Theorem fmtno4 44522

Description: The 4 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 13-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4	⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537

Proof of Theorem fmtno4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 11988	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		fmtno 44499	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1)
4		2exp4 16514	. . . . 5 ⊢ (2↑4) = ;16
5	4	oveq2i 7175	. . . 4 ⊢ (2↑(2↑4)) = (2↑;16)
6	5	oveq1i 7174	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑4)) + 1) = ((2↑;16) + 1)
7		2exp16 16520	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
8	7	oveq1i 7174	. . 3 ⊢ ((2↑;16) + 1) = (;;;;65536 + 1)
9		6nn0 11990	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10		5nn0 11989	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12187	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
12	11, 10	deccl 12187	. . . . 5 ⊢ ;;655 ∈ ℕ0
13		3nn0 11987	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12187	. . . 4 ⊢ ;;;6553 ∈ ℕ0
15		6p1e7 11857	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
16		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;;;;65536 = ;;;;65536
17	14, 9, 15, 16	decsuc 12203	. . 3 ⊢ (;;;;65536 + 1) = ;;;;65537
18	6, 8, 17	3eqtri 2765	. 2 ⊢ ((2↑(2↑4)) + 1) = ;;;;65537
19	3, 18	eqtri 2761	1 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164  1c1 10609   + caddc 10611  2c2 11764  3c3 11765  4c4 11766  5c5 11767  6c6 11768  7c7 11769  ℕ₀cn0 11969  ;cdc 12172  ↑cexp 13514  FermatNocfmtno 44497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-seq 13454  df-exp 13515  df-fmtno 44498

This theorem is referenced by:  fmtno5  44527  fmtno4nprmfac193  44544  65537prm  44546