Theorem funbrfv2b 6874

Description: Function value in terms of a binary relation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funbrfv2b	⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴𝐹𝐵 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐵)))

Proof of Theorem funbrfv2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 6493	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
2		releldm 5879	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴𝐹𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
3	2	ex 412	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐴𝐹𝐵 → 𝐴 ∈ dom 𝐹))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴𝐹𝐵 → 𝐴 ∈ dom 𝐹))
5	4	pm4.71rd 562	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴𝐹𝐵 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴𝐹𝐵)))
6		funbrfvb 6870	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))
7	6	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴𝐹𝐵)))
8	5, 7	bitr4d 282	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴𝐹𝐵 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  dom cdm 5611  Rel wrel 5616  Fun wfun 6470  ‘cfv 6476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-fv 6484

This theorem is referenced by:  brtpos2  8157  mpocurryd  8194  xpcomco  8975  fseqenlem2  9911  fpwwe2  10529  joinfval  18272  joinfval2  18273  meetfval  18286  meetfval2  18287  tayl0  26291  ofpreima  32639  funcnvmpt  32641  curf  37638  uncf  37639  curunc  37642  fperdvper  45957