Theorem funbrfv2b 6698

Description: Function value in terms of a binary relation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
funbrfv2b	⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴𝐹𝐵 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐵)))

Proof of Theorem funbrfv2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 6341	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
2		releldm 5778	. . . . 5 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴𝐹𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
3	2	ex 416	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐴𝐹𝐵 → 𝐴 ∈ dom 𝐹))
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴𝐹𝐵 → 𝐴 ∈ dom 𝐹))
5	4	pm4.71rd 566	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴𝐹𝐵 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴𝐹𝐵)))
6		funbrfvb 6695	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))
7	6	pm5.32da 582	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴𝐹𝐵)))
8	5, 7	bitr4d 285	1 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐴𝐹𝐵 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  dom cdm 5519  Rel wrel 5524  Fun wfun 6318  ‘cfv 6324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-fv 6332

This theorem is referenced by:  brtpos2  7881  mpocurryd  7918  xpcomco  8590  fseqenlem2  9436  fpwwe2  10054  joinfval  17603  joinfval2  17604  meetfval  17617  meetfval2  17618  tayl0  24957  ofpreima  30428  funcnvmpt  30430  curf  35035  uncf  35036  curunc  35039  fperdvper  42561