Theorem fmtno4 46220

Description: The 4 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 13-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4	⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537

Proof of Theorem fmtno4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12491	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		fmtno 46197	. . 3 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1)
4		2exp4 17018	. . . . 5 ⊢ (2↑4) = ;16
5	4	oveq2i 7420	. . . 4 ⊢ (2↑(2↑4)) = (2↑;16)
6	5	oveq1i 7419	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑4)) + 1) = ((2↑;16) + 1)
7		2exp16 17024	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
8	7	oveq1i 7419	. . 3 ⊢ ((2↑;16) + 1) = (;;;;65536 + 1)
9		6nn0 12493	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10		5nn0 12492	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12692	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
12	11, 10	deccl 12692	. . . . 5 ⊢ ;;655 ∈ ℕ0
13		3nn0 12490	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12692	. . . 4 ⊢ ;;;6553 ∈ ℕ0
15		6p1e7 12360	. . . 4 ⊢ (6 + 1) = 7
16		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;;;;65536 = ;;;;65536
17	14, 9, 15, 16	decsuc 12708	. . 3 ⊢ (;;;;65536 + 1) = ;;;;65537
18	6, 8, 17	3eqtri 2765	. 2 ⊢ ((2↑(2↑4)) + 1) = ;;;;65537
19	3, 18	eqtri 2761	1 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  6c6 12271  7c7 12272  ℕ₀cn0 12472  ;cdc 12677  ↑cexp 14027  FermatNocfmtno 46195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fmtno 46196

This theorem is referenced by:  fmtno5  46225  fmtno4nprmfac193  46242  65537prm  46244