 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 13-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4 (FermatNo‘4) = 65537

Proof of Theorem fmtno4
StepHypRef Expression
1 4nn0 11915 . . 3 4 ∈ ℕ0
2 fmtno 43692 . . 3 (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1))
31, 2ax-mp 5 . 2 (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1)
4 2exp4 16420 . . . . 5 (2↑4) = 16
54oveq2i 7166 . . . 4 (2↑(2↑4)) = (2↑16)
65oveq1i 7165 . . 3 ((2↑(2↑4)) + 1) = ((2↑16) + 1)
7 2exp16 16423 . . . 4 (2↑16) = 65536
87oveq1i 7165 . . 3 ((2↑16) + 1) = (65536 + 1)
9 6nn0 11917 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
10 5nn0 11916 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
119, 10deccl 12112 . . . . . 6 65 ∈ ℕ0
1211, 10deccl 12112 . . . . 5 655 ∈ ℕ0
13 3nn0 11914 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 12112 . . . 4 6553 ∈ ℕ0
15 6p1e7 11784 . . . 4 (6 + 1) = 7
16 eqid 2821 . . . 4 65536 = 65536
1714, 9, 15, 16decsuc 12128 . . 3 (65536 + 1) = 65537
186, 8, 173eqtri 2848 . 2 ((2↑(2↑4)) + 1) = 65537
193, 18eqtri 2844 1 (FermatNo‘4) = 65537
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2110  cfv 6354  (class class class)co 7155  1c1 10537   + caddc 10539  2c2 11691  3c3 11692  4c4 11693  5c5 11694  6c6 11695  7c7 11696  0cn0 11896  cdc 12097  cexp 13428  FermatNocfmtno 43690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-seq 13369  df-exp 13429  df-fmtno 43691
This theorem is referenced by:  fmtno5  43720  fmtno4nprmfac193  43737  65537prm  43739
  Copyright terms: Public domain W3C validator