Theorem fmtno4 48910

Description: The 4 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 13-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4	⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537

Proof of Theorem fmtno4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12665	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		fmtno 48887	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1)
4		2exp4 17306	. . . . 5 ⊢ (2↑4) = ;16
5	4	oveq2i 7462	. . . 4 ⊢ (2↑(2↑4)) = (2↑;16)
6	5	oveq1i 7461	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑4)) + 1) = ((2↑;16) + 1)
7		2exp16 17312	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
8	7	oveq1i 7461	. . 3 ⊢ ((2↑;16) + 1) = (;;;;65536 + 1)
9		6nn0 12667	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10		5nn0 12666	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12869	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
12	11, 10	deccl 12869	. . . . 5 ⊢ ;;655 ∈ ℕ0
13		3nn0 12664	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;;;6553 ∈ ℕ0
15		6p1e7 12530	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;;;;65536 = ;;;;65536
17	14, 9, 15, 16	decsuc 12890	. . 3 ⊢ (;;;;65536 + 1) = ;;;;65537
18	6, 8, 17	3eqtri 2790	. 2 ⊢ ((2↑(2↑4)) + 1) = ;;;;65537
19	3, 18	eqtri 2786	1 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1c1 11240   + caddc 11242  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  5c5 12440  6c6 12441  7c7 12442  ℕ₀cn0 12646  ;cdc 12854  ↑cexp 14244  FermatNocfmtno 48885

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fmtno 48886

This theorem is used by:  fmtno5  48915  fmtno4nprmfac193  48932  65537prm  48934