MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylthlem1 26430
Description: Lemma for taylth 26433. This is the main part of Taylor's theorem, except for the induction step, which is supposed to be proven using L'Hôpital's rule. However, since our proof of L'Hôpital assumes that 𝑆 = ℝ, we can only do this part generically, and for taylth 26433 itself we must restrict to . (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylthlem1.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylthlem1.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylthlem1.a (𝜑𝐴𝑆)
taylthlem1.d (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
taylthlem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
taylthlem1.b (𝜑𝐵𝐴)
taylthlem1.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
taylthlem1.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝑇𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁)))
taylthlem1.i ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵))
Assertion
Ref Expression
taylthlem1 (𝜑 → 0 ∈ (𝑅 lim 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐴   𝐵,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑁,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦   𝑇,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem taylthlem1
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylthlem1.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 elfz1end 13591 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (1...𝑁))
31, 2sylib 218 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑁))
4 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 1 → (𝑁𝑚) = (𝑁 − 1))
54fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 1 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))
65fveq1d 6909 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 1 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥))
74fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 1 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚)) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1)))
87fveq1d 6909 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 1 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥))
96, 8oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 1 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)))
10 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 1 → ((𝑥𝐵)↑𝑚) = ((𝑥𝐵)↑1))
119, 10oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑚 = 1 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1)))
1211mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (𝑚 = 1 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))))
1312oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑚 = 1 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))) lim 𝐵))
1413eleq2d 2825 . . . . 5 (𝑚 = 1 → (0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) ↔ 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))) lim 𝐵)))
1514imbi2d 340 . . . 4 (𝑚 = 1 → ((𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵)) ↔ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))) lim 𝐵))))
16 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → (𝑁𝑚) = (𝑁𝑛))
1716fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛)))
1817fveq1d 6909 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥))
1916fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚)) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛)))
2019fveq1d 6909 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥))
2118, 20oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥)))
22 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑥𝐵)↑𝑚) = ((𝑥𝐵)↑𝑛))
2321, 22oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑛)))
2423mpteq2dv 5250 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑛))))
25 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦))
26 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦))
2725, 26oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)))
28 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐵) = (𝑦𝐵))
2928oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐵)↑𝑛) = ((𝑦𝐵)↑𝑛))
3027, 29oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑛)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛)))
3130cbvmptv 5261 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑛))) = (𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛)))
3224, 31eqtrdi 2791 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) = (𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))))
3332oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) = ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵))
3433eleq2d 2825 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) ↔ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵)))
3534imbi2d 340 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵)) ↔ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵))))
36 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑁𝑚) = (𝑁 − (𝑛 + 1)))
3736fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1))))
3837fveq1d 6909 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥))
3936fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚)) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1))))
4039fveq1d 6909 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥))
4138, 40oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)))
42 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑥𝐵)↑𝑚) = ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))
4341, 42oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1))))
4443mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))))
4544oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵))
4645eleq2d 2825 . . . . 5 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) ↔ 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵)))
4746imbi2d 340 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵)) ↔ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵))))
48 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑁 → (𝑁𝑚) = (𝑁𝑁))
4948fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁)))
5049fveq1d 6909 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑁 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥))
5148fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑁 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚)) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁)))
5251fveq1d 6909 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑁 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥))
5350, 52oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑁 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)))
54 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑥𝐵)↑𝑚) = ((𝑥𝐵)↑𝑁))
5553, 54oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑁 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁)))
5655mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))))
5756oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) lim 𝐵))
5857eleq2d 2825 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → (0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) ↔ 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) lim 𝐵)))
5958imbi2d 340 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → ((𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵)) ↔ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) lim 𝐵))))
60 taylthlem1.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵𝐴)
61 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝐵 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵))
62 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝐵 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝐵))
6361, 62oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐵 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝐵)))
64 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦))) = (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))
65 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝐵)) ∈ V
6663, 64, 65fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝐴 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))‘𝐵) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝐵)))
6760, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))‘𝐵) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝐵)))
68 taylthlem1.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
69 taylthlem1.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
70 taylthlem1.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑆)
711nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
72 nn0uz 12918 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (ℤ‘0)
7371, 72eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
74 eluzfz2b 13570 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
7573, 74sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ (0...𝑁))
76 taylthlem1.d . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
7760, 76eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
78 taylthlem1.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
7968, 69, 70, 75, 77, 78dvntaylp0 26429 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵))
8079oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝐵)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) − (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵)))
81 cnex 11234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ ∈ V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℂ ∈ V)
83 elpm2r 8884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
8482, 68, 69, 70, 83syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
85 dvnf 25978 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℂ)
8668, 84, 71, 85syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℂ)
8786, 77ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) ∈ ℂ)
8887subidd 11606 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) − (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵)) = 0)
8967, 80, 883eqtrd 2779 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))‘𝐵) = 0)
90 funmpt 6606 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))
91 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)) ∈ V
9291, 64dmmpti 6713 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦))) = 𝐴
9360, 92eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ dom (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦))))
94 funbrfvb 6962 . . . . . . . . . . 11 ((Fun (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦))) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))) → (((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵(𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))0))
9590, 93, 94sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵(𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))0))
9689, 95mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵(𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))0)
97 nnm1nn0 12565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
981, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
99 dvnf 25978 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))⟶ℂ)
10068, 84, 98, 99syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))⟶ℂ)
101 dvnbss 25979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ⊆ dom 𝐹)
10268, 84, 98, 101syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ⊆ dom 𝐹)
10369, 102fssdmd 6755 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ⊆ 𝐴)
104 fzo0end 13794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
105 elfzofz 13712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁))
1061, 104, 1053syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁))
107 dvn2bss 25981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))
10868, 84, 106, 107syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))
10976, 108eqsstrrd 4035 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))
110103, 109eqssd 4013 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) = 𝐴)
111110feq2d 6723 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)):𝐴⟶ℂ))
112100, 111mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)):𝐴⟶ℂ)
113112ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) ∈ ℂ)
11476feq2d 6723 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁):𝐴⟶ℂ))
11586, 114mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁):𝐴⟶ℂ)
116115ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) ∈ ℂ)
1171nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
118 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
119117, 118npcand 11622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
120119fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
121 recnprss 25954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
12268, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
123 dvnp1 25976 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
124122, 84, 98, 123syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
125120, 124eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
126115feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑦𝐴 ↦ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦)))
127112feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (𝑦𝐴 ↦ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))
128127oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))) = (𝑆 D (𝑦𝐴 ↦ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))))
129125, 126, 1283eqtr3rd 2784 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝐴 ↦ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))) = (𝑦𝐴 ↦ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦)))
13070, 122sstrd 4006 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
131130sselda 3995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
132 1nn0 12540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ0
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
134 elpm2r 8884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
13582, 68, 112, 70, 134syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
136 dvn1 25977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))‘1) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
137122, 135, 136syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))‘1) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
138124, 120eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
139137, 138eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))‘1) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
140139dmeqd 5919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))‘1) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
14177, 140eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))‘1))
142 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))𝐵) = (1(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))𝐵)
14368, 112, 70, 133, 141, 142taylpf 26422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))𝐵):ℂ⟶ℂ)
144118, 117pncan3d 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁)
145144oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + (𝑁 − 1))(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
14678, 145eqtr4id 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑇 = ((1 + (𝑁 − 1))(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
147146oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℂ D𝑛 𝑇) = (ℂ D𝑛 ((1 + (𝑁 − 1))(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)))
148147fveq1d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1)) = ((ℂ D𝑛 ((1 + (𝑁 − 1))(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑁 − 1)))
149144fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑁 − 1))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
150149dmeqd 5919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑁 − 1))) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
15177, 150eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑁 − 1))))
15268, 69, 70, 98, 133, 151dvntaylp 26428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((1 + (𝑁 − 1))(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑁 − 1)) = (1(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))𝐵))
153148, 152eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1)) = (1(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))𝐵))
154153feq1d 6721 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1)):ℂ⟶ℂ ↔ (1(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))𝐵):ℂ⟶ℂ))
155143, 154mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1)):ℂ⟶ℂ)
156155ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) ∈ ℂ)
157131, 156syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) ∈ ℂ)
158 0nn0 12539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℕ0
159158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
160 elpm2r 8884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
16182, 68, 115, 70, 160syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
162 dvn0 25975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
163122, 161, 162syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
164163dmeqd 5919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))‘0) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
16577, 164eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))‘0))
166 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))𝐵) = (0(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))𝐵)
16768, 115, 70, 159, 165, 166taylpf 26422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))𝐵):ℂ⟶ℂ)
168117addlidd 11460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (0 + 𝑁) = 𝑁)
169168oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((0 + 𝑁)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
170169, 78eqtr4di 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((0 + 𝑁)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = 𝑇)
171170oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℂ D𝑛 ((0 + 𝑁)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (ℂ D𝑛 𝑇))
172171fveq1d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((0 + 𝑁)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑁) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁))
173168fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(0 + 𝑁)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
174173dmeqd 5919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(0 + 𝑁)) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
17577, 174eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(0 + 𝑁)))
17668, 69, 70, 71, 159, 175dvntaylp 26428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((0 + 𝑁)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑁) = (0(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))𝐵))
177172, 176eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁) = (0(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))𝐵))
178177feq1d 6721 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁):ℂ⟶ℂ ↔ (0(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))𝐵):ℂ⟶ℂ))
179167, 178mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁):ℂ⟶ℂ)
180179ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦) ∈ ℂ)
181131, 180syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦) ∈ ℂ)
182122sselda 3995 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
183182, 156syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) ∈ ℂ)
184182, 180syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦) ∈ ℂ)
185 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
186185cnfldtopon 24819 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
187 toponmax 22948 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
188186, 187mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
189 dfss2 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ⊆ ℂ ↔ (𝑆 ∩ ℂ) = 𝑆)
190122, 189sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 ∩ ℂ) = 𝑆)
191 ssid 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ ⊆ ℂ
192191a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
193 mapsspm 8915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℂ ↑m ℂ) ⊆ (ℂ ↑pm ℂ)
19468, 69, 70, 71, 77, 78taylpf 26422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑇:ℂ⟶ℂ)
19581, 81elmap 8910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇 ∈ (ℂ ↑m ℂ) ↔ 𝑇:ℂ⟶ℂ)
196194, 195sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇 ∈ (ℂ ↑m ℂ))
197193, 196sselid 3993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑇 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
198 dvnp1 25976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℂ D ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))))
199192, 197, 98, 198syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℂ D ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))))
200119fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁))
201199, 200eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℂ D ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁))
202155feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))
203202oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℂ D ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))))
204179feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))
205201, 203, 2043eqtr3d 2783 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))
206185, 68, 188, 190, 156, 180, 205dvmptres3 26009 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))) = (𝑦𝑆 ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))
207 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
208 resttopon 23185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
209186, 122, 208sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
210 topontop 22935 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
211209, 210syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
212 toponuni 22936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
213209, 212syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
21470, 213sseqtrd 4036 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
215 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
216215ntrss2 23081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝐴 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
217211, 214, 216syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
218138dmeqd 5919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
219218, 76eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))) = 𝐴)
220122, 112, 70, 207, 185dvbssntr 25950 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))) ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴))
221219, 220eqsstrrd 4035 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴))
222217, 221eqssd 4013 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴) = 𝐴)
22368, 183, 184, 206, 70, 207, 185, 222dvmptres2 26015 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝐴 ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))) = (𝑦𝐴 ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))
22468, 113, 116, 129, 157, 181, 223dvmptsub 26020 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))) = (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦))))
225224breqd 5159 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵(𝑆 D (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))))0 ↔ 𝐵(𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))0))
22696, 225mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵(𝑆 D (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))))0)
227 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵)))
228113, 157subcld 11618 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)) ∈ ℂ)
229228fmpttd 7135 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))):𝐴⟶ℂ)
230207, 185, 227, 122, 229, 70eldv 25948 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵(𝑆 D (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))))0 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴) ∧ 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵))) lim 𝐵))))
231226, 230mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴) ∧ 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵))) lim 𝐵)))
232231simprd 495 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵))) lim 𝐵))
233 eldifi 4141 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → 𝑥𝐴)
234 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥))
235 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥))
236234, 235oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)))
237 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))) = (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))
238 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) ∈ V
239236, 237, 238fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)))
240 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝐵 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵))
241 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝐵 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝐵))
242240, 241oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝐵 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝐵)))
243 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝐵)) ∈ V
244242, 237, 243fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝐴 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝐵)))
24560, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝐵)))
24668, 69, 70, 106, 77, 78dvntaylp0 26429 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵))
247246oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝐵)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) − (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵)))
248112, 60ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) ∈ ℂ)
249248subidd 11606 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) − (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵)) = 0)
250245, 247, 2493eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵) = 0)
251239, 250oveqan12rd 7451 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) − 0))
252112ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) ∈ ℂ)
253130sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
254155ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) ∈ ℂ)
255253, 254syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) ∈ ℂ)
256252, 255subcld 11618 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) ∈ ℂ)
257256subid1d 11607 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) − 0) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)))
258251, 257eqtr2d 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) = (((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)))
259233, 258sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) = (((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)))
260130ssdifssd 4157 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
261260sselda 3995 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ℂ)
262130, 60sseldd 3996 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
263262adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℂ)
264261, 263subcld 11618 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
265264exp1d 14178 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((𝑥𝐵)↑1) = (𝑥𝐵))
266259, 265oveq12d 7449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1)) = ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵)))
267266mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵))))
268267oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))) lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵))) lim 𝐵))
269232, 268eleqtrrd 2842 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))) lim 𝐵))
270269a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))) lim 𝐵)))
271 taylthlem1.i . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵))
272271expr 456 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1..^𝑁)) → (0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵)))
273272expcom 413 . . . . 5 (𝑛 ∈ (1..^𝑁) → (𝜑 → (0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵))))
274273a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ (1..^𝑁) → ((𝜑 → 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵)) → (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵))))
27515, 35, 47, 59, 270, 274fzind2 13821 . . 3 (𝑁 ∈ (1...𝑁) → (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) lim 𝐵)))
2763, 275mpcom 38 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) lim 𝐵))
277117subidd 11606 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑁) = 0)
278277fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
279 dvn0 25975 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
280122, 84, 279syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
281278, 280eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁)) = 𝐹)
282281fveq1d 6909 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
283277fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁)) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘0))
284 dvn0 25975 . . . . . . . . . 10 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘0) = 𝑇)
285191, 197, 284sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘0) = 𝑇)
286283, 285eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁)) = 𝑇)
287286fveq1d 6909 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) = (𝑇𝑥))
288282, 287oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) = ((𝐹𝑥) − (𝑇𝑥)))
289288oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁)) = (((𝐹𝑥) − (𝑇𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁)))
290289mpteq2dv 5250 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝑇𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))))
291 taylthlem1.r . . . 4 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝑇𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁)))
292290, 291eqtr4di 2793 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) = 𝑅)
293292oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) lim 𝐵) = (𝑅 lim 𝐵))
294276, 293eleqtrd 2841 1 (𝜑 → 0 ∈ (𝑅 lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633   cuni 4912   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  Fun wfun 6557  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  pm cpm 8866  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  cexp 14099  t crest 17467  TopOpenctopn 17468  fldccnfld 21382  Topctop 22915  TopOnctopon 22932  intcnt 23041   lim climc 25912   D cdv 25913   D𝑛 cdvn 25914   Tayl ctayl 26409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-tsms 24151  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-dvn 25918  df-tayl 26411
This theorem is referenced by:  taylth  26433
  Copyright terms: Public domain W3C validator