MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylthlem1 24971
Description: Lemma for taylth 24973. This is the main part of Taylor's theorem, except for the induction step, which is supposed to be proven using L'Hôpital's rule. However, since our proof of L'Hôpital assumes that 𝑆 = ℝ, we can only do this part generically, and for taylth 24973 itself we must restrict to . (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylthlem1.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylthlem1.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylthlem1.a (𝜑𝐴𝑆)
taylthlem1.d (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
taylthlem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
taylthlem1.b (𝜑𝐵𝐴)
taylthlem1.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
taylthlem1.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝑇𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁)))
taylthlem1.i ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵))
Assertion
Ref Expression
taylthlem1 (𝜑 → 0 ∈ (𝑅 lim 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐴   𝐵,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑁,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦   𝑇,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem taylthlem1
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylthlem1.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 elfz1end 12941 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (1...𝑁))
31, 2sylib 221 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑁))
4 oveq2 7157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 1 → (𝑁𝑚) = (𝑁 − 1))
54fveq2d 6665 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 1 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))
65fveq1d 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 1 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥))
74fveq2d 6665 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 1 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚)) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1)))
87fveq1d 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 1 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥))
96, 8oveq12d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 1 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)))
10 oveq2 7157 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 1 → ((𝑥𝐵)↑𝑚) = ((𝑥𝐵)↑1))
119, 10oveq12d 7167 . . . . . . . 8 (𝑚 = 1 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1)))
1211mpteq2dv 5148 . . . . . . 7 (𝑚 = 1 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))))
1312oveq1d 7164 . . . . . 6 (𝑚 = 1 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))) lim 𝐵))
1413eleq2d 2901 . . . . 5 (𝑚 = 1 → (0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) ↔ 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))) lim 𝐵)))
1514imbi2d 344 . . . 4 (𝑚 = 1 → ((𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵)) ↔ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))) lim 𝐵))))
16 oveq2 7157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → (𝑁𝑚) = (𝑁𝑛))
1716fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛)))
1817fveq1d 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥))
1916fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚)) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛)))
2019fveq1d 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥))
2118, 20oveq12d 7167 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥)))
22 oveq2 7157 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑥𝐵)↑𝑚) = ((𝑥𝐵)↑𝑛))
2321, 22oveq12d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑛)))
2423mpteq2dv 5148 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑛))))
25 fveq2 6661 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦))
26 fveq2 6661 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦))
2725, 26oveq12d 7167 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)))
28 oveq1 7156 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐵) = (𝑦𝐵))
2928oveq1d 7164 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐵)↑𝑛) = ((𝑦𝐵)↑𝑛))
3027, 29oveq12d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑛)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛)))
3130cbvmptv 5155 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑛))) = (𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛)))
3224, 31syl6eq 2875 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) = (𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))))
3332oveq1d 7164 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) = ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵))
3433eleq2d 2901 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) ↔ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵)))
3534imbi2d 344 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵)) ↔ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵))))
36 oveq2 7157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑁𝑚) = (𝑁 − (𝑛 + 1)))
3736fveq2d 6665 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1))))
3837fveq1d 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥))
3936fveq2d 6665 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚)) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1))))
4039fveq1d 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥))
4138, 40oveq12d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)))
42 oveq2 7157 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑥𝐵)↑𝑚) = ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))
4341, 42oveq12d 7167 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1))))
4443mpteq2dv 5148 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))))
4544oveq1d 7164 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵))
4645eleq2d 2901 . . . . 5 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) ↔ 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵)))
4746imbi2d 344 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵)) ↔ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵))))
48 oveq2 7157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑁 → (𝑁𝑚) = (𝑁𝑁))
4948fveq2d 6665 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁)))
5049fveq1d 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑁 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥))
5148fveq2d 6665 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑁 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚)) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁)))
5251fveq1d 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑁 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥))
5350, 52oveq12d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑁 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)))
54 oveq2 7157 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑥𝐵)↑𝑚) = ((𝑥𝐵)↑𝑁))
5553, 54oveq12d 7167 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑁 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁)))
5655mpteq2dv 5148 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))))
5756oveq1d 7164 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) lim 𝐵))
5857eleq2d 2901 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → (0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵) ↔ 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) lim 𝐵)))
5958imbi2d 344 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → ((𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑚))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑚))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑚))) lim 𝐵)) ↔ (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) lim 𝐵))))
60 taylthlem1.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵𝐴)
61 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝐵 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵))
62 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝐵 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝐵))
6361, 62oveq12d 7167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐵 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝐵)))
64 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦))) = (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))
65 ovex 7182 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝐵)) ∈ V
6663, 64, 65fvmpt 6759 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝐴 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))‘𝐵) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝐵)))
6760, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))‘𝐵) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝐵)))
68 taylthlem1.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
69 taylthlem1.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
70 taylthlem1.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑆)
711nnnn0d 11952 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
72 nn0uz 12277 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (ℤ‘0)
7371, 72eleqtrdi 2926 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
74 eluzfz2b 12920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
7573, 74sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ (0...𝑁))
76 taylthlem1.d . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
7760, 76eleqtrrd 2919 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
78 taylthlem1.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
7968, 69, 70, 75, 77, 78dvntaylp0 24970 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵))
8079oveq2d 7165 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝐵)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) − (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵)))
81 cnex 10616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ ∈ V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℂ ∈ V)
83 elpm2r 8420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
8482, 68, 69, 70, 83syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
85 dvnf 24533 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℂ)
8668, 84, 71, 85syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℂ)
8786, 77ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) ∈ ℂ)
8887subidd 10983 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵) − (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝐵)) = 0)
8967, 80, 883eqtrd 2863 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))‘𝐵) = 0)
90 funmpt 6381 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))
91 ovex 7182 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)) ∈ V
9291, 64dmmpti 6481 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦))) = 𝐴
9360, 92eleqtrrdi 2927 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ dom (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦))))
94 funbrfvb 6711 . . . . . . . . . . 11 ((Fun (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦))) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))) → (((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵(𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))0))
9590, 93, 94sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵(𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))0))
9689, 95mpbid 235 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵(𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))0)
97 nnm1nn0 11935 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
981, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
99 dvnf 24533 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))⟶ℂ)
10068, 84, 98, 99syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))⟶ℂ)
101 dvnbss 24534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ⊆ dom 𝐹)
10268, 84, 98, 101syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ⊆ dom 𝐹)
10369, 102fssdmd 6519 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ⊆ 𝐴)
104 fzo0end 13133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
105 elfzofz 13057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁))
1061, 104, 1053syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁))
107 dvn2bss 24536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))
10868, 84, 106, 107syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))
10976, 108eqsstrrd 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))
110103, 109eqssd 3970 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) = 𝐴)
111110feq2d 6489 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)):𝐴⟶ℂ))
112100, 111mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)):𝐴⟶ℂ)
113112ffvelrnda 6842 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) ∈ ℂ)
11476feq2d 6489 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁):𝐴⟶ℂ))
11586, 114mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁):𝐴⟶ℂ)
116115ffvelrnda 6842 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) ∈ ℂ)
1171nncnd 11650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
118 1cnd 10634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
119117, 118npcand 10999 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
120119fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
121 recnprss 24510 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
12268, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
123 dvnp1 24531 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
124122, 84, 98, 123syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
125120, 124eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
126115feqmptd 6724 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑦𝐴 ↦ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦)))
127112feqmptd 6724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) = (𝑦𝐴 ↦ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))
128127oveq2d 7165 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))) = (𝑆 D (𝑦𝐴 ↦ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))))
129125, 126, 1283eqtr3rd 2868 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝐴 ↦ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))) = (𝑦𝐴 ↦ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦)))
13070, 122sstrd 3963 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
131130sselda 3953 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
132 1nn0 11910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ0
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
134 elpm2r 8420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
13582, 68, 112, 70, 134syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
136 dvn1 24532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))‘1) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
137122, 135, 136syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))‘1) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))))
138124, 120eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
139137, 138eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))‘1) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
140139dmeqd 5761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))‘1) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
14177, 140eleqtrrd 2919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))‘1))
142 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))𝐵) = (1(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))𝐵)
14368, 112, 70, 133, 141, 142taylpf 24964 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))𝐵):ℂ⟶ℂ)
144118, 117pncan3d 10998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁)
145144oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + (𝑁 − 1))(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
146145, 78syl6reqr 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑇 = ((1 + (𝑁 − 1))(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
147146oveq2d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℂ D𝑛 𝑇) = (ℂ D𝑛 ((1 + (𝑁 − 1))(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)))
148147fveq1d 6663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1)) = ((ℂ D𝑛 ((1 + (𝑁 − 1))(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑁 − 1)))
149144fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑁 − 1))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
150149dmeqd 5761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑁 − 1))) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
15177, 150eleqtrrd 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑁 − 1))))
15268, 69, 70, 98, 133, 151dvntaylp 24969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((1 + (𝑁 − 1))(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘(𝑁 − 1)) = (1(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))𝐵))
153148, 152eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1)) = (1(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))𝐵))
154153feq1d 6488 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1)):ℂ⟶ℂ ↔ (1(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1)))𝐵):ℂ⟶ℂ))
155143, 154mpbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1)):ℂ⟶ℂ)
156155ffvelrnda 6842 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) ∈ ℂ)
157131, 156syldan 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) ∈ ℂ)
158 0nn0 11909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℕ0
159158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
160 elpm2r 8420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
16182, 68, 115, 70, 160syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
162 dvn0 24530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
163122, 161, 162syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
164163dmeqd 5761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))‘0) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
16577, 164eleqtrrd 2919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))‘0))
166 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))𝐵) = (0(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))𝐵)
16768, 115, 70, 159, 165, 166taylpf 24964 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))𝐵):ℂ⟶ℂ)
168117addid2d 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (0 + 𝑁) = 𝑁)
169168oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((0 + 𝑁)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
170169, 78syl6eqr 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((0 + 𝑁)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = 𝑇)
171170oveq2d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℂ D𝑛 ((0 + 𝑁)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (ℂ D𝑛 𝑇))
172171fveq1d 6663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((0 + 𝑁)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑁) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁))
173168fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(0 + 𝑁)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
174173dmeqd 5761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(0 + 𝑁)) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
17577, 174eleqtrrd 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(0 + 𝑁)))
17668, 69, 70, 71, 159, 175dvntaylp 24969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 ((0 + 𝑁)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑁) = (0(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))𝐵))
177172, 176eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁) = (0(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))𝐵))
178177feq1d 6488 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁):ℂ⟶ℂ ↔ (0(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))𝐵):ℂ⟶ℂ))
179167, 178mpbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁):ℂ⟶ℂ)
180179ffvelrnda 6842 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦) ∈ ℂ)
181131, 180syldan 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦) ∈ ℂ)
182122sselda 3953 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
183182, 156syldan 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) ∈ ℂ)
184182, 180syldan 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦) ∈ ℂ)
185 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
186185cnfldtopon 23391 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
187 toponmax 21534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
188186, 187mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
189 df-ss 3936 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ⊆ ℂ ↔ (𝑆 ∩ ℂ) = 𝑆)
190122, 189sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 ∩ ℂ) = 𝑆)
191 ssid 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ ⊆ ℂ
192191a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
193 mapsspm 8436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℂ ↑m ℂ) ⊆ (ℂ ↑pm ℂ)
19468, 69, 70, 71, 77, 78taylpf 24964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑇:ℂ⟶ℂ)
19581, 81elmap 8431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇 ∈ (ℂ ↑m ℂ) ↔ 𝑇:ℂ⟶ℂ)
196194, 195sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇 ∈ (ℂ ↑m ℂ))
197193, 196sseldi 3951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑇 ∈ (ℂ ↑pm ℂ))
198 dvnp1 24531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℂ D ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))))
199192, 197, 98, 198syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℂ D ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))))
200119fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁))
201199, 200eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℂ D ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁))
202155feqmptd 6724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))
203202oveq2d 7165 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℂ D ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))))
204179feqmptd 6724 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))
205201, 203, 2043eqtr3d 2867 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))
206185, 68, 188, 190, 156, 180, 205dvmptres3 24562 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝑆 ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))) = (𝑦𝑆 ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))
207 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
208 resttopon 21769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
209186, 122, 208sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
210 topontop 21521 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
211209, 210syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top)
212 toponuni 21522 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
213209, 212syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
21470, 213sseqtrd 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
215 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
216215ntrss2 21665 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝐴 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
217211, 214, 216syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
218138dmeqd 5761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
219218, 76eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))) = 𝐴)
220122, 112, 70, 207, 185dvbssntr 24506 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))) ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴))
221219, 220eqsstrrd 3992 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴))
222217, 221eqssd 3970 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴) = 𝐴)
22368, 183, 184, 206, 70, 207, 185, 222dvmptres2 24568 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝐴 ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))) = (𝑦𝐴 ↦ (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))
22468, 113, 116, 129, 157, 181, 223dvmptsub 24573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 D (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))) = (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦))))
225224breqd 5063 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵(𝑆 D (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))))0 ↔ 𝐵(𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁)‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑁)‘𝑦)))0))
22696, 225mpbird 260 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵(𝑆 D (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))))0)
227 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵)))
228113, 157subcld 10995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)) ∈ ℂ)
229228fmpttd 6870 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))):𝐴⟶ℂ)
230207, 185, 227, 122, 229, 70eldv 24504 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵(𝑆 D (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))))0 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴) ∧ 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵))) lim 𝐵))))
231226, 230mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝐴) ∧ 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵))) lim 𝐵)))
232231simprd 499 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵))) lim 𝐵))
233 eldifi 4089 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → 𝑥𝐴)
234 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥))
235 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥))
236234, 235oveq12d 7167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)))
237 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦))) = (𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))
238 ovex 7182 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) ∈ V
239236, 237, 238fvmpt 6759 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)))
240 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝐵 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵))
241 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝐵 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) = (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝐵))
242240, 241oveq12d 7167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝐵 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝐵)))
243 ovex 7182 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝐵)) ∈ V
244242, 237, 243fvmpt 6759 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝐴 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝐵)))
24560, 244syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝐵)))
24668, 69, 70, 106, 77, 78dvntaylp0 24970 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵))
247246oveq2d 7165 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝐵)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) − (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵)))
248112, 60ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) ∈ ℂ)
249248subidd 10983 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵) − (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝐵)) = 0)
250245, 247, 2493eqtrd 2863 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵) = 0)
251239, 250oveqan12rd 7169 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) − 0))
252112ffvelrnda 6842 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) ∈ ℂ)
253130sselda 3953 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
254155ffvelrnda 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) ∈ ℂ)
255253, 254syldan 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) ∈ ℂ)
256252, 255subcld 10995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) ∈ ℂ)
257256subid1d 10984 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) − 0) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)))
258251, 257eqtr2d 2860 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) = (((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)))
259233, 258sylan2 595 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) = (((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)))
260130ssdifssd 4105 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
261260sselda 3953 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ℂ)
262130, 60sseldd 3954 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
263262adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℂ)
264261, 263subcld 10995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
265264exp1d 13510 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((𝑥𝐵)↑1) = (𝑥𝐵))
266259, 265oveq12d 7167 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1)) = ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵)))
267266mpteq2dva 5147 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵))))
268267oveq1d 7164 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))) lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝑥) − ((𝑦𝐴 ↦ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑦)))‘𝐵)) / (𝑥𝐵))) lim 𝐵))
269232, 268eleqtrrd 2919 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))) lim 𝐵))
270269a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − 1))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − 1))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑1))) lim 𝐵)))
271 taylthlem1.i . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1..^𝑁) ∧ 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵))) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵))
272271expr 460 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1..^𝑁)) → (0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵)))
273272expcom 417 . . . . 5 (𝑛 ∈ (1..^𝑁) → (𝜑 → (0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵) → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵))))
274273a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ (1..^𝑁) → ((𝜑 → 0 ∈ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑛))‘𝑦) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑛))‘𝑦)) / ((𝑦𝐵)↑𝑛))) lim 𝐵)) → (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁 − (𝑛 + 1)))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑(𝑛 + 1)))) lim 𝐵))))
27515, 35, 47, 59, 270, 274fzind2 13159 . . 3 (𝑁 ∈ (1...𝑁) → (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) lim 𝐵)))
2763, 275mpcom 38 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) lim 𝐵))
277117subidd 10983 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑁) = 0)
278277fveq2d 6665 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
279 dvn0 24530 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
280122, 84, 279syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
281278, 280eqtrd 2859 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁)) = 𝐹)
282281fveq1d 6663 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
283277fveq2d 6665 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁)) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘0))
284 dvn0 24530 . . . . . . . . . 10 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ∈ (ℂ ↑pm ℂ)) → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘0) = 𝑇)
285191, 197, 284sylancr 590 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘0) = 𝑇)
286283, 285eqtrd 2859 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁)) = 𝑇)
287286fveq1d 6663 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) = (𝑇𝑥))
288282, 287oveq12d 7167 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) = ((𝐹𝑥) − (𝑇𝑥)))
289288oveq1d 7164 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁)) = (((𝐹𝑥) − (𝑇𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁)))
290289mpteq2dv 5148 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝑇𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))))
291 taylthlem1.r . . . 4 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝑇𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁)))
292290, 291syl6eqr 2877 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) = 𝑅)
293292oveq1d 7164 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁𝑁))‘𝑥) − (((ℂ D𝑛 𝑇)‘(𝑁𝑁))‘𝑥)) / ((𝑥𝐵)↑𝑁))) lim 𝐵) = (𝑅 lim 𝐵))
294276, 293eleqtrd 2918 1 (𝜑 → 0 ∈ (𝑅 lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  cdif 3916  cin 3918  wss 3919  {csn 4550  {cpr 4552   cuni 4824   class class class wbr 5052  cmpt 5132  dom cdm 5542  Fun wfun 6337  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  m cmap 8402  pm cpm 8403  cc 10533  cr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538  cmin 10868   / cdiv 11295  cn 11634  0cn0 11894  cuz 12240  ...cfz 12894  ..^cfzo 13037  cexp 13434  t crest 16694  TopOpenctopn 16695  fldccnfld 20545  Topctop 21501  TopOnctopon 21518  intcnt 21625   lim climc 24468   D cdv 24469   D𝑛 cdvn 24470   Tayl ctayl 24951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-fac 13639  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-tsms 22735  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473  df-dvn 24474  df-tayl 24953
This theorem is referenced by:  taylth  24973
  Copyright terms: Public domain W3C validator