MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylthlem1 25732
Description: Lemma for taylth 25734. This is the main part of Taylor's theorem, except for the induction step, which is supposed to be proven using L'Hôpital's rule. However, since our proof of L'Hôpital assumes that 𝑆 = ℝ, we can only do this part generically, and for taylth 25734 itself we must restrict to . (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylthlem1.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylthlem1.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylthlem1.a (𝜑𝐴𝑆)
taylthlem1.d (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
taylthlem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
taylthlem1.b (𝜑𝐵𝐴)
taylthlem1.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
taylthlem1.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝑇𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁)))
taylthlem1.i ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵))
Assertion
Ref Expression
taylthlem1 (𝜑 → 0 ∈ (𝑅 lim 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐴   𝐵,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑁,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦   𝑇,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem taylthlem1
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylthlem1.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 elfz1end 13471 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (1...𝑁))
31, 2sylib 217 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑁))
4 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 1 → (𝑁𝑚) = (𝑁 − 1))
54fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 1 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))
65fveq1d 6844 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 1 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥))
74fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 1 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚)) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1)))
87fveq1d 6844 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 1 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥))
96, 8oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 1 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)))
10 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 1 → ((𝑥𝐵)↑𝑚) = ((𝑥𝐵)↑1))
119, 10oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑚 = 1 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1)))
1211mpteq2dv 5207 . . . . . . 7 (𝑚 = 1 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))))
1312oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑚 = 1 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))) lim 𝐵))
1413eleq2d 2823 . . . . 5 (𝑚 = 1 → (0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) ↔ 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))) lim 𝐵)))
1514imbi2d 340 . . . 4 (𝑚 = 1 → ((𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵)) ↔ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))) lim 𝐵))))
16 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → (𝑁𝑚) = (𝑁𝑛))
1716fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛)))
1817fveq1d 6844 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥))
1916fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚)) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛)))
2019fveq1d 6844 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥))
2118, 20oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥)))
22 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑥𝐵)↑𝑚) = ((𝑥𝐵)↑𝑛))
2321, 22oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑛)))
2423mpteq2dv 5207 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑛))))
25 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦))
26 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦))
2725, 26oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)))
28 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐵) = (𝑦𝐵))
2928oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐵)↑𝑛) = ((𝑦𝐵)↑𝑛))
3027, 29oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑛)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛)))
3130cbvmptv 5218 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑛))) = (𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛)))
3224, 31eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) = (𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))))
3332oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) = ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵))
3433eleq2d 2823 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) ↔ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵)))
3534imbi2d 340 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵)) ↔ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵))))
36 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑁𝑚) = (𝑁 − (𝑛 + 1)))
3736fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1))))
3837fveq1d 6844 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥))
3936fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚)) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1))))
4039fveq1d 6844 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥))
4138, 40oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)))
42 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑥𝐵)↑𝑚) = ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))
4341, 42oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1))))
4443mpteq2dv 5207 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))))
4544oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵))
4645eleq2d 2823 . . . . 5 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) ↔ 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵)))
4746imbi2d 340 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵)) ↔ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵))))
48 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑁 → (𝑁𝑚) = (𝑁𝑁))
4948fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁)))
5049fveq1d 6844 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑁 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥))
5148fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑁 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚)) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁)))
5251fveq1d 6844 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑁 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥))
5350, 52oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑁 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)))
54 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑥𝐵)↑𝑚) = ((𝑥𝐵)↑𝑁))
5553, 54oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑁 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁)))
5655mpteq2dv 5207 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))))
5756oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) lim 𝐵))
5857eleq2d 2823 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → (0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) ↔ 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) lim 𝐵)))
5958imbi2d 340 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → ((𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵)) ↔ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) lim 𝐵))))
60 taylthlem1.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵𝐴)
61 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝐵 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵))
62 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝐵 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝐵))
6361, 62oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐵 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝐵)))
64 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦))) = (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))
65 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝐵)) ∈ V
6663, 64, 65fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝐴 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))‘𝐵) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝐵)))
6760, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))‘𝐵) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝐵)))
68 taylthlem1.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
69 taylthlem1.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
70 taylthlem1.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑆)
711nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
72 nn0uz 12805 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (ℤ‘0)
7371, 72eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
74 eluzfz2b 13450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
7573, 74sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ (0...𝑁))
76 taylthlem1.d . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
7760, 76eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
78 taylthlem1.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
7968, 69, 70, 75, 77, 78dvntaylp0 25731 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵))
8079oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝐵)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) − (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵)))
81 cnex 11132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ ∈ V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℂ ∈ V)
83 elpm2r 8783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
8482, 68, 69, 70, 83syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
85 dvnf 25291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℂ)
8668, 84, 71, 85syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℂ)
8786, 77ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) ∈ ℂ)
8887subidd 11500 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) − (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵)) = 0)
8967, 80, 883eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))‘𝐵) = 0)
90 funmpt 6539 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))
91 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)) ∈ V
9291, 64dmmpti 6645 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦))) = 𝐴
9360, 92eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ dom (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦))))
94 funbrfvb 6897 . . . . . . . . . . 11 ((Fun (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦))) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))) → (((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵(𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))0))
9590, 93, 94sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵(𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))0))
9689, 95mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵(𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))0)
97 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
981, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
99 dvnf 25291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))⟶ℂ)
10068, 84, 98, 99syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))⟶ℂ)
101 dvnbss 25292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ⊆ dom 𝐹)
10268, 84, 98, 101syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ⊆ dom 𝐹)
10369, 102fssdmd 6687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ⊆ 𝐴)
104 fzo0end 13664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
105 elfzofz 13588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁))
1061, 104, 1053syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁))
107 dvn2bss 25294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))
10868, 84, 106, 107syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))
10976, 108eqsstrrd 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))
110103, 109eqssd 3961 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) = 𝐴)
111110feq2d 6654 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)):𝐴⟶ℂ))
112100, 111mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)):𝐴⟶ℂ)
113112ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) ∈ ℂ)
11476feq2d 6654 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁):𝐴⟶ℂ))
11586, 114mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁):𝐴⟶ℂ)
116115ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) ∈ ℂ)
1171nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
118 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
119117, 118npcand 11516 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
120119fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
121 recnprss 25268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
12268, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
123 dvnp1 25289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
124122, 84, 98, 123syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
125120, 124eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
126115feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑦𝐴 ↦ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦)))
127112feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (𝑦𝐴 ↦ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))
128127oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))) = (𝑆 D (𝑦𝐴 ↦ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))))
129125, 126, 1283eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝐴 ↦ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))) = (𝑦𝐴 ↦ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦)))
13070, 122sstrd 3954 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
131130sselda 3944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
132 1nn0 12429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ0
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
134 elpm2r 8783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
13582, 68, 112, 70, 134syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
136 dvn1 25290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))‘1) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
137122, 135, 136syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))‘1) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
138124, 120eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
139137, 138eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))‘1) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
140139dmeqd 5861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))‘1) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
14177, 140eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))‘1))
142 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))𝐵) = (1(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))𝐵)
14368, 112, 70, 133, 141, 142taylpf 25725 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))𝐵):ℂ⟶ℂ)
144118, 117pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁)
145144oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + (𝑁 − 1))(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
14678, 145eqtr4id 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑇 = ((1 + (𝑁 − 1))(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
147146oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℂ D𝑛 𝑇) = (ℂ D𝑛 ((1 + (𝑁 − 1))(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)))
148147fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1)) = ((ℂ D𝑛 ((1 + (𝑁 − 1))(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑁 − 1)))
149144fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑁 − 1))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
150149dmeqd 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑁 − 1))) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
15177, 150eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑁 − 1))))
15268, 69, 70, 98, 133, 151dvntaylp 25730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((1 + (𝑁 − 1))(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑁 − 1)) = (1(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))𝐵))
153148, 152eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1)) = (1(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))𝐵))
154153feq1d 6653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1)):ℂ⟶ℂ ↔ (1(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))𝐵):ℂ⟶ℂ))
155143, 154mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1)):ℂ⟶ℂ)
156155ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) ∈ ℂ)
157131, 156syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) ∈ ℂ)
158 0nn0 12428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℕ0
159158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
160 elpm2r 8783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
16182, 68, 115, 70, 160syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
162 dvn0 25288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
163122, 161, 162syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
164163dmeqd 5861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))‘0) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
16577, 164eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))‘0))
166 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))𝐵) = (0(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))𝐵)
16768, 115, 70, 159, 165, 166taylpf 25725 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))𝐵):ℂ⟶ℂ)
168117addid2d 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (0 + 𝑁) = 𝑁)
169168oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((0 + 𝑁)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
170169, 78eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((0 + 𝑁)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = 𝑇)
171170oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℂ D𝑛 ((0 + 𝑁)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (ℂ D𝑛 𝑇))
172171fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((0 + 𝑁)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑁) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁))
173168fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(0 + 𝑁)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
174173dmeqd 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(0 + 𝑁)) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
17577, 174eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(0 + 𝑁)))
17668, 69, 70, 71, 159, 175dvntaylp 25730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((0 + 𝑁)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑁) = (0(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))𝐵))
177172, 176eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁) = (0(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))𝐵))
178177feq1d 6653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁):ℂ⟶ℂ ↔ (0(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))𝐵):ℂ⟶ℂ))
179167, 178mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁):ℂ⟶ℂ)
180179ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦) ∈ ℂ)
181131, 180syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦) ∈ ℂ)
182122sselda 3944 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
183182, 156syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) ∈ ℂ)
184182, 180syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦) ∈ ℂ)
185 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
186185cnfldtopon 24146 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
187 toponmax 22275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
188186, 187mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
189 df-ss 3927 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ⊆ ℂ ↔ (𝑆 ∩ ℂ) = 𝑆)
190122, 189sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 ∩ ℂ) = 𝑆)
191 ssid 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ ⊆ ℂ
192191a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
193 mapsspm 8814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℂ ↑m ℂ) ⊆ (ℂ ↑pm ℂ)
19468, 69, 70, 71, 77, 78taylpf 25725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑇:ℂ⟶ℂ)
19581, 81elmap 8809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇 ∈ (ℂ ↑m ℂ) ↔ 𝑇:ℂ⟶ℂ)
196194, 195sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇 ∈ (ℂ ↑m ℂ))
197193, 196sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑇 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
198 dvnp1 25289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℂ D ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))))
199192, 197, 98, 198syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℂ D ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))))
200119fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁))
201199, 200eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℂ D ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁))
202155feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))
203202oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℂ D ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))))
204179feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))
205201, 203, 2043eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))
206185, 68, 188, 190, 156, 180, 205dvmptres3 25320 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))) = (𝑦𝑆 ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))
207 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
208 resttopon 22512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
209186, 122, 208sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
210 topontop 22262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
211209, 210syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
212 toponuni 22263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
213209, 212syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
21470, 213sseqtrd 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
215 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
216215ntrss2 22408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝐴 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
217211, 214, 216syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
218138dmeqd 5861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
219218, 76eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))) = 𝐴)
220122, 112, 70, 207, 185dvbssntr 25264 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))) ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴))
221219, 220eqsstrrd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴))
222217, 221eqssd 3961 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴) = 𝐴)
22368, 183, 184, 206, 70, 207, 185, 222dvmptres2 25326 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝐴 ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))) = (𝑦𝐴 ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))
22468, 113, 116, 129, 157, 181, 223dvmptsub 25331 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))) = (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦))))
225224breqd 5116 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵(𝑆 D (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))))0 ↔ 𝐵(𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))0))
22696, 225mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵(𝑆 D (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))))0)
227 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵)))
228113, 157subcld 11512 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)) ∈ ℂ)
229228fmpttd 7063 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))):𝐴⟶ℂ)
230207, 185, 227, 122, 229, 70eldv 25262 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵(𝑆 D (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))))0 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴) ∧ 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵))) lim 𝐵))))
231226, 230mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴) ∧ 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵))) lim 𝐵)))
232231simprd 496 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵))) lim 𝐵))
233 eldifi 4086 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → 𝑥𝐴)
234 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥))
235 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥))
236234, 235oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)))
237 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))) = (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))
238 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) ∈ V
239236, 237, 238fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)))
240 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝐵 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵))
241 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝐵 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝐵))
242240, 241oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝐵 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝐵)))
243 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝐵)) ∈ V
244242, 237, 243fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝐴 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝐵)))
24560, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝐵)))
24668, 69, 70, 106, 77, 78dvntaylp0 25731 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵))
247246oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝐵)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) − (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵)))
248112, 60ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) ∈ ℂ)
249248subidd 11500 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) − (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵)) = 0)
250245, 247, 2493eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵) = 0)
251239, 250oveqan12rd 7377 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) − 0))
252112ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) ∈ ℂ)
253130sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
254155ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) ∈ ℂ)
255253, 254syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) ∈ ℂ)
256252, 255subcld 11512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) ∈ ℂ)
257256subid1d 11501 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) − 0) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)))
258251, 257eqtr2d 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) = (((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)))
259233, 258sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) = (((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)))
260130ssdifssd 4102 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
261260sselda 3944 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ℂ)
262130, 60sseldd 3945 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
263262adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℂ)
264261, 263subcld 11512 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
265264exp1d 14046 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((𝑥𝐵)↑1) = (𝑥𝐵))
266259, 265oveq12d 7375 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1)) = ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵)))
267266mpteq2dva 5205 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵))))
268267oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))) lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵))) lim 𝐵))
269232, 268eleqtrrd 2841 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))) lim 𝐵))
270269a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))) lim 𝐵)))
271 taylthlem1.i . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵))
272271expr 457 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1..^𝑁)) → (0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵)))
273272expcom 414 . . . . 5 (𝑛 ∈ (1..^𝑁) → (𝜑 → (0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵))))
274273a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ (1..^𝑁) → ((𝜑 → 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵)) → (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵))))
27515, 35, 47, 59, 270, 274fzind2 13690 . . 3 (𝑁 ∈ (1...𝑁) → (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) lim 𝐵)))
2763, 275mpcom 38 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) lim 𝐵))
277117subidd 11500 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑁) = 0)
278277fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
279 dvn0 25288 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
280122, 84, 279syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
281278, 280eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁)) = 𝐹)
282281fveq1d 6844 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
283277fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁)) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘0))
284 dvn0 25288 . . . . . . . . . 10 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘0) = 𝑇)
285191, 197, 284sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘0) = 𝑇)
286283, 285eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁)) = 𝑇)
287286fveq1d 6844 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) = (𝑇𝑥))
288282, 287oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) = ((𝐹𝑥) − (𝑇𝑥)))
289288oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁)) = (((𝐹𝑥) − (𝑇𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁)))
290289mpteq2dv 5207 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝑇𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))))
291 taylthlem1.r . . . 4 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝑇𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁)))
292290, 291eqtr4di 2794 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) = 𝑅)
293292oveq1d 7372 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) lim 𝐵) = (𝑅 lim 𝐵))
294276, 293eleqtrd 2840 1 (𝜑 → 0 ∈ (𝑅 lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  {csn 4586  {cpr 4588   cuni 4865   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  pm cpm 8766  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cuz 12763  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  cexp 13967  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  fldccnfld 20796  Topctop 22242  TopOnctopon 22259  intcnt 22368   lim climc 25226   D cdv 25227   D𝑛 cdvn 25228   Tayl ctayl 25712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-tsms 23478  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-dvn 25232  df-tayl 25714
This theorem is referenced by:  taylth  25734
  Copyright terms: Public domain W3C validator